量子最優(yōu)化算法在金融業(yè)的應(yīng)用研究報(bào)告

量子最優(yōu)化算法在金融業(yè)的應(yīng)用研究報(bào)告版權(quán)聲明本報(bào)告版權(quán)屬于北京金融科技產(chǎn)業(yè)聯(lián)盟，并受法律保護(hù)。轉(zhuǎn)載、編摘或利用其他方式使用本白皮書文字或觀點(diǎn)的，應(yīng)注明來(lái)源。違反上述聲明者，將被追究相關(guān)法律責(zé)任。I編制委員會(huì)編委會(huì)成員：張曉東聶麗琴李曉棟吳磊編寫組成員：陳柄任高振濤蔚棟敏劉靜沈超建溫卓宇梁紹文王彥博楊璇王一多龐宏啟謝樹(shù)欣何慧蕓李仁剛趙雅倩姜金哲趙雪嬌編審：黃本濤鞏博儒姚文韜牽頭編寫單位：中國(guó)建設(shè)銀行股份有限公司參編單位：中國(guó)工商銀行股份有限公司中國(guó)銀行股份有限公司華夏銀行股份有限公司深圳市騰訊計(jì)算機(jī)系統(tǒng)有限公司科大國(guó)盾量子技術(shù)股份有限公司浪潮電子信息產(chǎn)業(yè)股份有限公司本源量子計(jì)算科技（合肥）股份有限公司交通銀行股份有限公司興業(yè)銀行股份有限公司浙商銀行股份有限公司光大科技有限公司 1 1 1 3 5 5 9 14 21 27 33 39 40 42 44 47 47 49 51 53 53 60 62 69 74 81 88 93 100 100 104 106 110V 54 68 72 72 77 78 79 80 80 82 84 84 86 86 87 90 96 981（一）量子信息科學(xué)發(fā)展概述量子信息科學(xué)（QuantumInformationScience，QIS）是一門新興學(xué)科，它融合物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息論等多個(gè)學(xué)科的理論和方法，旨在研究量子系統(tǒng)在信息處理和傳輸?shù)确矫娴奶匦浴Ｗ哉Q生以來(lái)，量子信息科學(xué)已經(jīng)取得了顯著的進(jìn)展，在許多領(lǐng)域產(chǎn)生了廣泛的應(yīng)用和深遠(yuǎn)的影響。一般來(lái)說(shuō)，量子信息科學(xué)的發(fā)展歷程大致包含以下三個(gè)階段：量子力學(xué)基礎(chǔ)理論誕生階段（1900s—1930s）。1900年，馬克斯·普朗克（MaxPlanck）提出了普朗克輻射定律，成功描述了1913年，尼爾斯·玻爾（NielsBohr）提出角動(dòng)量量子化，成功解釋了氫原子的發(fā)射和吸收光譜。1923年，路易·維克多·德布羅意利（WolfgangPauli）提出不相容原理。1927年，沃納·海森堡（WernerHeisenberg）提出測(cè)不準(zhǔn)原理。至此，經(jīng)過(guò)眾多物理學(xué)家開(kāi)創(chuàng)性的研究與發(fā)現(xiàn)，量子力學(xué)的理論體系初步建成。量子力學(xué)理論完善與量子信息科學(xué)的萌芽階段（1930s—1980s）。1930年前后，量子力學(xué)的發(fā)展推動(dòng)了量子電動(dòng)力學(xué)的形成，規(guī)范理論成為這一時(shí)期的代表性成果。1935年，阿爾伯2（NathanRosen）提出了EPR佯謬，對(duì)量子體系的完備性提出質(zhì)疑。1954年，楊振寧與羅伯特·米爾斯（RobertMills）共同提出了非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)理論，為理解基本作用力和自然規(guī)律提供了框架。1964年，約翰·斯圖爾特·貝爾（JohnStewartBell）導(dǎo)出了雙粒子自旋系統(tǒng)的貝爾不等式，使EPR佯謬的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證成為可能。1969年，斯蒂芬·威斯納（StephenWiesner）提出了基于量子力提出基于量子力學(xué)的信息處理。量子信息科學(xué)的快速發(fā)展階段（1980s—至今）。1981年，理查德·費(fèi)曼（RichardFeynman）首次提出將量子力學(xué)理論與計(jì) 和吉爾·布拉薩德（GillesBrassard）開(kāi)發(fā)了一種協(xié)議，通過(guò)量子力學(xué)實(shí)現(xiàn)更安全的通信。該協(xié)議稱為BB84，由Bennett和Brassard名字的縮寫以及提出年份組成，標(biāo)志著量子密碼的誕生。1985年，大衛(wèi)·杜齊（DavidDeutsch）提出了量子圖靈機(jī)和量子計(jì)算的概念，并提出了第一個(gè)在理論上表明量子計(jì)算優(yōu)越性的量子算法[1]。1994年，彼得·秀爾（PeterShor）提出了一個(gè)高效量子算法[2]，它可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求解因數(shù)分解問(wèn)題。1996年，洛夫·格羅弗（LovGrover）提出了一個(gè)用于搜索無(wú)序數(shù)據(jù)庫(kù)的量子算法[3]：相比于傳統(tǒng)的搜索方法，該量子算法可有效降低搜索時(shí)進(jìn)入21世紀(jì)，量子信息技術(shù)的應(yīng)用迅速發(fā)展。2011—20133年，中國(guó)科學(xué)家在青海湖實(shí)現(xiàn)了雙向量子糾纏分發(fā)和量子隱形傳態(tài)，驗(yàn)證了量子通信衛(wèi)星技術(shù)的可行性。2017年，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)（下稱“中科大”）研究團(tuán)隊(duì)等實(shí)現(xiàn)了星地雙向量子糾纏分發(fā)；同年，中科大團(tuán)隊(duì)牽頭成功制造出了世界上第一臺(tái)光量子計(jì)算機(jī)；此外，中國(guó)開(kāi)通了世界上第一條量子保密通信干線——京滬干線。2019年，谷歌發(fā)布53量子比特的“懸鈴木”（Sycamo量子計(jì)算原型機(jī)，并據(jù)此宣稱實(shí)現(xiàn)了所謂的“量子霸權(quán)”。2021年，中科大研究團(tuán)隊(duì)相繼發(fā)布了66超導(dǎo)量子計(jì)算原型機(jī)——祖沖之號(hào)和祖沖之二號(hào)，在“量子隨機(jī)線路取樣”難題上實(shí)現(xiàn)了量子計(jì)算優(yōu)越性，計(jì)算復(fù)雜度比Google公開(kāi)發(fā)布的“懸鈴木”量子計(jì)算原型機(jī)高出了6個(gè)數(shù)量級(jí)。2022年，IBM推出433量子比特的量子計(jì)算原型機(jī)“魚鷹”（Osprey），成為量子比特規(guī)模最大的超導(dǎo)量子計(jì)算機(jī)。（二）量子最優(yōu)化算法賦能金融量子算法是一種利用量子力學(xué)原理，如疊加態(tài)、糾纏態(tài)和量子隧穿效應(yīng)等進(jìn)行計(jì)算的算法。其中，量子最優(yōu)化算法是一類較為常用的量子算法，它通過(guò)求解最優(yōu)化問(wèn)題給出目標(biāo)函數(shù)的最值。與經(jīng)典的優(yōu)化算法相比，量子最優(yōu)化算法具有更優(yōu)的計(jì)算效率和更高的精度。量子最優(yōu)化算法可以應(yīng)用于各種優(yōu)化問(wèn)題，如組合優(yōu)化、線性規(guī)劃以及非線性規(guī)劃等。由于計(jì)算能力和模型的局限，經(jīng)典算法在金融領(lǐng)域面臨著一些計(jì)算難度問(wèn)題。例如，在求解連續(xù)多項(xiàng)式優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，經(jīng)典算4法可以利用微分理論進(jìn)行快速求解，然而對(duì)于離散多項(xiàng)式優(yōu)化問(wèn)題，經(jīng)典算法通常采用分支定界法，但其計(jì)算消耗時(shí)間較長(zhǎng)。相比之下，量子最優(yōu)化算法可以并行處理金融數(shù)據(jù)，從而提高計(jì)算效率和精度。具體來(lái)說(shuō)，在金融領(lǐng)域中量子最優(yōu)化算法可以在以下兩個(gè)方面展示出計(jì)算優(yōu)越性：（1）時(shí)間優(yōu)越性：量子算法利用酉矩陣作為計(jì)算單位，可以一次性處理多個(gè)變量。一個(gè)”比特的量子系統(tǒng)可以同時(shí)處理2”個(gè)變量。（2）空間優(yōu)越性：量子的疊加性可以將多個(gè)狀態(tài)同時(shí)編碼為一個(gè)量子態(tài)。一個(gè)”量子比特態(tài)可以同時(shí)編碼2”個(gè)狀態(tài)?？傊?，量子算法在金融領(lǐng)域中具有許多優(yōu)勢(shì)和應(yīng)用前景，可以幫助金融機(jī)構(gòu)更好地解決一些經(jīng)典算法難以處理的問(wèn)題和瓶頸，從而提高其業(yè)務(wù)水平和競(jìng)爭(zhēng)力。當(dāng)然，目前量子算法還處于發(fā)展初期，其實(shí)際應(yīng)用仍需進(jìn)一步探索和研究。根據(jù)麥肯錫的一份報(bào)告中指出[4]，到2035年，量子計(jì)算將為金融領(lǐng)域的優(yōu)化問(wèn)題帶來(lái)約1.2萬(wàn)億美元的價(jià)值，這幾乎占據(jù)了金融領(lǐng)域總價(jià)值的60%以上。這無(wú)疑展現(xiàn)出量子最優(yōu)化算法在金融領(lǐng)域的巨大潛力和市場(chǎng)價(jià)值。一旦進(jìn)入量子計(jì)算機(jī)實(shí)用化階段，量子最優(yōu)化算法將有助于提高投資組合管理、交易策略等方面的效率和準(zhǔn)確性。在接下來(lái)的內(nèi)容中，第二章主要對(duì)金融領(lǐng)域的各種優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行分析和說(shuō)明。第三章系統(tǒng)地介紹量子計(jì)算機(jī)的系統(tǒng)和模型，全面闡述其物理實(shí)現(xiàn)和所面臨的挑戰(zhàn)。第四章著重介紹QUBO5問(wèn)題的基本理論以及該問(wèn)題的經(jīng)典求解器和量子求解器。第五章詳細(xì)介紹多種量子優(yōu)化算法，包括變分量子算法、量子退火算法以及量子近似優(yōu)化算法等。第六章主要對(duì)當(dāng)前量子金融優(yōu)化領(lǐng)域所遇到的技術(shù)和人才挑戰(zhàn)進(jìn)行深入分析，并結(jié)合量子信息科學(xué)技術(shù)的發(fā)展?fàn)顩r，提出相應(yīng)的建議。二、金融應(yīng)用中的優(yōu)化問(wèn)題在金融領(lǐng)域中，利用數(shù)學(xué)模型和算法尋找最優(yōu)或近似最優(yōu)解的方案被稱為金融優(yōu)化算法。這些優(yōu)化算法涵蓋許多方面，例如投資組合優(yōu)化、金融產(chǎn)品定價(jià)、風(fēng)險(xiǎn)管理以及套利等。由于這些問(wèn)題通常具有一定的復(fù)雜性和不確定性，因此需要借助最優(yōu)化理論和方法來(lái)求解。下面將對(duì)金融領(lǐng)域涉及的多個(gè)優(yōu)化場(chǎng)景進(jìn)行詳細(xì)介紹。（一）投資組合優(yōu)化1.投資組合優(yōu)化的定義投資組合優(yōu)化是一種重要的金融策略，其核心目標(biāo)是通過(guò)合理地配置不同資產(chǎn)（例如股票、債券、房地產(chǎn)等）來(lái)實(shí)現(xiàn)明確的投資組合優(yōu)化需要維持穩(wěn)健的投資績(jī)效，關(guān)鍵在于平衡風(fēng)險(xiǎn)和回投資組合優(yōu)化之所以如此重要，主要是包括以下幾個(gè)關(guān)鍵原6（1）有利于分散風(fēng)險(xiǎn)：通過(guò)將資金分散投資在不同的資產(chǎn)類別和標(biāo)的物上，投資者可以降低單一投資的風(fēng)險(xiǎn)。這有助于保護(hù)資本免受市場(chǎng)波動(dòng)的影響。（2）最大化回報(bào)：投資組合優(yōu)化可以幫助投資者找到在給定風(fēng)險(xiǎn)水平下實(shí)現(xiàn)最大的預(yù)期回報(bào)的資產(chǎn)配置。這對(duì)于實(shí)現(xiàn)財(cái)務(wù)（3）有利于風(fēng)險(xiǎn)管理：投資組合優(yōu)化還允許投資者根據(jù)其風(fēng)險(xiǎn)偏好構(gòu)建投資組合，以確保他們可以在市場(chǎng)波動(dòng)時(shí)保持冷靜。2.投資組合優(yōu)化的步驟投資組合優(yōu)化算法大體可分為以下五個(gè)步驟：（1）目標(biāo)設(shè)定：首先，投資者需要明確定義他們的投資目標(biāo)，包括風(fēng)險(xiǎn)承受能力、期望回報(bào)和投資時(shí)間框架。（2）資產(chǎn)選擇：接下來(lái)，投資者需要精選不同的資產(chǎn)類別，如股票、債券、現(xiàn)金等，以包含在投資組合中。（3）風(fēng)險(xiǎn)—回報(bào)評(píng)估：對(duì)每種資產(chǎn)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)和回報(bào)的評(píng)估是關(guān)鍵的一步。通常，這涉及分析歷史數(shù)據(jù)以估算資產(chǎn)的預(yù)期回報(bào)和風(fēng)險(xiǎn)。（4）投資組合構(gòu)建：基于風(fēng)險(xiǎn)和回報(bào)的評(píng)估，投資者可以構(gòu)建不同的投資組合?，F(xiàn)代投資組合理論建議使用數(shù)學(xué)模型來(lái)找到最佳的資產(chǎn)配置。（5）監(jiān)控和重新平衡：一旦投資組合建立，投資者需要定期監(jiān)控其績(jī)效，并根據(jù)市場(chǎng)變化進(jìn)行重新平衡，以確保其仍然符7合投資目標(biāo)。3.投資組合優(yōu)化最優(yōu)化模型投資組合優(yōu)化的歷史可以追溯到20世紀(jì)中期，以下是一些重要的發(fā)展階段：（1）均值-方差模型[5]投資組合理論的奠基之作。該模型強(qiáng)調(diào)了通過(guò)分散投資來(lái)降低風(fēng)險(xiǎn)的重要性，以及如何在預(yù)期回報(bào)和方差之間找到最佳權(quán)衡。其核心思想是，投資者在構(gòu)建投資組合時(shí)應(yīng)該考慮資產(chǎn)的預(yù)期回報(bào)和風(fēng)險(xiǎn)（用方差來(lái)衡量）。他強(qiáng)調(diào)了通過(guò)分散投資，即將資金分布在多個(gè)不相關(guān)資產(chǎn)上，可以有效地降低整體風(fēng)險(xiǎn)，從而實(shí)現(xiàn)更好的風(fēng)險(xiǎn)-回報(bào)權(quán)衡。均值-方差模型為投資者提供了一種系統(tǒng)方法來(lái)構(gòu)建投資組合，可以在給定風(fēng)險(xiǎn)水平下實(shí)現(xiàn)最大的預(yù)期回報(bào)。這一模型推動(dòng)了投資組合理論的演進(jìn)，成為后續(xù)投資組合優(yōu)化方法的基礎(chǔ)。其具體模型為：?其中?為利率的協(xié)方差矩陣，?為利率期望，為目標(biāo)利率。該模型的含義為在所有期望利率不小于目標(biāo)利率的投資組合中，8尋找風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合。（2）資本資產(chǎn)定價(jià)模型[6]迪維德·布萊克提出了資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CapitalAssetPricingModel，CAPM），該模型假定投資者在風(fēng)險(xiǎn)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的基礎(chǔ)上，對(duì)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)有不同的需求。它解釋了資產(chǎn)回報(bào)與市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系，通過(guò)資產(chǎn)的貝塔系數(shù)（Beta）來(lái)描述這種關(guān)系。CAPM為投資者提供了一種方法來(lái)估算資產(chǎn)的預(yù)期回報(bào)，基于市場(chǎng)的整體風(fēng)險(xiǎn)。它強(qiáng)調(diào)了市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)資產(chǎn)定價(jià)的重要性，成為資產(chǎn)定價(jià)理論的重要組成部分。（3）有效市場(chǎng)假說(shuō)模型[7]提出了有效市場(chǎng)假說(shuō)（EfficientMarketsHypothesis，EMH該假說(shuō)認(rèn)為市場(chǎng)價(jià)格已經(jīng)反映了所有可用信息，因此投資者無(wú)法通過(guò)分析信息來(lái)獲得超額回報(bào)。根據(jù)不同的信息集合水平，EMH可分為三種形式：弱式、半強(qiáng)式和強(qiáng)式。EMH對(duì)理解市場(chǎng)行為和投資效率產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。它強(qiáng)調(diào)了市場(chǎng)的高效性，對(duì)投資者來(lái)說(shuō)，難以獲得超越市場(chǎng)平均水平的回報(bào)，因此推動(dòng)了passively管理的指數(shù)基金的興起。（4）多因子模型和風(fēng)險(xiǎn)因子模型在20世紀(jì)80年代和90年代，研究者開(kāi)始探索更復(fù)雜的投資組合模型。多因子模型是對(duì)傳統(tǒng)CAPM的擴(kuò)展，考慮了除市9場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)之外的其他因素對(duì)資產(chǎn)回報(bào)的影響。這些因素包括規(guī)模、價(jià)值、動(dòng)量等。研究者發(fā)現(xiàn)，這些因子可以解釋市場(chǎng)中不同資產(chǎn)的回報(bào)差異，有助于更精確地構(gòu)建投資組合。這些多因子模型增加了對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和回報(bào)的理解。多因子模型拓寬了投資組合優(yōu)化的視野，允許投資者更全面地考慮風(fēng)險(xiǎn)和回報(bào)因素，以更好地構(gòu)建投資組合并解釋市場(chǎng)表現(xiàn)。（5）行為金融學(xué)模型21世紀(jì)初，行為金融學(xué)開(kāi)始影響投資組合優(yōu)化。行為金融學(xué)研究了投資者的心理偏見(jiàn)和非理性行為如何影響投資決策。這些偏見(jiàn)包括過(guò)度自信、損失厭惡、羊群行為等。行為金融學(xué)將心理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)結(jié)合起來(lái)，提供了一種不同于傳統(tǒng)理性決策模型的視角。行為金融學(xué)的興起強(qiáng)調(diào)了投資決策中的非理性因素，為投資組合構(gòu)建增加了更多的復(fù)雜性。投資者現(xiàn)在更關(guān)注情感和行為因素如何影響他們的投資策略。綜上所述，投資組合優(yōu)化是金融領(lǐng)域的關(guān)鍵概念，它可以幫助投資者更好地管理風(fēng)險(xiǎn)、提高回報(bào)，并隨著時(shí)間的推移不斷演進(jìn)以適應(yīng)不斷變化的市場(chǎng)環(huán)境和投資理論。這個(gè)領(lǐng)域不斷發(fā)展，以適應(yīng)金融市場(chǎng)的變化和新的研究成果，幫助投資者更好地管理他們的投資并實(shí)現(xiàn)他們的財(cái)務(wù)目標(biāo)。（二）套利1.套利的定義套利[8]是一種利用資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的投資策略，通過(guò)同一個(gè)或多個(gè)市場(chǎng)中的差異來(lái)獲得利潤(rùn)，而不涉及任何風(fēng)險(xiǎn)的情況。在金融領(lǐng)域中，套利通常指在某種實(shí)物資產(chǎn)或金融資產(chǎn)（在同一市場(chǎng)或不同市場(chǎng)）擁有兩個(gè)價(jià)格的情況下，以較低的價(jià)格買進(jìn)，較高的價(jià)格賣出，從而獲取低風(fēng)險(xiǎn)的收益。它在金融中發(fā)揮著重要的作用。2.套利的類型套利有多種形式，以下是一些常見(jiàn)的套利類型：（1）公司并購(gòu)套利：利用被收購(gòu)公司和收購(gòu)公司股價(jià)之間的價(jià)差進(jìn)行套利。并購(gòu)套利者通過(guò)同時(shí)做多被收購(gòu)公司股票和做空收購(gòu)公司股票進(jìn)行套利。套利者相信一旦并購(gòu)?fù)瓿?，被收?gòu)公司和收購(gòu)公司的股價(jià)價(jià)差將會(huì)縮小，從而獲取利潤(rùn)。不過(guò)并購(gòu)交易可能會(huì)被取消，股價(jià)價(jià)差反而擴(kuò)大，從而帶來(lái)風(fēng)險(xiǎn)。（2）市政債券套利：利用市政債券相對(duì)價(jià)值之間的偏離來(lái)獲利。市政債券套利主要有兩種形式：一種是通過(guò)做多定價(jià)過(guò)低的債券和做空定價(jià)過(guò)高的債券來(lái)獲取價(jià)差利潤(rùn)；另一種是通過(guò)以杠桿做多AAA-或AA-級(jí)的免稅市政債券，再通過(guò)做空公司債券或利率互換等方法進(jìn)行對(duì)沖，利用市政債券長(zhǎng)期收益率高于公司債券的優(yōu)勢(shì)進(jìn)行套利。市政債券套利存在基差風(fēng)險(xiǎn)，且本金的波動(dòng)幅度過(guò)大難以完全對(duì)沖，但是長(zhǎng)期來(lái)看，市政債券和利率互換具有較高的相關(guān)性，從而具有一定的收益優(yōu)勢(shì)。（3）可轉(zhuǎn)換債券套利：利用可轉(zhuǎn)換債券的設(shè)計(jì)，通過(guò)復(fù)雜的數(shù)量模型來(lái)判斷某種債券的價(jià)格是否偏離“理論值”，并在可轉(zhuǎn)換債券價(jià)格低于理論價(jià)值時(shí)，通過(guò)做多并對(duì)沖利率風(fēng)險(xiǎn)、企業(yè)信用評(píng)級(jí)下降風(fēng)險(xiǎn)以及買入信貸違約互換等方法來(lái)獲取利潤(rùn)。可轉(zhuǎn)換債券套利的風(fēng)險(xiǎn)來(lái)自于定價(jià)的不確定性和企業(yè)財(cái)務(wù)狀況的變動(dòng)。但與其他套利類型相比，可轉(zhuǎn)換債券套利的收益率通常較為穩(wěn)定，因?yàn)槠髽I(yè)的財(cái)務(wù)表現(xiàn)通常是緩慢而穩(wěn)定的過(guò)程。（4）存托憑證套利：基于存托憑證發(fā)行價(jià)值與實(shí)際股票價(jià)值存在較大差異，套利者通過(guò)做多存托憑證，做空對(duì)應(yīng)股票，等待兩者價(jià)差回歸正常范圍來(lái)獲利。存托憑證套利的風(fēng)險(xiǎn)來(lái)自于交易成本和匯率風(fēng)險(xiǎn)等。存托憑證套利在折價(jià)發(fā)行的情況下是一種低風(fēng)險(xiǎn)、低成本的投資策略，但需了解股票市場(chǎng)交易因素的不確定性，從而選擇合適的交易市場(chǎng)和合適的資產(chǎn)。（5）兩地上市企業(yè)股票套利：同一家企業(yè)在不同市場(chǎng)上的股票價(jià)格偏差。套利者可以通過(guò)做空估值過(guò)高股票和做多被低估股票，等待價(jià)格差回歸正常范圍來(lái)獲利。兩地上市企業(yè)股票套利的風(fēng)險(xiǎn)包括市場(chǎng)變化、交易成本和頭寸風(fēng)險(xiǎn)等。追求股價(jià)差異的套利者可能需要等待長(zhǎng)時(shí)間才能獲得盈利，甚至可能面臨價(jià)格差異進(jìn)一步擴(kuò)大或無(wú)法及時(shí)操縱股價(jià)等風(fēng)險(xiǎn)。此外，兩地上市企業(yè)股票套利通常需要及時(shí)了解公司的財(cái)務(wù)信息和市場(chǎng)供需情況，以及兩個(gè)市場(chǎng)的法律、制度和交易方式的差異。3.套利的最優(yōu)化模型本節(jié)將介紹兩種套利方法的最優(yōu)化模型，第一種是基于債券套利的模型，第二種是基于利率套利的模型。（1）期權(quán)套利模型[9]考慮一個(gè)時(shí)刻0價(jià)格為?和時(shí)刻1價(jià)格為1的標(biāo)的證券?？加浽跁r(shí)刻0下第i個(gè)衍生期權(quán)的成本為,則對(duì)于投資組合為了確定金融衍生品在處是否產(chǎn)生套利機(jī)會(huì)，需要考慮對(duì)所有可能的1，收益函數(shù)為非負(fù)的情況下，哪一種的成本是最便宜的。因此，該模型可以被建模為下述優(yōu)化問(wèn)題：該優(yōu)化問(wèn)題的成本函數(shù)使得構(gòu)造該投資組合的成本最小。考慮到期權(quán)的收益函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，那么多種期權(quán)的線性疊加是一個(gè)具有多段的分段函數(shù)。間斷點(diǎn)就是每個(gè)期權(quán)的行權(quán)價(jià)格?？紤]到套利是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，那么無(wú)論標(biāo)的證券在時(shí)刻1的價(jià)格是多少，套利策略均應(yīng)該獲利。因此第一項(xiàng)和第二項(xiàng)約束條件，保證了標(biāo)的證券在時(shí)刻1價(jià)格無(wú)論是0還是任意間斷點(diǎn)時(shí)收益函數(shù)均大于等于0。而又因?yàn)榉侄魏瘮?shù)在分段點(diǎn)時(shí)斜率是正的，因此有第三項(xiàng)約束條件。（2）匯率套利模型[10]匯率套利模型指的是市場(chǎng)上有多種貨幣，從貨幣i到貨幣j的匯率為。記?表示是否進(jìn)行貨幣i到貨幣j的利率兌換，若為1則認(rèn)為存在直接從貨幣i到貨幣j的兌換，反正則不存在。那么匯率套利模型滿足：考慮到一組兌換流程??????tt?考慮到一組兌換流程??????貨幣后，獲得的貨幣。上述流程若將貨幣換回貨幣則貨幣后，獲得的貨幣。上述流程若將貨幣換回貨幣則將上述對(duì)數(shù)化后則有成本函數(shù)ΣiΣj豐ilogrij)xij。在貨幣兌換過(guò)程中，可能會(huì)有多次從其他貨幣流入到某貨幣的兌換過(guò)程，但是每一次也都會(huì)從此貨幣流出。流入量與流出量應(yīng)相等。因此約束條件Σj豐ixji一Σj豐ixij=0需對(duì)每個(gè)貨幣i都成立。（三）指數(shù)追蹤1.指數(shù)追蹤的定義指數(shù)追蹤[11,12]是一種被動(dòng)式投資策略，旨在跟蹤特定市場(chǎng)指數(shù)的表現(xiàn)。投資者通常通過(guò)資產(chǎn)組合構(gòu)建的方式來(lái)追蹤市場(chǎng)指數(shù)，以實(shí)現(xiàn)在市場(chǎng)中獲得整體市場(chǎng)表現(xiàn)的目標(biāo)。指數(shù)追蹤在全球范圍內(nèi)廣受認(rèn)可，是許多投資者的首選投資策略之一。指數(shù)追蹤的目的是盡可能地接近或超越市場(chǎng)指數(shù)的收益，同時(shí)降低管理費(fèi)用和交易成本。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述就是，選擇一個(gè)n種股票的目標(biāo)總體，選擇q種股票來(lái)盡可能代表目標(biāo)總體。它的優(yōu)點(diǎn)在于簡(jiǎn)單、透明、低成本、多樣化和有效。但是，指數(shù)追蹤的缺陷在于無(wú)法根據(jù)市場(chǎng)變化進(jìn)行主動(dòng)調(diào)整并且可能存在跟蹤誤差和流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)等問(wèn)題。因此，投資者在進(jìn)行指數(shù)追蹤投資時(shí)需要充分了解市場(chǎng)情況和指數(shù)追蹤基金（ETF）的基本特征，并制定完善的投資規(guī)劃和風(fēng)險(xiǎn)管理策略，以獲得最佳的投資效果。在指數(shù)追蹤的實(shí)踐中，一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題是如何選擇跟蹤的市場(chǎng)指數(shù)和對(duì)應(yīng)的ETF。市場(chǎng)指數(shù)是一組代表某一市場(chǎng)或行業(yè)的股票或其他資產(chǎn)的加權(quán)平均值。不同的市場(chǎng)指數(shù)代表著不同的市場(chǎng)細(xì)分領(lǐng)域，例如全球范圍內(nèi)最廣泛使用的標(biāo)普500指數(shù)代表著美國(guó)股市的表現(xiàn)，上證全指則代表著中國(guó)A股市場(chǎng)的整體表現(xiàn)。市場(chǎng)指數(shù)可以反映市場(chǎng)的整體走勢(shì)和風(fēng)險(xiǎn)收益特征，也可以作為投資者的基準(zhǔn)或目標(biāo)。ETF是一種交易所交易型基金，它們可以像股票一樣在證券交易所上市交易。ETF通常使用完全復(fù)制或抽樣復(fù)制的方法來(lái)構(gòu)建與市場(chǎng)指數(shù)相同或相似的投資組合。選擇適當(dāng)?shù)腅TF是指數(shù)追蹤的核心，一個(gè)好的ETF應(yīng)該具有低管理費(fèi)用、低跟蹤誤差、充足的流動(dòng)性、寬松的市場(chǎng)準(zhǔn)入和稅收優(yōu)惠等特點(diǎn)。2.指數(shù)追蹤的技術(shù)路線指數(shù)追蹤算法包含以下幾個(gè)技術(shù)路線：（1）基于優(yōu)化方法的經(jīng)典指數(shù)追蹤[13]一般而言，基于優(yōu)化方法的指數(shù)追蹤技術(shù)采用TEV（追蹤誤差方差）最小化模型。然而，優(yōu)化方法在被動(dòng)投資領(lǐng)域中存在著缺點(diǎn)。首先，股票指數(shù)是組合內(nèi)股票的一個(gè)線性組合，導(dǎo)致針對(duì)股票指數(shù)的追蹤誤差最小化模型包含了大量噪音，在高波動(dòng)市存在一些缺陷：（i）只能使用平穩(wěn)數(shù)據(jù)，如股票收益率，而股票價(jià)格的差分序列會(huì)損失一些有用信息；（ii）相關(guān)系數(shù)只是一個(gè)短期統(tǒng)計(jì)量，缺乏穩(wěn)定性；（iii）相關(guān)系數(shù)依賴于估計(jì)模型，易受異常值、非平穩(wěn)序列或波動(dòng)率聚集等影響，在長(zhǎng)期時(shí)間序列中可能會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)對(duì)金融時(shí)間序列中相依性的測(cè)度，Embrechts、Lindskog和McNeil[14]作出了全面綜述。（2）基于協(xié)整的經(jīng)典指數(shù)追蹤基于上述缺陷，金融計(jì)量學(xué)家和金融實(shí)踐者開(kāi)始采用協(xié)整模型來(lái)捕捉長(zhǎng)期均衡的相依性。協(xié)整是一種異常強(qiáng)大的工具，最大的貢獻(xiàn)在于將相關(guān)性的概念推廣到非平穩(wěn)數(shù)據(jù)。CliveGranger[15]在協(xié)整理論領(lǐng)域中有著先驅(qū)性的研究成果，由于其貢獻(xiàn)，該成果在2003年獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。基于協(xié)整的經(jīng)典指數(shù)追蹤是一種金融工程中的定量投資策略，旨在實(shí)現(xiàn)對(duì)某一特定市場(chǎng)指數(shù)的跟蹤。在實(shí)踐中，這種策略利用協(xié)整關(guān)系來(lái)構(gòu)建投資組合，并通過(guò)市場(chǎng)交易進(jìn)行管理。協(xié)整關(guān)系是指兩個(gè)或多個(gè)時(shí)間序列之間的長(zhǎng)期關(guān)系。在金融領(lǐng)域中，協(xié)整通常被用來(lái)尋找具有類似經(jīng)濟(jì)基本面的股票或資產(chǎn)。經(jīng)典指數(shù)追蹤的基本思想是，通過(guò)購(gòu)買與目標(biāo)指數(shù)協(xié)整的股票投資組合，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)該指數(shù)的跟蹤。Axlander[16]于1999年首次提出該方法，該方法利用股票價(jià)格和指數(shù)之間的協(xié)整關(guān)系進(jìn)行投資組合構(gòu)建。該方法基于三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：首先，股票組合和標(biāo)的指數(shù)的價(jià)格差異是平穩(wěn)的，從而保證了長(zhǎng)期穩(wěn)定性，使得追蹤組合與標(biāo)的指數(shù)在長(zhǎng)期中是緊密關(guān)聯(lián)的；其次，采用歷史數(shù)據(jù)計(jì)算的股票權(quán)重相對(duì)穩(wěn)定；第三，采用該方法建立的投資組合的跟蹤誤差為均值回復(fù)的隨機(jī)過(guò)程，不存在系統(tǒng)性誤差。通過(guò)協(xié)整建立最優(yōu)的追蹤組合可以分為兩個(gè)步驟：首先，篩選股票進(jìn)入追蹤組合；其次，根據(jù)協(xié)整系數(shù)建立組合中最優(yōu)的股票持倉(cāng)比例。技術(shù)分析或基金經(jīng)理的選股技巧，然而，在該協(xié)整指數(shù)追蹤方法中，股票選擇的成功并不是重點(diǎn)，因?yàn)樵摲椒P(guān)注的重點(diǎn)是追蹤指數(shù)的表現(xiàn)，而不是超越指數(shù)表現(xiàn)。因此，可以通過(guò)選擇在指數(shù)中權(quán)重較大的股票進(jìn)入追蹤組合來(lái)簡(jiǎn)化該步驟。在第二步驟中，需要根據(jù)協(xié)整關(guān)系確定進(jìn)入追蹤組合的股票的持倉(cāng)比例，協(xié)整方法可以利用組合管制模型，在建立期前的樣本數(shù)據(jù)中使用對(duì)數(shù)指數(shù)價(jià)格對(duì)對(duì)數(shù)股票價(jià)格的最小二乘法（OrdinaryLeastSquare，OLS）確定協(xié)整方程中的系數(shù)，從而確定持股比例，并可以加入其他約束條件，例如賣空約束和單只股票最大投資比例等。（3）基于協(xié)整的增強(qiáng)型指數(shù)追蹤除了通過(guò)協(xié)整追蹤指數(shù)表現(xiàn)，對(duì)上面的方法稍加擴(kuò)展，該方法還可以應(yīng)用于增強(qiáng)型指數(shù)追蹤[17]。通過(guò)在標(biāo)的指數(shù)年收益率上加上預(yù)設(shè)的“%，可以構(gòu)建一個(gè)與標(biāo)的指數(shù)加上預(yù)設(shè)“%具有協(xié)整關(guān)系的追蹤組合。這樣，即可構(gòu)建一個(gè)跟蹤市場(chǎng)上不存在的“人造指數(shù)”（ArtificialIndex）的投資策略，同時(shí)也可以實(shí)現(xiàn)正的超額收益率。需要特別注意的是，超額收益率“的設(shè)定必須合理，不合理的設(shè)置會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重后果。（4）基于協(xié)整的多頭/空頭統(tǒng)計(jì)套利策略最后，既然能夠通過(guò)協(xié)整方法找到超越市場(chǎng)表現(xiàn)的追蹤組合，也應(yīng)該能找到低于市場(chǎng)表現(xiàn)的追蹤組合。該方法也可應(yīng)用于多頭/空頭統(tǒng)計(jì)套利策略?？梢宰龆鄡?yōu)勢(shì)組合，同時(shí)做空劣勢(shì)組合，構(gòu)建一個(gè)市場(chǎng)中性的多頭空頭投資策略。需要注意的是，追蹤組合中的股票權(quán)重不一定全都為正，而在劣勢(shì)組合中則可能存在空頭頭寸。在基于協(xié)整的統(tǒng)計(jì)套利策略中，多頭和空頭的股票相互抵消，即凈持倉(cāng)數(shù)量。這里的市場(chǎng)中性指市場(chǎng)的總體運(yùn)行趨勢(shì)不影響到投資策略的收益，而該策略的收益由多頭和空頭組合的收益差決定，也就是所謂的對(duì)沖。3.指數(shù)追蹤的最優(yōu)化模型本節(jié)將介紹指數(shù)追蹤的兩個(gè)最優(yōu)化模型，分別為大規(guī)模確定性模型以及指數(shù)追蹤成本最小模型。（1）大規(guī)模確定性模型假設(shè)存在一個(gè)模型：將相似的資產(chǎn)進(jìn)行分類，從每類中選取具有代表性的資產(chǎn)組合成指數(shù)。那么定義pij衡量資產(chǎn)i與資產(chǎn)j的相關(guān)性。其中pii=1，pij≤1。若兩只股票越相似則pij越接近1。在這樣一個(gè)問(wèn)題中具有下列優(yōu)化問(wèn)題：pijxijjn其中yj描述了資產(chǎn)j是否被納入到指數(shù)中，若納入，則為1，反之為0。約束條件要求，該指數(shù)由q個(gè)資產(chǎn)組成。xij表示資產(chǎn)j是否是資產(chǎn)i最接近的資產(chǎn)，若是則為1，反之為0。約束而xij≤yj確保了資產(chǎn)i一定存在能被與其關(guān)系最密切的資產(chǎn)所代表。在S&P500基金中，存在250000個(gè)變量?和250000個(gè)約（2）指數(shù)追蹤成本最小模型在以最小成本進(jìn)行投資組合再平衡時(shí)，指數(shù)追蹤成本最小模型方法特別有用。這種方法假設(shè)已經(jīng)確定了要跟蹤的市場(chǎng)指數(shù)的在各種范圍（小、中、大）內(nèi)市值占比的公司比例、不支付股息的公司比例、每個(gè)地區(qū)的公司比例等。假設(shè)希望的指數(shù)基金盡可能地跟蹤這樣的個(gè)特征。如果第個(gè)公司具有特征,則設(shè)t示做空的資產(chǎn)的比例。重新平衡投資組合的最小成本模型如下：其成本函數(shù)保證了納入投資組合的資產(chǎn)比例最小，確保投資其成本函數(shù)保證了納入投資組合的資產(chǎn)比例最小，確保投資者付出最小的成本。同時(shí)約束條件保證了，在投資組合中關(guān)于某個(gè)特征的百分比恰好為。（3）基于指數(shù)追蹤誤差約束的投資組合優(yōu)化模型基于指數(shù)追蹤誤差（TrackingErrorVolatility，TEV）約束的投資組合優(yōu)化模型認(rèn)為一個(gè)資產(chǎn)的權(quán)重被分為兩個(gè)部分：第一部益率期望以及收益率協(xié)方差后，可以得到：????=投資組合收益率期望=投資組合收益率方差進(jìn)而有下列優(yōu)化模型[18]：'''約束的第一項(xiàng)保證了所有資產(chǎn)的指數(shù)誤差的和為0，而第二項(xiàng)將TEV約束為一個(gè)固定值，第三項(xiàng)固定了投資組合收益率方差。該模型可以改變2?進(jìn)而追蹤TEV邊界。（四）金融產(chǎn)品定價(jià)1.金融產(chǎn)品定價(jià)的定義金融產(chǎn)品定價(jià)是指確定金融產(chǎn)品（如債券、股票、期權(quán)、期貨、衍生品等）的公允價(jià)值或市場(chǎng)價(jià)格的過(guò)程。定價(jià)是金融市場(chǎng)中的核心活動(dòng)之一，涉及到衡量和評(píng)估金融產(chǎn)品的價(jià)值，以便投資者能夠做出明智的投資決策。金融產(chǎn)品的定價(jià)是金融市場(chǎng)運(yùn)作的核心，對(duì)于投資者、金融機(jī)構(gòu)和整個(gè)金融體系的穩(wěn)定具有重要金融產(chǎn)品的定價(jià)是基于一系列因素和理論基礎(chǔ)進(jìn)行的。其中最重要的因素包括：（1）標(biāo)的資產(chǎn)特征：金融產(chǎn)品的定價(jià)受到標(biāo)的資產(chǎn)特征的票面利率和付息方式，股票的盈利能力和股息政策等。這些特征會(huì)影響金融產(chǎn)品的現(xiàn)金流量模式和風(fēng)險(xiǎn)水平，從而影響其定價(jià)。（2）市場(chǎng)供需關(guān)系：市場(chǎng)供需關(guān)系對(duì)金融產(chǎn)品的定價(jià)有重要影響。供需關(guān)系反映了市場(chǎng)上投資者對(duì)金融產(chǎn)品的需求和供應(yīng)情況。如果市場(chǎng)上對(duì)某種金融產(chǎn)品的需求大于供應(yīng)，價(jià)格往往會(huì)上漲；反之，如果供應(yīng)大于需求，價(jià)格往往會(huì)下跌。（3）風(fēng)險(xiǎn)和回報(bào)：金融產(chǎn)品的定價(jià)需要考慮與之相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期回報(bào)。投資者通常希望通過(guò)持有金融產(chǎn)品獲取一定的回報(bào)，但同時(shí)也需要承擔(dān)相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)。因此，定價(jià)模型通常會(huì)考慮資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)特征和市場(chǎng)預(yù)期回報(bào)水平。金融產(chǎn)品定價(jià)的目標(biāo)是確定一個(gè)公允的價(jià)格，使買方和賣方在交易中都能夠獲得合理的價(jià)值，使市場(chǎng)價(jià)格與資產(chǎn)的內(nèi)在價(jià)值相一致，即實(shí)現(xiàn)市場(chǎng)的有效定價(jià)。這有助于確保市場(chǎng)的有效性和公平性，并促進(jìn)金融市場(chǎng)的流動(dòng)性和穩(wěn)定性。2.金融產(chǎn)品定價(jià)方法金融產(chǎn)品定價(jià)的方法和模型有多種，如折現(xiàn)現(xiàn)金流量模型、期權(quán)定價(jià)模型（如布萊克-斯科爾斯模型）、市場(chǎng)定價(jià)模型等。這些方法和模型分析現(xiàn)金流量、市場(chǎng)因素和風(fēng)險(xiǎn)等，并運(yùn)用數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)工具來(lái)估計(jì)和計(jì)算金融產(chǎn)品的公允價(jià)值或市場(chǎng)價(jià)格。（1）傳統(tǒng)定價(jià)方法傳統(tǒng)定價(jià)方法是指在金融學(xué)中廣泛應(yīng)用的基于經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融理論的定價(jià)方法。這些方法基于一定的假設(shè)和模型，通過(guò)分析資產(chǎn)的現(xiàn)金流量、市場(chǎng)因素和投資者行為等因素，來(lái)估計(jì)和計(jì)算金融產(chǎn)品的公允價(jià)值或市場(chǎng)價(jià)格。主要模型包括現(xiàn)金流量貼現(xiàn)模型（DiscountedCashFlowModel，DCFM）[19]和資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CapitalAssetPricingModel，CAPM）[20]。DCFM模型基于未來(lái)現(xiàn)金流量的貼現(xiàn)來(lái)確定金融產(chǎn)品的價(jià)值。它將未來(lái)預(yù)期的現(xiàn)金流量以及考慮到風(fēng)險(xiǎn)和時(shí)間價(jià)值的貼現(xiàn)率進(jìn)行計(jì)算。這個(gè)模型通常應(yīng)用于估計(jì)債券和股票等現(xiàn)金流量型資產(chǎn)的價(jià)格。CAPM模型用于估計(jì)資產(chǎn)的預(yù)期回報(bào)率。它基于市場(chǎng)的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和資產(chǎn)的特異風(fēng)險(xiǎn)來(lái)確定資產(chǎn)的期望收益率。CAPM模型使用了市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)、資產(chǎn)的貝塔系數(shù)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率等因素來(lái)計(jì)算資產(chǎn)的預(yù)期回報(bào)率。（2）衍生品定價(jià)方法衍生品定價(jià)方法是金融學(xué)中用于確定衍生品合理價(jià)格的數(shù)學(xué)模型和技術(shù)。衍生品是一種金融工具，其價(jià)值是基于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格變動(dòng)而變動(dòng)的，衍生品定價(jià)方法主要應(yīng)用于衍生品市場(chǎng)，例如期權(quán)、期貨、掉期等。衍生品定價(jià)方法旨在根據(jù)市場(chǎng)因素、標(biāo)的資產(chǎn)特征、市場(chǎng)波動(dòng)率、期限結(jié)構(gòu)和合約條款等因素，計(jì)算衍生品的公允價(jià)值。在衍生品定價(jià)模型中主要包括布萊克-斯科爾斯模型（Black-ScholesModel，BSM）[21]和考克斯-因格爾斯模型（Cox-Ingersoll-RossModel，CIRM）[22]。BSM是一個(gè)經(jīng)典的期權(quán)定價(jià)模型，適用于歐式期權(quán)。它基于對(duì)數(shù)幾何布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè)，通過(guò)考慮期權(quán)的到期時(shí)間、行權(quán)價(jià)格、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和市場(chǎng)波動(dòng)率等因素，計(jì)算期權(quán)的理論價(jià)格。CIRM是一種用于定價(jià)期權(quán)的數(shù)學(xué)模型，適用于包含隨機(jī)波動(dòng)率的期權(quán)定價(jià)。這個(gè)模型假設(shè)了波動(dòng)率是隨機(jī)的，并且在時(shí)間上是均勻分布的。它可以更準(zhǔn)確地定價(jià)包含隨機(jī)波動(dòng)率的期權(quán)。（3）市場(chǎng)定價(jià)方法市場(chǎng)定價(jià)方法是根據(jù)市場(chǎng)供求關(guān)系和交易數(shù)據(jù)來(lái)確定金融產(chǎn)品的價(jià)格。這種方法更加注重市場(chǎng)的實(shí)際交易情況，可以更準(zhǔn)確地反映金融產(chǎn)品的價(jià)值。市場(chǎng)定價(jià)方法主要依賴于市場(chǎng)上的價(jià)格發(fā)現(xiàn)機(jī)制和交易活動(dòng)。例如，股票的定價(jià)可以參考市場(chǎng)上的交易價(jià)格和成交量，債券的定價(jià)可以參考債券市場(chǎng)上的收益率曲線和類似債券的交易價(jià)格等。（4）結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品定價(jià)方法結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品定價(jià)方法主要應(yīng)用于復(fù)雜的金融產(chǎn)品，如結(jié)構(gòu)化債券、衍生品組合和其他組合型金融工具。這些產(chǎn)品通常由多個(gè)基礎(chǔ)資產(chǎn)的組合構(gòu)成，并具有復(fù)雜的收益模式。結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品定價(jià)方法需要考慮多個(gè)因素，包括基礎(chǔ)資產(chǎn)的相關(guān)性、波動(dòng)率、利率曲線、期限結(jié)構(gòu)、回報(bào)分布等。常用的方法包括蒙特卡洛模擬、樹(shù)型模型和數(shù)值方法等，用于模擬和計(jì)算復(fù)雜金融產(chǎn)品的預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)。這些方法是金融產(chǎn)品定價(jià)中常用的方法，每個(gè)方法都有其特定的優(yōu)勢(shì)和適用范圍。根據(jù)具體的金融產(chǎn)品和市場(chǎng)條件，金融機(jī)構(gòu)和投資者可以選擇適合的定價(jià)模型和方法來(lái)確定金融產(chǎn)品的價(jià)格。3.金融產(chǎn)品定價(jià)的最優(yōu)化模型下面給出了一個(gè)利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方案解決美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的過(guò)程[9]。動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題最重要的特點(diǎn)是決策過(guò)程的多階段性，每個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃都是先鑒別與決策順序相關(guān)的階段，且每個(gè)階段的狀態(tài)集是有限的。狀態(tài)集通常由(i,j)表示，其在不同場(chǎng)景下表示的意義不同。例如，在背包問(wèn)題中，i表示只考慮前i個(gè)物品裝入背包時(shí)的可能性，而j表示不同可能性后背包剩余的空間；在投資問(wèn)題中，i表示只考慮投資于前i個(gè)項(xiàng)目的可能性，而j表示不同可能性后投資的資金；在下面提到的美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題中，i表示只考慮前i天股票的波動(dòng)情況，而j表示不同可能性后股票的價(jià)格。動(dòng)態(tài)規(guī)劃在不同狀態(tài)集間都存在一個(gè)成本函數(shù)，初始態(tài)(0,0)的成本函數(shù)已知，而后續(xù)(i,j)的成本函數(shù)，往往與i+1,j+1)和oi現(xiàn)在回到美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。對(duì)一個(gè)給定的股票，令Sk為它在第k天的價(jià)格，有：其中，Xk是從第k-1天到第k天的價(jià)格變化。股票價(jià)格的隨機(jī)游走模型假定隨機(jī)變量是獨(dú)立同分布的，且與已知的初始價(jià)可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃來(lái)計(jì)算這個(gè)資產(chǎn)的期權(quán)價(jià)值，從到期日T（階段)逆序遞歸到階段0（現(xiàn)階段）。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的階段而在給定階段中，狀態(tài)是網(wǎng)格中的結(jié)點(diǎn)。因此，階段k有k+1個(gè)狀態(tài)，記為j=0,1,...,k。階段N的結(jié)點(diǎn)稱為終端結(jié)點(diǎn)。從一個(gè)非終端結(jié)點(diǎn)j可以到下一階段的結(jié)點(diǎn)j+1（向上游走），或結(jié)點(diǎn)j-1（向下游走）從階段0開(kāi)始，為了到達(dá)階段k的結(jié)點(diǎn)j，必須使其在階段0和階段N之間向上移動(dòng)j步，向下移動(dòng)k-j步。S，可以用風(fēng)險(xiǎn)中性概率計(jì)算得后，節(jié)點(diǎn)j處資產(chǎn)價(jià)，可以用風(fēng)險(xiǎn)中性概率計(jì)算得其中，R=1+r，r是一階段的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率。對(duì)于歐式（五）風(fēng)險(xiǎn)控制1.風(fēng)險(xiǎn)控制的定義風(fēng)險(xiǎn)控制是指采取一系列措施和方法來(lái)管理和降低潛在風(fēng)險(xiǎn)的過(guò)程。金融機(jī)構(gòu)、企業(yè)或個(gè)人為了保護(hù)自身利益、確?？沙掷m(xù)穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)，會(huì)進(jìn)行相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)控制活動(dòng)。風(fēng)險(xiǎn)控制的核心目標(biāo)是，在面臨多種風(fēng)險(xiǎn)的情況下，最大限度地減少潛在損失，并確保金融機(jī)構(gòu)或企業(yè)能夠承受未預(yù)料到的風(fēng)險(xiǎn)事件。通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)控制這一手段，組織可以對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)、識(shí)別、評(píng)估以及監(jiān)控，從而采取適當(dāng)?shù)拇胧﹣?lái)降低或管理這些風(fēng)險(xiǎn)。風(fēng)險(xiǎn)控制主要包含以下內(nèi)容：（1）風(fēng)險(xiǎn)識(shí)別和評(píng)估：風(fēng)險(xiǎn)控制的第一步是識(shí)別和評(píng)估可能存在的風(fēng)險(xiǎn)。這包括對(duì)內(nèi)部和外部環(huán)境進(jìn)行全面分析，了解各種風(fēng)險(xiǎn)類型、風(fēng)險(xiǎn)因素和潛在風(fēng)險(xiǎn)事件。（2）風(fēng)險(xiǎn)監(jiān)控（五）風(fēng)險(xiǎn)控制1.風(fēng)險(xiǎn)控制的定義風(fēng)險(xiǎn)控制是指采取一系列措施和方法來(lái)管理和降低潛在風(fēng)險(xiǎn)的過(guò)程。金融機(jī)構(gòu)、企業(yè)或個(gè)人為了保護(hù)自身利益、確?？沙掷m(xù)穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)，會(huì)進(jìn)行相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)控制活動(dòng)。風(fēng)險(xiǎn)控制的核心目標(biāo)是，在面臨多種風(fēng)險(xiǎn)的情況下，最大限度地減少潛在損失，并確保金融機(jī)構(gòu)或企業(yè)能夠承受未預(yù)料到的風(fēng)險(xiǎn)事件。通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)控制這一手段，組織可以對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)、識(shí)別、評(píng)估以及監(jiān)控，從而采取適當(dāng)?shù)拇胧﹣?lái)降低或管理這些風(fēng)險(xiǎn)。風(fēng)險(xiǎn)控制主要包含以下內(nèi)容：（1）風(fēng)險(xiǎn)識(shí)別和評(píng)估：風(fēng)險(xiǎn)控制的第一步是識(shí)別和評(píng)估可能存在的風(fēng)險(xiǎn)。這包括對(duì)內(nèi)部和外部環(huán)境進(jìn)行全面分析，了解各種風(fēng)險(xiǎn)類型、風(fēng)險(xiǎn)因素和潛在風(fēng)險(xiǎn)事件。（2）風(fēng)險(xiǎn)監(jiān)控：一旦風(fēng)險(xiǎn)被識(shí)別和評(píng)估，就需要建立有效的風(fēng)險(xiǎn)監(jiān)控機(jī)制來(lái)及時(shí)捕捉風(fēng)險(xiǎn)信號(hào)。這可以通過(guò)監(jiān)測(cè)關(guān)鍵指標(biāo)、設(shè)置警戒線、實(shí)施實(shí)時(shí)監(jiān)控和利用技術(shù)工具等手段來(lái)實(shí)現(xiàn)。（3）風(fēng)險(xiǎn)防范和規(guī)避：風(fēng)險(xiǎn)控制的目標(biāo)之一是盡可能地防范和規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。這包括采取預(yù)防性措施，制定政策和規(guī)程，確保合規(guī)性，以及遵循最佳實(shí)踐和行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)降低風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的可能性。（4）風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移和分散：在某些情況下，風(fēng)險(xiǎn)無(wú)法完全避免，因此風(fēng)險(xiǎn)控制還包括將風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移給其他實(shí)體或通過(guò)分散投資組合來(lái)降低風(fēng)險(xiǎn)。這可以通過(guò)購(gòu)買保險(xiǎn)、與合作伙伴共享風(fēng)險(xiǎn)、多樣化投資組合等方式來(lái)實(shí)現(xiàn)。（5）風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)和管理：在風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)控制需要制定和實(shí)施相應(yīng)的應(yīng)對(duì)策略和措施。這可能包括靈活調(diào)整業(yè)務(wù)模式、加強(qiáng)內(nèi)部控制、優(yōu)化資本結(jié)構(gòu)、進(jìn)行危機(jī)管理等。風(fēng)險(xiǎn)控制是一種持續(xù)的、系統(tǒng)化的管理過(guò)程，通過(guò)識(shí)別、評(píng)估、監(jiān)控和應(yīng)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)，以降低潛在損失并確保持續(xù)經(jīng)營(yíng)的能力。它在金融行業(yè)中起著至關(guān)重要的作用，有助于維護(hù)金融體系的穩(wěn)定和可持續(xù)發(fā)展。2.風(fēng)險(xiǎn)控制的發(fā)展過(guò)程風(fēng)險(xiǎn)控制在金融行業(yè)的應(yīng)用可以追溯到早期的信用風(fēng)險(xiǎn)管理。隨著金融市場(chǎng)的不斷發(fā)展和創(chuàng)新，風(fēng)險(xiǎn)控制范圍逐漸擴(kuò)大，包括市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)、操作風(fēng)險(xiǎn)、流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)等。風(fēng)險(xiǎn)控制方法和技術(shù)也在不斷進(jìn)步，從最初的人工判斷和規(guī)則制定，逐漸發(fā)展到基于模型和算法的風(fēng)險(xiǎn)控制。風(fēng)險(xiǎn)控制的發(fā)展經(jīng)歷了不斷演變和改進(jìn)的過(guò)程。下面是風(fēng)險(xiǎn)控制發(fā)展的幾個(gè)關(guān)鍵階段：（1）早期階段：在風(fēng)險(xiǎn)控制的早期階段，主要依靠人工經(jīng)驗(yàn)和判斷來(lái)管理風(fēng)險(xiǎn)。這種方法依賴于從業(yè)人員的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)制定一些規(guī)則和限制來(lái)管理風(fēng)險(xiǎn)。例如，在貸款領(lǐng)域，風(fēng)險(xiǎn)控制可能涉及設(shè)置貸款額度上限、審查借款人的信用記錄等。（2）規(guī)則模型階段：隨著金融業(yè)務(wù)的增加和復(fù)雜化，單純的人工判斷和規(guī)則制定逐漸顯得不夠高效和準(zhǔn)確。因此，規(guī)則模型逐漸被引入風(fēng)險(xiǎn)控制過(guò)程中。規(guī)則模型是基于預(yù)先設(shè)定的規(guī)則和條件進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的模型。這些規(guī)則可以根據(jù)特定的業(yè)務(wù)需求和風(fēng)險(xiǎn)因素進(jìn)行制定。例如，金融機(jī)構(gòu)可以根據(jù)借款人的收入、債務(wù)比率等因素制定貸款申請(qǐng)的批準(zhǔn)規(guī)則。（3）統(tǒng)計(jì)模型階段：隨著數(shù)據(jù)的積累和計(jì)算能力的提高，統(tǒng)計(jì)模型開(kāi)始在風(fēng)險(xiǎn)控制中得到廣泛應(yīng)用。統(tǒng)計(jì)模型使用歷史數(shù)據(jù)和數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)方法，通過(guò)分析變量之間的關(guān)系來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。其中一個(gè)常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)模型是信用評(píng)分模型，它根據(jù)借款人的個(gè)人信息、歷史信用記錄等因素，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)評(píng)估借款人的信用風(fēng)險(xiǎn)。（4）風(fēng)險(xiǎn)度量模型階段：隨著金融市場(chǎng)的發(fā)展和金融創(chuàng)新的出現(xiàn)，風(fēng)險(xiǎn)度量成為風(fēng)險(xiǎn)控制的關(guān)鍵要素。風(fēng)險(xiǎn)度量模型旨在量化和評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)的大小和潛在影響。例如，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值模型[23]（Value-at-Risk，VaR）模型是一種常見(jiàn)的風(fēng)險(xiǎn)度量模型，通過(guò)計(jì)算在給定置信水平下資產(chǎn)組合可能的最大損失來(lái)衡量市場(chǎng)風(fēng)（5）實(shí)時(shí)監(jiān)控和預(yù)警系統(tǒng)階段：隨著金融市場(chǎng)的快速變化和風(fēng)險(xiǎn)的即時(shí)性，實(shí)時(shí)監(jiān)控和預(yù)警系統(tǒng)變得越來(lái)越重要。這些系統(tǒng)通過(guò)實(shí)時(shí)獲取和分析數(shù)據(jù)，能夠及時(shí)捕捉到潛在風(fēng)險(xiǎn)信號(hào)，并發(fā)出預(yù)警。這使得金融機(jī)構(gòu)能夠更迅速地采取相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)控制措施，減少損失和風(fēng)險(xiǎn)的擴(kuò)大。總的來(lái)說(shuō)，風(fēng)險(xiǎn)控制的發(fā)展歷程表現(xiàn)為一個(gè)逐步演進(jìn)的進(jìn)程，從依賴工作人員的主觀判斷與經(jīng)驗(yàn)，逐漸發(fā)展為規(guī)則模型、統(tǒng)計(jì)模型、風(fēng)險(xiǎn)度量模型以及實(shí)時(shí)監(jiān)控和預(yù)警系統(tǒng)等多元化的階段。這些不同階段的風(fēng)險(xiǎn)控制方法和手段的不斷改進(jìn)和發(fā)展，為金融機(jī)構(gòu)提供了更加高效且有效的工具，以更好地管理和控制各種風(fēng)險(xiǎn)，從而更好地保護(hù)金融機(jī)構(gòu)自身的利益。3.風(fēng)險(xiǎn)控制的最優(yōu)化模型風(fēng)險(xiǎn)控制模型是用于評(píng)估、量化和管理風(fēng)險(xiǎn)的工具和方法。這些模型基于各種數(shù)據(jù)、指標(biāo)和技術(shù)，通過(guò)分析風(fēng)險(xiǎn)因素、預(yù)測(cè)風(fēng)險(xiǎn)損失和制定風(fēng)險(xiǎn)控制策略來(lái)幫助金融機(jī)構(gòu)、企業(yè)和個(gè)人進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理。VaR是一種常用的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量和管理方法，用于評(píng)估投資組合或資產(chǎn)在給定置信水平下的最大可能損失。VaR指標(biāo)測(cè)量的是在一定時(shí)間內(nèi)的最大潛在損失金額。VaR模型基于歷史數(shù)據(jù)、統(tǒng)計(jì)分析和概率理論，能夠提供對(duì)投資組合的整體風(fēng)險(xiǎn)水平的估計(jì)。對(duì)于投資者而言，“風(fēng)險(xiǎn)”不僅僅只和金融產(chǎn)品的波動(dòng)有關(guān)，它實(shí)際上更在意發(fā)生損失時(shí)損失的幅度，幅度越大，投資者所遭受的打擊也就越大。相反，超額收益的幅度卻沒(méi)有類似的效果，多數(shù)投資者更偏愛(ài)那些可能存在大幅超額收益的金融產(chǎn)品。因此，相較于無(wú)法確定波動(dòng)方向的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，VaR值能夠更好地捕捉投資者所希望的盡可能減小的下行波動(dòng)。條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR（ConditionalValueatRisk）是基于VaR的一個(gè)衡量風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)，它相較VaR有著更好的度量意義上的其中t=t?這個(gè)方程可以看成?的函數(shù)，并且t?t?t?)X為可行的投資組合集。這可能呈現(xiàn)隨機(jī)事件的一些歷史值或是通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬得到的一些值。假設(shè)所有的情境有相同當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度是CVaR時(shí)，所對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問(wèn)題為：t其中，?是計(jì)算CVaR的不同置信水平的指標(biāo)集，?是置信束問(wèn)題中的CVaR函數(shù)，再用隨機(jī)事件的情境來(lái)逼近這個(gè)函數(shù)。使得CVaR約束問(wèn)題有以下的逼近形式：該優(yōu)化模型可使用隨機(jī)規(guī)劃模型進(jìn)行求解。（六）信用評(píng)分1.信用管理與信用評(píng)分的定義作為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)的核心要素，債權(quán)人與債務(wù)人之間的信用關(guān)系在每個(gè)個(gè)體及企業(yè)的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中扮演著至關(guān)重要的角色。這些信用關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜地交織在一起，共同構(gòu)成了社會(huì)經(jīng)濟(jì)的基石。然而，信用風(fēng)險(xiǎn)及其相關(guān)的投資風(fēng)險(xiǎn)也是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)社會(huì)中潛在的巨大風(fēng)險(xiǎn)，一旦失控，可能引發(fā)嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失和社會(huì)動(dòng)蕩。例如在2008年，美國(guó)次級(jí)住房信貸的信用風(fēng)險(xiǎn)引發(fā)了金融市場(chǎng)信用衍生產(chǎn)品的投資風(fēng)險(xiǎn)，最終演變成了一場(chǎng)席卷全球的金融危機(jī)，對(duì)全球經(jīng)濟(jì)發(fā)展造成了重大沖擊。因此，對(duì)于信用風(fēng)險(xiǎn)的有效管理和預(yù)防是維護(hù)經(jīng)濟(jì)社會(huì)穩(wěn)定的重要任務(wù)之一。只有在構(gòu)建一套健全且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男庞霉芾眢w系的基礎(chǔ)上，才能建立起穩(wěn)定可靠的信用關(guān)系，并確保現(xiàn)代市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)持續(xù)發(fā)展和運(yùn)轉(zhuǎn)。這種信用關(guān)系也是支撐信用交易的關(guān)鍵要素。為了滿足從事信用活動(dòng)的機(jī)構(gòu)和個(gè)體對(duì)信用信息的特定需求，專業(yè)化金融機(jī)構(gòu)從而在金融業(yè)務(wù)決策中提供必要的輔助。除了提供類似于征信報(bào)告的服務(wù)外，信用評(píng)分也是金融決策過(guò)程中的重要工具。它是通過(guò)一個(gè)數(shù)學(xué)模型計(jì)算得出，能夠預(yù)測(cè)用戶在未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生信用賬戶違約的可能性，并以整數(shù)分?jǐn)?shù)的形式展現(xiàn)。一般來(lái)說(shuō)，信用評(píng)分越高，預(yù)示著未來(lái)違約的可在具體的業(yè)務(wù)決策環(huán)節(jié)中，信用評(píng)分也具有重要的作用。例如，在金融信貸業(yè)務(wù)中，風(fēng)險(xiǎn)控制系統(tǒng)主要分為貸前、貸中和貸后三個(gè)階段。在貸前階段，主要任務(wù)包括防止欺詐、對(duì)用戶進(jìn)行信用評(píng)級(jí)以及確定適當(dāng)?shù)男刨J定價(jià)。在這個(gè)過(guò)程中，信用評(píng)分模型可以輔助決策，結(jié)合用戶的社交數(shù)據(jù)、行為數(shù)據(jù)、收入數(shù)據(jù)等多方面信息，評(píng)估用戶的信用風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)、履約能力和欺詐風(fēng)險(xiǎn)。在貸中風(fēng)控環(huán)節(jié)，針對(duì)已放款的用戶進(jìn)行管理，同樣可以使用評(píng)分卡模型輔助客戶管理和運(yùn)營(yíng)策略的制定。而在貸后階段，針對(duì)逾期用戶的管理和催收工作，同樣可以利用信用評(píng)分來(lái)進(jìn)行有效2.信用評(píng)分開(kāi)發(fā)的步驟信用評(píng)分的開(kāi)發(fā)可以被分為以下八個(gè)主要步驟：（1）目標(biāo)變量定義：定義評(píng)分模型Y變量的信用風(fēng)險(xiǎn)事件與表現(xiàn)窗口時(shí)長(zhǎng)。時(shí)間軸以觀測(cè)時(shí)點(diǎn)分為觀察期（用戶在這段時(shí)期的數(shù)據(jù)被用來(lái)構(gòu)造評(píng)分模型自變量X）與表現(xiàn)期（用戶在這段時(shí)期的信用賬戶逾期數(shù)據(jù)被用來(lái)構(gòu)造評(píng)分模型目標(biāo)變量Y）；（2）樣本選擇：定義評(píng)分排除人群、評(píng)分模型的開(kāi)發(fā)與驗(yàn)證樣本；（3）子群劃分：對(duì)全樣本劃分子群，并對(duì)每一個(gè)子群?jiǎn)为?dú)建立模型，提升評(píng)分模型效果；（4）信用屬性構(gòu)建：信用屬性作為自變量X被用于評(píng)分模型開(kāi)發(fā)；（5）模型擬合：經(jīng)過(guò)信用屬性的初選、轉(zhuǎn)化、在模型中進(jìn)一步的變量選擇、相關(guān)性檢驗(yàn)等一系列步驟，確定最終模型中使用的自變量以及對(duì)應(yīng)的參數(shù)估計(jì)值。模型的輸出為用戶未來(lái)違約概率的預(yù)測(cè)值（介于0與1之間的數(shù)值）；（6）模型驗(yàn)證：在獨(dú)立樣本上驗(yàn)證模型預(yù)測(cè)值的區(qū)分能力、精準(zhǔn)度，以及模型預(yù)測(cè)值分布的穩(wěn)定性。區(qū)分能力的重要性早已經(jīng)被人們熟知，但精準(zhǔn)度實(shí)際上同樣重要，因?yàn)樵u(píng)分模型的精準(zhǔn)度會(huì)直接影響到相關(guān)風(fēng)控策略的有效性；（7）分?jǐn)?shù)映射：模型的輸出為用戶未來(lái)違約概率的預(yù)測(cè)值（介于0與1之間的數(shù)值但通常在使用中，習(xí)慣以一個(gè)整數(shù)分?jǐn)?shù)反映個(gè)人信用風(fēng)險(xiǎn)的高低。因此，需要將模型直接輸出的概率預(yù)測(cè)值通過(guò)數(shù)學(xué)公式（一個(gè)單調(diào)函數(shù)）轉(zhuǎn)化為整數(shù)評(píng)分值；（8）負(fù)向原因：為每位具有評(píng)分的用戶生成幾個(gè)導(dǎo)致分?jǐn)?shù)較低的可解釋的關(guān)鍵性原因。在眾多國(guó)家和地區(qū)的信貸業(yè)務(wù)中，監(jiān)管機(jī)構(gòu)強(qiáng)制要求金融機(jī)構(gòu)向用戶提供至少一個(gè)其信用評(píng)分未達(dá)到最高分的原因。此類原因可能包括以往的嚴(yán)重逾期情況、過(guò)短的信用歷史、過(guò)高的負(fù)債以及過(guò)多的借貸查詢次數(shù)等。這一舉措旨在為用戶指明改進(jìn)個(gè)人信用記錄的方向，從而獲得更優(yōu)質(zhì)的信用評(píng)分。實(shí)際上，信用評(píng)分開(kāi)發(fā)完畢后還有以下兩個(gè)非常重要的步驟。評(píng)分上線前的驗(yàn)證：確保技術(shù)開(kāi)發(fā)人員正確實(shí)施評(píng)分所用到的信用屬性以及模型算法。評(píng)分的定期監(jiān)控：定期監(jiān)測(cè)評(píng)分在最新樣本上的表現(xiàn)，與模型開(kāi)發(fā)或驗(yàn)證樣本相比判斷評(píng)分的區(qū)分能力是否有下降、精準(zhǔn)度是否有下降（尤其是評(píng)分是否會(huì)低估用戶的信用風(fēng)險(xiǎn)）、評(píng)分分布是否穩(wěn)定（如果評(píng)分分布有明顯變化，會(huì)直接影響到用戶貸前授信與貸中借款的通過(guò)率）。根據(jù)監(jiān)控結(jié)果決定是否需要優(yōu)化，甚至重新開(kāi)發(fā)評(píng)分模型。3.標(biāo)準(zhǔn)評(píng)分卡最優(yōu)化模型標(biāo)準(zhǔn)的信用評(píng)分卡模型是利用邏輯回歸模型將相關(guān)的數(shù)據(jù)變成評(píng)分分?jǐn)?shù)，進(jìn)而輔助信貸風(fēng)控決策。邏輯回歸模型利用極大似然估計(jì)法，在數(shù)學(xué)上求解如下的優(yōu)化問(wèn)題：并由此得到對(duì)發(fā)生概率和風(fēng)險(xiǎn)幾率的預(yù)測(cè)：)式可以看出，邏輯回歸模型是一種廣義線性模型。在信用評(píng)分卡模型中，變量一般不使用它的原始形式，而是會(huì)進(jìn)行變量變換操作。連續(xù)變量會(huì)首先進(jìn)行分箱操作，劃分成一組區(qū)間，分類變量也會(huì)進(jìn)行分類歸并，這樣可以降低極端取值的影響，增強(qiáng)模型的穩(wěn)定性。在信用評(píng)分卡模型建模流程中，還會(huì)進(jìn)一步將進(jìn)行證據(jù)權(quán)重編碼（WeightofEvidence，WOE）。這種編碼方式會(huì)把變量某種取值下的樣本對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)化成對(duì)數(shù)取值，實(shí)質(zhì)上是將對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)幾率線性化。二值化表現(xiàn)標(biāo)簽對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)。不難看出證據(jù)權(quán)重編碼和邏輯回歸模型中對(duì)數(shù)風(fēng)險(xiǎn)幾率的聯(lián)系。在證據(jù)權(quán)重編碼變化下，編碼取值反映了目標(biāo)表現(xiàn)和變量取值之間的聯(lián)系，編碼取值的正負(fù)直接對(duì)應(yīng)了風(fēng)險(xiǎn)幾率的高低。所以在具有良好業(yè)務(wù)可解釋性的模型中然而如果模型使用的變量具有較強(qiáng)相關(guān)性時(shí)，模型就不能滿足這樣的性質(zhì)要求，得到的模型在可解釋性方面存在缺陷，一般不被信貸風(fēng)控業(yè)務(wù)應(yīng)用所接受。因此，在實(shí)踐中需要經(jīng)過(guò)特征篩從而獲得業(yè)務(wù)應(yīng)用認(rèn)可。模型特征篩選，一般都會(huì)利用特征與目標(biāo)表現(xiàn)變量的相關(guān)性。IV來(lái)衡量單個(gè)特征對(duì)目標(biāo)變量預(yù)測(cè)的重要程度。其計(jì)算方式基于證據(jù)權(quán)重編碼：這里是單個(gè)變量對(duì)應(yīng)的不同取值總數(shù)。信息值具有這樣的性質(zhì)，信息值越高，特征的目標(biāo)預(yù)測(cè)能力越強(qiáng)。在信用評(píng)分卡模型特征篩選中，當(dāng)特征信息值小于0.02時(shí)，一般認(rèn)為特征對(duì)風(fēng)險(xiǎn)表現(xiàn)預(yù)測(cè)能力很弱，不作為模型使用的特征。另一方面，特征之間的相關(guān)性較高時(shí)，一般只保留信息值高的特征作為入模特征。然后根據(jù)一些給定的規(guī)則或者人工經(jīng)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行進(jìn)一步的建模和特征篩選迭代。最終入選模型的特征確定并訓(xùn)練得到模型后，再根據(jù)信貸業(yè)務(wù)需要，給定參數(shù)和,就可以利用如下的評(píng)分公式，得到形如表1中的標(biāo)準(zhǔn)信用評(píng)分卡。評(píng)分項(xiàng)取值分?jǐn)?shù)基礎(chǔ)分年齡<25基礎(chǔ)分年齡<2525~3536~55>55<10K10K~30K30K~50K>50K+5+15+25+5+40+80.........三、量子計(jì)算基礎(chǔ)量子計(jì)算是利用量子力學(xué)理論進(jìn)行計(jì)算的一類技術(shù)，包括量子計(jì)算機(jī)軟硬件系統(tǒng)和量子算法兩個(gè)核心組成部分。其中，量子計(jì)算機(jī)硬件系統(tǒng)的基本單元是量子比特，它和操作量子比特的量子門共同構(gòu)成了量子線路。由于量子比特具有高度的并行性，因此可以實(shí)現(xiàn)二次加速甚至是指數(shù)級(jí)的加速效果。然而，量子計(jì)算機(jī)的基本運(yùn)算過(guò)程與經(jīng)典計(jì)算機(jī)存在顯著的差異，因此需要采用專門的量子算法進(jìn)行計(jì)算。當(dāng)前，已經(jīng)開(kāi)發(fā)出了多種量子計(jì)算模型，例如量子電路模型、絕熱量子計(jì)算模型等。盡管量子計(jì)算技術(shù)具有巨大的潛力，但當(dāng)前實(shí)現(xiàn)大量量子比特仍然面臨挑戰(zhàn)。（一）量子計(jì)算機(jī)系統(tǒng)傳統(tǒng)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)包括硬件系統(tǒng)和軟件系統(tǒng)兩部分。其中硬件系統(tǒng)主要包括中央處理、存儲(chǔ)器以及其他外部設(shè)備。軟件系統(tǒng)則是為運(yùn)行、管理及維護(hù)計(jì)算機(jī)而編制的各種程序、數(shù)據(jù)以及文檔的總稱。當(dāng)前，量子計(jì)算這一新興計(jì)算模式在通用體系結(jié)構(gòu)方面尚未達(dá)成統(tǒng)一，且在硬件層面的技術(shù)路線也未最終明朗，因此現(xiàn)階段對(duì)于量子計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的研究和探索主要基于現(xiàn)有的技術(shù)以及傳統(tǒng)的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)。為了充分發(fā)揮量子計(jì)算的優(yōu)勢(shì)，量子計(jì)算機(jī)需要與特定的量子算法進(jìn)行配合使用，這就需要對(duì)量子系統(tǒng)的相干性、疊加性、并行性、糾纏性以及波函數(shù)塌縮特性進(jìn)行充分的利用。因此，量子軟硬件之間的協(xié)作是必不可少的。1.量子計(jì)算機(jī)硬件系統(tǒng)量子計(jì)算機(jī)硬件結(jié)構(gòu)主要由量子芯片、量子芯片支持系統(tǒng)和量子計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)組成[24]。量子芯片是量子計(jì)算機(jī)的核心，包括量子比特的物理實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)及其他必要的信號(hào)傳輸線路。根據(jù)不同的技術(shù)路線，量子芯片具有多種不同的形態(tài)，例如超導(dǎo)量子芯片、半導(dǎo)體量子芯片以及離子阱、拓?fù)浜凸饬孔拥绕渌孔佑?jì)算體系的實(shí)現(xiàn)。量子芯片的主要性能參數(shù)有量子比特?cái)?shù)量、相干時(shí)間和保真度。其主要功能便是承載量子比特信息及其演化過(guò)程。量子芯片支持系統(tǒng)用于提供量子芯片所必需的運(yùn)行環(huán)境。當(dāng)前量子芯片的運(yùn)行環(huán)境具有一些特定的要求，如極低的環(huán)境溫度，極低的環(huán)境電磁輻射等，需要特殊的硬件系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。量子芯片支持系統(tǒng)便是提供能維持量子芯片運(yùn)行的基本環(huán)境。量子計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，用于實(shí)現(xiàn)對(duì)量子芯片的控制，以完成運(yùn)算過(guò)程并獲得運(yùn)算結(jié)果。量子計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)提供的是以下兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題的解決方案：如何將運(yùn)算任務(wù)轉(zhuǎn)化為對(duì)量子芯片中量子比特的控制指令；以及如何從量子芯片上量子比特的量子態(tài)中提取出運(yùn)算結(jié)果。其背后的基礎(chǔ)是，如何實(shí)施量子邏輯門操作，以及如何實(shí)施量子比特讀取。量子邏輯門操作的本質(zhì)是使一組量子比特經(jīng)過(guò)指定的受控量子演化過(guò)程。實(shí)施這樣的受控量子演化過(guò)程，需要借助精密的脈沖信號(hào)，通?？梢允褂酶咚偃我獠ㄐ伟l(fā)生器、商用微波源、混頻線路等的組合來(lái)實(shí)現(xiàn)。當(dāng)然，通過(guò)對(duì)光場(chǎng)、磁場(chǎng)甚至機(jī)械聲波的調(diào)控，也可以在某些量子芯片體系中實(shí)現(xiàn)量子邏輯門操作。量子態(tài)的讀取有多種方式，但考慮到需要讀取量子芯片中某個(gè)或者某組量子比特的量子態(tài)，必須要使用一種稱之為非破壞性測(cè)量的方式，以消除因測(cè)量導(dǎo)致的反作用。通常采用的方法是在量子比特結(jié)構(gòu)旁邊設(shè)計(jì)一個(gè)對(duì)量子態(tài)敏感的探測(cè)器，通過(guò)探測(cè)探測(cè)器的響應(yīng)來(lái)間接推測(cè)量子比特的量子態(tài)。2.量子計(jì)算機(jī)軟件系統(tǒng)量子計(jì)算機(jī)軟件系統(tǒng)目前包括量子計(jì)算程序以及量子計(jì)算機(jī)操作系統(tǒng)。由于量子計(jì)算的實(shí)現(xiàn)邏輯與經(jīng)典計(jì)算有所不同，經(jīng)典計(jì)算軟件不能完全移植延續(xù)，因此量子計(jì)算基礎(chǔ)運(yùn)行類、計(jì)算開(kāi)發(fā)類和應(yīng)用服務(wù)類軟件均需要在量子計(jì)算框架下進(jìn)行重新構(gòu)量子計(jì)算機(jī)程序現(xiàn)階段主要為實(shí)現(xiàn)一些量子算法的計(jì)算，例如傳統(tǒng)的Shor算法、Grover算法等，以及新興的量子機(jī)器學(xué)習(xí)算法等。開(kāi)發(fā)者和研究者們大多使用“量子線路圖”、“量子計(jì)算匯編語(yǔ)言”、“量子計(jì)算高級(jí)編程語(yǔ)言”的方式，進(jìn)行量子計(jì)算機(jī)程序的編程工作。量子計(jì)算機(jī)操作系統(tǒng)是量子計(jì)算機(jī)最為基礎(chǔ)的系統(tǒng)軟件之一，最近一些研究人員和開(kāi)發(fā)者也進(jìn)行了布局和開(kāi)發(fā)。量子計(jì)算機(jī)操作系統(tǒng)主要職責(zé)為量子硬件設(shè)備的管理，量子計(jì)算資源的調(diào)度和優(yōu)化，以及提供用戶使用的服務(wù)接口。（二）量子計(jì)算模型1.量子電路模型量子線路，也稱量子邏輯電路，是最常用的通用量子計(jì)算模型之一。它是對(duì)于量子比特進(jìn)行操作的線路，組成包括了量子比特、線路（時(shí)間線），以及各種邏輯門。最后常需要量子測(cè)量將結(jié)果讀取出來(lái)。量子線路既包含了組合邏輯，又包含了時(shí)序邏輯，每個(gè)“導(dǎo)線”攜帶邏輯量子比特信息，傳輸?shù)搅孔娱T操作中來(lái)進(jìn)行對(duì)量子比特的作用[25]。量子電路模型通常通過(guò)電路圖來(lái)展示，導(dǎo)線通常表示為水平的直線，量子邏輯門從左到右沿著導(dǎo)線排列，量子門操作通常表示為矩形塊[26]。2.基于測(cè)量的量子計(jì)算模型通常情況下，基于測(cè)量的量子計(jì)算模型默認(rèn)為2001年Raussendorf和Briegel提出的單向量子計(jì)算（One-WayQuantumComputation，1WQC）模型[27,28]。與量子電路模型通過(guò)門操作來(lái) 得到目標(biāo)量子態(tài)不同，1WQC模型通過(guò)三個(gè)步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算過(guò)程。首先系統(tǒng)初始制備1個(gè)可用于普適量子計(jì)算的特定糾纏態(tài)，一般稱呼為“普適資源態(tài)”，并劃分為S1和S2兩部分。然后依次對(duì)S1部分執(zhí)行適應(yīng)性的單量子比特測(cè)量，即該過(guò)程中的測(cè)量操作都是作用在單量子比特上的，且后一步測(cè)量操作的設(shè)置依賴于前一步的測(cè)量結(jié)果。最后根據(jù)測(cè)量S1的結(jié)果，對(duì)作為輸出態(tài)的S2部分執(zhí)行局部的泡利操作X和Z，從而確定性的得到目標(biāo)態(tài)，這一步也叫做泡利修正。如果還需進(jìn)一步讀取該輸出態(tài)的測(cè)量結(jié)果，那么泡利修正可直接吸收到對(duì)輸出態(tài)的測(cè)量操作中[29]。3.絕熱量子計(jì)算模型絕熱量子計(jì)算模型[30]是一種依賴于絕熱理論進(jìn)行計(jì)算的量子計(jì)算模型。如果一個(gè)哈密頓量的基態(tài)描述了所感興趣的問(wèn)題的解，就可以通過(guò)絕熱量子計(jì)算來(lái)獲得這個(gè)解。首先準(zhǔn)備一個(gè)具有簡(jiǎn)單哈密頓量的系統(tǒng)，并將其初始化為基態(tài)。然后將該簡(jiǎn)單哈密頓量絕熱演化為所需的目標(biāo)哈密頓量。根據(jù)絕熱定理，系統(tǒng)保持基態(tài)，因此在最后系統(tǒng)的狀態(tài)描述了目標(biāo)問(wèn)題的解。這便是絕熱量子計(jì)算模型實(shí)現(xiàn)的過(guò)程，且已被證明在電路模型中與傳統(tǒng)量子計(jì)算在多項(xiàng)式上等效。4.拓?fù)淞孔佑?jì)算模型拓?fù)淞孔佑?jì)算模型[31]是利用拓?fù)湎到y(tǒng)來(lái)存儲(chǔ)量子信息并進(jìn)行量子計(jì)算的一種模型。這種系統(tǒng)由具有特殊性質(zhì)的稱為“任意子”的準(zhǔn)粒子構(gòu)成。任意子的相位交換可產(chǎn)生等同量子邏輯門的作用效果，從而實(shí)現(xiàn)量子信息的處理，完成相當(dāng)精確的量子計(jì)算（三）量子計(jì)算機(jī)物理實(shí)現(xiàn)與挑戰(zhàn)1.物理實(shí)現(xiàn)目前量子計(jì)算機(jī)的發(fā)展還處于起步階段，多種技術(shù)方向均在進(jìn)行探索，主要包括超導(dǎo)量子、離子阱量子等方案。超導(dǎo)量子計(jì)算是基于超導(dǎo)電路的量子計(jì)算方案，超導(dǎo)量子比特利用約瑟夫森結(jié)在低溫下的非線性效應(yīng)，構(gòu)造出電荷量子比特、磁通量子比特和相位量子比特等[32]。根據(jù)芯片設(shè)計(jì)思路和所選用耦合、布局?jǐn)U展方式，陣列式的擴(kuò)展方案實(shí)現(xiàn)的一維或者二維陣列，有利于實(shí)現(xiàn)量子算法編程，環(huán)繞式的擴(kuò)展方案有利于實(shí)現(xiàn)最大糾纏和全耦合。物理學(xué)家提出了多種基于超導(dǎo)電路的量子比特形式，最常見(jiàn)的是Transmon比特和Fluxonium比特。超導(dǎo)量子電路在設(shè)計(jì)、制備和測(cè)量等方面，與現(xiàn)有的集成電路技術(shù)具有較高的兼容性，對(duì)量子比特的能級(jí)與耦合可以實(shí)現(xiàn)非常靈活的設(shè)計(jì)與控制，極具規(guī)?；臐摿?。由于近年來(lái)的迅速發(fā)展，超導(dǎo)量子計(jì)算已成為目前最有希望實(shí)現(xiàn)通用量子計(jì)算的候選方案之一。由于經(jīng)典計(jì)算機(jī)主要基于半導(dǎo)體技術(shù)，基于半導(dǎo)體開(kāi)發(fā)量子計(jì)算也是物理學(xué)家研究的重點(diǎn)領(lǐng)域。相比超導(dǎo)量子計(jì)算微米級(jí)別的比特大小，量子點(diǎn)量子比特所占的空間是納米級(jí)別，類似于大規(guī)模集成電路一樣，更有希望實(shí)現(xiàn)大規(guī)模的量子芯片?，F(xiàn)在的主要方法是在硅或者砷化鎵等半導(dǎo)體材料上制備門控量子點(diǎn)來(lái)編碼量子比特，半導(dǎo)體量子點(diǎn)是把激子在三維空間上束縛住的半導(dǎo)體納米結(jié)構(gòu)。通過(guò)向純硅中加入電子，科學(xué)家們?cè)斐隽斯枇孔狱c(diǎn)這種人造原子，并運(yùn)用微波控制電子的量子態(tài)。編碼量子比特的方案多種多樣，在半導(dǎo)體系統(tǒng)中主要是通過(guò)對(duì)電子的電荷或者自旋量子態(tài)的控制實(shí)現(xiàn)[33]。離子阱量子計(jì)算在影響范圍方面僅次于超導(dǎo)量子計(jì)算。離子阱的技術(shù)原理是利用電荷與電磁場(chǎng)間的相互作用力牽制帶電粒子體運(yùn)動(dòng)，并利用受限離子的基態(tài)和激發(fā)態(tài)組成的兩個(gè)能級(jí)作為量子比特的0和1，離子阱是一種將離子通過(guò)電磁場(chǎng)限定在有限空間內(nèi)的設(shè)備。單比特的操控可以通過(guò)加入滿足比特兩個(gè)能級(jí)差的頻率的激光實(shí)現(xiàn)，兩比特操控可以通過(guò)調(diào)節(jié)離子之間的庫(kù)倫相互作用實(shí)現(xiàn)[33]。2.面臨的挑戰(zhàn)雖然目前擁有幾十個(gè)或者上百個(gè)比特的量子計(jì)算機(jī)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)，但是想要制造出可以有效工作的通用量子計(jì)算機(jī)對(duì)當(dāng)前的科學(xué)研究來(lái)說(shuō)仍然是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)。2000年IBM的研究員DiVincenzo提出了5條準(zhǔn)則（即DiVincenzocriteria只有滿足準(zhǔn)則的物理體系，才有望構(gòu)建出可行的量子計(jì)算機(jī)[34]：（1）具有一個(gè)能夠很好表征量子比特的可擴(kuò)展的物理系統(tǒng)；（2）具備初始化量子態(tài)到初始態(tài)的能力；（3）具有遠(yuǎn)超量子門操作時(shí)間的退相干時(shí)間；（4）具有一套通用的量子門；（5）具有特定量子比特的測(cè)量能力。在過(guò)去的十幾年中，許多量子比特技術(shù)得到了顯著的改進(jìn)，但通往通用量子計(jì)算機(jī)的道路還面臨很多困難。首先便是當(dāng)前的量子比特表征會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，較高的錯(cuò)誤率導(dǎo)致計(jì)算誤差太大從而失去實(shí)際使用意義。雖然目前糾錯(cuò)的方法已經(jīng)在研究當(dāng)中，但誤差率還不能達(dá)到令人滿意的范圍。其次，量子比特的相干時(shí)間還比較短，可能導(dǎo)致一些大規(guī)模的算法無(wú)法在相干時(shí)間內(nèi)完成，從而無(wú)法實(shí)現(xiàn)。下一個(gè)挑戰(zhàn)便是量子比特規(guī)模的擴(kuò)展，制造大規(guī)模量子比特的集成電路受結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和制造工藝等因素影響，目前還在相對(duì)緩慢的發(fā)展中，同時(shí)隨著量子比特規(guī)模的增大，還會(huì)帶來(lái)控制難度的增加。二次無(wú)約束二進(jìn)制優(yōu)化（QuadraticUnconstrainedBinaryOptimization，QUBO）問(wèn)題是指在二進(jìn)制約束條件下尋找二次目標(biāo)函數(shù)最小值的優(yōu)化問(wèn)題。特別地，QUBO問(wèn)題可以描述金融系統(tǒng)中的許多復(fù)雜和不確定的因素，如市場(chǎng)波動(dòng)、資產(chǎn)相關(guān)性、交易成本等，而這些因素對(duì)于金融決策和風(fēng)險(xiǎn)控制是至關(guān)重要的。目前，QUBO問(wèn)題在金融領(lǐng)域中已經(jīng)有諸多應(yīng)用，例如投資組合優(yōu)化、資產(chǎn)定價(jià)以及最優(yōu)套利等。本章接下來(lái)的內(nèi)容將具體介紹QUBO問(wèn)題的相關(guān)概念以及求解該問(wèn)題的經(jīng)典求解器和量子求解器。（一）QUBO問(wèn)題的基本描述n為長(zhǎng)度為n的二進(jìn)制向量，即要優(yōu)化的變量只能取值為0或1。盡管其形式簡(jiǎn)單，QUBO問(wèn)題可以表示不同領(lǐng)域中的大量問(wèn)題。有些問(wèn)題可以自然地表示為QUBO問(wèn)題，另一些問(wèn)題經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化后也可以表述為QUBO形式。QUBO不僅僅應(yīng)用于金融領(lǐng)域，也出現(xiàn)在其他領(lǐng)域中，包括物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、交通管理和計(jì)算機(jī)科學(xué)等。參閱文獻(xiàn)[35]了解自20世紀(jì)60年代以來(lái)此問(wèn)題的研QUBO問(wèn)題是NP-hard問(wèn)題，理論上其真實(shí)最小值一般難以求解。然而在實(shí)踐中，啟發(fā)式方法給出的近似解已經(jīng)足夠良好，可以滿足應(yīng)用場(chǎng)景的需要。術(shù)語(yǔ)“無(wú)約束”是指，除了要求解的是一個(gè)二進(jìn)制向量之外，沒(méi)有其他約束條件。然而，某些約束問(wèn)題也可以通過(guò)添加懲罰項(xiàng)來(lái)轉(zhuǎn)化為QUBO問(wèn)題。特別是，具有如下形式的一般組合優(yōu)化問(wèn)題（CombinatorialOptimizationProblems，COP）：{通過(guò)將其線性約束替換為懲罰項(xiàng)，可被表示為QUBO形式，問(wèn)題可以被其中常數(shù)?和的值由原始的QUBO確定。這問(wèn)題更直接地適用于受物理啟發(fā)的方法，包括經(jīng)典解法，如數(shù)字退火（DigitalAnnealing，DA）[36]和基于張量網(wǎng)絡(luò)的方法[37]；以及量子方法，如量子退火器（例如D-Wave制造的退火器）和量子近似優(yōu)化算法（QuantumApproximateOptimizationAlgorithm，QAOA）。3.HOBO優(yōu)化問(wèn)題高階二進(jìn)制優(yōu)化問(wèn)題（HigherOrderBinaryOptimization，HOBO）是QUBO的一種推廣模型，它的最小化的表達(dá)式如下所示：?????樣的轉(zhuǎn)化非常必要，因?yàn)槟壳癉A求解器只能處理QUBO形式需要注意的是，QAOA或VQE量子算法可直接用于求解HOBO問(wèn)題，而不需要進(jìn)行二次化。（二）QUBO的經(jīng)典求解器由于QUBO問(wèn)題的廣泛適用性，多年來(lái)出現(xiàn)了許多強(qiáng)大的經(jīng)典求解器。它們可分為以下幾類：1.精確求解器精確求解器是指能得到QUBO問(wèn)題的真實(shí)最小值的求解器。雖然已經(jīng)提出了許多精確求解器，但它們能夠處理的QUBO問(wèn)題所包含的二進(jìn)制變量都在100個(gè)以內(nèi)。精確求解器的一個(gè)例子是分支定界算法，它通過(guò)將問(wèn)題分解為較小的子問(wèn)題，系統(tǒng)地探索解空間。在每一步中，算法計(jì)算子問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)值，并修剪不能得到最優(yōu)解的分支。有研究[39]已經(jīng)提出了一種量子方法來(lái)加速分支定界算法，可以在經(jīng)典算法的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)近二次加速。不過(guò)在最壞情況下，該量子算法仍需要指數(shù)量級(jí)的運(yùn)行時(shí)間，并不適用于求解大規(guī)模問(wèn)題。2.啟發(fā)式求解器啟發(fā)式求解器可以快速找到QUBO問(wèn)題的解，但不能保證是最優(yōu)解，通常只返回近似解。啟發(fā)式求解器一般可以處理包含1000到10000個(gè)二進(jìn)制變量的較大規(guī)模的問(wèn)題。啟發(fā)式求解器的一個(gè)例子是模擬退火（SimulatedAnnealing，SA），它從一個(gè)初始解開(kāi)始，并通過(guò)隨機(jī)翻轉(zhuǎn)二進(jìn)制變量的值逐漸修正初始解。該算法以一定的概率接受更差的解。隨著時(shí)間的推移，這個(gè)概率會(huì)逐漸降低，這使得算法能夠有效地逃脫局部最優(yōu)解。3.商業(yè)求解器在金融領(lǐng)域，最先進(jìn)的商業(yè)求解器是Gurobi和CPLEX。它們?cè)诠I(yè)界和學(xué)術(shù)界的基準(zhǔn)測(cè)試中被廣泛使用。Gurobi和CPLEX都是優(yōu)化引擎，為解決線性、二次和混合整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題提供了廣泛的算法和技術(shù)，特別適合于求解QUBO問(wèn)題。它們高效且可擴(kuò)展，并使用各種優(yōu)化技術(shù)，包括精確方法、啟發(fā)式方法和結(jié)合多種技術(shù)的混合方法。4.數(shù)字退火器除了采用軟件求解器之外，數(shù)字退火器也被應(yīng)用于求解QUBO問(wèn)題。數(shù)字退火器是一種專用于解決組合優(yōu)化問(wèn)題的硬件同時(shí)呈現(xiàn)出更好的性能[40]。（三）量子求解器由于QUBO問(wèn)題可以被映射到伊辛模型，因此各種基于量子理論的方法都可以作為QUBO問(wèn)題的求解器。這些方法將在本白皮書的下一章節(jié)中詳細(xì)介紹。這里僅簡(jiǎn)要介紹其中幾個(gè)較為受歡迎的方案：Eigensolver，VQE）VQE是一種混合量子-經(jīng)典算法，最初用于尋找物理或化學(xué)系統(tǒng)的基態(tài)能量。它可以通過(guò)將QUBO目標(biāo)函數(shù)映射到量子系統(tǒng)的哈密頓量來(lái)求解QUBO問(wèn)題，其中QUBO問(wèn)題的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的基態(tài)。將VQE應(yīng)用于任何特定問(wèn)題都需要設(shè)計(jì)一個(gè)量子電路（稱為ansatz）。電路包含可調(diào)參數(shù)，這些參數(shù)可通過(guò)梯度下降的方法借助經(jīng)典優(yōu)化算法進(jìn)行調(diào)整。2.量子近似優(yōu)化算法（QAOA）QAOA是一種混合量子-經(jīng)典算法，用于解決組合優(yōu)化問(wèn)題。在QUBO問(wèn)題中，每個(gè)二進(jìn)制變量都被映射到單量子比特量子態(tài)，并且QUBO目標(biāo)函數(shù)被編碼在量子系統(tǒng)的哈密頓量（能量函數(shù)）中。通過(guò)將初始哈密頓量和問(wèn)題哈密頓量交替作用于系統(tǒng)上產(chǎn)生試探波函數(shù)，使其相對(duì)于問(wèn)題哈密頓量的期望值朝著目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的問(wèn)題哈密頓量的基態(tài)演化，該基態(tài)就對(duì)應(yīng)于QUBO問(wèn)題的最優(yōu)解。QAOA可以看作VQE的一個(gè)特例，其中ansatz具有適用于組合優(yōu)化問(wèn)題的特定形式。與一般的VQE相比，對(duì)于給定的電路深度，QAOA電路的可調(diào)參數(shù)也相對(duì)較少。3.量子退火（QuantumAnnealing）在此方法中，QUBO問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)被轉(zhuǎn)化為物理系統(tǒng)的能量函數(shù)，該函數(shù)可在量子退火設(shè)備上實(shí)現(xiàn)物理優(yōu)化（而QAOA和VQE可在基于門的量子計(jì)算機(jī)上運(yùn)行）。這種量子退火設(shè)備是由諸如D-Wave公司開(kāi)發(fā)的。隨后，量子退火設(shè)備將系統(tǒng)演化至其基態(tài)，該基態(tài)對(duì)應(yīng)于QUBO問(wèn)題的最優(yōu)解。五、量子優(yōu)化算法金融領(lǐng)域涉及的優(yōu)化問(wèn)題眾多，其中包括資產(chǎn)配置、投資組合管理、風(fēng)險(xiǎn)管理等業(yè)務(wù)，前文已經(jīng)有所提及。然而，大多數(shù)優(yōu)化問(wèn)題仍未能被量子算法解決。目前，量子算法主要集中于解決組合優(yōu)化問(wèn)題，該問(wèn)題在資產(chǎn)定價(jià)、風(fēng)險(xiǎn)管理、期權(quán)定價(jià)等業(yè)務(wù)中均有涉及。本章將詳細(xì)介紹解決組合優(yōu)化問(wèn)題的量子算法，包括量子變分算法（VariationalQuantumAlgorithms，VQA）、量量子退火、量子近似優(yōu)化算法、Grover適應(yīng)性搜索算法（GroverAdaptiveSearch，GAS）、HHL算法以及光量子相干伊辛算法（CoherentIsingMachine，CIM）。（一）變分量子算法VQA算法并非一個(gè)具體的算法，而是一套算法框架。沿用此框架的QAOA算法，VQE算法可以用來(lái)求解特定成本函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題。由于VQA算法對(duì)噪聲的抵抗性較強(qiáng)，并與經(jīng)典神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)較為相似，因此廣泛受到學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的關(guān)注。VQA算法可以用于投資組合優(yōu)化，金融產(chǎn)品定價(jià)，因子特征選取等領(lǐng)1.算法介紹變分量子算法是一類混合量子經(jīng)典算法，旨在與NISQ時(shí)代的量子計(jì)算機(jī)兼容。該算法框架基于參數(shù)化量子電路（ParameterizedQuantumCircuits，PQC如圖1所示。這些電路包含具有可調(diào)參數(shù)的量子門，并嵌入在經(jīng)典優(yōu)化循環(huán)中。經(jīng)典優(yōu)化過(guò)程期望尋找最優(yōu)參數(shù)，以使得成本函數(shù)值(一般對(duì)應(yīng)于某個(gè)哈密頓量的期望)最小。最終，在最優(yōu)參數(shù)下，電路的輸出態(tài)為給定問(wèn)題的解。VQA將會(huì)選代下列步驟多次:(1)運(yùn)行具有可調(diào)參數(shù)的量子電路。（2）測(cè)量電路的輸出并計(jì)算與成本函數(shù)相應(yīng)的問(wèn)題哈密頓量的期望值。（3）通過(guò)經(jīng)典優(yōu)化過(guò)程更新參數(shù)，以最小化與成本函數(shù)相應(yīng)的問(wèn)題哈密頓量的期望值。VQA的優(yōu)勢(shì)在于此類算法高度可定制，可以應(yīng)用于各種問(wèn)題，從金融（例如，投資組合優(yōu)化）到化學(xué)（例和生物學(xué)（例如，蛋白質(zhì)折疊可以根據(jù)用戶可用的量子處理器進(jìn)行定制。VQA框架具有極大的通用性和靈活性。在使用VQA來(lái)求解特定問(wèn)題時(shí)，需要指定電路Ansatz（即PQC的架構(gòu)和設(shè)計(jì)）、參數(shù)更新方法（即經(jīng)典優(yōu)化器的選擇）以及要優(yōu)化的成本函數(shù)。根據(jù)不同的設(shè)定，算法可能會(huì)被賦予不同的名稱：算法名稱詳細(xì)說(shuō)明VQA這個(gè)框架非常靈活，允許任意的Ansatz，任意的參數(shù)更新規(guī)則和任意的成本函數(shù)QAOA[41]基于特定Ansatz，但在具有有限量子比特連接性的設(shè)備上實(shí)現(xiàn)可能會(huì)很困難varQITE[42]基于物理原理的特定參數(shù)更新方法VQE[43]Ansatz和成本函數(shù)CVAR-VQE/CVAR-QAOA[44]針對(duì)組合問(wèn)題的特定成本函數(shù)，以提高準(zhǔn)確性和效率需要強(qiáng)調(diào)的是，VQA的準(zhǔn)確性和運(yùn)行所需的時(shí)間（二者將會(huì)影響與經(jīng)典算法相比的潛在優(yōu)勢(shì)）高度依賴于這些因素的選擇。下面具體來(lái)介紹如何選擇這些因素。2.Ansatz電路選擇設(shè)計(jì)VQA時(shí)，需要指定要優(yōu)化的參數(shù)化量子電路的結(jié)構(gòu)。一般來(lái)說(shuō)，任何具有參數(shù)化量子門的量子電路都可以使用，并且近年來(lái)提出了各種各樣的Ansatz。在選擇給定問(wèn)題的電路Ansatz時(shí)，有兩個(gè)關(guān)鍵考慮因素：（1）參數(shù)數(shù)量：更多的參數(shù)允許Ansatz表示更廣泛的狀態(tài)類，產(chǎn)生更優(yōu)的解決方案。另一方面，參數(shù)數(shù)量越多也使得優(yōu)化過(guò)程更具挑戰(zhàn)性。（2）硬件設(shè)備上的易實(shí)現(xiàn)性：雖然參數(shù)數(shù)量較多，深度較深的電路在理論上可能具有更好的性能，但它們?cè)诮o定的硬件設(shè)備上的實(shí)現(xiàn)難度也相應(yīng)地增加。對(duì)于金融應(yīng)用，最重要且最常見(jiàn)的兩種Ansatz是：（1）Hardware-EfficientAnsatz（HEA)：HEA是在目標(biāo)量子硬件平臺(tái)上更易實(shí)現(xiàn)的量子電路。例如，HEA僅包含能夠被直接實(shí)現(xiàn)的單量子比特和雙量子比特門，并且雙量子比特門的量子比特在硬件設(shè)備中相互連接。HEA的缺點(diǎn)是，由于Ansatz沒(méi)有利用計(jì)算問(wèn)題的任何結(jié)構(gòu)或物理理解，因此在理論上，可能具有更少的性能保證。（2）QAOAAnsatz：與HEA相比，QAOAAnsatz與待解決問(wèn)題的優(yōu)化模型緊密相關(guān)，也就是說(shuō)，它是利用被解決問(wèn)題的信息構(gòu)造的。QAOAAnsatz由多層交替的量子