北京高考理科數(shù)學試卷及答案

1、2010 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(理)(北京卷)本試卷分第I卷和第II卷兩部分。第I卷 1至2頁、第II卷3至5頁，共150分?？?試時長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效，考試結束后，將本 試卷和答題卡一并交回。第I卷(選擇題共40分)一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題 目要求的一項。(1)集合 P x Z|0 x 3, M x Z x2 9,則PI M.二(A) 1,2(B) 0,1,2(C)(D)x|0 x 3(2)在等比數(shù)列an 中，a11 ,1.右 amaa2a3a4a5, 則 m=(A) 9(B) 10(

2、C)11(D) 12(3) 一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正(主)視圖與側(左)視圖分別如右圖所示，則該幾何體的俯視圖為(4) 8名學生和2位第師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法 種數(shù)為rrn _(A) A88A9(B) A8C2(C) A8A2.(D)A8C72(5)極坐標方程(1)() 0(0)表示的圖形是(A)兩個圓(C) 一個圓和一條射線(6) a、b為非零向量.“a b”是“函數(shù)(A)充分而不必要條件(C)充分必要條件(B)兩條直線1(D) 一條直線和一條射線f(x) (xa b)g(xb a)為一次函數(shù)”的(B)必要而不充分條件(D)既不充分也不必要條件(A) (1,3

3、(B )2,3 (C )(1,2(D ) 3,(8)如圖，正方體ABCD A1B1clD1的棱長為2,動點E、F在棱AB上，動點P, Q分別在棱AD CD上，若EF=1, AE=x, DQ=y , DP=z ( x、v、z大于零)，則四面體PEFQ的體積(A)與x、v、z都有關(B)與x有關，與y、z無關(C)與y有關，與x , z無關(D)與z有關，與x , y無關第II卷(共110分)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。(9)在復平面內，復數(shù) 且對應的點的坐標為。1 i2(10)在 ABC 中，若 b = 1,c =73,C,Ma3-小，|=o! 0,020 b - - *

4、1(11)從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高(單位：力 廠一二一二十一,-J 1 J_L _厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)。由圖中數(shù)據(jù)可知一 Ya=。若要從身高在120 , 130 ), 130 , 140) , 140,150 三組內的學生 中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在140 , 150內的學生中選取的人數(shù)應為(12)如圖，e O的弦ED CB的延長線交于點 Ao若BD AE, AB= 4, BC=2, AD =3,則DE=; CE=。 2222(13)已知雙曲線 1的離-心率為2,焦點與橢圓1的焦點相同，那么雙a2 b225 9曲線的焦點坐標為 ;

5、漸近線方程為 。(14)如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動.設頂點P(x, y)的軌跡方程是 y f (x),則函數(shù)f(x)的最小正-周期為; y f (x)在其兩個相鄰零點間的圖象與 x軸所圍區(qū)域的面積為。說明：“正方形PABQ& x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動。沿x軸正方向 滾動指的是先以頂點A為中心順時針旋轉，當頂點 B落在x軸上時，再以頂點B為中心順 時針旋轉，如此繼續(xù).類似地，正方形PABOT以沿x軸負方向滾動。三、解答題：本大題共6小題一共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(15)(本小題共13分)已知函數(shù) f(x) 2cos 2x sin2

6、x 4cos x.(I )求f ()的值；(n)求f(x)的最大值和最小值。(16)(本小題共14分)如圖，正方形 ABCD和四邊形.ACEF所在的平面互相垂直，CEL AC,EF/ AC,AB=/2 ,CE=EF=1.(I)求證：AF/平面BDE(H)求證：CF1平面BDE(田)求二面角A-BE-D的大小。(17)(本小題共13分)某同學參加3門課程的考試.假設該同學第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為-,第5第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p, q( p q),且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立.記己為該生取得優(yōu)秀成績.的課程數(shù)，其分布列為0123(I )求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率

7、；(H )求p , q的相;(m)求數(shù)學期望e七。(18)(本小題共13分)已知函數(shù) f (x) ln(1 x) x k x2(k 0)2(I )當k=2時，求曲線y= f ( x)在點(1 , f (1)處的切線方程;(H)求f ( x)的單調區(qū)間(19)(本小題共14分)在平面直角坐標系xOy中，點B與點A (-1,1 )關于原點O對稱，P是動點，且直線1AP與BP的斜率之積等于 -.3(I )求動點P的軌跡方程；(H)設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N,問：是否存在點P使得PABt PMN勺 面積相等？若存在，求出點 P的坐標；若不存在，說明理由。(20)(本小題共13分)已知

8、集合 Sn X|X (為？2，xn),x 0,1,i 1,2,，n(n 2)對于A (a1,a2a,) , B 伍一,二,)Sn,定義A與B的差為 nA與B之間的距離為d(A, B) a b1(I)證明： A,B,C Sn,有 A B Sn,且 d(A C, B C) d(A,B);(H)證明： A, B,C &,d(A, B),d(A,C),d(B,C)三個數(shù)中至少有一。個是偶數(shù)(m)設P Sn, P中有m(m 2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為 d(P).證明：d(P)2(m 1)2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(理)(北京卷)因為 cosx 1,1所以,當cosx1時

9、f(x)取最大值6;當cosx27一時，f(x)取取小值 -33(16)(共 14 分)證明:(I )設AC與BD交于點G.1 因為 EF/ AGH EF=1, AG=-AC=12所以四邊形AGE叨平行四邊形所以AF/ EG因為EG 平面BDE,AF平面BDE,所以AF/平面BDE(H)因為正方形 ABC前四邊形ACE所在的平面互相垂直，且 CE AC所以CE 平面ABCD如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系Cxyz則 C(0,0,0), A(. 2, .2,0), B(0,J2,0)所以uuu 22 uuuCF OBE_uuur(0,2,1), DE(2,0,1)uuruuur所以 CF g

10、BE 0 1uuir uur0,CFgDE 1 0 1所以 CF BE,CFDE0所以CF 平面BDE(17)(共 13 分)解：事件A表示“該生第i門課程取得優(yōu)秀成績”，i1,2,3.由題意知0”是對立的，所(I )由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是(n)由題意知整理得 pq , p q 1 25(18)共13分1斛：(I )當 k 2時，f (x) ln(1 x) x x , f (x) 1 2x1 x3由于 f(1) ln2, f (1)-所以曲線y f (x)在點(1,f(1)處的切線方程為即 3x 2y 2ln 2 3 0/、 x

11、(kx k 1)(H) f (x) -,x ( 1,)1 x當 k 0 時，f(x)x-1 x所以，在區(qū)間(1,0)上，f(x) 0;在區(qū)間(0,)上，f(x) 0故f(x)的單調遞增區(qū)間是(1,0),單調遞減區(qū)間是(0,) 當 0 k 1 時，由 f(x) x(kx k 1 0,得 x 0,x2 LJk 01 xk1 k1k所以，在區(qū)間(1,0)和(1一 ,)上，f (x) 0,在區(qū)間(0,一)上，f (x) 0 kk1 k1 k故f(x)的單調遞增區(qū)間是(1,0)和(，)，單調遞減區(qū)間是(0,一) kk2當 k 1 時，f(x) 1 x故f(x)的單調遞增區(qū)間是(1,)當 k 1 時，由

12、f(x) x(kx k 1) 0,得 x LJk ( 1,0),x2 01 xk1 k1 k ，所以，在區(qū)間(1,)和(0,)上，f (x) 0;在區(qū)間(,0)上，f (x) 0 kk1 k1 k故f(x)的單調遞增區(qū)間是(1,一)和(0,),單調遞減區(qū)間是(,0) kk(19)(共 14 分)(H)解法一：設點P的坐標為 的以)，點M、N的坐標分別為(3,yM ),(3, yN)則直線AP的方程式為y 1 TJ(x 1),直線BP的方程式為Xo 1y01(x1)人4y04y0 x0 32y0 x0 3V x 3 行 yM , yN-X0 1x0 1于是PMN的面積又直線AB的方程為x y 0

13、, AB 2展點P到直線AB的距離d二。 2于是PAB的面積當 S PABS pmn 時，得 X0y0X02y (3 X0)x； 1又 X0y00所以(3 X0)2x2 1 ,解得 X053 22 一一33因為X0 3y04 ,所以y09故存在點P使得PAB與PMN的面積相等，此時點P的坐標為解法二：若存在點P使得PAB與PMN的面積相等，設點P的坐標為（X0,y）1 1貝U -|PAgPB sin APB 51PM gPN sin MPN因為 sin APB sin MPN故存在點P使得PAB與PMN的面積相等，此時點P的坐標為（之 叵） 39（20）（共 13 分）證明：（I）設 A ,，

14、an）, B （BQ,，bn）, C （g,C2,，Cn） Sn因為司心 0,1 ,所以 2 h 0,1 (i 1,2,., n)從而 A B (a1bje b21，.，an bn) &n又 d(A C,B C)|ai ci b ci由題意知 ai，b，ci0,1 (i 1,2，,n)當 g0 時，怙Cibig| abi當 g1 時，怙g|I bi |(ia)(I n)|bn所以 d(A C,B C)|ai bid(A,B)i 1所以|bi優(yōu)(i 1,2,，n)中1的個數(shù)為k , |g a (i 1,2,n)中1的個數(shù)為l設t是使bi aici ai1成立的i的個數(shù)，則h l k 2t由此可知，k,l,h三個數(shù)不可能都是奇數(shù)1(田)d(P) 2 Cm即d(A, B), d(A,C),d(B,C)三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)d(A,B)表示P中所有兩個元素間