數(shù)學(xué)選修2-2數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的引入ppt課件

1、第三章 階段復(fù)習(xí)課 一、數(shù)系的擴展和復(fù)數(shù)的概念一、數(shù)系的擴展和復(fù)數(shù)的概念1.1.復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念形如形如a+bi(a,bR)a+bi(a,bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，通常記為的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，通常記為z=a+bi(z=a+bi(復(fù)數(shù)的代復(fù)數(shù)的代數(shù)方式數(shù)方式) )，其中，其中i i叫虛數(shù)單位叫虛數(shù)單位(i2=-1)(i2=-1)，a a叫實部，叫實部，b b叫虛部，數(shù)叫虛部，數(shù)集集C=a+bi|a,bRC=a+bi|a,bR叫做復(fù)數(shù)集叫做復(fù)數(shù)集. .2.2.復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)的分類(1) (1) (2)(2)集合表示集合表示: :(b0)zabi(a0)b0(a0)實數(shù) 復(fù)數(shù)非純虛數(shù)虛數(shù) 純虛數(shù)3.3.復(fù)數(shù)

2、相等的充要條件復(fù)數(shù)相等的充要條件a+bia+bi與與c+dic+di相等的充要條件是相等的充要條件是a=ca=c且且b=d(a,b,c,dR).b=d(a,b,c,dR).4.4.復(fù)平面復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面.x.x軸叫做實軸，軸叫做實軸，y y軸叫做虛軸軸叫做虛軸. .實軸上的點表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點實軸上的點表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)；各象限內(nèi)的點都表示非純虛數(shù)都表示純虛數(shù)；各象限內(nèi)的點都表示非純虛數(shù). .5.5.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)的幾何意義(1)(1)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=a+bi z=a+bi 復(fù)平面

3、內(nèi)的點復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)(a,bR);Z(a,b)(a,bR);(2)(2)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=a+bi z=a+bi 平面向量平面向量 (a,bR). (a,bR).6.6.復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的模向量向量 的模的模r r叫做復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)z=a+biz=a+bi的模，記作的模，記作|z|z|或或|a+bi|a+bi|，即即|z|=|a+bi|=r= (r0,rR|z|=|a+bi|=r= (r0,rR，a,bR). a,bR). 一一對應(yīng) 一一對應(yīng)OZ OZ 22ab【辨析】【辨析】復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點、復(fù)平面內(nèi)的向量復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點、復(fù)平面內(nèi)的向量 恣意一個復(fù)數(shù)都可以由它的實部和虛部獨一確定，當(dāng)把實

4、恣意一個復(fù)數(shù)都可以由它的實部和虛部獨一確定，當(dāng)把實部、虛部看成有序數(shù)對時就對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的一個點，每一個點部、虛部看成有序數(shù)對時就對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的一個點，每一個點都對應(yīng)一個以原點為起點，以該點為終點的向量，所以復(fù)數(shù)、都對應(yīng)一個以原點為起點，以該點為終點的向量，所以復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點、復(fù)平面內(nèi)的向量是一致的復(fù)平面內(nèi)的點、復(fù)平面內(nèi)的向量是一致的. . 二、復(fù)數(shù)代數(shù)方式的四那么運算二、復(fù)數(shù)代數(shù)方式的四那么運算1.1.復(fù)數(shù)的運算復(fù)數(shù)的運算(1)(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法那么復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法那么. .設(shè)設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),z1=a+bi,z2=c+di(a,

5、b,c,dR),那么那么加法加法z z1 1+ z+ z2 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i減法減法z z1 1- z- z2 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i乘法乘法z z1 1 z z2 2=(a+bi)=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i除法除法1222abicdiacbd(bcad)izabi(cdi0)zcdicdicdicd(2)(2)對復(fù)數(shù)運算法那么的認(rèn)識對

6、復(fù)數(shù)運算法那么的認(rèn)識. .復(fù)數(shù)代數(shù)方式的加減運算，其運算法那么是對它們的實部與復(fù)數(shù)代數(shù)方式的加減運算，其運算法那么是對它們的實部與虛部分別進展加減運算，在運算過程中應(yīng)留意分清每一個復(fù)數(shù)虛部分別進展加減運算，在運算過程中應(yīng)留意分清每一個復(fù)數(shù)的實部與虛部的實部與虛部. .復(fù)數(shù)加法法那么的合理性復(fù)數(shù)加法法那么的合理性: :()()當(dāng)當(dāng)b=0,d=0b=0,d=0時，與實數(shù)加法法那么一致時，與實數(shù)加法法那么一致. .()()加法交換律和結(jié)合律在復(fù)數(shù)集中仍成立加法交換律和結(jié)合律在復(fù)數(shù)集中仍成立. .()()符合向量加法的平行四邊形法那么符合向量加法的平行四邊形法那么. .(3)(3)復(fù)數(shù)滿足的運算律復(fù)數(shù)

7、滿足的運算律: :復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對恣意復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對恣意z1z1，z2z2，z3Cz3C，有，有z1+z2=z2+z1z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律及乘法對加法的分配律，即對復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律及乘法對加法的分配律，即對恣意恣意z1z1，z2z2，z3Cz3C，有，有z1z2=z2z1,z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. z1(z2+z3)=z

8、1z2+z1z3. (4)(4)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義復(fù)數(shù)加減法的幾何意義. .復(fù)數(shù)加法的幾何意義：復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進展復(fù)數(shù)加法的幾何意義：復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進展( (滿足平行四邊形、三角形法那么滿足平行四邊形、三角形法那么).).復(fù)數(shù)的減法運算也可以按向量的減法來進展復(fù)數(shù)的減法運算也可以按向量的減法來進展. .2 2幾個重要的結(jié)論幾個重要的結(jié)論(1)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2).(1)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2).(2)z =|z|2=| |2.(2)z =|z|2=| |2.(3)(3)假設(shè)假設(shè)

9、z z為虛數(shù)，那么為虛數(shù)，那么|z|2z2.|z|2z2.(4)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,nN(4)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,nN* *. .zz3.3.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=a+biz=a+bi的共軛復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù) =a-bi. =a-bi.(1)z R.(1)z R.(2) =z.(2) =z.(3)(3)任一實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍是它本身；反之，假設(shè)任一實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍是它本身；反之，假設(shè)z= z= 那么那么z z是實數(shù)是實數(shù). .(4)(4)共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱.

10、 .4.4.巧用向量解復(fù)數(shù)問題巧用向量解復(fù)數(shù)問題復(fù)數(shù)的加減運算可轉(zhuǎn)化為向量的加減運算復(fù)數(shù)的加減運算可轉(zhuǎn)化為向量的加減運算. . zz，zz 請他根據(jù)下面的體系圖快速回想本章內(nèi)容，從備選答案中請他根據(jù)下面的體系圖快速回想本章內(nèi)容，從備選答案中選擇準(zhǔn)確選項，填在圖中的相應(yīng)位置，構(gòu)建出明晰的知識網(wǎng)絡(luò)選擇準(zhǔn)確選項，填在圖中的相應(yīng)位置，構(gòu)建出明晰的知識網(wǎng)絡(luò)吧吧. .一、復(fù)數(shù)的概念與分類一、復(fù)數(shù)的概念與分類 形如形如a+bi(a,bR)a+bi(a,bR)的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)，一切復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)，一切復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集，通常用稱復(fù)數(shù)集，通常用C C來表示來表示. . 設(shè)設(shè)z=a+bi(a,bR

11、)z=a+bi(a,bR)，那么，那么(1)z(1)z是虛數(shù)是虛數(shù)b0b0；(2)z(2)z是純虛數(shù)是純虛數(shù) ；(3)z(3)z是實數(shù)是實數(shù)b=0.b=0.a0b0【例【例1 1】(2019(2019無錫高二檢測無錫高二檢測) )知復(fù)數(shù)知復(fù)數(shù)z=m(m+1)+mi,iz=m(m+1)+mi,i為虛數(shù)單為虛數(shù)單位，位，mR.mR.(1)(1)當(dāng)復(fù)數(shù)當(dāng)復(fù)數(shù)z z為純虛數(shù)時，求為純虛數(shù)時，求m m的值；的值；(2)(2)當(dāng)復(fù)數(shù)當(dāng)復(fù)數(shù)z z在復(fù)平面上的對應(yīng)點在第二、四象限角平分線上時，在復(fù)平面上的對應(yīng)點在第二、四象限角平分線上時，求求m m的值；的值；(3)(3)假設(shè)假設(shè)(1+i)z=1+3i(1+i

12、)z=1+3i，求，求|z|.|z|.【解析】【解析】(1)(1)由題意得由題意得 m=-1m=-1，當(dāng)當(dāng)m=-1m=-1時，時， z z是純虛數(shù)是純虛數(shù). .(2)(2)由題意得由題意得m2+m=-mm2+m=-m，解得，解得m=0m=0或或m=-2.m=-2.(3)(1+i)z=1+3i,(3)(1+i)z=1+3i,|(1+i)z|=|1+3i|, |z|= |z|=|(1+i)z|=|1+3i|, |z|= |z|=m m10m0210,5.二、復(fù)數(shù)的四那么運算二、復(fù)數(shù)的四那么運算 復(fù)數(shù)加減乘除運算的本質(zhì)是實數(shù)的加減乘除復(fù)數(shù)加減乘除運算的本質(zhì)是實數(shù)的加減乘除, ,加減法是對應(yīng)加減法是對

13、應(yīng)實部、虛部相加減實部、虛部相加減, ,而乘法類比多項式乘法而乘法類比多項式乘法, ,除法類比根式的分除法類比根式的分母有理化母有理化, ,要留意要留意i2=-1i2=-1，i4n+1=ii4n+1=i，i4n+2=-1i4n+2=-1，i4n+3=-ii4n+3=-i，i4n=1i4n=1，(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i, =-i, =i.(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i, =-i, =i.1 i1 i1 i1 i【例【例2 2】計算】計算:(1):(1)(2)(2)【解析】【解析】(1)(1)原式原式= =(2)(2)原式原式21612i1 i();1 i22 01285

14、02i( 22i)() .1 i51i.2224 50342522i2 1 i1 i42525214i()1256i257i.2i 【例【例3 3】知復(fù)數(shù)】知復(fù)數(shù)z z z zai(aR)ai(aR)，當(dāng)當(dāng)| | | | 時，求時，求a a的取值范圍的取值范圍1 3i 1i1 3ii ，z2【解析】【解析】z zaiai1 1i iaiai1 1(a(a1)i,1)i,a2a22a2a2020，11 a1 a1故故a a的取值范圍是的取值范圍是1 1 1 1 1 3i 1 i1 3i2 4i1 3izii 1a 1 i1a 1 i1 i2aai.z1 i22 222aa2z2，33，3，3i

15、1 i1 i1 i.i1三、復(fù)數(shù)的幾何意義及數(shù)形結(jié)合思想的運用三、復(fù)數(shù)的幾何意義及數(shù)形結(jié)合思想的運用 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR)和復(fù)平面上的點和復(fù)平面上的點Z(a,b)Z(a,b)一一對應(yīng)，和一一對應(yīng)，和向量向量 一一對應(yīng)，復(fù)數(shù)一一對應(yīng)，復(fù)數(shù)z z對應(yīng)的點所在象限由對應(yīng)的點所在象限由z z的實部和虛部的的實部和虛部的符號確定，正確的求出復(fù)數(shù)的實部和虛部，是處理此類問題的符號確定，正確的求出復(fù)數(shù)的實部和虛部，是處理此類問題的關(guān)鍵關(guān)鍵. .復(fù)數(shù)的幾何意義為數(shù)形結(jié)合處理復(fù)數(shù)問題提供了條件，靈復(fù)數(shù)的幾何意義為數(shù)形結(jié)合處理復(fù)數(shù)問題提供了條件，靈活運用數(shù)形結(jié)合思想可到達事半功

16、倍的效果活運用數(shù)形結(jié)合思想可到達事半功倍的效果. .運用數(shù)形結(jié)合的思想運用數(shù)形結(jié)合的思想, ,發(fā)掘標(biāo)題中知識的多功能要素發(fā)掘標(biāo)題中知識的多功能要素, ,使問題出使問題出奇制勝地得到處理奇制勝地得到處理. .OZ 【例【例4 4】知復(fù)數(shù)】知復(fù)數(shù)z z滿足滿足z-3-4iz-3-4i=2=2，那么，那么z z的最大值的最大值為為_._.【解析】【解析】z-3-4iz-3-4i=2=2表示復(fù)平面內(nèi)動點表示復(fù)平面內(nèi)動點Z Z的軌跡是以點的軌跡是以點(3(3，4)4)為圓心，以為圓心，以2 2為半徑的圓，所以為半徑的圓，所以z zmax=5+2=7.max=5+2=7.答案：答案：7 7【例【例5 5】

17、知】知z z是復(fù)數(shù)，是復(fù)數(shù)，z+2iz+2i， 均為實數(shù)均為實數(shù) (i (i為虛數(shù)單位為虛數(shù)單位) )，且，且復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)(z+ai)2(z+ai)2在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限，務(wù)虛數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限，務(wù)虛數(shù)a a的取值的取值范圍范圍. .【解析】設(shè)【解析】設(shè)z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR)，那么，那么z+2i=x+(y+2)i,z+2i=x+(y+2)i,由題意知由題意知 z=4-2i. z=4-2i.z2izxyi111xyi2i2xy2yx i.2i2i555y2012yx0,5，x4,y2 ，(z+ai)2=(z+ai)2=4+(a-2)i4+(a-2)i2

18、2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,=(12+4a-a2)+8(a-2)i,由知得由知得 2a62a6，實數(shù)實數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是(2,6).(2,6).2124aa08 a20，四、復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)四、復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù) 假設(shè)假設(shè)z=a+bi(a,bR),z=a+bi(a,bR),那么那么 =a-bi =a-bi稱為稱為z z的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模與復(fù)數(shù)的代數(shù)方式嚴(yán)密相關(guān)，復(fù)數(shù)模的計算也可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的代數(shù)方式嚴(yán)密相關(guān)，復(fù)數(shù)模的計算也可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘積，即：的乘積，即：z =|z|2.z =|z|2.zz【例【例6 6】使復(fù)數(shù)為實數(shù)的充分而不用要

19、條件是】使復(fù)數(shù)為實數(shù)的充分而不用要條件是( )( )(A)z= (B)|z|=z(A)z= (B)|z|=z(C)z2(C)z2為實數(shù)為實數(shù) (D)z+ (D)z+ 為實數(shù)為實數(shù)【解析】選【解析】選B.z= B.z= zRzR；|z|=z|z|=zzRzR，反之不行，如，反之不行，如z=-2z=-2；z2z2為實數(shù)不能推出為實數(shù)不能推出zRzR，如，如z=iz=i；對于恣意；對于恣意z z，z+ z+ 都是實數(shù)都是實數(shù). .zzzz【例【例7 7】知】知 z2=(x2+a)i z2=(x2+a)i，對于恣意，對于恣意xRxR，均有均有|z1|z1|z2|z2|成立，試務(wù)虛數(shù)成立，試務(wù)虛數(shù)a a

20、的取值范圍的取值范圍【解析】【解析】|z1|z1|z2|z2|，x4+x2+1x4+x2+1(x2+a)2(x2+a)2，(1-2a)x2+(1-a2)(1-2a)x2+(1-a2)0 0對對xRxR恒成立恒成立當(dāng)當(dāng)1-2a=01-2a=0，即，即a= a= 時，不等式成立；時，不等式成立；當(dāng)當(dāng)1-2a01-2a0時，時， -1-1a a綜上，綜上，a(-1, a(-1, 221zxx1 i，12212a0,4 12a1 a01212，五、復(fù)數(shù)中的軌跡問題五、復(fù)數(shù)中的軌跡問題 經(jīng)過引入?yún)⒆兞考芷鹬ㄏ蛭粗臉蛄航?jīng)過引入?yún)⒆兞考芷鹬ㄏ蛭粗臉蛄? ,這樣這樣, ,把問題轉(zhuǎn)化把問題轉(zhuǎn)化為對參變量

21、的討論為對參變量的討論. .這種方法運用的巧妙這種方法運用的巧妙, ,可以到達化難為易、可以到達化難為易、化繁為簡、化生為熟、化未知為知的效果化繁為簡、化生為熟、化未知為知的效果. .【例【例8 8】知復(fù)數(shù)】知復(fù)數(shù)z11,z11,且且 是純虛數(shù)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，復(fù)數(shù)求復(fù)數(shù)求復(fù)數(shù)z z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡. .【解析】設(shè)【解析】設(shè) =bi(bR,b0), =bi(bR,b0),那么那么z1= -1z1= -1，z= =(1-bi)2=1-b2-2bi.z= =(1-bi)2=1-b2-2bi.設(shè)設(shè)z=x+yi(x,yR),z=x+yi(x,yR),得得 消去消去b b得

22、，得，y2=-4(x-1)(x1),y2=-4(x-1)(x1),即復(fù)數(shù)即復(fù)數(shù)z z對應(yīng)的點的軌跡為拋物線對應(yīng)的點的軌跡為拋物線( (除去頂點除去頂點).).11z1z1214z1z，11z1z121bi2141z2x1b ,y2b ，【例【例9 9】知】知z=t+3+3 iz=t+3+3 i，其中，其中tCtC，且，且 為純虛數(shù)為純虛數(shù)(1)(1)求求t t的對應(yīng)點的軌跡；的對應(yīng)點的軌跡；(2)(2)求求|z|z|的最大值和最小值的最大值和最小值3t3t3【解析】【解析】(1)(1)設(shè)設(shè)t=x+yi(x,yR)t=x+yi(x,yR)，那么那么 為純虛數(shù)，為純虛數(shù)， 即即tt的對應(yīng)點的軌跡是

23、以原點為圓心，的對應(yīng)點的軌跡是以原點為圓心，3 3為半徑的圓，為半徑的圓，并除去并除去(-3,0)(3,0)(-3,0)(3,0)兩點兩點. . 222222xy96yi x3yix3yit3x3yit3x3yix3yx3y ，t3t322xy90,y0,22xy9,y0,(2)(2)由由t t的軌跡可知，的軌跡可知，|t|=3|t|=3，|z-(3+3 i)|=3|z-(3+3 i)|=3，圓心對應(yīng)，圓心對應(yīng)3+3 i3+3 i，半徑為，半徑為3 3，|z|z|的最大值為的最大值為|3+3 i|+3=9|3+3 i|+3=9，|z|z|的最小值為的最小值為|3+3 i|-3=3|3+3 i|

24、-3=333331.(20191.(2019浙江高考浙江高考) )知知i i是虛數(shù)單位是虛數(shù)單位, ,那么那么 =( ) =( )(A)1-2i (B)2-i (C)2+i (D)1+2i(A)1-2i (B)2-i (C)2+i (D)1+2i【解析】選【解析】選D.D.3i1 i3i 1i3i24i12i.1 i22 2.2.知知|z|z|3 3，且，且z z3i3i是純虛數(shù)，那么是純虛數(shù)，那么z z( )( )(A)(A)3i (B)3i (C)3i (B)3i (C)3i (D)4i3i (D)4i【解析】選【解析】選B.B.令令z za abi(abi(a，bR)bR)，那么，那么a2a2b2b29,9,又又z z3i3ia a(3(3b)ib)i是純虛數(shù)，是純虛數(shù)，由得由得a a0 0，b b3 3，zz3i3i，故應(yīng)選，故應(yīng)選B.B.a0 b30 ，3.3.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z zx xyi(xyi(x，yR)yR)滿足滿足|z|z4i|4i|z|z2|2|，那么，那么2x2x4y4y的最小值為的最小值為( )( )(A)2 (B)4 (C)4 (D)8(A)2 (B)4 (C)4 (D)8【解析】選【解析】選C.|zC.|z4i|4i|z|z2|