狹義相對論基礎

1、第五章狹義相對論基礎內(nèi)容：1 .經(jīng)典力學的時空觀；邁克耳遜 莫雷實驗，長度收縮，時間延緩，同時的相對性，狹義相 對論的時空觀。質(zhì)量與速度的關(guān)系；相對論動力學基本方程；相對論動量和能量。2 .狹義相對論的基本原理；3 .洛侖茲坐標變換式；4 .相對運動； 重點與難點：1 .經(jīng)典力學的時空觀2,邁克耳遜-莫雷實驗。3,狹義相對論的基本原理；3,質(zhì)量與速度的關(guān)系；4 .相對論動量和能量。5 .相對論動力學基本方程 要求：1. 了解愛因斯坦狹義相對論的兩個基本假設。2. 了解洛倫茲坐標變換。了解狹義相對論中同時的相對性以及長度收縮和時間延緩。了解 伽利略的絕對時空觀和愛因斯坦狹義相對論的時空觀及其二者

2、的差異。3. 理解狹義相對論中質(zhì)量和速度的關(guān)系、質(zhì)量和能量的關(guān)系。相對論包括狹義相對論和廣義相對論兩部分內(nèi)容.狹義相對論提出了新的時空觀，建立了物體高速運動所遵循的規(guī)律，揭示了時間和空間、質(zhì)量和能量的內(nèi)在聯(lián)系.廣義相 對論提出了新的引力理論，開始了有關(guān)引力本質(zhì)的探索.本章僅介紹狹義相對論的運動學 以及相對論動力學的主要結(jié)論.§5-1伽利略變換與力學相對性原理為了理解相對論時空觀的變革，首先回顧一下牛頓力學的時空觀.一、伽利略變換與絕對時空觀要描述某一個事件，應該說明事件發(fā)生的地點和時間.這就需要確定一個參考系，并 在其中使用一定的尺和鐘，用以確定事件發(fā)生的空間坐標和時間坐標，即用x、

3、y、z來表示事件發(fā)生的空間位置，用t來表示事件發(fā)生的時刻.設有分別固定在兩個慣性參考系上的兩個直角坐標系S和S ,如圖5-1所示，相應的坐標軸相互平行，S系相對于S系以恒定速度v沿x軸正方向運動.現(xiàn)在要討論的問題是： 如果在S系上的觀測者測得某一事件P發(fā)生的位置和時刻分別為 x、y、z和t,而在S系上觀測者測得同一事件 P發(fā)生的位置和時刻分別為 x、y、z和t ,那么x、y、z、t 和x、y、z、t之間的關(guān)系如何呢？Px.y.zti) (S：門圖5-1討論這一問題時，兩個觀測者所使用的尺和鐘應當完全相同.即把它們放在同一參考系的同一位置時，兩把尺子的長度是相同的，兩個鐘的快慢也是相同的.為了討

4、論簡單起見，令兩坐標系的原點 。與。重合的時刻為兩個坐標系計時的起點，即這時 t t 0.從圖5-1分析，并把時間的量度也考慮進去，便可得到x x vt(5-1)(5-2)y y z z t t這組關(guān)系式稱為伽利略時空變換式.同樣還可以得到x x vty yz z通常把（5-1）式稱為正變換，把（5-2）式稱為逆變換.此兩式就是一個事件在兩個 相對運動的慣性系中測得的時空坐標的關(guān)系.以U和U分別表示同一質(zhì)點在 S和S系中的速度，由（5-1）式的前三式對時間t求 導數(shù)，并考慮到t t ,得到dx dx v dt dtdy dy dt dt dz dz dt dt按速度的定義，即有ux ux vU

5、y Uy（5-3）Uz Uz或?qū)懗墒噶渴経 U v（5-4）（5-3）式和（5-4）式稱為伽利略速度變換公式.在導出伽利略變換時，已經(jīng)隱含著牛頓的時空觀.這種時空觀認為，空間是一個與物 質(zhì)運動無關(guān)的、永恒不變的、固定不動的獨立存在的框架，因此，長度測量是絕對的，與 參考系無關(guān)；時間單向永遠地流逝著，因此，時間間隔的量度也是絕對的， 與參考系無關(guān).時 間、空間和物質(zhì)客體三者是彼此獨立、相互無關(guān)的.正是以絕對時空觀為前提，事件P發(fā)生的空間位置到 Oyz平面的距離，在 S系和S系來量度，所得的量值是相等的，即 x x vt；由to to 0,可以得到在S系和S系測量事件P發(fā)生的時刻是相同的，即 t

6、t .由此可以推論：如果有兩個事件在S系看來同時發(fā)生，在 S系看來也必定同時發(fā)生.也就是說同時性是絕對的，與參考系無關(guān).絕對時空觀與日常生活經(jīng)驗是一致的，因 而長期被人們認為是普遍正確的.伽利略變換就是絕對時空觀的數(shù)學表述.二、力學相對性原理現(xiàn)在研究由S系和S系測量同一質(zhì)點運動的加速度 a和a的關(guān)系.由（5-4）式對時 間求導數(shù)，考慮到t t,以及兩慣性系之間的相對速度 v與時間無關(guān)，即得du du dt dt 即a a上式表明，同一質(zhì)點的加速度在S系和S系測得的量是相同的.在牛頓力學中，一個質(zhì)點的質(zhì)量是不因其運動而改變的，因此，在 S系和S系測量同 一質(zhì)點的質(zhì)量的量值 m和m應相等，即 m

7、m .牛頓力學中的力只跟質(zhì)點的相對位置或 相對運動有關(guān)，也是和參考系無關(guān)的，因此，在兩慣性系中測量同一力所得的F和F是相同的，即F F .綜上所述，若對于S系有F ma ,則對于S系必然有F ma .這 表明經(jīng)過伽利略變換，牛頓第二定律的形式不變.也就是說，力學規(guī)律在一切慣性系中都 具有相同的形式.這個結(jié)論稱為力學相對性原理.歷史上，早在牛頓定律建立之前，伽利 略就通過觀察和實驗，論證了力學規(guī)律在所有慣性系中都是相同的，亦即從力學的觀點看 來所有慣性系都是等價的.因此，力學相對性原理也稱為伽利略相對性原理.§5-2狹義相對論的基本假設與洛侖茲變換一、狹義相對論的基本假設在物體低速運動

8、的范圍內(nèi)，伽利略變換和力學相對性原理是符合實際的.然而，在19世紀下半葉，隨著電磁理論的發(fā)展，電磁現(xiàn)象與經(jīng)典力學理論產(chǎn)生了許多矛盾.特別是人 們確認光就是電磁波，并證明了在真空中光沿各個方向傳播的速度都相同.光速（用c表示）是相對于哪個慣性系而言的呢？當時的物理學家普遍認為，光是在所謂光以太這種特 殊介質(zhì)中傳播的.根據(jù)伽利略變換，相對于光以太運動的不同慣性系，光速是不同的.如 果有一個慣性系 S相對于光以太沿光的傳播方向以速度v運動，那么，在S系測得的光速應該為c c v;如果有一個慣性系 S相對于光以太沿光的傳播相反的方向以速度v運動，那么，在 S系測得的光速應為 c c v.由此看來，似乎

9、可以通過測定光速的實驗 來發(fā)現(xiàn)物體（例如地球）相對光以太的速度.光以太本身就可以當作特殊的靜止參考系， 其他所有物體相對它運動.然而，人們在絕對靜止的光以太這個觀點的基礎上，對大量實 驗和觀察的結(jié)果進行討論研究，出現(xiàn)了許多矛盾.力學相對性原理和伽利略變換遇到了不可克服的困難.這里不去敘述和解釋那一系列矛盾的歷史，而直接介紹愛因斯坦 1905年在論動體的電動力學這一具有劃時代意義的論文中提出的新的理論.愛因斯坦在前人，特別是洛侖茲和龐加勒工作的基礎上分析了經(jīng)典力學與電磁現(xiàn)象之 間的矛盾，重新審視了人們頭腦中根深蒂固的伽利略變換所蘊含的絕對時空觀，提出了兩 個新的假設.這就是狹義相對性原理和光速不

10、變原理，創(chuàng)立了狹義相對論，建立了嶄新的 相對論的時空觀.這兩個假設表述如下：(1)狹義相對性原理：一切物理定律在相對作勻速直線運動的所有慣性系內(nèi)均成立.這是對伽利略相對性原理的推廣.它指出，相對性原理不僅適用于力學現(xiàn)象，而且適用于一 切物理現(xiàn)象.因此，不論是力學實驗還是其他任何物理實驗，都不能判定一個慣性系比另 一個慣性系更優(yōu)越，光以太的假設是多余的.(2)光速不變原理：真空中的光速相對于任何慣性系沿任一方向恒為C,并與光源的運動無關(guān).一個世紀以來，人們進行了大量相關(guān)的實驗，這些實驗事實只能用相對論來解釋和預見.只能在有了這些牢固的實驗基礎以后，人們才能回過頭來說這兩個假設是反映客觀實 際的基

11、本原理.二、洛侖茲坐標變換式愛因斯坦依據(jù)光速不變原理結(jié)合狹義相對性原理，得到了狹義相對論的坐標變換式， 即洛侖茲坐標變換式.洛侖茲坐標變換式是關(guān)于一個“點”事件在兩個慣性系中的時空坐標之間的變換關(guān)系.所謂“點”事件，是指某一時刻發(fā)生在空間某點上的事件.我們?nèi)圆扇С鲑だ宰冊O某一事件在慣性系S中的時空坐標為(x、y、x、y、z、t ),洛侖茲坐標變換式為換時的兩個慣性坐標系 S和S系(圖5-1所示)，相應的坐標軸彼此平行， S系相對于S系 以恒定速度v沿x軸正方向運動.規(guī)定兩慣性坐標系中觀測者所使用的尺和鐘完全相同.同 樣規(guī)定，兩坐標系原點重合時為計時起點.z、t),在慣性系S中的時空坐標為(

12、x(5-5)其逆變換為x vty2y-y(5-6)必須注意，洛侖茲變換討論的不是一個抽象的空間點或某一抽象的時刻，而是一個真 實存在的物理事件.一個真實存在的物理事件不能只有空間坐標或時間坐標，而必須同時 具有空間坐標和時間坐標.所以在應用洛侖茲變換處理問題時，要特別注意兩組時空坐標 是否代表同一物理事件的坐標.從（5-5）和（5-6）式可以看到，C是自然界的一個極限速度.為了使 X和t保持為 實數(shù)，V不能大于C.這表明兩個參考系的相對速度不可能大于光速.由于參考系總是借 助于一定的物體而確定的，所以任何物體的速度都不可超過光速.從（5-5）和（5-6）式還可以看到，當 S系相對S系的速度VC

13、時，洛侖茲變換就過渡到伽利略變換.§5-3狹義相對論的時空觀從洛侖茲變換可以得出四個主要結(jié)論，它們標志著相對論時空觀區(qū)別于絕對時空觀的 特點之所在.一、時間作為“第四維”從洛侖茲變換公式中可以看到，我們必須改變絕對的、普遍的時間概念.由（5-5)組式中的第四式可知，S系的觀測者測得某事件發(fā)生的時刻t不但與S系的觀測者測得的時刻t有關(guān)，而且與位置 x有關(guān)，因而，我們不能把空間和時間作為彼此分離的概念，用三 個空間坐標和一個獨立的時間坐標來表征一個事件，而應用洛侖茲變換“混合在一起”的 四個時空坐標來代替.在數(shù)學上，時刻可當作第四個空間坐標來看待，因此，有時將時間 稱為“第四維”.二、同

14、時的相對性按照伽利略變換，S系中的觀測者測到兩事件同時發(fā)生，則在S系中的觀測者亦測到兩事件同時發(fā)生，即同時是絕對的.現(xiàn)在討論洛侖茲變換的情況.設有兩個事件P1 和 P2,S系中的觀測者測得其時空坐標分別為（、,丫1,4,3）和（X2, y2,Z2,t2）;在S系中的觀測者測得其時空坐標分別為（X1, y1, z1,t1）和（t *Xt12 X1tlc X2, y2,Z2,t2 ) .按照洛侖茲變換，有t工xt22 X2c1c21 5在S系和S系測得的時間間隔分別為（t2 t1 ）和（t2 t1）,它們之間的關(guān)系為t2tiI_v_.(t2ti)-2 (X2Xi)cC2(5-7)由此可見，在兩個相

15、對作勻速直線運動的慣性系中測得的時間間隔，一般說來是不相同的.若兩個事件P,和P2在S系中的觀測者看來是同時發(fā)生的，即t2 ti,由(5-7)可得ti由上式可以看出，當 Xi X2時，t2 t)(X2 Xi) c 11r0 .這一結(jié)果表明，在一個慣性系中不同地點同時發(fā)生的事件，在相對它運動的任一其他慣性系中的觀測者看來，并不同時發(fā)生.只有在 一個慣性系中同一地點、同一時間發(fā)生的兩個事件，在相對它運動的另一慣性系看來，才 會同時發(fā)生.同時是相對的.三、時間間隔的相對性設在S系中某點X處先后發(fā)生了兩個事件 Pi和P2,其時刻分別為ti,t2 ,時間間隔為t2 ti ,注意到P和P2在S系中的空間坐

16、標相同，由(t2 X5-6)式有vtiti-v2 X由此可得S系中的觀測者測得其時間間隔,上式表明，在 S系中同一地點先后發(fā)生的兩個事件，在比在S系中的觀測者測得其時間間隔長.通常，把在某一慣性系中同一地點先后發(fā)生的兩個事件的時間間隔稱為固有時間間隔，用 的另一慣性系中測得的這兩事件的時間間隔為to表示.一般地說，在與該慣性系有相對運動(5-8)t總是大于to,這個效應叫做時間膨脹效應.時間膨脹效應表明了時間間隔是相對的.僅當兩慣性系的相對速度 v c時，t t0 ,絕對時空觀中的時間間隔不變，才是 近似正確的.如果用鐘走的快慢來說明，S系中的觀測者把固定在 S系中的鐘和固定在相對它運動的S系

17、中的鐘相對比，將會發(fā)現(xiàn)S系中的鐘走慢了.所以這個效應也叫做運動的時鐘變慢.應當特別指出，時間膨脹是相對的.S系中的觀測者把固定在 S系中的鐘和固定在相對它運動的S系中的鐘對比時，會發(fā)現(xiàn) S系中的鐘走慢了.四、長度的相對性如圖5-2所示，在S系中沿x軸放置一剛性桿 AB,此桿在S系中靜止，但相對S系則沿x軸正方向以速度 v運動.在伽利略變換下，從兩 參考系中測得桿的長度相同.現(xiàn)在根據(jù)洛侖茲變換重新 研究這個問題.在S系測量這一運動的桿的長度時，不能讓度量的尺子也具有速度 v相對桿靜止地度量，因 為尺在運動時長度也可能會變化.正確的測量方法是同 時測定桿兩端在S系中的坐標x1和x2 ,桿的長度lX

18、2 4.圖 5-2設在S系，在時刻t測得桿的兩端點 A、B的坐標為x1、x2,即端點A和S系x軸 的坐標xi重合的這一事件的時空坐標為（xi,ti）,端點B和S系x軸的坐標x2重合這一事件的時空坐標為（x2,t2）,而且t1 12t.這兩個事件在 S系的觀測者看來，其時空坐 標分別為（為，t1 ）和（x2,t2）.由（5-5）式x1vt1x2 vt2由此可得由ti12t得l總小于lo ,這個效應稱為長度縮短或洛侖茲收縮. 相對的，可因在不同的慣性系中測量而不同.僅當 長度不變才是近似正確的.長度縮短效應說明空間間隔（長度）是 v c的時候，l 10,絕對時空觀中的上式表明，固定在 S系的桿，在

19、S系的觀測者測得的長度，比在 S系觀測者測得的長度 短.一般地說，從與桿有相對運動的慣性系中測得的沿速度方向的桿的長度，比與桿相對 靜止的慣性系中測得的長度短.通常把與桿相對靜止的慣性系中測得的桿的長度稱為固有 長度，記作lo .在其他沿桿長方向運動的慣性系中測得的長度為(5-9)應當指出，由（5-5）式y(tǒng) y, z z,可以看到，如果桿沿 y軸或z軸放置，桿長 不會縮短.長度縮短也是相對的.兩把相同的尺子分別固定于S系和S系中，在兩個參考系的觀測者看來，固定在自己所在的參考系的尺子的長度應為固有長度，因而固定在另一參考系 中的尺子應比自己的尺子短些.兩個觀測者的結(jié)論都是正確的.例題5-1 原

20、長為50m的火箭以v 9 103 m/s的速度相對于地面勻速飛行.在地面上的觀測者測得飛行中的火箭的長度是多少？l0 50 m ,用l表示地面上觀測者測得飛行中的火19 103 2;3 108_ 5 210 )49.99999998 m解 由題意可知，火箭的固有長度 箭長度，按（5-9）式有l(wèi) lo j501501一（32結(jié)果表明，對火箭這樣大的速度，長度縮短效應是微乎其微的.例題5-2 在h0 6000 m的高層大氣中產(chǎn)生了一個子， 子以0.998c的速度豎直向地面飛來，靜止的子的平均壽命為2 10 6 s,問 子在衰變以前能否到達地面？解 地面上的觀測者，按經(jīng)典理論計算，粒子走過的距離為d

21、1 v t0 （0.998 3 108） （2 10 6） 598.8md1 h0 ,因此，它似乎不可能到達地面.實際上， 子的速度與光速c可以比擬，必須考慮相對論效應.子相對地面運動，在地面的觀測者看來，它的平均壽命為地面上的觀測者所計算的31.6 10 6s子可飛行的距離為d2 v t(0.998 3 108) (31.6 10 6) 9461md2 ho,因此，按 子的平均壽命，它能到達地面.五、相對論的速度變換公式利用洛侖茲變換可以得到相對論的速度變換公式.用(x, y,z,t)和(x,y,Z , t )分別表示運動質(zhì)點 P在S系和S系中的時空坐標，用(Ux, Uy,Uz)和(Ux,U

22、y, Uz) 分別表示質(zhì)點P在S系和S系中的速度分量.對(5-5)式的4個分式兩邊取微分，并考慮到慣性系S和S之間的相對速度 v是常數(shù)，則有dy dydz dz按速度定義和Uxdxdt ,Uydz dtUxdx,Uy dtdy一,Uzdtdzdt即可得到uxuyuzdxux Vdtdy dtdz dtuxv-2 c1uy2uxV-2(5-10)上式就是相對論的速度變換公式.其逆運算可根據(jù)相對性原理，將 不帶撇的量互換而得到v換成v ,帶撇的量和uxux v/uxv1-x2c(5-11)應當注意，相對論的速度變換關(guān)系中雖然S系和S系相對速度的方向沿 x軸方向，但不僅速度的x分量要變換，速度的 y

23、分量和z分量也要變換.當v c時，（5-10）和（5-11）式將過渡到速度變換式.例題5-3 飛船A和飛船B各以0.8c和0.6c的速度相對于地面分別向右和向左飛行.由飛船B測得飛船A的速度多大？解 現(xiàn)在涉及三個客體，選飛船 A為運動物體，飛船 B為S系，地球為S系.飛船A 相對地面的速度為Ux 0.8c, S系相對S系的速度為v 0.6c （式中負號表示S系相 對于S系的速度沿x軸的負方向），飛船A相對于飛船B的速度為Ux,根據(jù)（5-10）式，有uxux v,UxV0.8c ( 0.6c)八 c 1 c，、0.946c0.8 ( 0.6c)§5-4 相對論質(zhì)量、動量和能量一、相對論

24、質(zhì)量動量守恒定律是自然界的普遍規(guī)律之一.在相對論力學中，我們?nèi)园褎恿渴睾愣勺?為一條基本定律，而且定量仍用 p mv的形式定義.可以證明，要使動量守恒定律在洛侖 茲變換下保持不變，則質(zhì)點的質(zhì)量 m不再是一個與其速率 v無關(guān)的常量，而是隨速率增大 而增大，即(5-12)式中m0是由相對質(zhì)點靜止的觀測者測得的質(zhì)量，稱為靜止質(zhì)量.（5-12）式表明，當質(zhì)點以一定速率相對觀測者運動時，觀測者測得該質(zhì)點的質(zhì)量m大于靜止質(zhì)量 m0 .因此，質(zhì)點的質(zhì)量也是相對的. （5-12）式稱為相對論的質(zhì)速關(guān)系式.若物體的運動速度 v c時，m mO,即物體低速運動時，其質(zhì)量與速率無關(guān)，等 于靜止質(zhì)量.這就是經(jīng)典力學

25、中的質(zhì)量概念.二、相對論質(zhì)點動力學方程由質(zhì)點相對論動量的定義和（5-12）式可得質(zhì)點的相對論動量p與其速度v的關(guān)系為m。P mv -yv1 I?(5-13)可以證明，對洛侖茲變換保持形式不變的相對論動力學方程為F dP 1dt dtm0v2 Vl(5-14)顯然，因為m隨v而改變，所以不能像經(jīng)典力學那樣，把質(zhì)點動力學方程寫成 F ma的形式.但在v c的情況下，（5-13）和（5-14）式都與靜電力學中對應的關(guān)系相同，說 明經(jīng)典力學是相對論力學在低速條件下的近似.三、質(zhì)能關(guān)系式在相對論力學中，我們?nèi)园蚜Χx為動量的時間變化率，即_ dp d(mv)F - dt dt而且，我們?nèi)远x物體的動能為

26、在合外力F作用下，使物體由靜止到達末速度為v時，合外力所作的功.由此可導出相對論的動能表達式.設物體在力F的作用下沿曲線s運動，在元位移ds上物體動能的增量為d(mv)dEKF dsmv dvds v d(mv)dt2v vdm mvdv v dm由(5-12)式可得,movdvdm 2T2 v 9 c2(1 -2)2 c代入上式并化簡，即得 2 , dEK c dm當物體的速度由零增加到 v,質(zhì)量由m0增加到m ,物體的動能 -m 2EK dEK c dm K 0Kmo 22、EK mc m0c(5-15)這就是相對論的動能表達式.容易證明，當 v c時，即當物體的速度遠小于光速時，則 有1 E 2EK - mov2這就是經(jīng)典力學中的動能表達式.(5-15)式可以寫成為_22mc EK m°c(5-16)愛因斯坦把mc2稱為物體的總能量，moc2稱為物體的靜止能量(簡稱靜能).(5-16)式表明，物體的總能量等于物體的靜能與動能