方差公式的妙用

1、方差公式的妙用、知識回顧2.若一組數(shù)據(jù)Xi, X2, X3Xn的平均數(shù)為X,萬差為S ,則有212 2 2 2S2 (Xi X)2(X2 X)2 (X3 X)2 (Xn X)2 n變形，得S21(Xi2 X22 X32 -Xn2) nX?n由方差定義公式，顯然有S2 0 ,當且僅當X1 x2 Xn時，S2 0 .這個變形后的方差公式很有用處，在解決有些問題中，巧妙地利用這個變形公式，往往讓人耳目一新.比如，已知兩數(shù) a和b ,則a和b兩數(shù)的方差為S2 1(a2 b2) 2 (ab)2 0.因此，當問題中具備平方和的特征時，不妨考慮采用方差公式試試看，或許會有不一樣的體會.二、公式應用1.判斷三

2、角形的形狀2例1設 ABC的三邊為a、b、c,滿足：b c 8 , bc a 12a 52 ,試問 ABC 是什么三角形？并證明你的結論.分析 由題設可求得b2 c2,的值及b、c的平均數(shù)，因此，b、c兩數(shù)的方差可求.解ABC為等腰三角形.證明如下：由已知，得b2 c2 (b c)2 2bc 64 2bc2a2 24 a 40 .b、c兩數(shù)的平均數(shù)X bc 4,2b、c兩數(shù)的方差為_21222S2 ”b2 c2) 2 421( 2a2 24a 40) 2 42(a 6)2_2_2_S0 ,即(a 6)0,即(a6)20,又(a6)20a 6 0, a 6,，此時，S2 0,故 b c 4,AB

3、C是以a為底，以b、c為腰的等腰三角形2.解方程組x y 3例2解方程組92 .xy 2z4分析兩個方程三個未知數(shù)，一般情況下是求不出具體的未知數(shù)的值的.但根據(jù)x y及xy的值就可以求出x2 y2的值，這符合變形后的方差公式的特點.因此，考慮利用方差變 形公式，通過求x, y兩數(shù)的方差嘗試解決問題解由題意，得22 /、2 -x y (x y) 2xy929 2xy 9 2(- 2z2)4z2又x, y兩數(shù)的平均數(shù)為S2 2(x2It 4z2y2)I2 (2)22z2則 z2 0 ,而 z2 0z 0 ,.2.3S 0,此時 x y 一,23 x2、一3原方程組的解為y 32z 03.求參數(shù)的值

4、例3設a, b, c為 ABC的三邊，且滿足 a b c；(2)2b a c；a2 b2 c2 84,則整數(shù)b 分析由題設，可得222a b c 84, a b c 3b,故可以考慮通過計算a ,b , c三個數(shù)的方差進行求解；或者a cc2 84 b2,可以考慮通過計算 a, c兩數(shù)的方差進行嘗試求解解由（2）,得 a b c 3b,，a, b, c三個數(shù)的平均數(shù)X a b c 3b b33又由(4 ) a2 b2 c2 84,得a, b, c的方差為S2 1(a2 b2 c2) 3 b21 2-(84 3b2)228 b 02 b228ac b(也可由(2)(4),得 2222a c 84

5、 b所以，a , c的方差為S2 1(a2 c2) 2 b21 (84 b2 2b2)42 3b2 0 2b2 28)a c b由 2得a2 c2 84 b2, 2 _. 24b2ac 84 b ,2 _, 24，5b84 2ac 84, b1654216 b2 285又b為正整數(shù)，b2 25, b 54.解多元方程例4解方程：4( ,x 、, y 1) x y 7.分析通過換元法構造出兩數(shù)的平方和形式，并通過計算這兩數(shù)的方差進行求解解設 Jx a, Jy 1 b,22則x a , y b 122，原方程可化為 4(a b) a b 8,22 a2 b2 4(a b) 8.a , b兩數(shù)的方差

6、為：S2 1(a2 b2) 2 (a2b)21 1224(a b) 8 2(a b)212二8(a b) 16 (a b)241(a b 4)24_2_ S 0 2 (a b 4)0,即 a b 4 0a b 4 ,且 S2 0 ,從而得到a b 2,故 x a2 4, y b2 1 5經(jīng)檢驗x 4, y 5是原方程的解.5.證明等式例5已知實數(shù)a、b、c滿足a 6 b, c2 ab 9 ,求證a b.分析 根據(jù)a 6 b,得出a b 6,可求出a, b兩數(shù)的平方和，故可考慮通過計算a, b兩數(shù)的方差進行探究.如果得出方差為0,則自然得出a b,命題就成立 證明由已知，得a b 6,22a b 36 2ab_2_236 2(c9) 18 2ca , b兩數(shù)的方差為S2 1(a2 b2) 2 (a2b)21(18 2c2) 2 322 c S2 0 ,即 c2 0c 0此時S2 0 ,故有a b.6.求函數(shù)的最值2_2_22例6 4實數(shù)x、y滿足4x 5xy 4y 5,設m x y，則m的最大值為22分析 從x y形式看，容易使我們聯(lián)想到求x, y兩數(shù)的方差公式.因此，不妨用方差公式嘗試解答.解由 4x2 5xy 4y2 5