數(shù)值分析典型例題

1、v1.0可編輯可修改第一章典型例題例3 ln2=0.,精確到10 3的近似值是多少解 精確到103=，即絕對誤差限是 =,故至少要保留小數(shù)點(diǎn)后三位才可以。ln2 第二章典型例題 例1用順序消去法解線性方程組解順序消元2 141Ab 3 2 1412 412 1 ( 3/2)3 1 ( 1/2)10.51.515.50.53 2( 3)10.50451715.517于是有同解方程組2x1 x2 4x30.5x2 5x317x315.517回代得解*3 = 1, *2 = 1, *1=1,原線性方程組的解為X= (1,1,-1)T例2取初始向量乂0)=(0,0,0) T,用雅可比迭代法求解線性方程

2、組解建立迭代格式x1(k1)2x2k)2x3k) 1x2k1)x, x3k)3 (k=1,2,3,)x3k1)2x1(k)2x2k) 53I2第1次迭代，k=0X0) = 0,得到 乂 0 0 =(1,3,5) T第2次迭代，k=1x1(2)232 515x2于是 0= 0 1 01 5 33x32)212 353X2) =(5, -3, 3)T第3次迭代，k=2x1(3)2(3)2(3)11x20 0 15(3)31x32)252(3)51乂3)=(1,1,1) T第4次迭代，k=3x12 1x2x32 1113 12 15 115X (4) =(1,1,1) T例4證明例2的線性方程組，雅

3、可比迭代法收斂，而高斯-賽 德爾迭代法發(fā)散。證明例2中線性方程組的系數(shù)矩陣為1 22A= 1 112 210 22 U 0 010 00000D 1 = D 100220雅可比迭代矩陣為 B)= D 1(L U)10 00 2201010100 12 202I B012 2(2) 2(1) 22 2(1)30得到矩陣B的特征根1,2,3 0,根據(jù)迭代基本定理4,雅可比迭代法收 斂。高斯-賽德爾迭代矩陣為GS= (D ) 1U= 1102 10 0022一一 223(2)2 002解得特征根為1=0,2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯賽德爾迭代發(fā)散例5填空選擇題:1.用高斯列主元消去法解線性方

4、程組次消元后的第 2 ,3 個(gè)方程分別為答案:x2 0.5x31.52x2 1.5x33.5解答 選a2i=2為主元，作行互換，第1個(gè)方程變?yōu)椋?xi+2x2+3x3=3,消元得到x2 0.5x31.52x2 1.5x3 3.5是應(yīng)填寫的內(nèi)容。3.用高斯-賽德爾迭代法解線性方程組xxxx x x xx x的迭代格式中x2k1)=(k=0,1,2,)答案：3 x，1) x3k)解答：高斯-賽德爾迭代法就是充分利用已經(jīng)得到的結(jié)果，求x2的值時(shí)應(yīng)該用上 萬的新值。第三章典型例題例1已知函數(shù)y=f (x)的觀察數(shù)據(jù)為xk-2045yk51-31試構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式R (x),并計(jì)算f ( 1)的近

5、似值只給4對數(shù)據(jù)，求得的多項(xiàng)式不超過3次解先構(gòu)造基函數(shù)l (x)l (x)x(x )(x)x(x )(x)()()()(x )(x)(x) (x )(x)(x)()()()l(x)_ x(x )(x)13(X)(x 2)x(x 4)(5 2)(5 0)(5 4)(x 2)x( x 4)35所求三次多項(xiàng)式為nP3(x)=yklk(x)k 0x(x )(x)+(x )(x)(x)()x(x )(x)+(X )x(x )f( -1)P3( -1) =例3設(shè)x ,x ,x ,.,xn是n+1個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn),lk(x)(k,.,n)是拉格朗日插值基函數(shù)，證明:n(1) lk(x)k證明nlk(x)xm

6、xm(m, , ,., n)knPn(x)=y°l 0(x)+y1l 1(x)+ +ynl n(x)=yklk(x)k 0Rn(X)f (n )(n口 n (x), )!f (x) Pn(x) Rn(x)當(dāng)f(x) 1時(shí),1= Pn(x)Rn(x)f ()，、 lk(x) - n (x)(n )!由于f(n )(x),故有nlk(x)(2)對于f (x)=xm, m=0,1,2,，n,對固定x10 m n),作拉格朗日插值多項(xiàng)式，有nf(n )()n (X)xmPn(x)Rn(x)xkmlk(x)-k(n )!當(dāng) n>m- 1 時(shí)，f(n+1) (x)=0 , R(x)=0 ,

7、所以nximlk(x)xmk注意：對于次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式Qn(x)nanxannx . a x a利用上結(jié)果，有Qn(x)anxn an xnnanlk(x)xnknlk(x)xnklk(x)xk anlk(x)knlk(x)anxnk 0n 1an ixk . axka0nQn(Xk)lk(X)k 0n上式Qn(xk)lk(x)正是Q(x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式。可見，Q(x)的拉k 0格朗日插值多項(xiàng)式就是它自身，即次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式在n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)處的拉格朗日插值多項(xiàng)式就是它自身。例5已知數(shù)據(jù)如表的第2, 3歹U,試用直線擬合這組數(shù)據(jù)。解 計(jì)算列入表中。n=5。a。, a1滿足的法方程

8、組是kxkykxkxkyk11414224933691844816325525i53i55解得a0=,ai=。所求擬合直線方程為y=+例6選擇填空題1.設(shè)y=f(x),只要xo, xi, X2是互不相同的 3個(gè)值，那么滿足RXk尸yk(k=0,1,2)的f(X)的插值多項(xiàng)式 P(X)是(就唯一性回答問題)答案：唯一的3.拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(),牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是()f(n )() 一(A) Rn(X)f(X)Pn(X)一 n(X)(n )!(B) f (X, Xo, Xi, X2,，Xn)( XXl)( XX2)(X Xn 1)( X Xn) f (n )()(C) Rn(X) f

9、(X) Pn(X) 一(n )!(D) f (X, Xo, Xi, X2,，Xn)( X Xo)( X Xi)( X X2)(x Xn i)( XXn)答案：(A) , (D)。見教材有關(guān)公式。第四章典型例題例i試確定求積公式f(x)dx f( 丁)f(7)的代數(shù)精度。依定義，對xk(k=0,i,2,3,)，找公式精確成立的k數(shù)值解 當(dāng)f(x)取i,x,x2,時(shí)，計(jì)算求積公式何時(shí)精確成立。(1)取 f(x)=1，有左邊= f (x)dxdx(2)取 f(x)=x，有左邊= f(x)dxdx, 右邊=f( 丁)f(丁)丁 丁取f(x)=x2，有f(x)dx x dx二f( )f(.)()()-(

10、4)取 f(x)=x3，有左邊二 f (x)dx x dx ,右邊=f( _) f()()() J J J J(5)取 f(x)=x4，有左 邊 二 f(x)dx x dx ,右 邊=f( ) f()()()-當(dāng)k 3求積公式精確成立，而x4公式不成立，可見該求積公式具有3次代數(shù)。hh例 5 試確7E求積公式f(x)dx -f(0) f(h) ah f (0) f (h)中的參02數(shù)a,并證明該求積公式具有三次代數(shù)精度。解 公式中只有一個(gè)待定參數(shù)a。當(dāng)f(x)=1,x時(shí)，有1dx -1 1 0,即 h=h02hh2x1dx h0 h ah2(1 1)02不能確定a,再令f(x)=x2，代入求積

11、公式，得到h 2 h 22o x dx -0 h ah (2 0 2h),即得a .求積公式為f (x)dx h f (0) 1202.3.3h h 3 2ah332h2f(h) f (0) f (h)12將f(x)=x3代入上求積公式，有h 3 h 3 h22x3dx 0 h3 (3 0 3h2)0212可見，該求積公式至少具有三次代數(shù)精度。再將f(x)=x4代入上公式中，有h 4 h 4 h3x4dx -0 h4(4 0 4h3)0212所以該求積公式具有三次代數(shù)精度。例6選擇填空題1.牛頓-科茨求積公式與高斯型求積公式的關(guān)鍵不同點(diǎn)解答：牛頓-科茨求積公式的節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)確定后，再估計(jì)其

12、精度；高斯型求積公式是由精度確定其節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)。第五章典型例題 例1證明方程1x sin x=0在區(qū)間0,1內(nèi)有一個(gè)根，使用二分法求誤差不超過x 10-4的根要迭代多少次證明令 f (x) = 1 xsin x; f(0)=1>0 , f(1)= -sin1<0f(x)=1 x sinx=0在0, 1有根。又f (x)=1 cosx>0(x 0,1),故 f(x)=0 在區(qū)間0 , 1內(nèi)有 唯一實(shí)根。給定誤差限=><10-4,有l(wèi)n(b a) InIn . Inn .InIn只要取n=14。例2用迭代法求方程x5 4x2=0的最小正根。計(jì)算過程保留4 位小數(shù)。分

13、析容易判斷1 , 2是方程的有根區(qū)間。若建立迭代格式x，即(x) x, (x)x-(x ( , ), 此時(shí)迭代發(fā)散。建立迭代格式 x V4x 2, (x) V4x 2, (x). 4,(1 x 2)1 5"(4x 2)45此時(shí)迭代收斂。解建立迭代格式I!x . x , (x) x(x)4-(1 x 2)，取初始值x0 1(可任取1, 2之間的55 (4x 2)45值)x x0 x x.1x x J .5 x . x .2x x取x例3試建立計(jì)算 啟的牛頓迭代格式，并求7 的近似值，要求迭代誤差不超過10 5分析首先建立迭代格式。確定取幾位小數(shù)，求到兩個(gè)近似解之差 的絕對值不超過105

14、。解令 x V a, f (x) x,求x的值。牛頓迭代格式為f(Xk)Xk aaXkXkXk -Xk (k ,.,)f (Xk)XkXk迭代誤差不超過10：計(jì)算結(jié)果應(yīng)保留小數(shù)點(diǎn)后6位。當(dāng) X=7或 8 時(shí)，X3=343或 512, f( )f ()，而f( )f ()，取 Xo=8, 有X -X - -. 078Xx x -a- -. 956X.X X .a.X X -.X.X X .a.X X -.X.于是，取X例4用弦截法求方程X3X21 = 0,在*=附近的根。計(jì)算中保留 5位小數(shù)點(diǎn)。分析先確定有根區(qū)間。再代公式。解 f(x)= X3-X2-1, f(1)= 1, f(2)=3 ,有根區(qū)間取1,2取Xi=1,迭代公式為XnXn 7f kVxn I Me，2"X X ,、(XX )X