方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)教案設(shè)計(jì)

1、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 教案設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo):理解函數(shù)零點(diǎn)的定義，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程根的等價(jià)關(guān)系，理解函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，能夠判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)和所在區(qū)間。教學(xué)重點(diǎn)：方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系，函數(shù)零點(diǎn)存在性定理。教學(xué)難點(diǎn)：探究函數(shù)零點(diǎn)存在的條件。教學(xué)過程：（一）新課引入1. 同學(xué)們，通過第二章的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)這些初等函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)，今天，我們開始學(xué)習(xí)第三章函數(shù)的應(yīng)用。本章我們將運(yùn)用函數(shù)的思想，建立函數(shù)模型，去解決現(xiàn)實(shí)生活中的一些簡(jiǎn)單問題。為此，今天的課，我們就是要準(zhǔn)備必需要的工具。2.下面給出三個(gè)方程：（1）；（2）；（3）。這三個(gè)方程你能求出它們的根嗎？我

2、們看方程（1），一元二次方程，它有兩個(gè)實(shí)數(shù)根-1，。它可以用十字相乘法或求根公式求解；方程（2）呢，它是一個(gè)一元五次方程。次數(shù)越高，方程越復(fù)雜。數(shù)學(xué)史上，人們總希望象低次方程那樣去求解，但經(jīng)過長(zhǎng)期努力，都無果而終，事實(shí)上不可能。1824年，22歲的挪威天才數(shù)學(xué)家阿貝爾（N.H.Abel，18021829）成功地證明了五次及以上的一般方程沒有根式解；方程（3）呢？有實(shí)數(shù)根嗎？它不是一元二次方程，沒有，沒有求根公式，也不可能去求解。因此，（2）（3）用我們現(xiàn)有的方法去求解的路被堵上了。這就促使我們轉(zhuǎn)換角度來研究方程的根：利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象去探究方程的根的情形。首先我們從熟悉的一元二次方程及其對(duì)應(yīng)

3、的二次函數(shù)入手。（二）新授課例1（1）解下列一元二次方程：，。（2）畫出下列函數(shù)的圖象：，。通過表格與圖象，從具體的二次函數(shù)上升到一般的二次函數(shù)，剖析一元二次方程的根與對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系。從而得出結(jié)論。結(jié)論：一元二次方程ax2bxc0 (a 0)的根就是二次函數(shù)yax2bxc(a 0)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。那么，方程的根，是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。對(duì)方程，把它稱為根；對(duì)圖象，是與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。對(duì)于函數(shù)，又該把它稱為什么？揭示課題板書課題：方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)教師活動(dòng)：我們把使方程f(x)=0成立的實(shí)數(shù)x稱作函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。這是我們本節(jié)課的第一個(gè)知

4、識(shí)點(diǎn)。板書：1.函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)y=f(x)，使方程f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)（zero point）。教師活動(dòng)：屏幕顯示函數(shù)的圖象。學(xué)生活動(dòng)：觀察圖象，思考作答。教師活動(dòng)：我們可以看出：函數(shù)有零點(diǎn)-1、3，-1、3具有三重角色：對(duì)方程，它是實(shí)數(shù)根，使得方程成立；對(duì)函數(shù)，它是零點(diǎn)，是函數(shù)的自變量，使得函數(shù)值為零；對(duì)函數(shù)圖象，它是圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。教師活動(dòng)：所以函數(shù)有零點(diǎn)，方程就有實(shí)數(shù)根，函數(shù)圖象就與x軸有交點(diǎn)。對(duì)于函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)x0，從“數(shù)”的角度理解，就是方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根x0；從“形”的角度理解，就是函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)（x0,0）。即是說，

5、函數(shù)有零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)。從我們剛才的探究過程中知道，方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根和圖象與x軸有交點(diǎn)也是等價(jià)關(guān)系。所以函數(shù)零點(diǎn)實(shí)際上是方程f(x)=0有實(shí)根，圖象與x軸有交點(diǎn)的三者的一個(gè)統(tǒng)一體。板書：2.方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系教師活動(dòng)：我們可不可以這樣認(rèn)為，零點(diǎn)就是使函數(shù)值為0的點(diǎn)？任意函數(shù)都有零點(diǎn)嗎？你能給出一些具體函數(shù)嗎？（抽學(xué)生回答）怎樣判斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn)呢？學(xué)生活動(dòng)：對(duì)比定義，思考作答。教師活動(dòng)：一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn)，就是看它的圖象與x軸是否有交點(diǎn)。那么，我們又如何判定一個(gè)函數(shù)的圖象與x軸是否有交點(diǎn)呢？教師活動(dòng)：下面我們思考四個(gè)問題：請(qǐng)大家一邊思考一邊畫出函數(shù)的草圖。

6、思考1：函數(shù)f(x)=2x-1的零點(diǎn)是什么？ 函數(shù)f(x)=2x-1函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)如何變化？ 思考2：二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3的零點(diǎn)是什么？函數(shù)值在零點(diǎn)附近如何變化？ 思考3：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間1,2上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，那么在下列哪些條件下，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)一定有零點(diǎn)？f(1)0，f(2)0   f(1)0，f(2)<0      f(1)<0，f(2)<0     f(1)<0，f(2)0  

7、思考4：一般地，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，那么在什么條件下，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)一定有零點(diǎn)？ 教師活動(dòng)：我們看到，當(dāng)函數(shù)值從正到負(fù)，從負(fù)到正，必然經(jīng)過零點(diǎn)。即是說函數(shù)圖象穿過x軸時(shí)，圖象就與x軸產(chǎn)生了交點(diǎn)。函數(shù)圖象穿過x軸這是一種幾何現(xiàn)象，那么如何用代數(shù)形式來給予描述呢？ 學(xué)生活動(dòng)：通過思考和觀察圖象，得出函數(shù)零點(diǎn)的左右兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)的結(jié)論。教師活動(dòng)：好！我們明確一下這個(gè)結(jié)論，函數(shù)y=f(x)具備什么條件時(shí)，它在區(qū)間（a,b）上就存在零點(diǎn)？學(xué)生活動(dòng)：得出f(a)·f(b)<0的結(jié)論。教師活動(dòng)：其實(shí)同學(xué)們已經(jīng)說出了我們今天學(xué)習(xí)的重

8、要定理，那就是零點(diǎn)存在性定理。這是我們本節(jié)課的第三個(gè)知識(shí)點(diǎn)。板書：3.零點(diǎn)存在性定理教師活動(dòng)：屏幕顯示函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a) ·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根。教師活動(dòng)：這個(gè)定理給出了判斷連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）上有零點(diǎn)的條件。那么，對(duì)于一個(gè)y=f(x)，僅僅知道f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上就一定存在零點(diǎn)嗎？為了更加深刻地理解定理，下面請(qǐng)看例題

9、。例2判斷下列函數(shù)是否有零點(diǎn)，如果有，請(qǐng)求出零點(diǎn)個(gè)數(shù)。同學(xué)們請(qǐng)畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，加以回答。 （1）        （2）（3）教師活動(dòng)：用圖象舉出反例，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論。1.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上必須連續(xù)，否則，零點(diǎn)存在性定理不成立；2.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b 上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，只能確定f(x)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有零點(diǎn)，但個(gè)數(shù)不確定；3.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b 上連續(xù)，且f(a)·f(b)>0，則f(x)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)也可能有零點(diǎn)；4.在

10、零點(diǎn)存在性定理的條件下，如果函數(shù)具有單調(diào)性，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b) 上存在唯一零點(diǎn)。（零點(diǎn)存在唯一性定理）教師活動(dòng)：現(xiàn)在我們已經(jīng)搞清楚了定理的實(shí)質(zhì)是給出了連續(xù)函數(shù)在a,b上存在零點(diǎn)的條件。既然有了“零點(diǎn)存在性定理”這一工具，我們當(dāng)然就可對(duì)那些不能直接求解的方程及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)根和零點(diǎn)進(jìn)行探求。不解方程，通過函數(shù)圖象，也能判斷函數(shù)零點(diǎn)是否存在，如果存在，個(gè)數(shù)也容易判定。下面我們來解決引例中的方程（3），研究它是否有實(shí)數(shù)根，如果有根，也能求出它所在的區(qū)間。本例就是教材上P.88的例1的函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程。屏幕顯示：例1.求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。學(xué)生活動(dòng)：通過求值，列表對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在性的探究和理解，

11、闡述該問題的解法。然后描點(diǎn)作圖和幾何畫板作圖，求出唯一零點(diǎn)所在區(qū)間為（2,3），如何找出這個(gè)零點(diǎn)呢，那是下節(jié)課的內(nèi)容用二分法求方程的近似解。課堂練習(xí)1.函數(shù)f(x)=x(x2-16)的零點(diǎn)為（D）A. (0,0)，(4,0)                  B.0，4                

12、;          C. (-4,0)，(0,0)，(4,0)             D.-4，0，42.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f(x)在上存在一個(gè)零點(diǎn)，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（A） A. 3                 &

13、#160;                B.2                               C. 1   

14、60;                              D.不確定3.已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下對(duì)應(yīng)值表：那么函數(shù)在區(qū)間1,6上的零點(diǎn)至少有（C）個(gè)  A.5個(gè)      B.4個(gè)     &#

15、160;     C.3個(gè)       D.2個(gè) x 1  2  3  4  5 6 7f(x) 23  9 7  11 51226  4.函數(shù)f(x)= x3 3x+5的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（B）A.( 2,0)            &

16、#160;            B. (1,2)                             C. (0,1)                           D. (0,0.5) 課堂小結(jié)：屏幕顯示1. 函數(shù)零點(diǎn)的定義2. 函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系3. 函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：函數(shù)零點(diǎn)方程根，形數(shù)本是同根生。是否存在端點(diǎn)判，函數(shù)連續(xù)要記清。4. 函數(shù)零點(diǎn)的求法代數(shù)法：求方程的實(shí)數(shù)根；幾何法：對(duì)于不能運(yùn)用求根公式求解的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)。5