高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-選修2-1(共8頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章 常用邏輯用語(yǔ)1.1 命題及其關(guān)系一般地，在數(shù)學(xué)中，把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題（proposition）。其中判斷為真的語(yǔ)句叫做真命題（true proposition），其中判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題（false proposition）。1.1.2 四種命題互 逆互為逆否互否互否互 逆（1） 兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；（2） 兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系。1.2 充分條件與必要條件若pq， 則p是q的充分條件（sufficient condition），q是p的必要條件（necessary c

2、ondition）。若pq，則p是q的充分必要條件（sufficient and necessary condition），q是p的充要條件；p與q互為充要條件。（也說(shuō)成“p等價(jià)于q”或“q當(dāng)且僅當(dāng)p”）1.3 邏輯連結(jié)詞且（and）：pq；或（or）：pq；非（not）： p *注意命題的否定與否命題的區(qū)別1.4 全稱量詞與存在量詞全稱量詞（universal quantifier）：用“”表示，包括“所有的”、“任意一個(gè)”、“一切”、“每一個(gè)”、“任給”。含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。存在量詞（existential quantifier）：用“”表示，包括“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”

3、、“有些”、“有一個(gè)”、“對(duì)某個(gè)”、“有的”。含有存在量詞的命題，叫做特稱命題。1.4.3 含有一個(gè)量詞的命題的否定全稱命題的否定是特稱命題：全稱命題p： xM， p(x)，它的否定 p： x0M， p(x0)特稱命題的否定是全稱命題：特稱命題p： x0M，p(x0)它的否定 p： xM， p(x)第二章 圓錐曲線與方程2.1 曲線與方程一般的，在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)=0的實(shí)數(shù)解有如下關(guān)系：（1） 曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；（2） 以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線（curve）。求曲線方程的一

4、般步驟：（1） 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2） 寫出適當(dāng)條件p的點(diǎn)M的解集 P=M|p(M)；（3） 用坐標(biāo)表示條件p（M），列出方程f(x，y)=0；（4） 化簡(jiǎn)方程f(x，y)=0；（5） 說(shuō)明以化簡(jiǎn)后方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。2.2 橢圓（ellipse）平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓（ellipse）。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上：x2a2+y2b2=1 (a>b>0)焦點(diǎn)在y軸上：y2a2+x2b2=1 (a>b&

5、gt;0) 其中 c2=a2-b2橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心。橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、長(zhǎng)半軸、短半軸。橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫做橢圓的離心率：0<e=ca<1 （e越大橢圓越扁）橢圓的準(zhǔn)線：x=±a2c （焦點(diǎn)在x軸） 或 y=±a2c （焦點(diǎn)在y軸）橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到該焦點(diǎn)相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比是常數(shù) 0<ca<12.3 雙曲線（hyperbola）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（hyperbola），這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距。雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在

6、x軸上：x2a2-y2b2=1 ; 漸近線：y=±bax (a>0，b>0)焦點(diǎn)在y軸上：y2a2-x2b2=1 ; 漸近線：y=±abx (a>0，b>0)雙曲線的準(zhǔn)線：x=±a2c （焦點(diǎn)在x軸） 或 y=±a2c （焦點(diǎn)在y軸） 其中 c2=a2+b2雙曲線的離心率e=ca>1 （e越大雙曲線開(kāi)口越大）雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到該焦點(diǎn)相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比是常數(shù) ca>1雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心。雙曲線的實(shí)軸，虛軸，半實(shí)軸，半虛軸。實(shí)軸與虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。雙曲線的重要應(yīng)用：設(shè)立三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A，

7、B，C，然后測(cè)得同一點(diǎn)P發(fā)出信號(hào)的時(shí)間差，可以A、B、C中任意兩點(diǎn)為焦點(diǎn)建立兩個(gè)雙曲線方程，解該方程組就能確定點(diǎn)P的準(zhǔn)確位置！2.4 拋物線（parabola）平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F）距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線（parabola）。點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上： y2=±2px p>0； 焦點(diǎn)坐標(biāo)：±p2，0； 準(zhǔn)線方程：x=p2焦點(diǎn)在y軸上： x2=±2py (p>0)； 焦點(diǎn)坐標(biāo)：0，±p2； 準(zhǔn)線方程：y=p2拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸拋物線的離心率e=1*圓錐

8、曲線的統(tǒng)一方程平面上到一個(gè)定點(diǎn)F的距離和它到一條定直線l的距離之比是一個(gè)常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線，其中點(diǎn)F是它的焦點(diǎn)，直線l是它的準(zhǔn)線，比值e是它的離心率。以焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則圓錐曲線在該坐標(biāo)系中的統(tǒng)一方程為：1-e2x2+y2-2pe2x-p2e2=0*圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上。從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線是散開(kāi)的，其角度剛好等于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出來(lái)的光線角度。從拋物線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的軸。第三章 空間向量與立體幾何3.

9、1 空間向量及其運(yùn)算在空間里，具有大小和方向的量叫做空間向量（space vector），向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模（modulus）。長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量（zero vector）。模為1的向量稱為單位向量（unit vector）。長(zhǎng)度相等而方向相反的向量叫做相反向量。方向與模均相等的向量稱為相等向量（equal vector）。（同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量。）（空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量）3.2.2 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（multiplication of vector by scalar）分配律：a+b=a+b結(jié)合律：a=()

10、a如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors）?？臻g直線的向量表示式：OP=OA+tAB可知，空間任意直線由空間一點(diǎn)及直線的方向向量（direction vector）惟一確定。可利用向量之間的關(guān)系判斷空間任意三點(diǎn)共線。空間平面ABC的向量表示式：OP=OA+xAB+yAC可知，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量惟一確定。平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量（coplanar vector）。點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C共面 OP=xOA+yOB+zOC (其中x+y+z=1)3.1.3

11、 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算(inner product)ab=a|b|cosa,b特別地，aa=|a|2向量的數(shù)量積滿足以下運(yùn)算律：(a)b=(ab)ab=baa(b+c)=ab+ac三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。3.1.4 空間向量的坐標(biāo)表示空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得 p=xa+yb+zca，b，c叫做空間的一個(gè)基底(base)；a，b，c都叫做基向量(b

12、ase vectors)?？臻g三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底；特別地，若e1，e2，e3為三個(gè)兩兩垂直的單位向量，則e1，e2，e3叫做單位正交基底。3.1.5 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a=(a1，a2，a3) ， b=(b1，b2，b3)則a±b=(a1±b1，a2±b2，a3±b3)a=(a1，a2，a3)ab=a1b1+a2b2+a3b3ab a=b a1=b1 ，a2=b2 ，a3=b3abab=0a1b1+a2b2+a3b3=0a=aa=a12+a22+a32cosa，b=ab|a|b|=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a3

13、2 b12+b22+b32空間中兩點(diǎn)A（a1，b1，c1），B（a2，b2，c2）的距離：dAB=AB=(a1-a2)2+(b1-b2)2+(c1-c2)2*將空間向量的運(yùn)算與向量的坐標(biāo)表示結(jié)合起來(lái)，不僅可以解決夾角和距離的計(jì)算問(wèn)題，而且可以使一些問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)單。3.2 立體幾何中的向量方法直線l，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面的法向量（normal vectors）。一般地，由直線、平面的位置關(guān)系以及直線的方向向量和平面的法向量，有如下結(jié)論：設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面，的法向量分別為u，v，則lmaba=kb，kR；lmabab=0；lauau=0；laua=ku，

14、kR；uvu=kv，kR；uvuv=0利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”：(1) 建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(2) 通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；(3) 把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。*立體幾何中有關(guān)距離和夾角的問(wèn)題，經(jīng)常用空間向量的數(shù)量積解決：a=aa=a12+a22+a32cosa，b=ab|a|b|=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32 b12+b22+b32*用空間向量法求二面角時(shí)法向量與二面角的關(guān)系：二面角與該兩平面法向量夾角相等或互補(bǔ)，具體判斷方法1：可以觀察圖形中的二面角為銳角還是鈍角；判斷方法2：在兩平面內(nèi)各取一點(diǎn)A、B(注意不要取在兩平面交線上的點(diǎn))構(gòu)成向量AB，分別求AB與兩個(gè)法向量的數(shù)量積，若結(jié)果同號(hào)則該二面角與兩法向量夾角相等，若異號(hào)則該二面角與兩法向量夾角互補(bǔ)。解決立體幾何中的問(wèn)題可用三種方法：(1) 綜合法：以邏輯推理作為工具解決問(wèn)題；(2) 向量法：利用向量的概念及其運(yùn)算解決問(wèn)題；(3) 坐標(biāo)法：利用數(shù)及其運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題。*坐標(biāo)法經(jīng)常與向量運(yùn)算結(jié)合起來(lái)使用。*n維向量一般地，n元有序?qū)崝?shù)組(a1，a2，an)稱為n維向量，它是幾何向量的推廣。n維向量的全體構(gòu)成的集合，賦予相應(yīng)的結(jié)