“簡(jiǎn)易邏輯”教學(xué)中存在的問題——兼答《關(guān)于命題的困惑》一文中

1、“簡(jiǎn)易邏輯”教學(xué)中存在的問題兼答關(guān)于命題的困惑一文中的“困惑”                        1關(guān)于命題的兩個(gè)定義 關(guān)于命題，初中的定義是：判斷一件事情的語句叫命題；高中的定義是可以判斷真假的語句叫命題這兩個(gè)定義都不嚴(yán)格兩個(gè)定義中使用的“判斷”一詞，與語文中通常的意義不盡相同在邏輯學(xué)上，它的意義是：判斷是對(duì)客觀事物有所肯定或否定的思維形式，判

2、斷有真有假所以，初中和高中的兩個(gè)定義在意義上是完全相同的：命題是這樣一個(gè)語句，這個(gè)語句能夠判斷真假例如語句“4的平方根是2”，作為一個(gè)判斷，它是錯(cuò)誤的，所以它是命題，是假命題 2關(guān)于“或”、“且”的含義 復(fù)合命題“p或q”與“p且q”是用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與“且”聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題p與q，既不能用“或”與“且”去聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題的條件，也不能用它們?nèi)ヂ?lián)結(jié)兩個(gè)命題的結(jié)論 例1（1）已知p：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1； q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2， 寫出“p或q” （2）p：四條邊相等的四邊形是正方形； q：四個(gè)角相等的四邊形是正方形， 寫出“p且q” 錯(cuò)解：（1）p或q：方程

3、（x-1）（x-2）=0的根是x=1或x=2；（2）p且q：四條邊相等且四個(gè)角相等的四邊形是正方形 分析：（1）（2）兩題中的p、q都是假命題，所以“p或q”、“p且q”也都是假命題，而上述解答中寫出的兩個(gè)命題卻都是真命題錯(cuò)誤的原因是：（1）聯(lián)結(jié)了兩命題的結(jié)論；（2）聯(lián)結(jié)了兩命題的條件 正確的答案是： （1）p或q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1或方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2 （2）p且q：四條邊相等的四邊形是正方形且四個(gè)角相等的四邊形是正方形 這兩個(gè)命題都是假命題 但是，在不影響命題真值的情況下，又可省略第二個(gè)命題的主語，這是符合語言習(xí)慣的 例2已知p：菱形的對(duì)角線互相

4、平分；  q：菱形的對(duì)角線互相垂直， 寫出“p且q” 解：p且q：菱形的對(duì)角線互相平分且（菱形的對(duì)角線互相）垂直 這個(gè)命題中括號(hào)內(nèi)的部分可以省略 文1中“4的平方根是2，或4的平方根是-2”，就不能簡(jiǎn)寫成“4的平方根是2或-2” 3關(guān)于“非”的含義 “非”的含義有下列四條： 31“非p”只否定p的結(jié)論 “非”就是否定，所以“非p”也叫做命題p的否定，但“非p”之“非”只否定命題的結(jié)論，不能否定命題的條件，也不能將條件和結(jié)論都否定，這也是“非p”與否命題的區(qū)別所以欲寫“非p”應(yīng)先搞清p的條件與結(jié)論 例3p：有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)寫出“非p” 錯(cuò)解：有些質(zhì)數(shù)不是奇數(shù) 分析：因?yàn)閜是真命題，所以“

5、非p”應(yīng)為假命題，上述命題不假，故答案錯(cuò)錯(cuò)誤的原因是對(duì)p的條件與結(jié)論沒有搞清楚這個(gè)命題的條件是“質(zhì)數(shù)”，結(jié)論是“有些是奇數(shù)”，正確的解法：先將p寫成等價(jià)形式，質(zhì)數(shù)有些是奇數(shù)，“非p”：質(zhì)數(shù)無奇數(shù) 不是用“不”否定“是”，而是用“無”否定“有些是” 例4p：方程x5x60有兩個(gè)相等的實(shí)根寫出“非p” 錯(cuò)解：方程560有兩個(gè)不相等的實(shí)根 分析：命題p的條件是“方程560”，結(jié)論是“有兩個(gè)相等的實(shí)根”，所以“非p”應(yīng)否定“有”，而不能否定“相等”，所以“非p”應(yīng)為：方程x5x60沒有兩個(gè)相等的實(shí)根 32p與“非p”真假必須相反 例5寫出例1（2）中命題p的否定“非p” 錯(cuò)解：非p：四條邊都相等的四邊

6、形不是正方形 因?yàn)閜是假命題，“非p”必須是真命題，而上述命題也是假命題，所以上述命題不是“非p” 正確答案為 “非p”：四條邊都相等的四邊形不都是正方形 “是”的否定有時(shí)為“不是”，有時(shí)為“不都是”，要視“是”的含義而定，此例的“是”，其含義是“都是”，故其否定為“不都是” 33“非p”必須包含p的所有對(duì)立面                         

7、;    邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”相當(dāng)于集合在全集中的補(bǔ)集假定p與“非p”的結(jié)論所確立的集合分別是A、B，則A、B必須滿足AB=U（全集），AB=“非p”的結(jié)論必須包含p的結(jié)論的所有對(duì)立面這一點(diǎn)如果不注意，使用反證法證題時(shí)就可能發(fā)生錯(cuò)誤因?yàn)榉醋C法的理論依據(jù)是欲證p為真，可證“非p”為假，如果“非p”不包括p的所有對(duì)立面，反證法就站不住腳了 例6p：方程x5x60有兩個(gè)相等的實(shí)根寫出“非p”（與例4相同） 正像寫一個(gè)集合的補(bǔ)集必須先搞清全集一樣，這個(gè)題目也面臨類似的問題因?yàn)閷?shí)系數(shù)一元二次方程的解的情況有三種，任何一種的否定都應(yīng)該包含另外的兩種，所以p的對(duì)立面是“方

8、程560有兩個(gè)不相等的實(shí)根或無實(shí)根”但“非p”不能這樣寫，而寫成等價(jià)形式：方程560沒有兩個(gè)相等的實(shí)根 34“非p”必須使用否定詞語 寫“非p”時(shí)還要注意，必須使用否定詞語對(duì)正面敘述的詞語進(jìn)行否定 例7p：方程560有實(shí)根寫出“非p” 錯(cuò)解：方程560有虛根 盡管“虛”是對(duì)“實(shí)”的否定，但“虛”不是否定詞，“方程560有虛根”仍是簡(jiǎn)單命題，正確答案為：方程560無實(shí)根 4給定一個(gè)復(fù)合命題，寫出構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題時(shí)應(yīng)注意的問題 例8指出構(gòu)成下列復(fù)合命題的簡(jiǎn)單命題： （1）實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)或0； （2）4的平方根是2或-2； （3）方程（1）（2）0的根為1或2； （4）四邊相等且四個(gè)角相等的四邊形

9、是正方形. 解：（1）p：實(shí)數(shù)的平方可能是正數(shù)；  q：實(shí)數(shù)的平方可能是0 注：因?yàn)閷?shí)數(shù)的平方只有正數(shù)或0兩種情況，所以由p、q構(gòu)成的“p或q”中，“可能”一詞就可省略而成為“實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)或0”，文1中認(rèn)為它是簡(jiǎn)單命題，這種認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的同樣，后三個(gè)小題的答案為： （2）p：4的平方根可能是2； q：4的平方根可能是-2 （3）p：方程（x-1）（x-2）=0的一個(gè)根是1； q：方程（x-1）（x-2）=0的一個(gè)根是2 （4）p：四邊相等的四邊形可能是正方形； q：四個(gè)角相等的四邊形可能是正方形 在由p、q寫“p或q”、“p且q”時(shí)，有些詞語可以省略，反過來由“p或q”、“p且q”寫p、q時(shí)，省略的詞語必須補(bǔ)上而由“非p”寫p時(shí)，必須先搞清“非p”的條件和結(jié)論 結(jié)束語：命題的結(jié)構(gòu)問題是很復(fù)雜的，中學(xué)只研究結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的命