轉化與化歸思想

1、第第4 4講講 轉化與化歸思想轉化與化歸思想 轉化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關轉化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化, ,進而得到解決的一種方法進而得到解決的一種方法. .一般總是將復雜的問題通一般總是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題轉化為已解決的問題. .轉化與化歸思想在高考中占有轉化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，

2、數(shù)學問題的解決，總離不開轉化十分重要的地位，數(shù)學問題的解決，總離不開轉化與化歸，如未知向已知的轉化、新知識向舊知識的與化歸，如未知向已知的轉化、新知識向舊知識的轉化、復雜問轉化、復雜問題向簡單問題的轉化、不同數(shù)學問題題向簡單問題的轉化、不同數(shù)學問題之間的互相轉化、實際問題向數(shù)學問題轉化等之間的互相轉化、實際問題向數(shù)學問題轉化等. .各種各種變換、具體解題方法都是轉化的手段，轉化的思想變換、具體解題方法都是轉化的手段，轉化的思想方法滲透到所有的數(shù)學教學內(nèi)容和解題過程中方法滲透到所有的數(shù)學教學內(nèi)容和解題過程中. .1.1.轉化與化歸的原則轉化與化歸的原則 （1 1）熟悉化原則：將陌生的問題轉化為熟

3、悉的問）熟悉化原則：將陌生的問題轉化為熟悉的問 題，以利于我們運用熟知的知識、經(jīng)驗來解決題，以利于我們運用熟知的知識、經(jīng)驗來解決. . （2 2）簡單化原則：將復雜問題化歸為簡單問題，）簡單化原則：將復雜問題化歸為簡單問題， 通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目 的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù). . （3 3）直觀化原則：將比較抽象的問題化為比較直）直觀化原則：將比較抽象的問題化為比較直 觀的問題來解決觀的問題來解決. . （4 4）正難則反原則：當問題正面討論遇到困難）正難則反原則：當問題正面討論遇到困難 時，可考

4、慮問題的反面，設法從問題的反面去探時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探 討，使問題獲解討，使問題獲解. .2.2.常見的轉化與化歸的方法常見的轉化與化歸的方法 轉化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學問題轉化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學問題 時，思維受阻或尋求簡單方法或從一種狀況轉化時，思維受阻或尋求簡單方法或從一種狀況轉化 到另一種情形，也就是轉化到另一種情境使問題到另一種情形，也就是轉化到另一種情境使問題 得到解決，這種轉化是解決問題的有效策略，同得到解決，這種轉化是解決問題的有效策略，同 時也是成功的思維方式時也是成功的思維方式. .常見的轉化方法有：常見的轉化方法有： （1 1）

5、直接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理、）直接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理、 基本公式或基本圖形問題基本公式或基本圖形問題. .（2 2）換元法：運用）換元法：運用“換元換元”把式子轉化為有理式把式子轉化為有理式 或使整式降冪等，把較復雜的函數(shù)、方程、不等或使整式降冪等，把較復雜的函數(shù)、方程、不等 式問題轉化為易于解決的基本問題式問題轉化為易于解決的基本問題. . （3 3）數(shù)形結合法：研究原問題中數(shù)量關系（解析）數(shù)形結合法：研究原問題中數(shù)量關系（解析 式）與空間形式（圖形）關系，通過互相變換獲式）與空間形式（圖形）關系，通過互相變換獲 得轉化途徑得轉化途徑. . （4 4）等價轉化法：

6、把原問題轉化為一個易于解決）等價轉化法：把原問題轉化為一個易于解決 的等價命題，達到化歸的目的的等價命題，達到化歸的目的. . （5 5）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式 轉化，并證明特殊化后的問題、結論適合原問題轉化，并證明特殊化后的問題、結論適合原問題. . （6 6）構造法：）構造法：“構造構造”一個合適的數(shù)學模型，把一個合適的數(shù)學模型，把 問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題. . （7 7）坐標法：以坐標系為工具，用計算方法解決）坐標法：以坐標系為工具，用計算方法解決 幾何問題是轉化方法的一個重要途徑幾何問題是轉化方法的一個重要途

7、徑. . （8 8）類比法：運用類比推理，猜測問題的結論，）類比法：運用類比推理，猜測問題的結論， 易于確定易于確定. . （9 9）參數(shù)法：引進參數(shù)，使原問題轉化為熟悉的）參數(shù)法：引進參數(shù)，使原問題轉化為熟悉的 形式進行解決形式進行解決. . （1010）補集法：如果正面解決原問題有困難，可把）補集法：如果正面解決原問題有困難，可把 原問題的結果看做集合原問題的結果看做集合A A，而把包含該問題的整體，而把包含該問題的整體 問題的結果類比為全集問題的結果類比為全集U U，通過解決全集，通過解決全集U U及補集及補集 U UA A獲得原問題的解決，體現(xiàn)了正難則反的原則獲得原問題的解決，體現(xiàn)了正

8、難則反的原則. .3.3.轉化與化歸的指導思想轉化與化歸的指導思想 （1 1）把什么問題進行轉化，即化歸對象）把什么問題進行轉化，即化歸對象. . （2 2）化歸到何處去，即化歸目標）化歸到何處去，即化歸目標. . （3 3）如何進行化歸，即化歸方法）如何進行化歸，即化歸方法. . 化歸與轉化思想是一切數(shù)學思想方法的核心化歸與轉化思想是一切數(shù)學思想方法的核心. .一、一、 常量與變量的轉化與化歸常量與變量的轉化與化歸例例1 1 設設f f（x x）是定義在）是定義在R R上的單調(diào)增函數(shù)，若上的單調(diào)增函數(shù)，若 f f（1-1-axax- -x x2 2）f f（2-2-a a）對任意）對任意a

9、a-1-1，1 1恒成恒成 立，求立，求x x的取值范圍的取值范圍. . 思維啟迪思維啟迪 本題為抽象函數(shù)的單調(diào)性的應用問本題為抽象函數(shù)的單調(diào)性的應用問 題，應轉化為大家熟悉的一元二次不等式（或一題，應轉化為大家熟悉的一元二次不等式（或一 元一次不等式來解決）元一次不等式來解決）. . 解解 因為因為f f( (x x) )是是R R上的增函數(shù)，上的增函數(shù)， 所以所以1-1-axax- -x x2 22-2-a a，a a-1-1，1 1. . （* *） 方法一方法一 （* *）式可化為：）式可化為：a a(1-(1-x x)x x2 2+1. +1. （1 1）當）當1-1-x x00時，

10、時，式變?yōu)槭阶優(yōu)?對任意對任意a a-1-1，1 1恒成立，只要恒成立，只要 00 x x1 1或或x x-1.-1. （2 2）當）當1-1-x x0 0，式變?yōu)椋菏阶優(yōu)椋?對任意對任意a a-1-1，1 1恒成立，恒成立， 只要只要 x x1.1. （3 3）當）當1-1-x x=0,=0,式顯然成立式顯然成立. . 綜上所述，實數(shù)綜上所述，實數(shù)x x的取值范圍是：的取值范圍是： x x-1-1或或x x0.0.112xxa, 01,1112xxx.112xxa,111, 012xxx 方法二方法二 （* *）式可化為：）式可化為：a a( (x x-1)+-1)+x x2 2+10,+1

11、0, 對對a a-1-1，1 1恒成立恒成立. . 令令g g( (a a)=()=(x x-1)-1)a a+ +x x2 2+1.+1. 則當且僅當則當且僅當 解之，得解之，得x x00或或x x-1.-1. 即實數(shù)即實數(shù)x x的取值范圍是的取值范圍是x x-1-1或或x x0. 0. 探究提高探究提高 通過以上兩種方法的比較可以看出，通過以上兩種方法的比較可以看出， 若按常規(guī)方法求解，問題較麻煩；若將變量與參若按常規(guī)方法求解，問題較麻煩；若將變量與參 數(shù)變更關系，數(shù)變更關系，a a為主元，轉換思考的角度，使解答為主元，轉換思考的角度，使解答 變得容易變得容易. .這種處理問題的思想即為轉

12、化與化歸的這種處理問題的思想即為轉化與化歸的 思想思想. ., 0) 1 (, 02) 1(22xxgxxg 變式訓練變式訓練1 1 設設y y=(log=(log2 2x x) )2 2+(+(t t-2)log-2)log2 2x x- -t t+1,+1,若若t t在在 -2-2，2 2上變化時上變化時, ,y y恒取正值恒取正值, ,求求x x的取值范圍的取值范圍. . 解解 設設y y= =f f( (t t)=(log)=(log2 2x x-1)-1)t t+(log+(log2 2x x) )2 2-2log-2log2 2x x+1,+1, 則則f f( (t t) )是一次

13、函數(shù)，當是一次函數(shù)，當t t-2-2，2 2時，時，f f( (t t)0)0恒恒 成立成立. . 則由則由 解得解得loglog2 2x x-1-1或或loglog2 2x x3,3, x x的取值范圍是的取值范圍是,01)(log03log4)(log,0)2(, 0)2(22222xxxff即, 8210 xx或)., 8()21, 0(二、二、正難則反的轉化與化歸正難則反的轉化與化歸例例2 2 已知三條拋物線：已知三條拋物線：y y= =x x2 2+4+4axax-4-4a a+3,+3,y y= =x x2 2+(+(a a- - 1) 1)x x+ +a a2 2, ,y y=

14、=x x2 2+2+2axax-2-2a a中至少有一條與中至少有一條與x x軸相交，求軸相交，求 實數(shù)實數(shù)a a的取值范圍的取值范圍. . 思維啟迪思維啟迪 三條拋物線中至少有一條與三條拋物線中至少有一條與x x軸相交軸相交 的情況比較多，反面為三條拋物線與的情況比較多，反面為三條拋物線與x x軸都不相軸都不相 交，只有一種情況交，只有一種情況. . 解解 令令y y=0=0，由，由,08)2(04) 1(0)43(4)4(2322221aaaaaa 解得解得 滿足題意的滿足題意的a a的取值范圍是的取值范圍是 探究提高探究提高 本題若從正面討論則需分類討論求本題若從正面討論則需分類討論求

15、解，繁不堪言，但從其反面解，繁不堪言，但從其反面“三條拋物線都不與三條拋物線都不與x x 軸相交軸相交”著手，求出著手，求出a a的取值范圍，再求其補集，的取值范圍，再求其補集， 則使問題簡單得多了則使問題簡單得多了. .一個題目若出現(xiàn)多種成立的一個題目若出現(xiàn)多種成立的 情況，則不成立的情況一般較少，易從反面考情況，則不成立的情況一般較少，易從反面考 慮，在排列組合中有較多這樣的問題慮，在排列組合中有較多這樣的問題. ., 123a. 123aa或 變式訓練變式訓練2 2 一個自動報警器由雷達和計算機兩部一個自動報警器由雷達和計算機兩部 分組成，兩部分有任何一個失靈，這個報警器就分組成，兩部分

16、有任何一個失靈，這個報警器就 失靈失靈. .若使用若使用100100小時后，雷達部分失靈的概率為小時后，雷達部分失靈的概率為 0.10.1，計算機失靈的概率為，計算機失靈的概率為0.30.3，且兩部分失靈與，且兩部分失靈與 否是獨立的，求這個報警器使用否是獨立的，求這個報警器使用100100小時后失靈的小時后失靈的 概率概率. . 解解 先考慮報警器不失靈的概率，即求雷達和計先考慮報警器不失靈的概率，即求雷達和計 算機均不失靈的概率算機均不失靈的概率. .記記“使用使用100100小時后雷達失小時后雷達失 靈靈”為為A A，記，記“使用使用100100小時后計算機失靈小時后計算機失靈”為為B

17、B， 由于由于A A與與B B相互獨立，則報警器使用相互獨立，則報警器使用100100小時后失靈小時后失靈 的概率為的概率為)()(1)(1BPAPBAP.37. 063. 01)(1)(11BPAP三三、以換元為手段的轉化與化歸、以換元為手段的轉化與化歸例例3 3 已知已知a aR R，求函數(shù)，求函數(shù)y y= =（a a-sin -sin x x）（）（a a- - cos cos x x）的最小值）的最小值. . 思維啟迪思維啟迪 本題考查函數(shù)的最值問題、化歸思想本題考查函數(shù)的最值問題、化歸思想 及運算能力及運算能力. .觀察到等式右邊是關于觀察到等式右邊是關于sin sin x xcos

18、cos x x 與與sin sin x x+cos +cos x x的三角式的三角式, ,可設可設t t=sin =sin x x+cos +cos x, x,則則 原問題可轉化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題原問題可轉化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題. . 解解 函數(shù)可化為函數(shù)可化為y y=sin =sin x xcos cos x x- -a a(sin (sin x x+cos+cos x x)+)+a a2 2. . 設設t t=sin =sin x x+cos +cos x x， 則則 而而.2,2),4sin(2txt故),1(211cossin21cossin22txxxx 于是于

19、是, ,y y= =f f( (t t) ) 原問題化歸為求二次函數(shù)原問題化歸為求二次函數(shù) 在在 上的最值問題。上的最值問題。 （1 1）當）當 時，若時，若t t= =a a， （2 2）當）當 時，時，f f( (t t) )在在 上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，2121) 1(212222aatttata.2121)(2122aat2121)(21)(22aattf2, 2t22a;2121)(2minatf2, 2;212)2()(2minaaftf2a （3 3）當）當 時，時，f f（x x）在）在 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. . 探究提高探究提高 此類問題換元后將問題化為熟知的二此類問題換元

20、后將問題化為熟知的二 次函數(shù)問題次函數(shù)問題, ,這種做法常被采用，在一個代數(shù)式中這種做法常被采用，在一個代數(shù)式中 若若sin sin x xcos cos x x與與sin sin x+x+cos cos x x同時出現(xiàn)時，常設同時出現(xiàn)時，常設 t t=sin =sin x x+cos +cos x x進而表示出進而表示出sin sin x xcos cos x x，原式轉，原式轉 化為含有化為含有t t的代數(shù)式進行求解，使問題順利解決的代數(shù)式進行求解，使問題順利解決. .2a2, 2.212)2()(2minaaftf 變式訓練變式訓練3 3 已知奇函數(shù)已知奇函數(shù)f f( (x x) )的定

21、義域為實數(shù)集的定義域為實數(shù)集 R R, ,且且f f( (x x) )在在0,+)0,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,當當 時時, , 是否存在這樣的實數(shù)是否存在這樣的實數(shù)m m, ,使使f f(cos 2 -3)+(cos 2 -3)+f f(4(4m m- - 2 2m mcos )cos )f f(0)(0)對所有的對所有的 均成立均成立? ?若存在若存在, , 求出所有適合條件的實數(shù)求出所有適合條件的實數(shù)m m; ;若不存在若不存在, ,則說明理由則說明理由. . 解解 因為因為f f( (x x) )在在R R上為奇函數(shù)上為奇函數(shù), ,又在又在0,+)0,+)上是增上是增 函數(shù)函數(shù),

22、,故故f f( (x x) )在在R R上為增函數(shù)上為增函數(shù), ,且且f f(0)=0.(0)=0. 由題設條件可得由題設條件可得, , f f(cos 2 -3)+(cos 2 -3)+f f(4(4m m-2-2m mcos )0.cos )0.202, 0 又由又由f f( (x x) )為奇函數(shù)為奇函數(shù), ,可得可得 f f(cos 2 -3)(cos 2 -3)f f(2(2m mcos -4cos -4m m).). f f( (x x) )在在R R上為增函數(shù)上為增函數(shù), , cos 2 -32cos 2 -32m mcos -4cos -4m m, , 即即coscos2 2

23、- -m mcos +2cos +2m m-20.-20. 令令cos =cos =t t, 0, 0t t1.1. 于是問題轉化為對一切于是問題轉化為對一切00t t1,1, 不等式不等式t t2 2- -mtmt+2+2m m-20-20恒成立恒成立. . t t2 2-2-2m m( (t t-2),-2),即即 恒成立恒成立. . 又又 存在實數(shù)存在實數(shù)m m滿足題設的條件滿足題設的條件, ,20222ttm,224422)2(222tttt,224m,224m四、等與不等的轉化與化歸四、等與不等的轉化與化歸例例4 4 若若f f( (x x) )是定義在是定義在R R上的函數(shù)，對任意

24、實數(shù)上的函數(shù)，對任意實數(shù)x x都都 有有f f( (x x+3)+3)f f( (x x)+3)+3和和f f( (x x+2)+2)f f( (x x)+2)+2，且，且f f(1)=1(1)=1，則，則 f f(2 010)=(2 010)= . . 思維啟迪思維啟迪 通過兩個不等關系通過兩個不等關系, ,轉化為轉化為f f( (x x+1)=+1)= f f ( (x x)+1)+1這個等量關系這個等量關系. . 解析解析 f f( (x x+1)+1)f f( (x x+3)-2+3)-2f f( (x x)+3-2=)+3-2=f f( (x x)+1,)+1, f f( (x x+

25、1)+1)f f( (x x+4)-3+4)-3f f( (x x+2)+2-3+2)+2-3 f f( (x x)+4-3=)+4-3=f f( (x x)+1,)+1, f f( (x x)+1)+1f f( (x x+1)+1)f f( (x x)+1.)+1. f f( (x x+1)=+1)=f f( (x x)+1.)+1. 數(shù)列數(shù)列 f f( (n n)為等差數(shù)列為等差數(shù)列. . f f(2 010)=(2 010)=f f(1)+2 009(1)+2 0091=2 010.1=2 010.2 0102 010 探究提高探究提高 恰當運用題設，由函數(shù)的性質推得恰當運用題設，由函數(shù)

26、的性質推得 f f( (x x)+1)+1f f( (x x+1)+1)f f( (x x)+1)+1，即，即f f( (x x+1)=+1)=f f( (x x)+1)+1，從而，從而 實現(xiàn)了由實現(xiàn)了由“不等不等”向向“等等”的轉化的轉化. .在不等式中存在不等式中存 在著相等的可能；反之，相等關系也必然是不等在著相等的可能；反之，相等關系也必然是不等 關系的臨界情況關系的臨界情況. .這也正是我們利用不等條件求值這也正是我們利用不等條件求值 和利用相等條件求范圍的出發(fā)點和利用相等條件求范圍的出發(fā)點. . 變式訓練變式訓練4 4 若若a a、b b是正數(shù)，且滿足是正數(shù)，且滿足abab= =a

27、 a+ +b b+3+3，求，求 abab的取值范圍的取值范圍. . 解解 方法一方法一 （看成函數(shù)的值域）（看成函數(shù)的值域）abab= =a a+ +b b+3+3， 即即a a11或或a a-3,0,0, a a1,1,故故a a-10.-10., 013, 0,13aabaab而 當且僅當當且僅當 即即a a=3=3時取等號時取等號. . 又又a a33時，時， 是關于是關于a a的單調(diào)增函數(shù)的單調(diào)增函數(shù). . abab的取值范圍是的取值范圍是9 9，+）. . 方法二方法二 （看成不等式的解集）（看成不等式的解集）a a，b b為正數(shù)，為正數(shù)， 14) 1(5) 1(132aaaaaa

28、ab. 9514) 1(aa,141aa514) 1(aa, 3,2baababba又. 32abab, 032)(2abab即., 9 的取值范圍是ab. 9)( 13ab，abab舍去或解得 方法三方法三 若設若設abab= =t t, ,則則a a+ +b b= =t t-3,-3, a a，b b可看成方程可看成方程x x2 2-(-(t t-3)-3)x x+ +t t=0=0的兩個正根的兩個正根. . 從而有：從而有： 解得解得t t9,9,即即abab9.9. abab的取值范圍是的取值范圍是9 9，+）. .規(guī)律方法總結規(guī)律方法總結 在將問題進行化歸與轉化時，一般應遵循以下幾在

29、將問題進行化歸與轉化時，一般應遵循以下幾種原則：種原則：（1 1）熟悉化原則：將陌生的問題轉化為我們熟悉的）熟悉化原則：將陌生的問題轉化為我們熟悉的問題問題. .,00304) 3(2tabtbatt,0391tttt或即（2 2）簡單化原則：將復雜的問題通過變換轉化為）簡單化原則：將復雜的問題通過變換轉化為 簡單的問題簡單的問題. .（3 3）直觀化原則：將較抽象的問題轉化為比較直）直觀化原則：將較抽象的問題轉化為比較直 觀的問題（如數(shù)形結合思想，立體幾何問題向平觀的問題（如數(shù)形結合思想，立體幾何問題向平 面幾何問題轉化）面幾何問題轉化）. .（4 4）正難則反原則：若問題直接求解困難時，可

30、）正難則反原則：若問題直接求解困難時，可 考慮運用反證法或補集法或用逆否命題間接地解考慮運用反證法或補集法或用逆否命題間接地解決問題決問題. .一、選擇題一、選擇題1.1.方程方程sinsin2 2x x+cos +cos x x+ +k k=0=0有解有解, ,則則k k的取值范圍是的取值范圍是( )( )A. B. A. B. C. D.C. D. 解析解析 求求k k=-sin=-sin2 2x x-cos-cosx x的值域的值域 k k=cos=cos2 2x x-cos-cosx x-1-1 當當 時，時， 當當cos cos x x=-1=-1時，時，kmaxmax=1=1， 故

31、選故選D.D.451k450 k145k045k45)21(cos2x45mink, 145k21cosxD D2.2.已知數(shù)列已知數(shù)列 a an n 對任意的對任意的p p, ,q qNN* *滿足滿足a ap p+ +q q= =a ap p+ +a aq q且且 a a2 2=-6,=-6,那么那么a a1010等于等于 （ ） A.-165 A.-165 B.-33B.-33C.-30 D.-21C.-30 D.-21 解析解析 由由a ap p+ +q q= =a ap p+ +a aq q, ,a a2 2=-6,=-6,得得a a4 4= =a a2 2+ +a a2 2=-12

32、,=-12,同理同理 a a8 8= =a a4 4+ +a a4 4=-24,=-24,所以所以a a1010= =a a8 8+ +a a2 2=-24-6=-30.=-24-6=-30.3. 3. 設設a a1,1,若對于任意的若對于任意的x xa a，2 2a a，都有，都有y y a a，a a2 2滿足方程滿足方程logloga ax x+log+loga ay y=3=3，這時，這時a a的取值的取值 的集合為的集合為 （ ） A.A.a a|1|1(1+cossin (1+cos2 2 )cos )cos ，且，且 (0,2 )(0,2 )，那么角，那么角 的取值范圍是的取值范

33、圍是 （ ）A. A. B. B. C.C. D. D. 解析解析 注意到不等式注意到不等式(1+sin(1+sin2 2 )sin )sin (1+cos(1+cos2 2 )cos ,)cos ,等價于等價于sinsin3 3 +sin cos+sin cos3 3 +cos , +cos , 而而f f( (x x)=)=x x3 3+ +x x在在R R上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,于是于是f f(sin )(sin )f f(cos ) (cos ) sin cos , sin cos , 再結合再結合 (0,2 ),(0,2 ),得到得到)4, 0()43,2()45,4()2 ,45().45,4(C C二、填空題二、填空題6. 6. 函數(shù)函數(shù)