07第一章第7節(jié)無窮小的比較67502

1、第七節(jié)無窮小的比較飛無窮小的比較1、等價(jià)無窮小替換二、小結(jié)及作業(yè)-、無窮小的比較例如，當(dāng)兀T0時(shí),x,x2,sinx,x2sin丄都是無窮小.2Xlim =0,要快得多；觀察各極限5 Xlim S111 = 1,sin兀與兀大致相同；兀一° 兀2 1x sinH巴=lin)sin -不存在.不可比兀 TOx兀一0x/V極限不同，反映了趨向于零的“快慢”程度不 同.定義:設(shè)a,卩是同一過程中的兩個(gè)無窮小，且a豐0.(1)如果lim - = 0,就說卩是比a高階的無窮小 a記作卩=o(a);(2)如果lim = oo,就說0是比a低階的無窮小; a(3)如果lim ©二C(C工

2、0),就說0與°是同階的無窮小 a如果lim = 1側(cè)稱0與。是等價(jià)的無窮小a記作。0；(5)如果lim = C(C工0衛(wèi)0),就說0是a的無階的 無窮小如:3兀3 = 0(*) (x T 0);在x > 3時(shí)，X2 9和兀3是同階無窮小；在x 00,sin兀和兀是等價(jià)無窮小 即sinx 兀(x >0)在時(shí)丄是比A低階的無窮小n n證明：當(dāng)工-» 0時(shí),4兀tan3兀為兀的四階無窮小.v 4x tan3 x ztanxx3 .lim4=4hm() =4，XTO XxtO x故當(dāng)兀TO時(shí)，4兀tan3兀為r的四階無窮小.例2當(dāng)兀tO時(shí)，求tanx-sinx關(guān)于r的

3、階數(shù)亦 . tan x - sin xztanx 1-cosx. 1解 / lim= lim(.)=，兀一° x2° xx22:.tan x - sin兀為r的三階無窮小常用等價(jià)無窮?。寒?dāng)工TO時(shí),sin 兀/arcsinx x,tanx x. arctanx x.ln(l + x)x,ax 一1 兀Inaex-l-x, 2l-cosx 2Jl + 兀一12(l + x)a -1 ax一般形式如 to(l + /(x)/(x)(/(兀)tO)其他公式類似女H兀 TO asinx -1- sinxln« x6兀 tO， 1-cos x 2x -0時(shí)", 1

4、V1 + 3x3+2x2-1 j(3x3+2x2)1、等價(jià)無窮小替換定理（等價(jià)無窮小替換定理）設(shè)存在，貝!） lim = limaa a證 limP = lim（g黑生）ap a ap Pr a' p'=lim -lim -lim =lim & a &例3求lim1311空.tan2x lx.Z 1 - cosX 解當(dāng)XT 0 時(shí)，1-COSX - |x2 原式= &5 12-x2注意 不能濫用等價(jià)無窮小代換.對(duì)于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.例4求limx->0tan x-sinxsin3 2x錯(cuò)解當(dāng)xtO時(shí),tanx - Xj sinx - x

5、. 原式=0.5 (2x)3解 當(dāng)兀-> 0時(shí)，sin 2兀 2兀，13tan x - sin x = tan x(l - cos x) 兀，-X3原式= lim；p=77 (2x)16例5 limx>0(1-cosx2)(2x -1)ln(l + x2)sinx34= limrxln2In 2232例6血&T)炸T)煉T)(x-ir1AT1 令兀= 1 + ( (Vi+7-i)(Vr+7-i)-(Vi+7-i)/l-l=limt0例7試確定常數(shù)和方使下式成垃lim(Vl-x6 -ax1 -b) = 0XToolim(vl-x6 -ax2 -6) = limx2(vx6 -

6、1 -a -bx 2)XSX-oO/. lim(Vx 6 -1-a -bx 2) - 0XTOO a = lim(Vx-6 -1 -bx 2) = 1兀Toob = lim(Vl-x6 -ax2) = lim(Vl _兀6 +兀？)x°° V(1-x6)T-x2-V1£1£L7+0日噸二（卑+仏）【一J乙+ 2厶+ IR+0ran =X=!X X Aoo+jx(T-y + - + I<un =（x 乙+卡久厶+g 裁）茴i斕小結(jié)1 無窮小的比較:反映了同一過程中，兩無窮小趨于零的速度 快慢，但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.高（低）階無窮?。坏葍r(jià)無

7、窮小；無窮小的階.2 等價(jià)無窮小的替換:求極限的又一種方法，注意適用條件.作業(yè)習(xí)題1 7 P 591,2, 3(2), 4(2,4).思考題任何兩個(gè)無窮小量都可以比較嗎?思考題解答不能.例當(dāng)XT+OO時(shí)/（X）= P/、 sinx g=都是無窮小量但limX +oog（x）/（X）=lim sin x不存在且不為無窮大X - + 00故當(dāng)兀->+00時(shí)/ （兀）和g（兀）不能比較.一.填空題：v tan3x 、lim=go sin2x一 arcsinx722、lim=so（Sinx）m ln（l + 2x）3、lim =3°Xa. 1 + x sin x 14、lim2=xto

8、 x arctan xx5、lim2sin二28 2n i6、iim（l + “）"l二XTOX7> 當(dāng)兀 T 0 時(shí),Ya + x3 - (a > 0)對(duì)于X是階無窮小.&當(dāng)兀T0時(shí)，無窮小1 一cos兀與加兀"等價(jià)，則m =，n二、求下列各極限:. tan x - sin x1> hmsinar - sinySrso sin x3、limXTOtan x - tana4、limxw x _a三、證明：若色0是無窮小,貝0Oa-0 = O(e)x2,z_1 sin x + cos (a + bx)四、設(shè) f(x)二limJ"TooX + 1求：1、/(兀)的表達(dá)式2、確定砧的值，使得 1 普八兀)=/,lim/Cx) = /(-!).322、練習(xí)題答案0,加 < n= n ； 3、2；> n5、7、3；8、乞 2