平面向量知識點總結(jié)與練習(xí)

1、平面向量.向量有關(guān)概念：i.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示,注意不能說向量就是有向線段，為什勺（向量可f平移）。如：已知A（1,2 ）, B（4,2 ）,則把向量AB按向量a = （ 1,3 ）平移后得到的向量是2.零向量：長度為0的向量叫零向量，記作： 0,注意零向量的方向是任意的3.單位向量:長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與AB共線的單位向量是（答：（3,0）A）；4 .相等向量5 .平行向量:長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量 a、b叫做平行向量，記作：a / b ,

2、規(guī)定零向量和任何向量平行 提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等;兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念:兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性！（因三點A B、C共線 :共線;6.相反向量：長度相等方向相反的向，量叫做相反向量。a的相反向量是一a 。如：下列命題： （ 1）若AB _DCb, b c,則a C。（6）若a/b,b/c,則a/Co其中正確的是3)右;。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相AB -DC是小行四邊形。1 （,4）若ABCD是平行四邊形，則。（5）若(答：(4) (5)2.3.向量的表布方法：

3、幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如 符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如坐標表示法：在平面建立直角坐標系，以與則平面的任一向量 a可表示為a xi yjAB ,注意起點在前，終點在后；a , b , c等；x軸、y軸方向相同的兩個單位向量 x, y，稱x, y為向量a的坐標,a = x,y叫做向量a的坐標表示。如果 向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。.平面向量的基本定理有且只有對實數(shù):如果ei和e2是同一平面的兩個不共線向量，那么對該平面的任一向量a,（1）若 a （i,i）b （i, i）,使 a= iei+ pe2。如(1,2),則 C 啰）；（2）下列向量組

4、中，能作為平面所有向量基底的固A. e(0,0), e2(1, 2)C. e(3,5),e2(6,10)B.D.ei( 1,2),e2(5,7)T T i 3ei (2, 3),e2 (-,-)24（3）已知 AD,bE 分別是表示為ABC的邊BC,AC上的中線，且AD士,則1BC可;量 B,b2T 4T(答：一a b)；33（4）已知 ABC中，點D在BC邊上，且CD 2 DB , CD r AB sAC,則r s的值是（答：0）四.實數(shù)與少量的叫：實數(shù) 與向量a的積是一個向量，記作a,它的長度和方向規(guī)定如下：1 a, I I 3i, 2當(dāng) >0時， a的方向與a的方向相同，當(dāng)<

5、0時， a的方向與a的方向 相反，當(dāng) =0時，目0,注意：a wo。五.平面向量的數(shù)量積：,1 .兩個向量的夾角：對于非零向量a, b,作OA a,oB b, aob0稱為向量a , b的夾角，當(dāng) =0時，a , b同向，當(dāng) = 時，a , b反向，當(dāng) =一2時，a , b垂直。,2 .平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量 a , b ,它們的夾角g,我們把數(shù)量 Alibi cos叫做a與b的數(shù)量積（或積或點積），記作：a ? b ,即3?b = a|b,cos 。規(guī)定：零向量與任一向量 的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。如(1) 4ABC中，| AB | 3, | AC |

6、4 , | BC |(2)已知 a (1,g),b (0, 1),C a kb,d a (3)已知 a 21b 5,a|b 3,則 a b 等于(4)已知a,b是兩個非零向量，且a i,b a5 ,則 AB BC ,（答：一9）;b, C與d的夾角為,則k等于（答：1）；(答：723);的夾角為5.:設(shè)兩個非零向量 a , b ,其夾角為則:當(dāng)a , b同向時，a?b =2,特別地，a a?；當(dāng)a與b反向時,；當(dāng)為銳角時,為鈍角時，a ? b <0,且,a ?b >0,且a、b不同向,b不反向，a b 0是為銳角的必要非充分條件非零向量a*角的必要非充分條件 I,； |a?b| |

7、a|b|o 如的計算公式：cos（1）已知a （ ,2 ）, b （3 ,2）,如果a與b的夾角為銳角，則的取值圍是（2）已知 OFQ的面積為S,且OF FQ一4一1（答：一或0且一）；33,1 一 31 ,右S ，則OF, FQ夾角的取值圍22（答：30）0。如3 . b在a上的投影 為161cos ,它是一個實數(shù)，但不一定大于已知|a| 3, |b| 5,且ab 12,則向量a在向量b上的投影為 12、54. a ?b的幾何意義:數(shù)量積a ? b等于a的模|a |與b在a上的投影的積。(3) 已知 J (cosx,sin x), b (cosy,sin y), 用k表示a b ；求a b的

8、最小值，并求此時(答:六.向量的運算：的夾角的大小14 k2 1_.1b (k 0)；最小值為 一，4k260：)1.幾何運算：AB BC AC ；向量的減法：用“三角形法則”由減向量的終點指向被減向量的絳點。柒意：曲處減向量與劣減向單的起點相同。如：(1)化簡：AB BC Cd ；疝 ad De(2)若正方形 ABCD的邊長為1,IC(3)若。是&ABC所在平面一點，且滿足(答：2衣);,則& ABC的形狀為I (4)|Ap|PD|若D為 ABC的邊BC的中點， ABC所在平面有一點 P ,滿足,設(shè)(5)若點O是4ABC的外心，且 oA OB CO 0 ,則 ABC的角C為(

9、答:2);2.坐標運算：設(shè)JFa(答：120);向量的加減法運算(1,yjb % y2):a b (x1 x2,如：(1)已知點 A(2,3), B(5,4) , C(7,10),若一、三象限的角平分線上,則:R),貝U當(dāng)時，點P在第向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，匕法/ 只適用于不共轉(zhuǎn)的向單,可 此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)AB a,BC b,那么向量AC叫做a與b的和，即實數(shù)與向量的積：若 A(xi,yi), B(x2,y2)，則x2Xi, yi。x1, y2y1 ,即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。如設(shè)A(2,3), B( 1,5),且

10、NC 1AB，媼 3蝙，則C、D的坐標分別是3-11.(答：(1,-),( 7)；小6M口蜘日如 4 J，平面向重數(shù)重積：a?b x1x2 y1y2。如-h-ffr已知向量 a = (sinx , cosx) , b = (sinx , sinx ) , c = ( 1, 0)。( 1)若 x= 一 ,求向量 a、3_一 1c的夾角；(2)若xC 一，函數(shù)f(x) a b的最大值為一，求 的值8 421(答：(1)150;(2) 或 J2 1);4-2向g呼莫：| a | Jx2 y2, a| a |2 x2 y2o tn .已知工客均為單位向量，它們的夾角為60：,那么招 3b | =(答：

11、J13);22兩點間的距離：若A x1,y1 ,B x2,y2 ,則|AB| J x2 x,y2 y1 。如如圖,H平面坐修 xOy/j xOy 60：,平面上任一點 P關(guān)于斜坐標系的斜坐標是這樣定 義的：若OP xe1 y,其中己,分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點斜坐標為(x, y)。(1)若點P的斜坐標為(2, 2),求P到O的距離| P0| ； (2)求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜 坐標系xOy中的方程。(答：(1) 2; (2) x2 y2xy 1 0)；卜列命題中：2若a b 0 ,則a a2 b2；-b)2七.向量的運石律：1.交換律：a b2.結(jié)合律：a b3.分配律：

12、Jla Jrc ?. ab ;a (b c) a b ac； a(b c) (a0或b*24 4a 2abb 4b2 b ，IC a(4 a 則 , Mb c Jrc2b。其中正確的是2Ta(答：)提醒：(1)向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除a(b?c) (a?b)c,為什么？八.向量平行(號線)的充省條件：ab:(1)若向量 a (x,1),b (4, x),當(dāng) x =(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律"IL

13、 2Ja b) (|a|b|)時a與b共線且方向相同xy2y1x2 =0。如(答:2);(2)已知 a (1,1),b (4,x),2b, v 2a b ,且 U/V ,貝U x=(答:4);(3)設(shè) PA (k,12),PB (4,5), pC (10,k),則時，A,B,C共線直的充，要條件：)。如(1)已知 OA ( 1,2),O九.，向I bi d bix1x2N1V22 或 11)0 .特別地(3,m),若 oA oB ,3(答:3);2(2)以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB B 90，則點B的坐標是(3)已知, (a,b),向量才 m ,且(答：(1,3)或(

14、3, 1);(答:(b, 2)或(b,a)十.線段的定比分點：1 .定比分點的概念：設(shè)點P是直線P1尸2上異于P1、P2的任意一點, PP 用，則叫做點p分有向線段PP2所成的比，p點叫做有向線段 分點；2 .的符號與分點P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點在線段P 1P2上時若存在一個實數(shù) 能的以定比為，使的定比的延長線上時所成的比為<1；當(dāng)P點在線段P2 Pl的延長線上時 ,則點P分有向線段AW所成的比為-o如>0;當(dāng)P點在線段0;若點P分有向線段PiP2PP2若點P分AB所成的比為-,則A分wP所成的比為4(答：3.線段的定比分點公式：設(shè) Wx,%)、P2(x2,y2), P(x,y)

15、分有向線段 吊所成的比為xx21，特別地，當(dāng)=1時，就得到線段P1P2的中點公式y(tǒng)2yxx22yy2 °在使用定比分2點的坐標公式時，應(yīng)明確(x,y),(刈%)、(X2,y2)的意義，即分別為分點,起點，終點的坐標。在具體計算時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點,(1)若 M (-3 , -2 ), N (6, -1 ),且分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應(yīng)的定比1.MP 一 MN,則點P的坐標為 3(答：(2)已知 A(a,0), B(3,2 a),直線 ylax與線段AB交于M ,且B 2mB，則a等于 26,1)；3.平移公式：如果點 P(x, y)按向量(答：2或4)h,k平移至P

16、(x, y ),則 x x h ；曲線 y y kf (X, y) 0按向量a h,k平移得曲線f(x h, y k) 0 .注意：(1)函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系？(2)向量平移具有坐標不變性，可別忘了??！如（1）按向量才把（2, 3）平移到（1, 2）,則按向量才把點（7,2）平移到點 （答：（8, 3）；（2）函數(shù)y sin 2x的圖象按向量 a平移后，所得函數(shù)的解析式是y cos2x 1,則a =(答：(一,1)4向量中一些常用的結(jié)論 aHa H一封閉手形弓尾普接口成的餐量和為零向量 .iiai bna Ik di bi, ,特別地：當(dāng)一個封閉器b| b'L； 1

17、a 6反向或有：,笥邛運用；顯a、b同向或有0ia bi iai ib i i怙i則其重心的坐標為|b| |a b| |a| | b |（這些和實數(shù)比較類似）.(3 )在 ABC 中，右 A x,y1 , B x2, y2 ,C %,y3X1X2X33%丫2丫3。如3若/ABC勺三邊的中點分別為（2, 1）、（-3, 4）、（-1,-1）,則/ABC的重心的坐標為（答：（D PG 3 (PA PB PC)G為ABC的重心，特別地PA PB PC 02 43,3P 為 ABCPA pB jB 邑 PC PA P為 ABC的垂心；向量（濡昌 福京乂 0）所在直線過 ABC的心（是 iABiPC i

18、 BCi PA iCAi PB 0 P ABC 的心;（3）若P分有向線段PP2所成的比為 ，點M為平面的任BAC的角平分線所在直線點，則 mP MP1 MP2，特別地P為PF2的中點 品MPLMP2；(4)向量 PA、PB. PC'I IA B、C共線存在實數(shù)1.如平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（3,1） , B（ 1,3），若點C滿足OC 1 OA 2OB,其中1, 2 R且121,則點C的軌跡是（答：直線AB）2.2平面向量的線性運算1 .在矩形ABCD中，AB <3 , BC 1 ,則向量（aB AD aC）的長等于（）（A） 2（B） 2v3（C） 3（D）

19、 42 .下面給出四個命題： 對于實數(shù) m和向量a、b恒有：m（a b） ma mbD對于實數(shù)m、n和向量a ,恒有（m n）a ma na若ma mb(m R),則有a b若 ma na(m, n R, a其中正確命題的個數(shù)是（）(A) 1(B) 2(C) 3(D) 43.若a與b的方向相反，且b ,則a+b的方向與a的方向此時a答案：相同;4.已知D E、I式:EFF分別是/ ABC勺邊BC CA AB的中點，且bCiCA b, ABC,則下列各1c夫BEa 1b ; CF 1a 1b;222AD BE CF 0 ,其中正確的等式的個數(shù)為答案：25 .已知A、B、C三點不共線，O是ABC勺

20、一點，若OA Ob OC0,則0是4 ABC的（填重心、垂心、心、外心之一）6.若 AB 8,AC答案：重心由結(jié)論bc,=iAB AC|O7.如圖，D E、F是則 AF DB =答案：BE5,則| a|-| b|的取值圍是ABC的邊< | a ± b| < | a|+| b| ,AR BG CA的中點,答案:3,13ACE8.在 0ABCD 中，AB a,ADAN 3NC彳#4aN 3AC=34 b), aM a3NC , M為BC的中點,則MN。（用a、b表示）解析：如圖，由AN2b，所以mN9.化簡:-4 a 1-4Lib 1 - 4答案：010.如圖，ABC匿一個梯

21、形，AB/ CD且AB=2CD M N分別是DC和AB的中點，已知 AB=a, AD =b,試用a, b表示BC和MN .2.3平面向量基本定理及坐標表示、選擇題1.設(shè)平面向量 a=( 1,0) , b= (0,2),則 2a 3b=()A. (6,3)B. ( -2, - 6) C . (2,1)D , (7,2)2.已知平面向量a=(x,1) , b= (x, x2),則向量 a+b(A.平彳T于x軸.平行于第一、三象限的角平分線C.平彳T于y軸.平行于第二、四象限的角平分線3.已知平面向量a=(1,2) , b= ( 2, m),且 a/b,貝U 2a+3b=()A. (2, 4) B(

22、-3, - 6) C . (-4, 8) D . (5, 10)4.A.設(shè)點A(2,0)(3,1) BB(4,2)5.若向量AB=(1,2 ),若點P在直線AB上，且|AB| =2|AP| ,則點P的坐標為()(1 , 1) C . (3,1)或(1 , 1) D ,無數(shù)多個bC= (3,4),則 7C =()A (4,6) B (-4, -6) C (-2, -2) D (2,2)6 .已知向量 a=(x + z,3) , b=(2, y-z),且a±b,若x, y滿足不等式|x| 十 |y| < 1,則z的取值 圍為().A. -2,2B, -2,3 C . -3,2D , - 3,37 .設(shè)兩個向量 a=(入+ 2,入2 cos2 a )和b= m, -+ sin a ,其中 入，m, a為實數(shù).若 a= 2b,則強的取值圍是().A. -6,1B . 4,8 C . (8, 1D , -1,6二、填空題8 .設(shè)a=(1,2) , b=(2,3),若向量 入a+b與向量c=(4, 7)共線，則 入=.1 1, 一9 .若二點 A(2,2) ,