北京市東城區(qū)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題理

1、北京市東城區(qū)2020學(xué)年下學(xué)期高二年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試卷（理科）本試卷共100分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。第一部分（選擇題 共24分）、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng) 中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.復(fù)數(shù)z= 1+2i，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為C.D.第四象限x2.直線3.5t,1t 2（t為參數(shù)）的斜率為B.C.3D.-23.在（x 2）10的展開(kāi)式中,x6的系數(shù)為A. 16C：B. 32C：0C.8c160D.16C24. 一名老師和四名學(xué)生站成一排照相,學(xué)生請(qǐng)老師站在正中間，則不同的站法A. 4種B. 12 種C. 24 種D. 120 種5 .

2、在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2,）到直線 cos2的距離為3A.-2B. 1C. 2D. 36 .袋子中裝有大小完全相同的6個(gè)紅球和4個(gè)黑球，從中任取2個(gè)球，則所取出的兩個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為A.-15B.學(xué)25C.旦15D. 357.函數(shù)y e兇cosx的圖象大致為看這場(chǎng)電影，此時(shí)還剩9張?jiān)搱?chǎng)電影的電影票，電影票的座位信息如下表:1排4號(hào)1排5號(hào)1排8號(hào)2排4號(hào)3排1號(hào)3排5號(hào)4排1號(hào)4排2號(hào)4排8號(hào)內(nèi)從這9張電影票中挑選了一張，甲、乙詢問(wèn)丙所選的電影票的座位信息，內(nèi)只將排數(shù)告訴了甲，只將號(hào)數(shù)告訴了乙。下面是甲、乙關(guān)于丙所選電影票的具體 座位信息的一段對(duì)話:甲對(duì)乙說(shuō)：“我不能確定丙的座位信息，你肯

3、定也不能確定?！币覍?duì)甲說(shuō)：“本來(lái)我不能確定，但是現(xiàn)在我能確定了。 ”甲對(duì)乙說(shuō)：“哦，那我也能確定了！”根據(jù)上面甲、乙的對(duì)話，判斷內(nèi)選擇的電影票是A. 4排8號(hào) B. 3排1號(hào) C. 1排4號(hào) D. 1排5號(hào)第二部分（非選擇題共76分）二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分。請(qǐng)把答案填在相應(yīng)題中橫 線上）9. i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) 1 i、,110 .止積分（2x sinx）dx的值為11 .在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度 h （單位：ml與起跳后的 時(shí)間t （單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h（t） 4.9t2 6.5t 10 ,則該運(yùn)動(dòng)員在t 0.5s時(shí) 的瞬時(shí)速度為v m/so1

4、2 .若（2x 1）5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5 ,貝Ua0a1a2a3a4一a5的值為 c13 .隨著中國(guó)電子商務(wù)的發(fā)展和人們對(duì)網(wǎng)購(gòu)的逐漸認(rèn)識(shí)， 網(wǎng)購(gòu)鮮花速遞行業(yè)迅速 興起。佳佳為祝福母親的生日，準(zhǔn)備在網(wǎng)上定制一束混合花束，客服為佳佳提供 了兩個(gè)系列，如下表：粉色系列黃色系列玫瑰戴安娜、粉佳人、糖果、桃紅雪山假日公主、金輝、金香玉康乃馨粉色、小桃紅、白色粉邊火焰、金毛、黃色配葉紅竹蕉、情人草、滿火星散尾葉、桅子葉、黃鶯、銀葉菊佳佳要在這兩個(gè)系列中選擇一個(gè)系列，再?gòu)闹羞x擇2種玫瑰、1種康乃馨、2種配葉組成混合花束。請(qǐng)問(wèn)佳佳可定制的混合花束一共有 種。14 .已知平面向量a (m

5、,n),平面向量b (p,q)(其中m,n,p,q Z)。定義：a b (mp nq, mq np),若 a (1,2),b (2,1),則 a b =;若a b (5,0),且|a| 5,|b| 5,則 a =, b=(寫(xiě)出一組 滿足此條件的a和b即可)。三、解答題(本大題共6小題，共52分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算 步驟)15 .(本題滿分9分)已知函數(shù)f(x) x3 x2 1。(I)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線方程；(n)求函數(shù)f(x)的極值。16 .(本題滿分8分)電視連續(xù)劇人民的名義自2020年3月28日在湖南衛(wèi)視開(kāi)播以來(lái)，引發(fā)各 方關(guān)注，收視率、點(diǎn)擊率均占

6、據(jù)各大排行榜首位。我們用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法對(duì) 這部電視劇的觀看情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，共調(diào)查了600人，得到結(jié)果如下：其中圖1是非常喜歡人民的名義這部電視劇的觀眾年齡的頻率分布直方圖；表 1是不 同年齡段的觀眾選擇不同觀看方式的人數(shù)。鋁距10.0400.0200.0” 0 010 1 L15 25 35 45 55 65圖1現(xiàn)f方式 年齡（歲）電視網(wǎng)絡(luò)15,45)15025045,6512080表1求：（I）假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替， 求非常喜歡人 民的名義這部電視劇的觀眾的平均年齡；（n）根據(jù)表1,通過(guò)計(jì)算說(shuō)明我們是否有99%的把握認(rèn)為觀看該劇的方式與年齡有關(guān)？P(K 2k0)

7、0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.450.701.322.072.703.845.026.637.8710.858326145928附：K2n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)17 .(本題滿分8分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,且滿足Sn 2an ,求數(shù)列a0的通項(xiàng)公式勤于思考的小紅設(shè)計(jì)了下面兩種解題思路，請(qǐng)你選擇其中一種，并將其補(bǔ)充完 整。思路1:設(shè)n的值為1,根據(jù)已知條件，計(jì)算出：ai =, a2 =a3 =猜想：an =用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明過(guò)程如下：當(dāng)n:1時(shí)，2猜想成立。假設(shè)n k(k N )時(shí)，

8、猜想成立，即ak =那么，當(dāng)n k 1時(shí)，由已知Sn 2an n ,得Sk 1 =又Sk 2ak k,兩式相減并化簡(jiǎn)，得a-=(用含k的代數(shù)式 表小)0所以，當(dāng)n k 1時(shí)，猜想也成立。根據(jù)和，可知猜想對(duì)任何k N*都成立。思路2：設(shè)n的值為1,根據(jù)已知，計(jì)算出ai=。由已知Sn 2an n ,寫(xiě)出Sn 1與an 1的關(guān)系式：Sn 1 =兩式相減，得 an 1與 an的遞推關(guān)系式： an 1 =整理：an 1 1 =o發(fā)現(xiàn)：數(shù)列an 1是首項(xiàng)為,公比為 的等比數(shù)列。得出：數(shù)列an 1的通項(xiàng)公式an 1=,進(jìn)而得到an =18 .(本題滿分9分)為響應(yīng)市政府“綠色出行”的號(hào)召，王老師每個(gè)工作日上

9、下班由自駕車改為選擇乘坐地鐵或騎共享單車這兩種方式中的一種出行。根據(jù)王老師從2020年3月到2020年5月的出行情況統(tǒng)計(jì)可知，王老師每次出行乘坐地鐵的概率是0.4 ,騎共享單車的概率是0.6,乘坐地鐵單程所需的費(fèi)用是3元，騎共享單車單程所需的費(fèi) 用是1元，記王老師在一個(gè)工作日內(nèi)上下班所花費(fèi)的總交通費(fèi)用為X元，假設(shè)王老師上下班選擇出行方式是相互獨(dú)立的。(I )求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E (X);(II)已知王老師在2020年6月的所有工作日(按22個(gè)工作日計(jì))中共花費(fèi) 交通費(fèi)用110元，請(qǐng)判斷王老師6月份的出行規(guī)律是否發(fā)生明顯變化，并依據(jù)以 下原則說(shuō)明理由。原則：設(shè)a表示王老師某月平均每個(gè)工作日出

10、行的費(fèi)用，若 |a E(X)| JD兇，則有95%Z上的把握認(rèn)為王老師該月的出行規(guī)律與前幾個(gè)月 5的出行規(guī)律相比有明顯變化。(注：D(X)(xi E(X)2pi)i 119 .(本題滿分9分)已知函數(shù) f(x)=lnx a(1 x), a R 0(I )求f (x)的單調(diào)區(qū)問(wèn)；(II)若對(duì)任意的x (0,),都有f (x) 2a 2 ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍20 .(本題滿分9分)已知隨機(jī)變量的取值為不大于n的非負(fù)整數(shù)值，它的分布列為012nPP0P1P2Pn其中Pi(0,1,2,，n)滿足：Pi 0,1,且PoPiP2Pn1 ,定義由 生成的函數(shù) f (x) P0 p1x P2x2 Pnxn,令

11、 g(x) f (x) o11cle.(I)右由 生成的函數(shù)f(x) 1x 1x21x3,求P( 2)的值； 424(H)求證：隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望E() g(1),的方差2D( ) g (1) g(1) (g(1); n 2、(D( ) (i E( ) pQ i 0(田)現(xiàn)投擲一枚骰子兩次，隨機(jī)變量 表示兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和，此時(shí)由 生成的函數(shù)記為h(x)，求h (2)的值【試題答案】-、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）題號(hào)12345678答案BAACBCDB、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）題號(hào)91011121314答案2 i01.6-1108(0, 5); (2

12、,1), (2,-1)或者(1, 2), (1,-2)等三、解答題（本大題共6小題，共52分）15.（本題滿分9分）解：(I) f(x) x3 x2 1, f(x) 3x2 2x,1 分則 f(1) 1, f (1) 3 2 1 ,3 分則函數(shù)f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線方程為y 1 x 1 ,化簡(jiǎn)得y x4分“.一 2 一 一 . 一2.(H)令 f (x) 3x 2x 0,解得 x0 0% -。5 分3當(dāng)x變化時(shí)，f (x), f(x)的變化情況如下表：x(,0)02 (0,3)- 3e)f (x)十0一0十f(x)單調(diào)遞增1單調(diào)遞減2327單調(diào)遞增7分因此，當(dāng)x 0時(shí)，f（x

13、）有極大值，并且極大值為f（0） 1;一 2223一當(dāng)x -時(shí)，f（x）有極小值，并且極小值為f（-） 一。9分3327解：(I)平均年齡為X 20 0.15 30 0.10 40 0.40 50 0.20 60 0.15 41。4 分(n)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，利用公式可得K2的觀測(cè)值600 (150 80 120 250)2300 C ck 27.27。6 分270 330 400 20011v k 27.27 6.635,.有99%把握認(rèn)為觀看該劇的方式與年齡有關(guān)。分17.(本題滿分8分) 解：思路1:a11 ,a23,a37 ,an 2n 1 , _1a1211 ,ak 2k 1,Sk

14、1 2ak 1 (k 1), ak 12k 1 1。思路2:a11 ,Sn 1 2an 1 (n 1), an 12an 1 ,an 1 12(an 1),1分2分3分4分5分6分7分8分1分2分3分4分5分6分7分8分2, 2, an 1 2n, an 2n 1 。18.（本題滿分10分）解：(I)依題意，X可能的取值是2, 4, 6,因此X的分布列為X246P0.360.480.16由此可知，X的數(shù)學(xué)期望為E(X) 2 0.36 4 0.48 6 0.16 3.6。5 分(n)判斷：有95%以上的把握認(rèn)為王老師該月的出行規(guī)律與35月的出行規(guī) 律 相比 有 明 顯 變化。 6分理由如下：6月

15、共有22個(gè)工作日，共花費(fèi)交通費(fèi)用110元，平均每天出行的費(fèi)用a 110 22 5 (元)。7分又 D(X) (2 3.6)2 0.36 (4 3.6)2 0.48 (6 3.6)2 0.16 1.92。8 分1.92貝/ a E(X) | |5 3.6 | 1.4 J。:5則有95%以上的把握認(rèn)為王老師該月的出行規(guī)律與35月的出行規(guī)律相比有明顯變化。 9分19.(本題滿分9分)解：(I ) f (x) 1 a 1一ax(x 0) ,1 分x x當(dāng)a 0時(shí)，f (x) 0包成立，則f(x)在(0,)上單調(diào)遞增； 2分,.“一 1當(dāng) a 0時(shí)，令 f (x) 0,則 0 x , a一 ,、1 1,

16、、，、一，則f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(-,)上單調(diào)遞減。4分aa(H)方法1:當(dāng)a 0時(shí)，因?yàn)閒(1) 0 2a 2,所以不會(huì)有 x (0,), f(x) 2a 2。5分當(dāng)a 0時(shí)，由(I)知，f(x)在(0,)上的最大值為,111f(-) ln(-) a(1 一)Ina a 1。1所以 x (0,),f(x) 2a 2 等價(jià)于 f()lna a 1 2a 2 ,a即 In a a 1 0。7 分設(shè) g(x) In x x 1 In x (1 x),由(I )知，g(x)在(0,)上單調(diào)遞增,又g(1) ln1 1 1 0,所以lna a 1 0的解為a 1,8分故x (0,

17、), f(x) 2a 2時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,)。9分方法 2: x (0,), f(x) 2a 2 等價(jià)于 aln-x一2,5 分x 1令 g(x)ln x 2W'則g(x)1一 In x 1x2，(x 1)(x 1)20x人1.-11令 h(x) In x 1 ,則 h (x)-xx x因?yàn)楫?dāng)x (0,), h (x)0包成立,所以h(x)在(0,)上單調(diào)遞減.因此 x (0,), ag(x)等價(jià)于 a g(1) 1,又h(1) 1 ln1 1 0,可得g(x)和g (x)在(0,)上的情況如下:x(0, 1)1(1,)g (x)十0一g(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以g(x)在(0

18、,)上的最大值為gln 1,8分1 1故x (0,), f(x) 2a 2時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,)。9分20.(本題滿分9分)解：(I ) P( 2)(H)由于 E( ) 0P0P12 p2g(x) f (x) P1 2p2xn 1 npnx,所以 E( ) g(1)0由的方差定義可知D()(i0E( )2PiPie2()Pi2E()i Pii 0ni(ii 21)PiPiE2()i 0Pi2E(Pini(ii 21)PiE(E2()2E2()ni(ii 21)PiE(E2(ni(ii 21)Pig(1)由于g(x)P12 P2XnnPnX1,g (x) 2P2n(n1)Png (1) 2 P22 P3一n(n 1)Pnni(ii 21)Pi所以D()g (1) g(1)2(g(1)。(m)方法1：投擲一枚骰