量子最優(yōu)化算法在金融業(yè)的應(yīng)用研究報告

量子最優(yōu)化算法在金融業(yè)的應(yīng)用研究報告版權(quán)聲明本報告版權(quán)屬于北京金融科技產(chǎn)業(yè)聯(lián)盟，并受法律保護。轉(zhuǎn)載、編摘或利用其他方式使用本白皮書文字或觀點的，應(yīng)注明來源。違反上述聲明者，將被追究相關(guān)法律責(zé)任。I編制委員會編委會成員：張曉東聶麗琴李曉棟吳磊編寫組成員：陳柄任高振濤蔚棟敏劉靜沈超建溫卓宇梁紹文王彥博楊璇王一多龐宏啟謝樹欣何慧蕓李仁剛趙雅倩姜金哲趙雪嬌編審：黃本濤鞏博儒姚文韜牽頭編寫單位：中國建設(shè)銀行股份有限公司參編單位：中國工商銀行股份有限公司中國銀行股份有限公司華夏銀行股份有限公司深圳市騰訊計算機系統(tǒng)有限公司科大國盾量子技術(shù)股份有限公司浪潮電子信息產(chǎn)業(yè)股份有限公司本源量子計算科技（合肥）股份有限公司交通銀行股份有限公司興業(yè)銀行股份有限公司浙商銀行股份有限公司光大科技有限公司 1 1 1 3 5 5 9 14 21 27 33 39 40 42 44 47 47 49 51 53 53 60 62 69 74 81 88 93 100 100 104 106 110V 54 68 72 72 77 78 79 80 80 82 84 84 86 86 87 90 96 981（一）量子信息科學(xué)發(fā)展概述量子信息科學(xué)（QuantumInformationScience，QIS）是一門新興學(xué)科，它融合物理學(xué)、計算機科學(xué)和信息論等多個學(xué)科的理論和方法，旨在研究量子系統(tǒng)在信息處理和傳輸?shù)确矫娴奶匦?。自誕生以來，量子信息科學(xué)已經(jīng)取得了顯著的進展，在許多領(lǐng)域產(chǎn)生了廣泛的應(yīng)用和深遠的影響。一般來說，量子信息科學(xué)的發(fā)展歷程大致包含以下三個階段：量子力學(xué)基礎(chǔ)理論誕生階段（1900s—1930s）。1900年，馬克斯·普朗克（MaxPlanck）提出了普朗克輻射定律，成功描述了1913年，尼爾斯·玻爾（NielsBohr）提出角動量量子化，成功解釋了氫原子的發(fā)射和吸收光譜。1923年，路易·維克多·德布羅意利（WolfgangPauli）提出不相容原理。1927年，沃納·海森堡（WernerHeisenberg）提出測不準原理。至此，經(jīng)過眾多物理學(xué)家開創(chuàng)性的研究與發(fā)現(xiàn)，量子力學(xué)的理論體系初步建成。量子力學(xué)理論完善與量子信息科學(xué)的萌芽階段（1930s—1980s）。1930年前后，量子力學(xué)的發(fā)展推動了量子電動力學(xué)的形成，規(guī)范理論成為這一時期的代表性成果。1935年，阿爾伯2（NathanRosen）提出了EPR佯謬，對量子體系的完備性提出質(zhì)疑。1954年，楊振寧與羅伯特·米爾斯（RobertMills）共同提出了非阿貝爾規(guī)范場理論，為理解基本作用力和自然規(guī)律提供了框架。1964年，約翰·斯圖爾特·貝爾（JohnStewartBell）導(dǎo)出了雙粒子自旋系統(tǒng)的貝爾不等式，使EPR佯謬的實驗驗證成為可能。1969年，斯蒂芬·威斯納（StephenWiesner）提出了基于量子力提出基于量子力學(xué)的信息處理。量子信息科學(xué)的快速發(fā)展階段（1980s—至今）。1981年，理查德·費曼（RichardFeynman）首次提出將量子力學(xué)理論與計 和吉爾·布拉薩德（GillesBrassard）開發(fā)了一種協(xié)議，通過量子力學(xué)實現(xiàn)更安全的通信。該協(xié)議稱為BB84，由Bennett和Brassard名字的縮寫以及提出年份組成，標志著量子密碼的誕生。1985年，大衛(wèi)·杜齊（DavidDeutsch）提出了量子圖靈機和量子計算的概念，并提出了第一個在理論上表明量子計算優(yōu)越性的量子算法[1]。1994年，彼得·秀爾（PeterShor）提出了一個高效量子算法[2]，它可以在多項式時間內(nèi)求解因數(shù)分解問題。1996年，洛夫·格羅弗（LovGrover）提出了一個用于搜索無序數(shù)據(jù)庫的量子算法[3]：相比于傳統(tǒng)的搜索方法，該量子算法可有效降低搜索時進入21世紀，量子信息技術(shù)的應(yīng)用迅速發(fā)展。2011—20133年，中國科學(xué)家在青海湖實現(xiàn)了雙向量子糾纏分發(fā)和量子隱形傳態(tài)，驗證了量子通信衛(wèi)星技術(shù)的可行性。2017年，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)（下稱“中科大”）研究團隊等實現(xiàn)了星地雙向量子糾纏分發(fā)；同年，中科大團隊牽頭成功制造出了世界上第一臺光量子計算機；此外，中國開通了世界上第一條量子保密通信干線——京滬干線。2019年，谷歌發(fā)布53量子比特的“懸鈴木”（Sycamo量子計算原型機，并據(jù)此宣稱實現(xiàn)了所謂的“量子霸權(quán)”。2021年，中科大研究團隊相繼發(fā)布了66超導(dǎo)量子計算原型機——祖沖之號和祖沖之二號，在“量子隨機線路取樣”難題上實現(xiàn)了量子計算優(yōu)越性，計算復(fù)雜度比Google公開發(fā)布的“懸鈴木”量子計算原型機高出了6個數(shù)量級。2022年，IBM推出433量子比特的量子計算原型機“魚鷹”（Osprey），成為量子比特規(guī)模最大的超導(dǎo)量子計算機。（二）量子最優(yōu)化算法賦能金融量子算法是一種利用量子力學(xué)原理，如疊加態(tài)、糾纏態(tài)和量子隧穿效應(yīng)等進行計算的算法。其中，量子最優(yōu)化算法是一類較為常用的量子算法，它通過求解最優(yōu)化問題給出目標函數(shù)的最值。與經(jīng)典的優(yōu)化算法相比，量子最優(yōu)化算法具有更優(yōu)的計算效率和更高的精度。量子最優(yōu)化算法可以應(yīng)用于各種優(yōu)化問題，如組合優(yōu)化、線性規(guī)劃以及非線性規(guī)劃等。由于計算能力和模型的局限，經(jīng)典算法在金融領(lǐng)域面臨著一些計算難度問題。例如，在求解連續(xù)多項式優(yōu)化問題時，經(jīng)典算4法可以利用微分理論進行快速求解，然而對于離散多項式優(yōu)化問題，經(jīng)典算法通常采用分支定界法，但其計算消耗時間較長。相比之下，量子最優(yōu)化算法可以并行處理金融數(shù)據(jù)，從而提高計算效率和精度。具體來說，在金融領(lǐng)域中量子最優(yōu)化算法可以在以下兩個方面展示出計算優(yōu)越性：（1）時間優(yōu)越性：量子算法利用酉矩陣作為計算單位，可以一次性處理多個變量。一個”比特的量子系統(tǒng)可以同時處理2”個變量。（2）空間優(yōu)越性：量子的疊加性可以將多個狀態(tài)同時編碼為一個量子態(tài)。一個”量子比特態(tài)可以同時編碼2”個狀態(tài)?？傊?，量子算法在金融領(lǐng)域中具有許多優(yōu)勢和應(yīng)用前景，可以幫助金融機構(gòu)更好地解決一些經(jīng)典算法難以處理的問題和瓶頸，從而提高其業(yè)務(wù)水平和競爭力。當然，目前量子算法還處于發(fā)展初期，其實際應(yīng)用仍需進一步探索和研究。根據(jù)麥肯錫的一份報告中指出[4]，到2035年，量子計算將為金融領(lǐng)域的優(yōu)化問題帶來約1.2萬億美元的價值，這幾乎占據(jù)了金融領(lǐng)域總價值的60%以上。這無疑展現(xiàn)出量子最優(yōu)化算法在金融領(lǐng)域的巨大潛力和市場價值。一旦進入量子計算機實用化階段，量子最優(yōu)化算法將有助于提高投資組合管理、交易策略等方面的效率和準確性。在接下來的內(nèi)容中，第二章主要對金融領(lǐng)域的各種優(yōu)化問題進行分析和說明。第三章系統(tǒng)地介紹量子計算機的系統(tǒng)和模型，全面闡述其物理實現(xiàn)和所面臨的挑戰(zhàn)。第四章著重介紹QUBO5問題的基本理論以及該問題的經(jīng)典求解器和量子求解器。第五章詳細介紹多種量子優(yōu)化算法，包括變分量子算法、量子退火算法以及量子近似優(yōu)化算法等。第六章主要對當前量子金融優(yōu)化領(lǐng)域所遇到的技術(shù)和人才挑戰(zhàn)進行深入分析，并結(jié)合量子信息科學(xué)技術(shù)的發(fā)展狀況，提出相應(yīng)的建議。二、金融應(yīng)用中的優(yōu)化問題在金融領(lǐng)域中，利用數(shù)學(xué)模型和算法尋找最優(yōu)或近似最優(yōu)解的方案被稱為金融優(yōu)化算法。這些優(yōu)化算法涵蓋許多方面，例如投資組合優(yōu)化、金融產(chǎn)品定價、風(fēng)險管理以及套利等。由于這些問題通常具有一定的復(fù)雜性和不確定性，因此需要借助最優(yōu)化理論和方法來求解。下面將對金融領(lǐng)域涉及的多個優(yōu)化場景進行詳細介紹。（一）投資組合優(yōu)化1.投資組合優(yōu)化的定義投資組合優(yōu)化是一種重要的金融策略，其核心目標是通過合理地配置不同資產(chǎn)（例如股票、債券、房地產(chǎn)等）來實現(xiàn)明確的投資組合優(yōu)化需要維持穩(wěn)健的投資績效，關(guān)鍵在于平衡風(fēng)險和回投資組合優(yōu)化之所以如此重要，主要是包括以下幾個關(guān)鍵原6（1）有利于分散風(fēng)險：通過將資金分散投資在不同的資產(chǎn)類別和標的物上，投資者可以降低單一投資的風(fēng)險。這有助于保護資本免受市場波動的影響。（2）最大化回報：投資組合優(yōu)化可以幫助投資者找到在給定風(fēng)險水平下實現(xiàn)最大的預(yù)期回報的資產(chǎn)配置。這對于實現(xiàn)財務(wù)（3）有利于風(fēng)險管理：投資組合優(yōu)化還允許投資者根據(jù)其風(fēng)險偏好構(gòu)建投資組合，以確保他們可以在市場波動時保持冷靜。2.投資組合優(yōu)化的步驟投資組合優(yōu)化算法大體可分為以下五個步驟：（1）目標設(shè)定：首先，投資者需要明確定義他們的投資目標，包括風(fēng)險承受能力、期望回報和投資時間框架。（2）資產(chǎn)選擇：接下來，投資者需要精選不同的資產(chǎn)類別，如股票、債券、現(xiàn)金等，以包含在投資組合中。（3）風(fēng)險—回報評估：對每種資產(chǎn)進行風(fēng)險和回報的評估是關(guān)鍵的一步。通常，這涉及分析歷史數(shù)據(jù)以估算資產(chǎn)的預(yù)期回報和風(fēng)險。（4）投資組合構(gòu)建：基于風(fēng)險和回報的評估，投資者可以構(gòu)建不同的投資組合。現(xiàn)代投資組合理論建議使用數(shù)學(xué)模型來找到最佳的資產(chǎn)配置。（5）監(jiān)控和重新平衡：一旦投資組合建立，投資者需要定期監(jiān)控其績效，并根據(jù)市場變化進行重新平衡，以確保其仍然符7合投資目標。3.投資組合優(yōu)化最優(yōu)化模型投資組合優(yōu)化的歷史可以追溯到20世紀中期，以下是一些重要的發(fā)展階段：（1）均值-方差模型[5]投資組合理論的奠基之作。該模型強調(diào)了通過分散投資來降低風(fēng)險的重要性，以及如何在預(yù)期回報和方差之間找到最佳權(quán)衡。其核心思想是，投資者在構(gòu)建投資組合時應(yīng)該考慮資產(chǎn)的預(yù)期回報和風(fēng)險（用方差來衡量）。他強調(diào)了通過分散投資，即將資金分布在多個不相關(guān)資產(chǎn)上，可以有效地降低整體風(fēng)險，從而實現(xiàn)更好的風(fēng)險-回報權(quán)衡。均值-方差模型為投資者提供了一種系統(tǒng)方法來構(gòu)建投資組合，可以在給定風(fēng)險水平下實現(xiàn)最大的預(yù)期回報。這一模型推動了投資組合理論的演進，成為后續(xù)投資組合優(yōu)化方法的基礎(chǔ)。其具體模型為：?其中?為利率的協(xié)方差矩陣，?為利率期望，為目標利率。該模型的含義為在所有期望利率不小于目標利率的投資組合中，8尋找風(fēng)險最小的投資組合。（2）資本資產(chǎn)定價模型[6]迪維德·布萊克提出了資本資產(chǎn)定價模型（CapitalAssetPricingModel，CAPM），該模型假定投資者在風(fēng)險無風(fēng)險利率的基礎(chǔ)上，對資產(chǎn)的風(fēng)險有不同的需求。它解釋了資產(chǎn)回報與市場風(fēng)險之間的關(guān)系，通過資產(chǎn)的貝塔系數(shù)（Beta）來描述這種關(guān)系。CAPM為投資者提供了一種方法來估算資產(chǎn)的預(yù)期回報，基于市場的整體風(fēng)險。它強調(diào)了市場風(fēng)險對資產(chǎn)定價的重要性，成為資產(chǎn)定價理論的重要組成部分。（3）有效市場假說模型[7]提出了有效市場假說（EfficientMarketsHypothesis，EMH該假說認為市場價格已經(jīng)反映了所有可用信息，因此投資者無法通過分析信息來獲得超額回報。根據(jù)不同的信息集合水平，EMH可分為三種形式：弱式、半強式和強式。EMH對理解市場行為和投資效率產(chǎn)生了深遠的影響。它強調(diào)了市場的高效性，對投資者來說，難以獲得超越市場平均水平的回報，因此推動了passively管理的指數(shù)基金的興起。（4）多因子模型和風(fēng)險因子模型在20世紀80年代和90年代，研究者開始探索更復(fù)雜的投資組合模型。多因子模型是對傳統(tǒng)CAPM的擴展，考慮了除市9場風(fēng)險之外的其他因素對資產(chǎn)回報的影響。這些因素包括規(guī)模、價值、動量等。研究者發(fā)現(xiàn)，這些因子可以解釋市場中不同資產(chǎn)的回報差異，有助于更精確地構(gòu)建投資組合。這些多因子模型增加了對風(fēng)險和回報的理解。多因子模型拓寬了投資組合優(yōu)化的視野，允許投資者更全面地考慮風(fēng)險和回報因素，以更好地構(gòu)建投資組合并解釋市場表現(xiàn)。（5）行為金融學(xué)模型21世紀初，行為金融學(xué)開始影響投資組合優(yōu)化。行為金融學(xué)研究了投資者的心理偏見和非理性行為如何影響投資決策。這些偏見包括過度自信、損失厭惡、羊群行為等。行為金融學(xué)將心理學(xué)和經(jīng)濟學(xué)結(jié)合起來，提供了一種不同于傳統(tǒng)理性決策模型的視角。行為金融學(xué)的興起強調(diào)了投資決策中的非理性因素，為投資組合構(gòu)建增加了更多的復(fù)雜性。投資者現(xiàn)在更關(guān)注情感和行為因素如何影響他們的投資策略。綜上所述，投資組合優(yōu)化是金融領(lǐng)域的關(guān)鍵概念，它可以幫助投資者更好地管理風(fēng)險、提高回報，并隨著時間的推移不斷演進以適應(yīng)不斷變化的市場環(huán)境和投資理論。這個領(lǐng)域不斷發(fā)展，以適應(yīng)金融市場的變化和新的研究成果，幫助投資者更好地管理他們的投資并實現(xiàn)他們的財務(wù)目標。（二）套利1.套利的定義套利[8]是一種利用資產(chǎn)價格波動的投資策略，通過同一個或多個市場中的差異來獲得利潤，而不涉及任何風(fēng)險的情況。在金融領(lǐng)域中，套利通常指在某種實物資產(chǎn)或金融資產(chǎn)（在同一市場或不同市場）擁有兩個價格的情況下，以較低的價格買進，較高的價格賣出，從而獲取低風(fēng)險的收益。它在金融中發(fā)揮著重要的作用。2.套利的類型套利有多種形式，以下是一些常見的套利類型：（1）公司并購套利：利用被收購公司和收購公司股價之間的價差進行套利。并購套利者通過同時做多被收購公司股票和做空收購公司股票進行套利。套利者相信一旦并購?fù)瓿?，被收購公司和收購公司的股價價差將會縮小，從而獲取利潤。不過并購交易可能會被取消，股價價差反而擴大，從而帶來風(fēng)險。（2）市政債券套利：利用市政債券相對價值之間的偏離來獲利。市政債券套利主要有兩種形式：一種是通過做多定價過低的債券和做空定價過高的債券來獲取價差利潤；另一種是通過以杠桿做多AAA-或AA-級的免稅市政債券，再通過做空公司債券或利率互換等方法進行對沖，利用市政債券長期收益率高于公司債券的優(yōu)勢進行套利。市政債券套利存在基差風(fēng)險，且本金的波動幅度過大難以完全對沖，但是長期來看，市政債券和利率互換具有較高的相關(guān)性，從而具有一定的收益優(yōu)勢。（3）可轉(zhuǎn)換債券套利：利用可轉(zhuǎn)換債券的設(shè)計，通過復(fù)雜的數(shù)量模型來判斷某種債券的價格是否偏離“理論值”，并在可轉(zhuǎn)換債券價格低于理論價值時，通過做多并對沖利率風(fēng)險、企業(yè)信用評級下降風(fēng)險以及買入信貸違約互換等方法來獲取利潤。可轉(zhuǎn)換債券套利的風(fēng)險來自于定價的不確定性和企業(yè)財務(wù)狀況的變動。但與其他套利類型相比，可轉(zhuǎn)換債券套利的收益率通常較為穩(wěn)定，因為企業(yè)的財務(wù)表現(xiàn)通常是緩慢而穩(wěn)定的過程。（4）存托憑證套利：基于存托憑證發(fā)行價值與實際股票價值存在較大差異，套利者通過做多存托憑證，做空對應(yīng)股票，等待兩者價差回歸正常范圍來獲利。存托憑證套利的風(fēng)險來自于交易成本和匯率風(fēng)險等。存托憑證套利在折價發(fā)行的情況下是一種低風(fēng)險、低成本的投資策略，但需了解股票市場交易因素的不確定性，從而選擇合適的交易市場和合適的資產(chǎn)。（5）兩地上市企業(yè)股票套利：同一家企業(yè)在不同市場上的股票價格偏差。套利者可以通過做空估值過高股票和做多被低估股票，等待價格差回歸正常范圍來獲利。兩地上市企業(yè)股票套利的風(fēng)險包括市場變化、交易成本和頭寸風(fēng)險等。追求股價差異的套利者可能需要等待長時間才能獲得盈利，甚至可能面臨價格差異進一步擴大或無法及時操縱股價等風(fēng)險。此外，兩地上市企業(yè)股票套利通常需要及時了解公司的財務(wù)信息和市場供需情況，以及兩個市場的法律、制度和交易方式的差異。3.套利的最優(yōu)化模型本節(jié)將介紹兩種套利方法的最優(yōu)化模型，第一種是基于債券套利的模型，第二種是基于利率套利的模型。（1）期權(quán)套利模型[9]考慮一個時刻0價格為?和時刻1價格為1的標的證券?？加浽跁r刻0下第i個衍生期權(quán)的成本為,則對于投資組合為了確定金融衍生品在處是否產(chǎn)生套利機會，需要考慮對所有可能的1，收益函數(shù)為非負的情況下，哪一種的成本是最便宜的。因此，該模型可以被建模為下述優(yōu)化問題：該優(yōu)化問題的成本函數(shù)使得構(gòu)造該投資組合的成本最小?？紤]到期權(quán)的收益函數(shù)是一個分段函數(shù)，那么多種期權(quán)的線性疊加是一個具有多段的分段函數(shù)。間斷點就是每個期權(quán)的行權(quán)價格?？紤]到套利是無風(fēng)險的，那么無論標的證券在時刻1的價格是多少，套利策略均應(yīng)該獲利。因此第一項和第二項約束條件，保證了標的證券在時刻1價格無論是0還是任意間斷點時收益函數(shù)均大于等于0。而又因為分段函數(shù)在分段點時斜率是正的，因此有第三項約束條件。（2）匯率套利模型[10]匯率套利模型指的是市場上有多種貨幣，從貨幣i到貨幣j的匯率為。記?表示是否進行貨幣i到貨幣j的利率兌換，若為1則認為存在直接從貨幣i到貨幣j的兌換，反正則不存在。那么匯率套利模型滿足：考慮到一組兌換流程??????tt?考慮到一組兌換流程??????貨幣后，獲得的貨幣。上述流程若將貨幣換回貨幣則貨幣后，獲得的貨幣。上述流程若將貨幣換回貨幣則將上述對數(shù)化后則有成本函數(shù)ΣiΣj豐ilogrij)xij。在貨幣兌換過程中，可能會有多次從其他貨幣流入到某貨幣的兌換過程，但是每一次也都會從此貨幣流出。流入量與流出量應(yīng)相等。因此約束條件Σj豐ixji一Σj豐ixij=0需對每個貨幣i都成立。（三）指數(shù)追蹤1.指數(shù)追蹤的定義指數(shù)追蹤[11,12]是一種被動式投資策略，旨在跟蹤特定市場指數(shù)的表現(xiàn)。投資者通常通過資產(chǎn)組合構(gòu)建的方式來追蹤市場指數(shù)，以實現(xiàn)在市場中獲得整體市場表現(xiàn)的目標。指數(shù)追蹤在全球范圍內(nèi)廣受認可，是許多投資者的首選投資策略之一。指數(shù)追蹤的目的是盡可能地接近或超越市場指數(shù)的收益，同時降低管理費用和交易成本。用數(shù)學(xué)語言描述就是，選擇一個n種股票的目標總體，選擇q種股票來盡可能代表目標總體。它的優(yōu)點在于簡單、透明、低成本、多樣化和有效。但是，指數(shù)追蹤的缺陷在于無法根據(jù)市場變化進行主動調(diào)整并且可能存在跟蹤誤差和流動性風(fēng)險等問題。因此，投資者在進行指數(shù)追蹤投資時需要充分了解市場情況和指數(shù)追蹤基金（ETF）的基本特征，并制定完善的投資規(guī)劃和風(fēng)險管理策略，以獲得最佳的投資效果。在指數(shù)追蹤的實踐中，一個關(guān)鍵的問題是如何選擇跟蹤的市場指數(shù)和對應(yīng)的ETF。市場指數(shù)是一組代表某一市場或行業(yè)的股票或其他資產(chǎn)的加權(quán)平均值。不同的市場指數(shù)代表著不同的市場細分領(lǐng)域，例如全球范圍內(nèi)最廣泛使用的標普500指數(shù)代表著美國股市的表現(xiàn)，上證全指則代表著中國A股市場的整體表現(xiàn)。市場指數(shù)可以反映市場的整體走勢和風(fēng)險收益特征，也可以作為投資者的基準或目標。ETF是一種交易所交易型基金，它們可以像股票一樣在證券交易所上市交易。ETF通常使用完全復(fù)制或抽樣復(fù)制的方法來構(gòu)建與市場指數(shù)相同或相似的投資組合。選擇適當?shù)腅TF是指數(shù)追蹤的核心，一個好的ETF應(yīng)該具有低管理費用、低跟蹤誤差、充足的流動性、寬松的市場準入和稅收優(yōu)惠等特點。2.指數(shù)追蹤的技術(shù)路線指數(shù)追蹤算法包含以下幾個技術(shù)路線：（1）基于優(yōu)化方法的經(jīng)典指數(shù)追蹤[13]一般而言，基于優(yōu)化方法的指數(shù)追蹤技術(shù)采用TEV（追蹤誤差方差）最小化模型。然而，優(yōu)化方法在被動投資領(lǐng)域中存在著缺點。首先，股票指數(shù)是組合內(nèi)股票的一個線性組合，導(dǎo)致針對股票指數(shù)的追蹤誤差最小化模型包含了大量噪音，在高波動市存在一些缺陷：（i）只能使用平穩(wěn)數(shù)據(jù)，如股票收益率，而股票價格的差分序列會損失一些有用信息；（ii）相關(guān)系數(shù)只是一個短期統(tǒng)計量，缺乏穩(wěn)定性；（iii）相關(guān)系數(shù)依賴于估計模型，易受異常值、非平穩(wěn)序列或波動率聚集等影響，在長期時間序列中可能會得出錯誤的結(jié)對金融時間序列中相依性的測度，Embrechts、Lindskog和McNeil[14]作出了全面綜述。（2）基于協(xié)整的經(jīng)典指數(shù)追蹤基于上述缺陷，金融計量學(xué)家和金融實踐者開始采用協(xié)整模型來捕捉長期均衡的相依性。協(xié)整是一種異常強大的工具，最大的貢獻在于將相關(guān)性的概念推廣到非平穩(wěn)數(shù)據(jù)。CliveGranger[15]在協(xié)整理論領(lǐng)域中有著先驅(qū)性的研究成果，由于其貢獻，該成果在2003年獲得了諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎?；趨f(xié)整的經(jīng)典指數(shù)追蹤是一種金融工程中的定量投資策略，旨在實現(xiàn)對某一特定市場指數(shù)的跟蹤。在實踐中，這種策略利用協(xié)整關(guān)系來構(gòu)建投資組合，并通過市場交易進行管理。協(xié)整關(guān)系是指兩個或多個時間序列之間的長期關(guān)系。在金融領(lǐng)域中，協(xié)整通常被用來尋找具有類似經(jīng)濟基本面的股票或資產(chǎn)。經(jīng)典指數(shù)追蹤的基本思想是，通過購買與目標指數(shù)協(xié)整的股票投資組合，來實現(xiàn)對該指數(shù)的跟蹤。Axlander[16]于1999年首次提出該方法，該方法利用股票價格和指數(shù)之間的協(xié)整關(guān)系進行投資組合構(gòu)建。該方法基于三個關(guān)鍵點：首先，股票組合和標的指數(shù)的價格差異是平穩(wěn)的，從而保證了長期穩(wěn)定性，使得追蹤組合與標的指數(shù)在長期中是緊密關(guān)聯(lián)的；其次，采用歷史數(shù)據(jù)計算的股票權(quán)重相對穩(wěn)定；第三，采用該方法建立的投資組合的跟蹤誤差為均值回復(fù)的隨機過程，不存在系統(tǒng)性誤差。通過協(xié)整建立最優(yōu)的追蹤組合可以分為兩個步驟：首先，篩選股票進入追蹤組合；其次，根據(jù)協(xié)整系數(shù)建立組合中最優(yōu)的股票持倉比例。技術(shù)分析或基金經(jīng)理的選股技巧，然而，在該協(xié)整指數(shù)追蹤方法中，股票選擇的成功并不是重點，因為該方法關(guān)注的重點是追蹤指數(shù)的表現(xiàn)，而不是超越指數(shù)表現(xiàn)。因此，可以通過選擇在指數(shù)中權(quán)重較大的股票進入追蹤組合來簡化該步驟。在第二步驟中，需要根據(jù)協(xié)整關(guān)系確定進入追蹤組合的股票的持倉比例，協(xié)整方法可以利用組合管制模型，在建立期前的樣本數(shù)據(jù)中使用對數(shù)指數(shù)價格對對數(shù)股票價格的最小二乘法（OrdinaryLeastSquare，OLS）確定協(xié)整方程中的系數(shù)，從而確定持股比例，并可以加入其他約束條件，例如賣空約束和單只股票最大投資比例等。（3）基于協(xié)整的增強型指數(shù)追蹤除了通過協(xié)整追蹤指數(shù)表現(xiàn)，對上面的方法稍加擴展，該方法還可以應(yīng)用于增強型指數(shù)追蹤[17]。通過在標的指數(shù)年收益率上加上預(yù)設(shè)的“%，可以構(gòu)建一個與標的指數(shù)加上預(yù)設(shè)“%具有協(xié)整關(guān)系的追蹤組合。這樣，即可構(gòu)建一個跟蹤市場上不存在的“人造指數(shù)”（ArtificialIndex）的投資策略，同時也可以實現(xiàn)正的超額收益率。需要特別注意的是，超額收益率“的設(shè)定必須合理，不合理的設(shè)置會導(dǎo)致嚴重后果。（4）基于協(xié)整的多頭/空頭統(tǒng)計套利策略最后，既然能夠通過協(xié)整方法找到超越市場表現(xiàn)的追蹤組合，也應(yīng)該能找到低于市場表現(xiàn)的追蹤組合。該方法也可應(yīng)用于多頭/空頭統(tǒng)計套利策略?？梢宰龆鄡?yōu)勢組合，同時做空劣勢組合，構(gòu)建一個市場中性的多頭空頭投資策略。需要注意的是，追蹤組合中的股票權(quán)重不一定全都為正，而在劣勢組合中則可能存在空頭頭寸。在基于協(xié)整的統(tǒng)計套利策略中，多頭和空頭的股票相互抵消，即凈持倉數(shù)量。這里的市場中性指市場的總體運行趨勢不影響到投資策略的收益，而該策略的收益由多頭和空頭組合的收益差決定，也就是所謂的對沖。3.指數(shù)追蹤的最優(yōu)化模型本節(jié)將介紹指數(shù)追蹤的兩個最優(yōu)化模型，分別為大規(guī)模確定性模型以及指數(shù)追蹤成本最小模型。（1）大規(guī)模確定性模型假設(shè)存在一個模型：將相似的資產(chǎn)進行分類，從每類中選取具有代表性的資產(chǎn)組合成指數(shù)。那么定義pij衡量資產(chǎn)i與資產(chǎn)j的相關(guān)性。其中pii=1，pij≤1。若兩只股票越相似則pij越接近1。在這樣一個問題中具有下列優(yōu)化問題：pijxijjn其中yj描述了資產(chǎn)j是否被納入到指數(shù)中，若納入，則為1，反之為0。約束條件要求，該指數(shù)由q個資產(chǎn)組成。xij表示資產(chǎn)j是否是資產(chǎn)i最接近的資產(chǎn)，若是則為1，反之為0。約束而xij≤yj確保了資產(chǎn)i一定存在能被與其關(guān)系最密切的資產(chǎn)所代表。在S&P500基金中，存在250000個變量?和250000個約（2）指數(shù)追蹤成本最小模型在以最小成本進行投資組合再平衡時，指數(shù)追蹤成本最小模型方法特別有用。這種方法假設(shè)已經(jīng)確定了要跟蹤的市場指數(shù)的在各種范圍（小、中、大）內(nèi)市值占比的公司比例、不支付股息的公司比例、每個地區(qū)的公司比例等。假設(shè)希望的指數(shù)基金盡可能地跟蹤這樣的個特征。如果第個公司具有特征,則設(shè)t示做空的資產(chǎn)的比例。重新平衡投資組合的最小成本模型如下：其成本函數(shù)保證了納入投資組合的資產(chǎn)比例最小，確保投資其成本函數(shù)保證了納入投資組合的資產(chǎn)比例最小，確保投資者付出最小的成本。同時約束條件保證了，在投資組合中關(guān)于某個特征的百分比恰好為。（3）基于指數(shù)追蹤誤差約束的投資組合優(yōu)化模型基于指數(shù)追蹤誤差（TrackingErrorVolatility，TEV）約束的投資組合優(yōu)化模型認為一個資產(chǎn)的權(quán)重被分為兩個部分：第一部益率期望以及收益率協(xié)方差后，可以得到：????=投資組合收益率期望=投資組合收益率方差進而有下列優(yōu)化模型[18]：'''約束的第一項保證了所有資產(chǎn)的指數(shù)誤差的和為0，而第二項將TEV約束為一個固定值，第三項固定了投資組合收益率方差。該模型可以改變2?進而追蹤TEV邊界。（四）金融產(chǎn)品定價1.金融產(chǎn)品定價的定義金融產(chǎn)品定價是指確定金融產(chǎn)品（如債券、股票、期權(quán)、期貨、衍生品等）的公允價值或市場價格的過程。定價是金融市場中的核心活動之一，涉及到衡量和評估金融產(chǎn)品的價值，以便投資者能夠做出明智的投資決策。金融產(chǎn)品的定價是金融市場運作的核心，對于投資者、金融機構(gòu)和整個金融體系的穩(wěn)定具有重要金融產(chǎn)品的定價是基于一系列因素和理論基礎(chǔ)進行的。其中最重要的因素包括：（1）標的資產(chǎn)特征：金融產(chǎn)品的定價受到標的資產(chǎn)特征的票面利率和付息方式，股票的盈利能力和股息政策等。這些特征會影響金融產(chǎn)品的現(xiàn)金流量模式和風(fēng)險水平，從而影響其定價。（2）市場供需關(guān)系：市場供需關(guān)系對金融產(chǎn)品的定價有重要影響。供需關(guān)系反映了市場上投資者對金融產(chǎn)品的需求和供應(yīng)情況。如果市場上對某種金融產(chǎn)品的需求大于供應(yīng)，價格往往會上漲；反之，如果供應(yīng)大于需求，價格往往會下跌。（3）風(fēng)險和回報：金融產(chǎn)品的定價需要考慮與之相關(guān)的風(fēng)險和預(yù)期回報。投資者通常希望通過持有金融產(chǎn)品獲取一定的回報，但同時也需要承擔(dān)相應(yīng)的風(fēng)險。因此，定價模型通常會考慮資產(chǎn)的風(fēng)險特征和市場預(yù)期回報水平。金融產(chǎn)品定價的目標是確定一個公允的價格，使買方和賣方在交易中都能夠獲得合理的價值，使市場價格與資產(chǎn)的內(nèi)在價值相一致，即實現(xiàn)市場的有效定價。這有助于確保市場的有效性和公平性，并促進金融市場的流動性和穩(wěn)定性。2.金融產(chǎn)品定價方法金融產(chǎn)品定價的方法和模型有多種，如折現(xiàn)現(xiàn)金流量模型、期權(quán)定價模型（如布萊克-斯科爾斯模型）、市場定價模型等。這些方法和模型分析現(xiàn)金流量、市場因素和風(fēng)險等，并運用數(shù)學(xué)和統(tǒng)計工具來估計和計算金融產(chǎn)品的公允價值或市場價格。（1）傳統(tǒng)定價方法傳統(tǒng)定價方法是指在金融學(xué)中廣泛應(yīng)用的基于經(jīng)濟學(xué)和金融理論的定價方法。這些方法基于一定的假設(shè)和模型，通過分析資產(chǎn)的現(xiàn)金流量、市場因素和投資者行為等因素，來估計和計算金融產(chǎn)品的公允價值或市場價格。主要模型包括現(xiàn)金流量貼現(xiàn)模型（DiscountedCashFlowModel，DCFM）[19]和資本資產(chǎn)定價模型（CapitalAssetPricingModel，CAPM）[20]。DCFM模型基于未來現(xiàn)金流量的貼現(xiàn)來確定金融產(chǎn)品的價值。它將未來預(yù)期的現(xiàn)金流量以及考慮到風(fēng)險和時間價值的貼現(xiàn)率進行計算。這個模型通常應(yīng)用于估計債券和股票等現(xiàn)金流量型資產(chǎn)的價格。CAPM模型用于估計資產(chǎn)的預(yù)期回報率。它基于市場的系統(tǒng)風(fēng)險和資產(chǎn)的特異風(fēng)險來確定資產(chǎn)的期望收益率。CAPM模型使用了市場風(fēng)險溢價、資產(chǎn)的貝塔系數(shù)和無風(fēng)險利率等因素來計算資產(chǎn)的預(yù)期回報率。（2）衍生品定價方法衍生品定價方法是金融學(xué)中用于確定衍生品合理價格的數(shù)學(xué)模型和技術(shù)。衍生品是一種金融工具，其價值是基于標的資產(chǎn)的價格變動而變動的，衍生品定價方法主要應(yīng)用于衍生品市場，例如期權(quán)、期貨、掉期等。衍生品定價方法旨在根據(jù)市場因素、標的資產(chǎn)特征、市場波動率、期限結(jié)構(gòu)和合約條款等因素，計算衍生品的公允價值。在衍生品定價模型中主要包括布萊克-斯科爾斯模型（Black-ScholesModel，BSM）[21]和考克斯-因格爾斯模型（Cox-Ingersoll-RossModel，CIRM）[22]。BSM是一個經(jīng)典的期權(quán)定價模型，適用于歐式期權(quán)。它基于對數(shù)幾何布朗運動的假設(shè)，通過考慮期權(quán)的到期時間、行權(quán)價格、標的資產(chǎn)價格、無風(fēng)險利率和市場波動率等因素，計算期權(quán)的理論價格。CIRM是一種用于定價期權(quán)的數(shù)學(xué)模型，適用于包含隨機波動率的期權(quán)定價。這個模型假設(shè)了波動率是隨機的，并且在時間上是均勻分布的。它可以更準確地定價包含隨機波動率的期權(quán)。（3）市場定價方法市場定價方法是根據(jù)市場供求關(guān)系和交易數(shù)據(jù)來確定金融產(chǎn)品的價格。這種方法更加注重市場的實際交易情況，可以更準確地反映金融產(chǎn)品的價值。市場定價方法主要依賴于市場上的價格發(fā)現(xiàn)機制和交易活動。例如，股票的定價可以參考市場上的交易價格和成交量，債券的定價可以參考債券市場上的收益率曲線和類似債券的交易價格等。（4）結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品定價方法結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品定價方法主要應(yīng)用于復(fù)雜的金融產(chǎn)品，如結(jié)構(gòu)化債券、衍生品組合和其他組合型金融工具。這些產(chǎn)品通常由多個基礎(chǔ)資產(chǎn)的組合構(gòu)成，并具有復(fù)雜的收益模式。結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品定價方法需要考慮多個因素，包括基礎(chǔ)資產(chǎn)的相關(guān)性、波動率、利率曲線、期限結(jié)構(gòu)、回報分布等。常用的方法包括蒙特卡洛模擬、樹型模型和數(shù)值方法等，用于模擬和計算復(fù)雜金融產(chǎn)品的預(yù)期收益和風(fēng)險。這些方法是金融產(chǎn)品定價中常用的方法，每個方法都有其特定的優(yōu)勢和適用范圍。根據(jù)具體的金融產(chǎn)品和市場條件，金融機構(gòu)和投資者可以選擇適合的定價模型和方法來確定金融產(chǎn)品的價格。3.金融產(chǎn)品定價的最優(yōu)化模型下面給出了一個利用動態(tài)規(guī)劃方案解決美式期權(quán)定價問題的過程[9]。動態(tài)規(guī)劃問題最重要的特點是決策過程的多階段性，每個動態(tài)規(guī)劃都是先鑒別與決策順序相關(guān)的階段，且每個階段的狀態(tài)集是有限的。狀態(tài)集通常由(i,j)表示，其在不同場景下表示的意義不同。例如，在背包問題中，i表示只考慮前i個物品裝入背包時的可能性，而j表示不同可能性后背包剩余的空間；在投資問題中，i表示只考慮投資于前i個項目的可能性，而j表示不同可能性后投資的資金；在下面提到的美式期權(quán)定價問題中，i表示只考慮前i天股票的波動情況，而j表示不同可能性后股票的價格。動態(tài)規(guī)劃在不同狀態(tài)集間都存在一個成本函數(shù)，初始態(tài)(0,0)的成本函數(shù)已知，而后續(xù)(i,j)的成本函數(shù)，往往與i+1,j+1)和oi現(xiàn)在回到美式期權(quán)定價問題。對一個給定的股票，令Sk為它在第k天的價格，有：其中，Xk是從第k-1天到第k天的價格變化。股票價格的隨機游走模型假定隨機變量是獨立同分布的，且與已知的初始價可以用動態(tài)規(guī)劃來計算這個資產(chǎn)的期權(quán)價值，從到期日T（階段)逆序遞歸到階段0（現(xiàn)階段）。動態(tài)規(guī)劃的階段而在給定階段中，狀態(tài)是網(wǎng)格中的結(jié)點。因此，階段k有k+1個狀態(tài)，記為j=0,1,...,k。階段N的結(jié)點稱為終端結(jié)點。從一個非終端結(jié)點j可以到下一階段的結(jié)點j+1（向上游走），或結(jié)點j-1（向下游走）從階段0開始，為了到達階段k的結(jié)點j，必須使其在階段0和階段N之間向上移動j步，向下移動k-j步。S，可以用風(fēng)險中性概率計算得后，節(jié)點j處資產(chǎn)價，可以用風(fēng)險中性概率計算得其中，R=1+r，r是一階段的無風(fēng)險資產(chǎn)收益率。對于歐式（五）風(fēng)險控制1.風(fēng)險控制的定義風(fēng)險控制是指采取一系列措施和方法來管理和降低潛在風(fēng)險的過程。金融機構(gòu)、企業(yè)或個人為了保護自身利益、確?？沙掷m(xù)穩(wěn)定經(jīng)營，會進行相應(yīng)的風(fēng)險控制活動。風(fēng)險控制的核心目標是，在面臨多種風(fēng)險的情況下，最大限度地減少潛在損失，并確保金融機構(gòu)或企業(yè)能夠承受未預(yù)料到的風(fēng)險事件。通過風(fēng)險控制這一手段，組織可以對風(fēng)險進行預(yù)測、識別、評估以及監(jiān)控，從而采取適當?shù)拇胧﹣斫档突蚬芾磉@些風(fēng)險。風(fēng)險控制主要包含以下內(nèi)容：（1）風(fēng)險識別和評估：風(fēng)險控制的第一步是識別和評估可能存在的風(fēng)險。這包括對內(nèi)部和外部環(huán)境進行全面分析，了解各種風(fēng)險類型、風(fēng)險因素和潛在風(fēng)險事件。（2）風(fēng)險監(jiān)控（五）風(fēng)險控制1.風(fēng)險控制的定義風(fēng)險控制是指采取一系列措施和方法來管理和降低潛在風(fēng)險的過程。金融機構(gòu)、企業(yè)或個人為了保護自身利益、確?？沙掷m(xù)穩(wěn)定經(jīng)營，會進行相應(yīng)的風(fēng)險控制活動。風(fēng)險控制的核心目標是，在面臨多種風(fēng)險的情況下，最大限度地減少潛在損失，并確保金融機構(gòu)或企業(yè)能夠承受未預(yù)料到的風(fēng)險事件。通過風(fēng)險控制這一手段，組織可以對風(fēng)險進行預(yù)測、識別、評估以及監(jiān)控，從而采取適當?shù)拇胧﹣斫档突蚬芾磉@些風(fēng)險。風(fēng)險控制主要包含以下內(nèi)容：（1）風(fēng)險識別和評估：風(fēng)險控制的第一步是識別和評估可能存在的風(fēng)險。這包括對內(nèi)部和外部環(huán)境進行全面分析，了解各種風(fēng)險類型、風(fēng)險因素和潛在風(fēng)險事件。（2）風(fēng)險監(jiān)控：一旦風(fēng)險被識別和評估，就需要建立有效的風(fēng)險監(jiān)控機制來及時捕捉風(fēng)險信號。這可以通過監(jiān)測關(guān)鍵指標、設(shè)置警戒線、實施實時監(jiān)控和利用技術(shù)工具等手段來實現(xiàn)。（3）風(fēng)險防范和規(guī)避：風(fēng)險控制的目標之一是盡可能地防范和規(guī)避風(fēng)險。這包括采取預(yù)防性措施，制定政策和規(guī)程，確保合規(guī)性，以及遵循最佳實踐和行業(yè)標準來降低風(fēng)險發(fā)生的可能性。（4）風(fēng)險轉(zhuǎn)移和分散：在某些情況下，風(fēng)險無法完全避免，因此風(fēng)險控制還包括將風(fēng)險轉(zhuǎn)移給其他實體或通過分散投資組合來降低風(fēng)險。這可以通過購買保險、與合作伙伴共享風(fēng)險、多樣化投資組合等方式來實現(xiàn)。（5）風(fēng)險應(yīng)對和管理：在風(fēng)險發(fā)生時，風(fēng)險控制需要制定和實施相應(yīng)的應(yīng)對策略和措施。這可能包括靈活調(diào)整業(yè)務(wù)模式、加強內(nèi)部控制、優(yōu)化資本結(jié)構(gòu)、進行危機管理等。風(fēng)險控制是一種持續(xù)的、系統(tǒng)化的管理過程，通過識別、評估、監(jiān)控和應(yīng)對風(fēng)險，以降低潛在損失并確保持續(xù)經(jīng)營的能力。它在金融行業(yè)中起著至關(guān)重要的作用，有助于維護金融體系的穩(wěn)定和可持續(xù)發(fā)展。2.風(fēng)險控制的發(fā)展過程風(fēng)險控制在金融行業(yè)的應(yīng)用可以追溯到早期的信用風(fēng)險管理。隨著金融市場的不斷發(fā)展和創(chuàng)新，風(fēng)險控制范圍逐漸擴大，包括市場風(fēng)險、操作風(fēng)險、流動性風(fēng)險等。風(fēng)險控制方法和技術(shù)也在不斷進步，從最初的人工判斷和規(guī)則制定，逐漸發(fā)展到基于模型和算法的風(fēng)險控制。風(fēng)險控制的發(fā)展經(jīng)歷了不斷演變和改進的過程。下面是風(fēng)險控制發(fā)展的幾個關(guān)鍵階段：（1）早期階段：在風(fēng)險控制的早期階段，主要依靠人工經(jīng)驗和判斷來管理風(fēng)險。這種方法依賴于從業(yè)人員的知識和經(jīng)驗，通過制定一些規(guī)則和限制來管理風(fēng)險。例如，在貸款領(lǐng)域，風(fēng)險控制可能涉及設(shè)置貸款額度上限、審查借款人的信用記錄等。（2）規(guī)則模型階段：隨著金融業(yè)務(wù)的增加和復(fù)雜化，單純的人工判斷和規(guī)則制定逐漸顯得不夠高效和準確。因此，規(guī)則模型逐漸被引入風(fēng)險控制過程中。規(guī)則模型是基于預(yù)先設(shè)定的規(guī)則和條件進行風(fēng)險評估的模型。這些規(guī)則可以根據(jù)特定的業(yè)務(wù)需求和風(fēng)險因素進行制定。例如，金融機構(gòu)可以根據(jù)借款人的收入、債務(wù)比率等因素制定貸款申請的批準規(guī)則。（3）統(tǒng)計模型階段：隨著數(shù)據(jù)的積累和計算能力的提高，統(tǒng)計模型開始在風(fēng)險控制中得到廣泛應(yīng)用。統(tǒng)計模型使用歷史數(shù)據(jù)和數(shù)學(xué)統(tǒng)計方法，通過分析變量之間的關(guān)系來預(yù)測未來的風(fēng)險。其中一個常見的統(tǒng)計模型是信用評分模型，它根據(jù)借款人的個人信息、歷史信用記錄等因素，通過建立數(shù)學(xué)模型來評估借款人的信用風(fēng)險。（4）風(fēng)險度量模型階段：隨著金融市場的發(fā)展和金融創(chuàng)新的出現(xiàn)，風(fēng)險度量成為風(fēng)險控制的關(guān)鍵要素。風(fēng)險度量模型旨在量化和評估風(fēng)險的大小和潛在影響。例如，風(fēng)險價值模型[23]（Value-at-Risk，VaR）模型是一種常見的風(fēng)險度量模型，通過計算在給定置信水平下資產(chǎn)組合可能的最大損失來衡量市場風(fēng)（5）實時監(jiān)控和預(yù)警系統(tǒng)階段：隨著金融市場的快速變化和風(fēng)險的即時性，實時監(jiān)控和預(yù)警系統(tǒng)變得越來越重要。這些系統(tǒng)通過實時獲取和分析數(shù)據(jù)，能夠及時捕捉到潛在風(fēng)險信號，并發(fā)出預(yù)警。這使得金融機構(gòu)能夠更迅速地采取相應(yīng)的風(fēng)險控制措施，減少損失和風(fēng)險的擴大?？偟膩碚f，風(fēng)險控制的發(fā)展歷程表現(xiàn)為一個逐步演進的進程，從依賴工作人員的主觀判斷與經(jīng)驗，逐漸發(fā)展為規(guī)則模型、統(tǒng)計模型、風(fēng)險度量模型以及實時監(jiān)控和預(yù)警系統(tǒng)等多元化的階段。這些不同階段的風(fēng)險控制方法和手段的不斷改進和發(fā)展，為金融機構(gòu)提供了更加高效且有效的工具，以更好地管理和控制各種風(fēng)險，從而更好地保護金融機構(gòu)自身的利益。3.風(fēng)險控制的最優(yōu)化模型風(fēng)險控制模型是用于評估、量化和管理風(fēng)險的工具和方法。這些模型基于各種數(shù)據(jù)、指標和技術(shù)，通過分析風(fēng)險因素、預(yù)測風(fēng)險損失和制定風(fēng)險控制策略來幫助金融機構(gòu)、企業(yè)和個人進行風(fēng)險管理。VaR是一種常用的風(fēng)險測量和管理方法，用于評估投資組合或資產(chǎn)在給定置信水平下的最大可能損失。VaR指標測量的是在一定時間內(nèi)的最大潛在損失金額。VaR模型基于歷史數(shù)據(jù)、統(tǒng)計分析和概率理論，能夠提供對投資組合的整體風(fēng)險水平的估計。對于投資者而言，“風(fēng)險”不僅僅只和金融產(chǎn)品的波動有關(guān)，它實際上更在意發(fā)生損失時損失的幅度，幅度越大，投資者所遭受的打擊也就越大。相反，超額收益的幅度卻沒有類似的效果，多數(shù)投資者更偏愛那些可能存在大幅超額收益的金融產(chǎn)品。因此，相較于無法確定波動方向的方差和標準差，VaR值能夠更好地捕捉投資者所希望的盡可能減小的下行波動。條件風(fēng)險價值CVaR（ConditionalValueatRisk）是基于VaR的一個衡量風(fēng)險的指標，它相較VaR有著更好的度量意義上的其中t=t?這個方程可以看成?的函數(shù)，并且t?t?t?)X為可行的投資組合集。這可能呈現(xiàn)隨機事件的一些歷史值或是通過計算機模擬得到的一些值。假設(shè)所有的情境有相同當風(fēng)險測度是CVaR時，所對應(yīng)的優(yōu)化問題為：t其中，?是計算CVaR的不同置信水平的指標集，?是置信束問題中的CVaR函數(shù)，再用隨機事件的情境來逼近這個函數(shù)。使得CVaR約束問題有以下的逼近形式：該優(yōu)化模型可使用隨機規(guī)劃模型進行求解。（六）信用評分1.信用管理與信用評分的定義作為現(xiàn)代經(jīng)濟的核心要素，債權(quán)人與債務(wù)人之間的信用關(guān)系在每個個體及企業(yè)的經(jīng)濟活動中扮演著至關(guān)重要的角色。這些信用關(guān)系錯綜復(fù)雜地交織在一起，共同構(gòu)成了社會經(jīng)濟的基石。然而，信用風(fēng)險及其相關(guān)的投資風(fēng)險也是現(xiàn)代經(jīng)濟社會中潛在的巨大風(fēng)險，一旦失控，可能引發(fā)嚴重的經(jīng)濟損失和社會動蕩。例如在2008年，美國次級住房信貸的信用風(fēng)險引發(fā)了金融市場信用衍生產(chǎn)品的投資風(fēng)險，最終演變成了一場席卷全球的金融危機，對全球經(jīng)濟發(fā)展造成了重大沖擊。因此，對于信用風(fēng)險的有效管理和預(yù)防是維護經(jīng)濟社會穩(wěn)定的重要任務(wù)之一。只有在構(gòu)建一套健全且嚴謹?shù)男庞霉芾眢w系的基礎(chǔ)上，才能建立起穩(wěn)定可靠的信用關(guān)系，并確?，F(xiàn)代市場經(jīng)濟持續(xù)發(fā)展和運轉(zhuǎn)。這種信用關(guān)系也是支撐信用交易的關(guān)鍵要素。為了滿足從事信用活動的機構(gòu)和個體對信用信息的特定需求，專業(yè)化金融機構(gòu)從而在金融業(yè)務(wù)決策中提供必要的輔助。除了提供類似于征信報告的服務(wù)外，信用評分也是金融決策過程中的重要工具。它是通過一個數(shù)學(xué)模型計算得出，能夠預(yù)測用戶在未來一段時間內(nèi)發(fā)生信用賬戶違約的可能性，并以整數(shù)分數(shù)的形式展現(xiàn)。一般來說，信用評分越高，預(yù)示著未來違約的可在具體的業(yè)務(wù)決策環(huán)節(jié)中，信用評分也具有重要的作用。例如，在金融信貸業(yè)務(wù)中，風(fēng)險控制系統(tǒng)主要分為貸前、貸中和貸后三個階段。在貸前階段，主要任務(wù)包括防止欺詐、對用戶進行信用評級以及確定適當?shù)男刨J定價。在這個過程中，信用評分模型可以輔助決策，結(jié)合用戶的社交數(shù)據(jù)、行為數(shù)據(jù)、收入數(shù)據(jù)等多方面信息，評估用戶的信用風(fēng)險等級、履約能力和欺詐風(fēng)險。在貸中風(fēng)控環(huán)節(jié)，針對已放款的用戶進行管理，同樣可以使用評分卡模型輔助客戶管理和運營策略的制定。而在貸后階段，針對逾期用戶的管理和催收工作，同樣可以利用信用評分來進行有效2.信用評分開發(fā)的步驟信用評分的開發(fā)可以被分為以下八個主要步驟：（1）目標變量定義：定義評分模型Y變量的信用風(fēng)險事件與表現(xiàn)窗口時長。時間軸以觀測時點分為觀察期（用戶在這段時期的數(shù)據(jù)被用來構(gòu)造評分模型自變量X）與表現(xiàn)期（用戶在這段時期的信用賬戶逾期數(shù)據(jù)被用來構(gòu)造評分模型目標變量Y）；（2）樣本選擇：定義評分排除人群、評分模型的開發(fā)與驗證樣本；（3）子群劃分：對全樣本劃分子群，并對每一個子群單獨建立模型，提升評分模型效果；（4）信用屬性構(gòu)建：信用屬性作為自變量X被用于評分模型開發(fā)；（5）模型擬合：經(jīng)過信用屬性的初選、轉(zhuǎn)化、在模型中進一步的變量選擇、相關(guān)性檢驗等一系列步驟，確定最終模型中使用的自變量以及對應(yīng)的參數(shù)估計值。模型的輸出為用戶未來違約概率的預(yù)測值（介于0與1之間的數(shù)值）；（6）模型驗證：在獨立樣本上驗證模型預(yù)測值的區(qū)分能力、精準度，以及模型預(yù)測值分布的穩(wěn)定性。區(qū)分能力的重要性早已經(jīng)被人們熟知，但精準度實際上同樣重要，因為評分模型的精準度會直接影響到相關(guān)風(fēng)控策略的有效性；（7）分數(shù)映射：模型的輸出為用戶未來違約概率的預(yù)測值（介于0與1之間的數(shù)值但通常在使用中，習(xí)慣以一個整數(shù)分數(shù)反映個人信用風(fēng)險的高低。因此，需要將模型直接輸出的概率預(yù)測值通過數(shù)學(xué)公式（一個單調(diào)函數(shù)）轉(zhuǎn)化為整數(shù)評分值；（8）負向原因：為每位具有評分的用戶生成幾個導(dǎo)致分數(shù)較低的可解釋的關(guān)鍵性原因。在眾多國家和地區(qū)的信貸業(yè)務(wù)中，監(jiān)管機構(gòu)強制要求金融機構(gòu)向用戶提供至少一個其信用評分未達到最高分的原因。此類原因可能包括以往的嚴重逾期情況、過短的信用歷史、過高的負債以及過多的借貸查詢次數(shù)等。這一舉措旨在為用戶指明改進個人信用記錄的方向，從而獲得更優(yōu)質(zhì)的信用評分。實際上，信用評分開發(fā)完畢后還有以下兩個非常重要的步驟。評分上線前的驗證：確保技術(shù)開發(fā)人員正確實施評分所用到的信用屬性以及模型算法。評分的定期監(jiān)控：定期監(jiān)測評分在最新樣本上的表現(xiàn)，與模型開發(fā)或驗證樣本相比判斷評分的區(qū)分能力是否有下降、精準度是否有下降（尤其是評分是否會低估用戶的信用風(fēng)險）、評分分布是否穩(wěn)定（如果評分分布有明顯變化，會直接影響到用戶貸前授信與貸中借款的通過率）。根據(jù)監(jiān)控結(jié)果決定是否需要優(yōu)化，甚至重新開發(fā)評分模型。3.標準評分卡最優(yōu)化模型標準的信用評分卡模型是利用邏輯回歸模型將相關(guān)的數(shù)據(jù)變成評分分數(shù)，進而輔助信貸風(fēng)控決策。邏輯回歸模型利用極大似然估計法，在數(shù)學(xué)上求解如下的優(yōu)化問題：并由此得到對發(fā)生概率和風(fēng)險幾率的預(yù)測：)式可以看出，邏輯回歸模型是一種廣義線性模型。在信用評分卡模型中，變量一般不使用它的原始形式，而是會進行變量變換操作。連續(xù)變量會首先進行分箱操作，劃分成一組區(qū)間，分類變量也會進行分類歸并，這樣可以降低極端取值的影響，增強模型的穩(wěn)定性。在信用評分卡模型建模流程中，還會進一步將進行證據(jù)權(quán)重編碼（WeightofEvidence，WOE）。這種編碼方式會把變量某種取值下的樣本對應(yīng)的風(fēng)險轉(zhuǎn)化成對數(shù)取值，實質(zhì)上是將對應(yīng)的風(fēng)險幾率線性化。二值化表現(xiàn)標簽對應(yīng)的樣本數(shù)。不難看出證據(jù)權(quán)重編碼和邏輯回歸模型中對數(shù)風(fēng)險幾率的聯(lián)系。在證據(jù)權(quán)重編碼變化下，編碼取值反映了目標表現(xiàn)和變量取值之間的聯(lián)系，編碼取值的正負直接對應(yīng)了風(fēng)險幾率的高低。所以在具有良好業(yè)務(wù)可解釋性的模型中然而如果模型使用的變量具有較強相關(guān)性時，模型就不能滿足這樣的性質(zhì)要求，得到的模型在可解釋性方面存在缺陷，一般不被信貸風(fēng)控業(yè)務(wù)應(yīng)用所接受。因此，在實踐中需要經(jīng)過特征篩從而獲得業(yè)務(wù)應(yīng)用認可。模型特征篩選，一般都會利用特征與目標表現(xiàn)變量的相關(guān)性。IV來衡量單個特征對目標變量預(yù)測的重要程度。其計算方式基于證據(jù)權(quán)重編碼：這里是單個變量對應(yīng)的不同取值總數(shù)。信息值具有這樣的性質(zhì)，信息值越高，特征的目標預(yù)測能力越強。在信用評分卡模型特征篩選中，當特征信息值小于0.02時，一般認為特征對風(fēng)險表現(xiàn)預(yù)測能力很弱，不作為模型使用的特征。另一方面，特征之間的相關(guān)性較高時，一般只保留信息值高的特征作為入模特征。然后根據(jù)一些給定的規(guī)則或者人工經(jīng)驗來進行進一步的建模和特征篩選迭代。最終入選模型的特征確定并訓(xùn)練得到模型后，再根據(jù)信貸業(yè)務(wù)需要，給定參數(shù)和,就可以利用如下的評分公式，得到形如表1中的標準信用評分卡。評分項取值分數(shù)基礎(chǔ)分年齡<25基礎(chǔ)分年齡<2525~3536~55>55<10K10K~30K30K~50K>50K+5+15+25+5+40+80.........三、量子計算基礎(chǔ)量子計算是利用量子力學(xué)理論進行計算的一類技術(shù)，包括量子計算機軟硬件系統(tǒng)和量子算法兩個核心組成部分。其中，量子計算機硬件系統(tǒng)的基本單元是量子比特，它和操作量子比特的量子門共同構(gòu)成了量子線路。由于量子比特具有高度的并行性，因此可以實現(xiàn)二次加速甚至是指數(shù)級的加速效果。然而，量子計算機的基本運算過程與經(jīng)典計算機存在顯著的差異，因此需要采用專門的量子算法進行計算。當前，已經(jīng)開發(fā)出了多種量子計算模型，例如量子電路模型、絕熱量子計算模型等。盡管量子計算技術(shù)具有巨大的潛力，但當前實現(xiàn)大量量子比特仍然面臨挑戰(zhàn)。（一）量子計算機系統(tǒng)傳統(tǒng)計算機系統(tǒng)包括硬件系統(tǒng)和軟件系統(tǒng)兩部分。其中硬件系統(tǒng)主要包括中央處理、存儲器以及其他外部設(shè)備。軟件系統(tǒng)則是為運行、管理及維護計算機而編制的各種程序、數(shù)據(jù)以及文檔的總稱。當前，量子計算這一新興計算模式在通用體系結(jié)構(gòu)方面尚未達成統(tǒng)一，且在硬件層面的技術(shù)路線也未最終明朗，因此現(xiàn)階段對于量子計算機系統(tǒng)的研究和探索主要基于現(xiàn)有的技術(shù)以及傳統(tǒng)的計算機系統(tǒng)。為了充分發(fā)揮量子計算的優(yōu)勢，量子計算機需要與特定的量子算法進行配合使用，這就需要對量子系統(tǒng)的相干性、疊加性、并行性、糾纏性以及波函數(shù)塌縮特性進行充分的利用。因此，量子軟硬件之間的協(xié)作是必不可少的。1.量子計算機硬件系統(tǒng)量子計算機硬件結(jié)構(gòu)主要由量子芯片、量子芯片支持系統(tǒng)和量子計算機控制系統(tǒng)組成[24]。量子芯片是量子計算機的核心，包括量子比特的物理實現(xiàn)結(jié)構(gòu)及其他必要的信號傳輸線路。根據(jù)不同的技術(shù)路線，量子芯片具有多種不同的形態(tài)，例如超導(dǎo)量子芯片、半導(dǎo)體量子芯片以及離子阱、拓撲和光量子等其他量子計算體系的實現(xiàn)。量子芯片的主要性能參數(shù)有量子比特數(shù)量、相干時間和保真度。其主要功能便是承載量子比特信息及其演化過程。量子芯片支持系統(tǒng)用于提供量子芯片所必需的運行環(huán)境。當前量子芯片的運行環(huán)境具有一些特定的要求，如極低的環(huán)境溫度，極低的環(huán)境電磁輻射等，需要特殊的硬件系統(tǒng)來實現(xiàn)。量子芯片支持系統(tǒng)便是提供能維持量子芯片運行的基本環(huán)境。量子計算機控制系統(tǒng)，用于實現(xiàn)對量子芯片的控制，以完成運算過程并獲得運算結(jié)果。量子計算機控制系統(tǒng)提供的是以下兩個關(guān)鍵問題的解決方案：如何將運算任務(wù)轉(zhuǎn)化為對量子芯片中量子比特的控制指令；以及如何從量子芯片上量子比特的量子態(tài)中提取出運算結(jié)果。其背后的基礎(chǔ)是，如何實施量子邏輯門操作，以及如何實施量子比特讀取。量子邏輯門操作的本質(zhì)是使一組量子比特經(jīng)過指定的受控量子演化過程。實施這樣的受控量子演化過程，需要借助精密的脈沖信號，通?？梢允褂酶咚偃我獠ㄐ伟l(fā)生器、商用微波源、混頻線路等的組合來實現(xiàn)。當然，通過對光場、磁場甚至機械聲波的調(diào)控，也可以在某些量子芯片體系中實現(xiàn)量子邏輯門操作。量子態(tài)的讀取有多種方式，但考慮到需要讀取量子芯片中某個或者某組量子比特的量子態(tài)，必須要使用一種稱之為非破壞性測量的方式，以消除因測量導(dǎo)致的反作用。通常采用的方法是在量子比特結(jié)構(gòu)旁邊設(shè)計一個對量子態(tài)敏感的探測器，通過探測探測器的響應(yīng)來間接推測量子比特的量子態(tài)。2.量子計算機軟件系統(tǒng)量子計算機軟件系統(tǒng)目前包括量子計算程序以及量子計算機操作系統(tǒng)。由于量子計算的實現(xiàn)邏輯與經(jīng)典計算有所不同，經(jīng)典計算軟件不能完全移植延續(xù)，因此量子計算基礎(chǔ)運行類、計算開發(fā)類和應(yīng)用服務(wù)類軟件均需要在量子計算框架下進行重新構(gòu)量子計算機程序現(xiàn)階段主要為實現(xiàn)一些量子算法的計算，例如傳統(tǒng)的Shor算法、Grover算法等，以及新興的量子機器學(xué)習(xí)算法等。開發(fā)者和研究者們大多使用“量子線路圖”、“量子計算匯編語言”、“量子計算高級編程語言”的方式，進行量子計算機程序的編程工作。量子計算機操作系統(tǒng)是量子計算機最為基礎(chǔ)的系統(tǒng)軟件之一，最近一些研究人員和開發(fā)者也進行了布局和開發(fā)。量子計算機操作系統(tǒng)主要職責(zé)為量子硬件設(shè)備的管理，量子計算資源的調(diào)度和優(yōu)化，以及提供用戶使用的服務(wù)接口。（二）量子計算模型1.量子電路模型量子線路，也稱量子邏輯電路，是最常用的通用量子計算模型之一。它是對于量子比特進行操作的線路，組成包括了量子比特、線路（時間線），以及各種邏輯門。最后常需要量子測量將結(jié)果讀取出來。量子線路既包含了組合邏輯，又包含了時序邏輯，每個“導(dǎo)線”攜帶邏輯量子比特信息，傳輸?shù)搅孔娱T操作中來進行對量子比特的作用[25]。量子電路模型通常通過電路圖來展示，導(dǎo)線通常表示為水平的直線，量子邏輯門從左到右沿著導(dǎo)線排列，量子門操作通常表示為矩形塊[26]。2.基于測量的量子計算模型通常情況下，基于測量的量子計算模型默認為2001年Raussendorf和Briegel提出的單向量子計算（One-WayQuantumComputation，1WQC）模型[27,28]。與量子電路模型通過門操作來 得到目標量子態(tài)不同，1WQC模型通過三個步驟來實現(xiàn)量子計算過程。首先系統(tǒng)初始制備1個可用于普適量子計算的特定糾纏態(tài)，一般稱呼為“普適資源態(tài)”，并劃分為S1和S2兩部分。然后依次對S1部分執(zhí)行適應(yīng)性的單量子比特測量，即該過程中的測量操作都是作用在單量子比特上的，且后一步測量操作的設(shè)置依賴于前一步的測量結(jié)果。最后根據(jù)測量S1的結(jié)果，對作為輸出態(tài)的S2部分執(zhí)行局部的泡利操作X和Z，從而確定性的得到目標態(tài)，這一步也叫做泡利修正。如果還需進一步讀取該輸出態(tài)的測量結(jié)果，那么泡利修正可直接吸收到對輸出態(tài)的測量操作中[29]。3.絕熱量子計算模型絕熱量子計算模型[30]是一種依賴于絕熱理論進行計算的量子計算模型。如果一個哈密頓量的基態(tài)描述了所感興趣的問題的解，就可以通過絕熱量子計算來獲得這個解。首先準備一個具有簡單哈密頓量的系統(tǒng)，并將其初始化為基態(tài)。然后將該簡單哈密頓量絕熱演化為所需的目標哈密頓量。根據(jù)絕熱定理，系統(tǒng)保持基態(tài)，因此在最后系統(tǒng)的狀態(tài)描述了目標問題的解。這便是絕熱量子計算模型實現(xiàn)的過程，且已被證明在電路模型中與傳統(tǒng)量子計算在多項式上等效。4.拓撲量子計算模型拓撲量子計算模型[31]是利用拓撲系統(tǒng)來存儲量子信息并進行量子計算的一種模型。這種系統(tǒng)由具有特殊性質(zhì)的稱為“任意子”的準粒子構(gòu)成。任意子的相位交換可產(chǎn)生等同量子邏輯門的作用效果，從而實現(xiàn)量子信息的處理，完成相當精確的量子計算（三）量子計算機物理實現(xiàn)與挑戰(zhàn)1.物理實現(xiàn)目前量子計算機的發(fā)展還處于起步階段，多種技術(shù)方向均在進行探索，主要包括超導(dǎo)量子、離子阱量子等方案。超導(dǎo)量子計算是基于超導(dǎo)電路的量子計算方案，超導(dǎo)量子比特利用約瑟夫森結(jié)在低溫下的非線性效應(yīng)，構(gòu)造出電荷量子比特、磁通量子比特和相位量子比特等[32]。根據(jù)芯片設(shè)計思路和所選用耦合、布局擴展方式，陣列式的擴展方案實現(xiàn)的一維或者二維陣列，有利于實現(xiàn)量子算法編程，環(huán)繞式的擴展方案有利于實現(xiàn)最大糾纏和全耦合。物理學(xué)家提出了多種基于超導(dǎo)電路的量子比特形式，最常見的是Transmon比特和Fluxonium比特。超導(dǎo)量子電路在設(shè)計、制備和測量等方面，與現(xiàn)有的集成電路技術(shù)具有較高的兼容性，對量子比特的能級與耦合可以實現(xiàn)非常靈活的設(shè)計與控制，極具規(guī)?；臐摿?。由于近年來的迅速發(fā)展，超導(dǎo)量子計算已成為目前最有希望實現(xiàn)通用量子計算的候選方案之一。由于經(jīng)典計算機主要基于半導(dǎo)體技術(shù)，基于半導(dǎo)體開發(fā)量子計算也是物理學(xué)家研究的重點領(lǐng)域。相比超導(dǎo)量子計算微米級別的比特大小，量子點量子比特所占的空間是納米級別，類似于大規(guī)模集成電路一樣，更有希望實現(xiàn)大規(guī)模的量子芯片?，F(xiàn)在的主要方法是在硅或者砷化鎵等半導(dǎo)體材料上制備門控量子點來編碼量子比特，半導(dǎo)體量子點是把激子在三維空間上束縛住的半導(dǎo)體納米結(jié)構(gòu)。通過向純硅中加入電子，科學(xué)家們造出了硅量子點這種人造原子，并運用微波控制電子的量子態(tài)。編碼量子比特的方案多種多樣，在半導(dǎo)體系統(tǒng)中主要是通過對電子的電荷或者自旋量子態(tài)的控制實現(xiàn)[33]。離子阱量子計算在影響范圍方面僅次于超導(dǎo)量子計算。離子阱的技術(shù)原理是利用電荷與電磁場間的相互作用力牽制帶電粒子體運動，并利用受限離子的基態(tài)和激發(fā)態(tài)組成的兩個能級作為量子比特的0和1，離子阱是一種將離子通過電磁場限定在有限空間內(nèi)的設(shè)備。單比特的操控可以通過加入滿足比特兩個能級差的頻率的激光實現(xiàn)，兩比特操控可以通過調(diào)節(jié)離子之間的庫倫相互作用實現(xiàn)[33]。2.面臨的挑戰(zhàn)雖然目前擁有幾十個或者上百個比特的量子計算機已經(jīng)實現(xiàn)，但是想要制造出可以有效工作的通用量子計算機對當前的科學(xué)研究來說仍然是一個不小的挑戰(zhàn)。2000年IBM的研究員DiVincenzo提出了5條準則（即DiVincenzocriteria只有滿足準則的物理體系，才有望構(gòu)建出可行的量子計算機[34]：（1）具有一個能夠很好表征量子比特的可擴展的物理系統(tǒng)；（2）具備初始化量子態(tài)到初始態(tài)的能力；（3）具有遠超量子門操作時間的退相干時間；（4）具有一套通用的量子門；（5）具有特定量子比特的測量能力。在過去的十幾年中，許多量子比特技術(shù)得到了顯著的改進，但通往通用量子計算機的道路還面臨很多困難。首先便是當前的量子比特表征會出現(xiàn)錯誤，較高的錯誤率導(dǎo)致計算誤差太大從而失去實際使用意義。雖然目前糾錯的方法已經(jīng)在研究當中，但誤差率還不能達到令人滿意的范圍。其次，量子比特的相干時間還比較短，可能導(dǎo)致一些大規(guī)模的算法無法在相干時間內(nèi)完成，從而無法實現(xiàn)。下一個挑戰(zhàn)便是量子比特規(guī)模的擴展，制造大規(guī)模量子比特的集成電路受結(jié)構(gòu)設(shè)計和制造工藝等因素影響，目前還在相對緩慢的發(fā)展中，同時隨著量子比特規(guī)模的增大，還會帶來控制難度的增加。二次無約束二進制優(yōu)化（QuadraticUnconstrainedBinaryOptimization，QUBO）問題是指在二進制約束條件下尋找二次目標函數(shù)最小值的優(yōu)化問題。特別地，QUBO問題可以描述金融系統(tǒng)中的許多復(fù)雜和不確定的因素，如市場波動、資產(chǎn)相關(guān)性、交易成本等，而這些因素對于金融決策和風(fēng)險控制是至關(guān)重要的。目前，QUBO問題在金融領(lǐng)域中已經(jīng)有諸多應(yīng)用，例如投資組合優(yōu)化、資產(chǎn)定價以及最優(yōu)套利等。本章接下來的內(nèi)容將具體介紹QUBO問題的相關(guān)概念以及求解該問題的經(jīng)典求解器和量子求解器。（一）QUBO問題的基本描述n為長度為n的二進制向量，即要優(yōu)化的變量只能取值為0或1。盡管其形式簡單，QUBO問題可以表示不同領(lǐng)域中的大量問題。有些問題可以自然地表示為QUBO問題，另一些問題經(jīng)過轉(zhuǎn)化后也可以表述為QUBO形式。QUBO不僅僅應(yīng)用于金融領(lǐng)域，也出現(xiàn)在其他領(lǐng)域中，包括物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、交通管理和計算機科學(xué)等。參閱文獻[35]了解自20世紀60年代以來此問題的研QUBO問題是NP-hard問題，理論上其真實最小值一般難以求解。然而在實踐中，啟發(fā)式方法給出的近似解已經(jīng)足夠良好，可以滿足應(yīng)用場景的需要。術(shù)語“無約束”是指，除了要求解的是一個二進制向量之外，沒有其他約束條件。然而，某些約束問題也可以通過添加懲罰項來轉(zhuǎn)化為QUBO問題。特別是，具有如下形式的一般組合優(yōu)化問題（CombinatorialOptimizationProblems，COP）：{通過將其線性約束替換為懲罰項，可被表示為QUBO形式，問題可以被其中常數(shù)?和的值由原始的QUBO確定。這問題更直接地適用于受物理啟發(fā)的方法，包括經(jīng)典解法，如數(shù)字退火（DigitalAnnealing，DA）[36]和基于張量網(wǎng)絡(luò)的方法[37]；以及量子方法，如量子退火器（例如D-Wave制造的退火器）和量子近似優(yōu)化算法（QuantumApproximateOptimizationAlgorithm，QAOA）。3.HOBO優(yōu)化問題高階二進制優(yōu)化問題（HigherOrderBinaryOptimization，HOBO）是QUBO的一種推廣模型，它的最小化的表達式如下所示：?????樣的轉(zhuǎn)化非常必要，因為目前DA求解器只能處理QUBO形式需要注意的是，QAOA或VQE量子算法可直接用于求解HOBO問題，而不需要進行二次化。（二）QUBO的經(jīng)典求解器由于QUBO問題的廣泛適用性，多年來出現(xiàn)了許多強大的經(jīng)典求解器。它們可分為以下幾類：1.精確求解器精確求解器是指能得到QUBO問題的真實最小值的求解器。雖然已經(jīng)提出了許多精確求解器，但它們能夠處理的QUBO問題所包含的二進制變量都在100個以內(nèi)。精確求解器的一個例子是分支定界算法，它通過將問題分解為較小的子問題，系統(tǒng)地探索解空間。在每一步中，算法計算子問題的目標函數(shù)值，并修剪不能得到最優(yōu)解的分支。有研究[39]已經(jīng)提出了一種量子方法來加速分支定界算法，可以在經(jīng)典算法的基礎(chǔ)上實現(xiàn)近二次加速。不過在最壞情況下，該量子算法仍需要指數(shù)量級的運行時間，并不適用于求解大規(guī)模問題。2.啟發(fā)式求解器啟發(fā)式求解器可以快速找到QUBO問題的解，但不能保證是最優(yōu)解，通常只返回近似解。啟發(fā)式求解器一般可以處理包含1000到10000個二進制變量的較大規(guī)模的問題。啟發(fā)式求解器的一個例子是模擬退火（SimulatedAnnealing，SA），它從一個初始解開始，并通過隨機翻轉(zhuǎn)二進制變量的值逐漸修正初始解。該算法以一定的概率接受更差的解。隨著時間的推移，這個概率會逐漸降低，這使得算法能夠有效地逃脫局部最優(yōu)解。3.商業(yè)求解器在金融領(lǐng)域，最先進的商業(yè)求解器是Gurobi和CPLEX。它們在工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的基準測試中被廣泛使用。Gurobi和CPLEX都是優(yōu)化引擎，為解決線性、二次和混合整數(shù)規(guī)劃問題提供了廣泛的算法和技術(shù)，特別適合于求解QUBO問題。它們高效且可擴展，并使用各種優(yōu)化技術(shù)，包括精確方法、啟發(fā)式方法和結(jié)合多種技術(shù)的混合方法。4.數(shù)字退火器除了采用軟件求解器之外，數(shù)字退火器也被應(yīng)用于求解QUBO問題。數(shù)字退火器是一種專用于解決組合優(yōu)化問題的硬件同時呈現(xiàn)出更好的性能[40]。（三）量子求解器由于QUBO問題可以被映射到伊辛模型，因此各種基于量子理論的方法都可以作為QUBO問題的求解器。這些方法將在本白皮書的下一章節(jié)中詳細介紹。這里僅簡要介紹其中幾個較為受歡迎的方案：Eigensolver，VQE）VQE是一種混合量子-經(jīng)典算法，最初用于尋找物理或化學(xué)系統(tǒng)的基態(tài)能量。它可以通過將QUBO目標函數(shù)映射到量子系統(tǒng)的哈密頓量來求解QUBO問題，其中QUBO問題的最優(yōu)解對應(yīng)于系統(tǒng)的基態(tài)。將VQE應(yīng)用于任何特定問題都需要設(shè)計一個量子電路（稱為ansatz）。電路包含可調(diào)參數(shù)，這些參數(shù)可通過梯度下降的方法借助經(jīng)典優(yōu)化算法進行調(diào)整。2.量子近似優(yōu)化算法（QAOA）QAOA是一種混合量子-經(jīng)典算法，用于解決組合優(yōu)化問題。在QUBO問題中，每個二進制變量都被映射到單量子比特量子態(tài)，并且QUBO目標函數(shù)被編碼在量子系統(tǒng)的哈密頓量（能量函數(shù)）中。通過將初始哈密頓量和問題哈密頓量交替作用于系統(tǒng)上產(chǎn)生試探波函數(shù)，使其相對于問題哈密頓量的期望值朝著目標函數(shù)相應(yīng)的問題哈密頓量的基態(tài)演化，該基態(tài)就對應(yīng)于QUBO問題的最優(yōu)解。QAOA可以看作VQE的一個特例，其中ansatz具有適用于組合優(yōu)化問題的特定形式。與一般的VQE相比，對于給定的電路深度，QAOA電路的可調(diào)參數(shù)也相對較少。3.量子退火（QuantumAnnealing）在此方法中，QUBO問題的目標函數(shù)被轉(zhuǎn)化為物理系統(tǒng)的能量函數(shù)，該函數(shù)可在量子退火設(shè)備上實現(xiàn)物理優(yōu)化（而QAOA和VQE可在基于門的量子計算機上運行）。這種量子退火設(shè)備是由諸如D-Wave公司開發(fā)的。隨后，量子退火設(shè)備將系統(tǒng)演化至其基態(tài)，該基態(tài)對應(yīng)于QUBO問題的最優(yōu)解。五、量子優(yōu)化算法金融領(lǐng)域涉及的優(yōu)化問題眾多，其中包括資產(chǎn)配置、投資組合管理、風(fēng)險管理等業(yè)務(wù)，前文已經(jīng)有所提及。然而，大多數(shù)優(yōu)化問題仍未能被量子算法解決。目前，量子算法主要集中于解決組合優(yōu)化問題，該問題在資產(chǎn)定價、風(fēng)險管理、期權(quán)定價等業(yè)務(wù)中均有涉及。本章將詳細介紹解決組合優(yōu)化問題的量子算法，包括量子變分算法（VariationalQuantumAlgorithms，VQA）、量量子退火、量子近似優(yōu)化算法、Grover適應(yīng)性搜索算法（GroverAdaptiveSearch，GAS）、HHL算法以及光量子相干伊辛算法（CoherentIsingMachine，CIM）。（一）變分量子算法VQA算法并非一個具體的算法，而是一套算法框架。沿用此框架的QAOA算法，VQE算法可以用來求解特定成本函數(shù)的最優(yōu)化問題。由于VQA算法對噪聲的抵抗性較強，并與經(jīng)典神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)較為相似，因此廣泛受到學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的關(guān)注。VQA算法可以用于投資組合優(yōu)化，金融產(chǎn)品定價，因子特征選取等領(lǐng)1.算法介紹變分量子算法是一類混合量子經(jīng)典算法，旨在與NISQ時代的量子計算機兼容。該算法框架基于參數(shù)化量子電路（ParameterizedQuantumCircuits，PQC如圖1所示。這些電路包含具有可調(diào)參數(shù)的量子門，并嵌入在經(jīng)典優(yōu)化循環(huán)中。經(jīng)典優(yōu)化過程期望尋找最優(yōu)參數(shù)，以使得成本函數(shù)值(一般對應(yīng)于某個哈密頓量的期望)最小。最終，在最優(yōu)參數(shù)下，電路的輸出態(tài)為給定問題的解。VQA將會選代下列步驟多次:(1)運行具有可調(diào)參數(shù)的量子電路。（2）測量電路的輸出并計算與成本函數(shù)相應(yīng)的問題哈密頓量的期望值。（3）通過經(jīng)典優(yōu)化過程更新參數(shù)，以最小化與成本函數(shù)相應(yīng)的問題哈密頓量的期望值。VQA的優(yōu)勢在于此類算法高度可定制，可以應(yīng)用于各種問題，從金融（例如，投資組合優(yōu)化）到化學(xué)（例和生物學(xué)（例如，蛋白質(zhì)折疊可以根據(jù)用戶可用的量子處理器進行定制。VQA框架具有極大的通用性和靈活性。在使用VQA來求解特定問題時，需要指定電路Ansatz（即PQC的架構(gòu)和設(shè)計）、參數(shù)更新方法（即經(jīng)典優(yōu)化器的選擇）以及要優(yōu)化的成本函數(shù)。根據(jù)不同的設(shè)定，算法可能會被賦予不同的名稱：算法名稱詳細說明VQA這個框架非常靈活，允許任意的Ansatz，任意的參數(shù)更新規(guī)則和任意的成本函數(shù)QAOA[41]基于特定Ansatz，但在具有有限量子比特連接性的設(shè)備上實現(xiàn)可能會很困難varQITE[42]基于物理原理的特定參數(shù)更新方法VQE[43]Ansatz和成本函數(shù)CVAR-VQE/CVAR-QAOA[44]針對組合問題的特定成本函數(shù)，以提高準確性和效率需要強調(diào)的是，VQA的準確性和運行所需的時間（二者將會影響與經(jīng)典算法相比的潛在優(yōu)勢）高度依賴于這些因素的選擇。下面具體來介紹如何選擇這些因素。2.Ansatz電路選擇設(shè)計VQA時，需要指定要優(yōu)化的參數(shù)化量子電路的結(jié)構(gòu)。一般來說，任何具有參數(shù)化量子門的量子電路都可以使用，并且近年來提出了各種各樣的Ansatz。在選擇給定問題的電路Ansatz時，有兩個關(guān)鍵考慮因素：（1）參數(shù)數(shù)量：更多的參數(shù)允許Ansatz表示更廣泛的狀態(tài)類，產(chǎn)生更優(yōu)的解決方案。另一方面，參數(shù)數(shù)量越多也使得優(yōu)化過程更具挑戰(zhàn)性。（2）硬件設(shè)備上的易實現(xiàn)性：雖然參數(shù)數(shù)量較多，深度較深的電路在理論上可能具有更好的性能，但它們在給定的硬件設(shè)備上的實現(xiàn)難度也相應(yīng)地增加。對于金融應(yīng)用，最重要且最常見的兩種Ansatz是：（1）Hardware-EfficientAnsatz（HEA)：HEA是在目標量子硬件平臺上更易實現(xiàn)的量子電路。例如，HEA僅包含能夠被直接實現(xiàn)的單量子比特和雙量子比特門，并且雙量子比特門的量子比特在硬件設(shè)備中相互連接。HEA的缺點是，由于Ansatz沒有利用計算問題的任何結(jié)構(gòu)或物理理解，因此在理論上，可能具有更少的性能保證。（2）QAOAAnsatz：與HEA相比，QAOAAnsatz與待解決問題的優(yōu)化模型緊密相關(guān)，也就是說，它是利用被解決問題的信息構(gòu)造的。QAOAAnsatz由多層交替的量子