拋物線的焦點(diǎn)弦 經(jīng)典性質(zhì)及其證明過(guò)程

1、有關(guān)拋物線焦點(diǎn)弦問(wèn)題的探討過(guò)拋物線px y 22=(p>0的焦點(diǎn)F 作一條直線L 和此拋物線相交于A ,(11y x 、B ,(22y x 兩點(diǎn) 結(jié)論1:p x x AB +=21p x x px p x BF AF AB +=+=+=21212(2( 結(jié)論2:若直線L 的傾斜角為,則弦長(zhǎng)2sin 2pAB =證: (1若2= 時(shí),直線L 的斜率不存在,此時(shí)AB 為拋物線的通徑,結(jié)論得證=p AB 2(2若2時(shí),設(shè)直線L 的方程為:tan 2(p x y -=即2cot py x += 代入拋物線方程得0cot 222=-p py y 由韋達(dá)定理cot 2,21221p y y p y

2、y =+-=由弦長(zhǎng)公式得22212sin 2cot 1(2cot 1pp y y AB =+=-+= 結(jié)論3: 過(guò)焦點(diǎn)的弦中通徑長(zhǎng)最小p p2sin 21sin 22 AB 的最小值為p 2,即過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)中通徑長(zhǎng)最短.結(jié)論4: (832為定值p AB S oAB =(8s i n 2s i n s i n 2221s i n 21s i n 21s i n 21s i n 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =+=+=+= 結(jié)論5: (1 221p y y -= (2 x 1x 2=42p證4

3、4(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x = 結(jié)論6:以AB 為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切證:設(shè)M 為AB 的中點(diǎn),過(guò)A 點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線AA 1, 過(guò)B 點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線BB 1, 過(guò)M 點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線MM 1,由梯形的中位線性質(zhì)和拋物線的定義知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故結(jié)論得證結(jié)論7:連接A 1F 、B 1 F 則 A 1F B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111/,=同理=901111FB A FB B FO B A 1F B 1 F 結(jié)論8:(1A

4、M 1BM 1 (2M 1F AB (3BF AF FM =21(4設(shè)AM 1 與A 1F 相交于H ,M 1B 與 FB 1相交于Q 則M 1,Q ,F ,H 四點(diǎn)共圓 (52121214M M B M AM =+證:由結(jié)論(6知M 1 在以AB 為直徑的圓上 AM 1BM 111FB A 為直角三角形, M 1 是斜邊A 1 B 1 的中點(diǎn) 111111111AFA F AA F A M FA M F M M A =+9011111M AA M FA F AA =+90111FM A AFAM 1F ABBF AF FM =21 AM 1BM 1 F B F A 90111= 又B AM=

5、90FB A 11 所以M 1,Q ,F,H 四點(diǎn)共圓,22121AB B M AM =+(2121211242MM MM BB AABFAF =+=+=結(jié)論9: (1、A O 、B 1 三點(diǎn)共線 (2B ,O ,A 1 三點(diǎn)共線(3設(shè)直線AO 與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B 1,則BB 1平行于X 軸(4設(shè)直線BO 與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為A 1,則AA 1平行于X 軸證:因?yàn)閜 y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-=,而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三點(diǎn)共線。同理可征(2(3(4 結(jié)

6、論10:pFB FA 211=+ 證:過(guò)A 點(diǎn)作AR 垂直X 軸于點(diǎn)R ,過(guò)B 點(diǎn)作BS 垂直X 軸于點(diǎn)S ,設(shè)準(zhǔn)線與x 軸交點(diǎn)為E,的傾斜角為因?yàn)橹本€L 則cos 1cos -=+=+=P AF AF AF P FR EF ER PAF cos 11-= 同理可得P BF cos 11+= pFB FA 211=+結(jié)論11:證:AA B B EA E B A A FA B B BF FABF EA E B AA EF BB 1111111111,/=EB B EA A EB B 90111111=相似于EA A E BB E AAPEQ EF BEF AEF 90EB B BEF EA A

7、AEF 11平分角即=+=+0K K X BE AE BEAE BFAF BE AE =+軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于和直線直線=(4 90AEB FB EF AF 2=時(shí),當(dāng)2p xy 2p -x k y L 2 2=將其代入方程的方程為時(shí),設(shè)直線當(dāng) (k2k p x x y ,B(x ,y ,A(x 04p k 2x p(k -x k 2221221122222+=+=+則設(shè)得 x 1x 2=4p 2假設(shè)122y 1K K BE AE 2211BE AE -=+p x y p x =-則 AE BE AF AE(1PEQ (2(3 K K 0BF BE(4 AE BE , AE BE22EF =+=線段平分

8、角當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)不垂直于p21|CD |1|AB |1=+ + += + +=2p x 2p x -2p -x k 2p -x k 2p x 2p x -y y 21212121即(222222222212122121k 2p 01k 4p 1k x x 2p x x 1k k k k p -+=+=+-+-+結(jié)論得證假設(shè)錯(cuò)誤不可能=-02結(jié)論12:過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB 、CD ,則推廣與深化:深化 1:性質(zhì)5中,把弦AB 過(guò)焦點(diǎn)改為AB 過(guò)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)E (a,0,則有pa 2y y 21-=.證:設(shè)AB 方程為my=x-a ,代入px 2y 2=.得:0ap 2pmy 2y 2=

9、-,pa 2y y 21-=.深化2: 性質(zhì)12中的條件改為焦點(diǎn)弦AB 不垂直于x 軸,AB 的中垂線交x 軸于點(diǎn)R ,則21|AB |FR |=證明:設(shè)AB 的傾斜角為a ,直線AB 的方程為:2px (tga y -=, 代入px 2y 2=得:px 24p px x (a tg 222=+-,即:04p a pctg 2p (x x 222=+-.由性質(zhì)1得a sin p2a pctg 2p 2p x x |AB |2221=+=+=,又設(shè)AB 的中點(diǎn)為M ,則|a cos a pctg |a cos 2p2x x |FM |221=-+=, a sin p |a cos a pctg

10、|a cos |FM |FE |222=, 21|AB |FR |=. 深化3:過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F 作n 條弦n n 2211B A B A B A 、,且它們等分周角2,則有(1=n1i i i |FB |F A |1為定值; (2=n1i ii|BA |1為定值.證明:(1設(shè)拋物線方程為aFx A ,cos 1p1=-=.由題意-+=+=+=n 1n a Fx A n 2a Fx A ,n a Fx A n 32,所以222211p a sin p a cos 1p a cos(1p a cos 1|FB |F A |1=-=+-=, 同理22n n 2222p n 1n a (sin |FB |F A |1,p n a (sin |FB |F A |1-+=+=易知2n n 1n a (sin n 2a (sin n a (sin a sin 2222=-+, 222n1i 2222i i p 2n p n 1n a (sin p n a (sin p a sin |FB |F A |1=-+=.(2a si