基本不等式重要不等式均值定理習(xí)題及詳解

1、基本不等式重要不等式均值定理習(xí)題及詳解、選擇題2的函數(shù)是（1. （2010山東東營(yíng)質(zhì)檢）在下列各函數(shù)中，最小值等于“.1A. y=x+xB.y= cosx+1cosx兀0<x<2C.x2 + 3答案D解析x<0 時(shí)，y=x+ -< - 2,故 A 錯(cuò)；0<x<E，0<cosx<1 ,y = cosx+>2x2cosx中等號(hào)不成立，故 B錯(cuò)；x2+2，y =，x斗2 +忑2中等號(hào)也取不到，故 C錯(cuò)，選D. 一一 .2 12.(又)(2010山東濰坊質(zhì)檢)已知x>0, y>0,且x + Q=1，右x+ 2y>m2+2m恒成立，

2、則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A . m>4 或 mW2B. m> 2 或 mW 4C. - 2<m<4D, - 4<m<2答案D 2 , 1解析. x>0, y>0,且x+ y=1,x+ 2y= (x+ 2y)(+ 1)= 4+ 4y+ x>4+ 2a /4y x = 8,當(dāng)且僅當(dāng) 4y=x,即 x=2y 時(shí)取等x y x yx yx yr -21萬，又1+ y= 1, - x = 4,y= 2, . . (x+ 2y)min= 8,要使 x + 2y>m2+ 2m 恒成乂，只需(x+ 2y)min>m2+ 2m,即 8>m2

3、+2m,解彳導(dǎo)一4Vm<2.（理）（2010東北師大附中）已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足：a7=a6 + 2a5,若存在兩項(xiàng) am, an3C.256使得.aman=4a1,則,+ 4的最小值為（）B.5D.不存在答案A解析由已知an>0, a7=a6+2a5,設(shè)an的公比為q,則a6q=a6+2a6=0,q>0, q=2,m n 2=16a12,，m+n 2 = 4,1,4 11 , 4-m+n=6(m+n) m+n1n 4m 1=7 5+ H5 +6m n6n 4m m n3,等號(hào)在口 = 4m,即n =2m n2m = 4時(shí)成立.3. （2010茂名市?？迹? , 一 一,

4、a= 4是對(duì)任意的正數(shù)x,均有A .充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件答案A解析a = , x>0 時(shí)，x+ a>2'/x'=1,等號(hào)在 x=1寸成立，又 a = 4 時(shí)，x+ a = 4x x2x4x+x>2x 4= 4也滿足x + a> 1 ,故選A.xx4. （2010廣西柳州市?？迹┰O(shè)2, bC R,貝U “a+b= 1”是“4abW1”的（）A .充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件答案A解析a, b中有一個(gè)不是正數(shù)時(shí)，若a+b=1,顯然有4ab< 1成立，a, b

5、都是正數(shù)時(shí)，由1 = a+b>2qOb得4abw 1成立，故a+b=1?4abwi,但當(dāng)4abw1成立時(shí)，未必有a+b=1,如 a= 5, b = 1 滿足 4abw 1,但一5+ 1 w 1,故選A.1 一 115. 右a>°, b>°, a, b的等差中項(xiàng)是2,且k a+a, 3=b+b，則計(jì)3的取小值為（）A. 2B. 3 C. 4 D. 5, 'Jaman = 4a1, a12 q m+ n= 6,答案11解析,2為a、b的等差中項(xiàng)，a+b = 2x2=1.a+1+b + 7? 1 + l+1=1 + ab =1十七 a a b a b a

6、b ab1 VabaVb，abw a：b = 1.，原式 >1+4. 2442 . a+ 3的最小值為5.故選D.6.(文)若直線 2axby+2=0(a>0, b>0)被圓 x2+y2+2x4y+1 = 0 截得的弦長(zhǎng)為 4,1 1則+ 1的最小值是()a bA. 1B. 2C. 3D. 4答案D解析圓(x+1)2+(y2)2=4, 弦長(zhǎng)為4,故為直徑，即直線過圓心(一1,2),，a+b =1.V 1 Q1b,a、/-+-= _+_ (a+b) = 2+- + ->4.a b a ba b當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào).（理）半徑為4的球面上有 A、B、C、D四點(diǎn)，AB,

7、 AC, AD兩兩互相垂直，則4 ABC、 ACD、ZADB 面積之和 Sa ABC + Saacd + Sa ADB 的最大值為（）A. 8 B. 16 C. 32 D. 64答案C解析根據(jù)題意可知，設(shè) AB=a, AC = b, AD=c,則可知AB, AC, AD為球的內(nèi)接1長(zhǎng)方體的一個(gè)角.故 a2+b2 + c2=64,而 Sa abc + Sa acd + Sa adb = 2 (ab + ac +a2+b2+a2+c2+b2+c2 a2+ b2+ c2bc)<4= -2= 32.等號(hào)在a=b=c= 弊時(shí)成立. 37. （文）已知c是橢圓3+b2=1（a>b>0）的

8、半焦距，則立芋的取值范圍是（）A. （1, +OO ）B.（亞，+8 ）C. （1,亞）D. （1, V2答案D解析由題設(shè)條件知，a<b+c, .bc>1, a.a2=b2+c2,b+c2 b2+c2+2bc 2 b2+ c2n . b+c_ 仿田、生-2=2<2-=2, .w42.故選 D.a2a2a2aP為雙曲線右支上的（理）已知F1、F2分別為雙曲線x2-y2=1（a>0, b>0）的左、右焦點(diǎn),2任意一點(diǎn)，若PF+的值為8a,則雙曲線的離心率 e的取值范圍是（）IPF2IB. (1,2C. （1, V3D. （1,3答案DIPFi 22a+ IPF2| 2

9、4a24a2解析 附=ppF=iPFi+IPF2|+4a>4a+4a=8a,當(dāng)且僅當(dāng)篇=IPF2|,艮c|PF2|=2a 時(shí)取等號(hào).這時(shí) |PFi|=4a.由 |PFi|十|PF2|> |FiF2| 得 6a>2c,即 e=-w 3,e C （1,3 a8. （2010南昌市模擬）已知a, b R+, a+b=1, M = 2a+2b,則M的整數(shù)部分是（A. 1B. 2C. 3D. 4答案B解析a, b R+, a+b=1,0<a<1,設(shè) t=2a,則 t （1,2）, M = 2a+2b=2a + 21一 2a=t+j>2理，等號(hào)在t=$時(shí)成立，又t=1或

10、2時(shí)，M = 3,22w M<3,故選B.、.，、，、一，4 八八*a+ bj9. （2010 河南新鄉(xiāng)倜研）已知全集 R,集合 E = x|b<x<2", F = xb/ab<x<a, M：x|b<xw Vab,若 a>b>0,則集合 M 等于（）A. EA FB. EUFC. E n （?rF）D. （?rE）AF答案C解析- a>b>0,1- a=a-a->a-b>>/ab>Vb2 = b,如圖可見集合M在E中，不在F中，故M = EA?rF.MF._1i 口 中0* E X 。T-10.（文）

11、（2010衡水市?？迹┮阎?ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D的直線分別交直 線AB、AC于E、F兩點(diǎn)，若AB=?AE（Q0）, AC= "（60）,則j+j最小值是（）7A. 9B.29C. 5D.2答案D1 一 f 一AE=2（AB+AC）-AE解析ED= AD-= ；（；AE+ "）Al= 2 1 AE+抨,fEF = AF - AE.2T上. IE D與E F共線，且A E與A F不共線,2 i'計(jì)-2, 1 + 4= 154（計(jì)由入心2人 a' 叩=；5+計(jì)口2，等號(hào)在呼4，4I時(shí)成立.2 人 心 233（理）（2010廣東省高考調(diào)研）如圖在等月直

12、角 ABC中，點(diǎn)P是斜邊BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)P 的直線分別交直線 AB、AC于不同的兩點(diǎn) M、N,若AB = mAM, AC=nAN,則mn的最大值 為（）“ 1C，A.2B.1C. 2D.3答案B解析以AC、AB為x、y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)等腰直角ABC的腰長(zhǎng)為2,則P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1), B(0,2)、C(2,0), . AB = mAM, AC=nAN,加AB，AN/ ,M °, m，直線mn的方程為my+nx=1,N x.直線 MN 過點(diǎn) P(1,1), . m+2=1, . m+ n=2, _ .2m+ n>2fmn,m mnw m；n = 1,當(dāng)且僅當(dāng) m= n= 1時(shí)

13、取等號(hào)，mn的最大值為1.二、填空題11. (2010山東聊城、山東鄒平一中?？?已知b>0,直線b2x+y+1=0與ax (b2+4)y+ 2=0互相垂直，則ab的最小值為 .答案4 ,c 八 c ,-b2+4b2+4 , , 4、,解析,兩直線垂直，ab2(b2+4)= 0, a = b2, b>0, ab=b=b+b>4,等號(hào)在b = b,即b = 2時(shí)成立.t2_ 4t+ 1山 口12 .（文）（2010重慶文，12）已知t>0,則函數(shù)y =1的最小值為答案2t2 4t+ 111 一因?yàn)?t>0 , y= t + 4> 2解析y=-t-=t+'

14、;42.，一.1 一 ,等號(hào)在t =；即t=1時(shí)成立.（理）（2010安徽合肥六中質(zhì)檢）已知三個(gè)函數(shù)y=2x, y=x2, y = 0的圖象都過點(diǎn) A,且點(diǎn)A x在直線m+2n刀>。，n>0）上，則log2m + log2n的最小值為答案4解析由題易得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,4）,因?yàn)辄c(diǎn)A在直線m +2n = 1（m>0, n>0）上，所以2 , 4、；2 41 =南+2>2yjm mn> 16,所以 10g2m +log2n= log2(mn)>4,故 log2m+log2n 的取小 值為4.13 .（文）（2010南充市）已知正數(shù) a, b, c滿足：

15、a+2b+c= 1則：+1+1的最小值為答案6+4.2c ac2b+一 + +:十a(chǎn) cbc111 a+2b+c a+ 2b+c a+2b + c解析-+-+- =+;+a b c abc 4> 2亞+2+2亞+ 4= 6+4也等號(hào)在/b, a=c, b=2b同時(shí)成立時(shí)成立即 a = c= p=1-當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（理）（2010北京延慶縣）已知x>0, y>0, lg2x+lg8y=lg2,則xy的最大值是解析. lg2x+lg8y = lg2 , .2x8y=2,即 2x+3y= 2, .x+3y=1, z. xy = 3x (3y)w ； x3y 2= 12,等號(hào)在 x=

16、 3y,即 x= ：, y ='時(shí)成立. 32122614 .(文)(2010 重慶一中)設(shè) M 是4 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，且AB Ac= 2® / BAC = 30°,定義 f(M)1= (m, n, p),其中 m, n, p 分別是 MBC , AMCA, MAB 的面積.若 f(M)=x, y ,14 , 一 ，八一則+ 4的最小值是 x y答案18，一,之 解析AB AC=|AB| |AC|cos30| |AC|=2<3,|AB| |AC| = 4,1由 f(M)的定義知，SAABC=2+x+y,1.又 Saabc = 2|AB| |AC| sin30

17、= 1,.,1 . 一 一、 x+y = 2(x>0, y>0)4= 2(x+y)-+ -= 2 5 + ' + >2(5 + 2M)= 18,等號(hào)在 y = ,即 y=2x = 時(shí)x yx yx yx y3.1 . 4成乂，一一十 一 min= 18. x y（理）（2010江蘇無錫市調(diào)研）設(shè)圓x2+y2= 1的一條切線與x軸、y軸分別交于點(diǎn) A, B, 則AB的最小值為 .x+b=1,則答案2解析由條件知切線在兩軸上的截距存在，且不為零，故設(shè)切線方程為-a2b2=a2+b2>2ab,切線與兩軸交于點(diǎn)A(a,0)和(0, b),不妨設(shè) a>0, b>

18、;0,，ab>2,則 AB=|AB|=Ma2+b2>2ab>2.三、解答題15 .已知a、3都是銳角，且 sin 3= sinocos（a+隊(duì)兀 ，、，.當(dāng)a+ 3= 4，求tanB的值;(2)當(dāng)tan 3取最大值時(shí)，求tan( “十份的值. 吁2兀-解析(1) ,由條件知，sin 3= 2 sin 4 卜，整理得 2sin 3- 1cos 3= 0,1'1 3為銳角，tan 3=；.3(2)由已知得 sin 3= sin ocos ocos 3 sin2 asin 3, tan 3= sin ocosa sin2 dan 8tan 3=sin ocosoc ,2 =

19、1 + sin asin ocos &2sin2 a+ cos2 atan a1< _J&2tan2a+ 1 =2tan+ 去、2,2 = 7 tan民，一，1，一“一當(dāng)且僅當(dāng)初=2tan"時(shí),取二號(hào),tan a=,tan 3取得最大值-4-,tan 葉 tan 3”此時(shí)，tan( a+ = R2.1 tan otan 316 .(文)(2010江蘇鹽城調(diào)研)如圖，互相垂直的兩條公路 AM、AN旁有一矩形花園 ABCD, 現(xiàn)欲將其擴(kuò)建成一個(gè)更大的三角形花園APQ,要求P在射線AM上，Q在射線AN上，且PQ過點(diǎn)C,其中AB=30米，AD = 20米.記三角形花園

20、APQ的面積為S.(1)當(dāng)DQ的長(zhǎng)度是多少時(shí),(2)要使S不小于1600平方米，則DQ的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？解析(1)設(shè) DQ = x米(x>0),則 AQ = x + 20,QQ=AQx± DC AP'30 AP '，AP=則 S= 2XAPXAQ 一= 15(x+400+ 40)>1200,當(dāng)且僅當(dāng) x= 20 時(shí)取等 x(2) . SR 1600,，3x2 200x+ 1200 A0,20 ,、，0<xw 20或 x>60 3答：(1)當(dāng)DQ的長(zhǎng)度是20米時(shí)，S最小，且S的最小值為1200平方米；(2)要使S不小于1600平方米，則DQ的取

21、值范圍是0<DQW20或DQ>60.3(理)某企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行促銷，在一年內(nèi)預(yù)計(jì)銷售量Q(萬件)與廣3x+ 1告費(fèi)x(萬兀)之間的函數(shù)關(guān)系為 Q = -(x>0),已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元，x十 1 、，每生產(chǎn)1萬元此產(chǎn)品仍需再投入 32萬元，若每件銷售價(jià)為“年平均每件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占廣告費(fèi)的50%”之和.(1)試將年利潤(rùn) W(萬元)表示為年廣告費(fèi) x(萬元)的函數(shù)；(2)當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？解析(1)由題意可得，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(32Q+3)萬元，每萬件銷售價(jià)為32Q+3X150% +

22、3X 50%, Q，年銷售收入為(32： + 3X 150%+-xX 50%) Q QQ31= (32Q+3) + 2x,31，年利潤(rùn) W= 2(32Q+ 3) + 2x-(32Q+ 3)-x1-x2 + 98x+ 35= 2(32Q+3-x)=-2Ti(x>0)- xx x -I- I(2)令 x+1 = t(t>1),則W=t-1 2+98 t-1 +352t50 2+32t 32,t 32 一.t>1,，5+；>275 T = 8,即 WW 42,當(dāng)且僅當(dāng)3,即t=8時(shí)，W有最大值42,此時(shí)x= 7.即當(dāng)年廣告費(fèi)為7萬元時(shí)，企業(yè)利潤(rùn)最大，最大值為42萬元.17.(

23、文)(2010廣州市調(diào)研)已知點(diǎn)F(0,1),直線l: y= 1, P為平面上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作直線l的垂線，垂足為 q,且QP QF= FP FQ.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;(2)已知圓M過定點(diǎn)D(0,2),圓心M在軌跡C上運(yùn)動(dòng)，且圓 M與x軸交于 A、B兩點(diǎn),11 l 2設(shè)|DA|=l1，|DB|=l2,求 g+j的取大值.解析(1)設(shè) P(x, v),則 Q(x, 1),-L f. QP QF = FP FQ,. .(0, y+1) (x,2)=(x, y1)(x, 2).即 2(y+1) = x22(y1),即 x2=4y,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2= 4y.(2)設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)

24、為(a, b),則a2=4b圓M的半徑為|MD|= 靜+ b2 2.圓 M 的方程為(xa)2+(yb)2=a2+(b2)2.令 y=0,則(x a)2+b2= a2+(b2)2,整理得，x2- 2ax+ 4b- 4= 0將代入得x2 2ax+ a2 -4= 0,解得x= ai2,不妨設(shè) A(a 2,0), B(a+2,0),li= yja2 2+ 4, I2 =7a + 2 2+ 4.,li,l2 li2+l22 2a2+1612 liI1I2+64=2 2.當(dāng)且僅當(dāng)a=上血時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)a = 0時(shí)，由得，F(xiàn)+F = 2.12 11故當(dāng)a= ±2蛆時(shí)，*十£的最大值為2版 x2 y2x2(理)已知橢圓C：* 1(a>b>0)以雙曲線鼻y2= 1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn) A, B,點(diǎn)M是橢圓C上異于A, B的任意一點(diǎn).求證：直線 MA, MB的斜率之積為定值；若直線MA、MB與直線