介觀物理講義

1、介觀物理講義劉玉良清華大學高等研究中心目錄第一章 介觀物理的特征長度和基本概念1.1 什么是介觀系統(tǒng)1.2 費米波長、費米面和態(tài)密度1.3 平均自由程1.4 位相相干長度1.5 彈性和非彈性散射1.6 擴散區(qū)和彈道區(qū)1.7 低磁場磁阻和漂移率第二章 量子輸運和Anderson局域化2.1 Anderson局域化和Mott遷移率邊2.2 局域化區(qū)的熱激發(fā)電導2.3 Thouless表象和導線中的局域化及有限溫度效應(yīng)2.4 局域化的標度理論2.5 弱局域化2.6 退相干的基本原理第三章 輸運中的量子干涉效應(yīng)和Landauer-Bttiker公式3.1 電導和透射幾率3.2 S矩陣3.3 多通道La

2、ndauer-Bttiker公式3.4 多端Landauer-Bttiker公式和Onsager-Casimir對稱性3.5 量子電阻的串聯(lián)和一維局域化3.6 量子電阻的并聯(lián)和電導的Aharonov-Bohm振蕩3.7 普適電導漲落3.8 正常金屬環(huán)中的持續(xù)電流第四章 彈道輸運和庫侖阻塞4.1 電子的彈道輸運4.2 庫侖阻塞4.3 量子點中的庫侖阻塞4.4 共振透射和Kondo效應(yīng)第一章 介觀系統(tǒng)的特征長度和基本概念1.1 什么是介觀系統(tǒng) 對于宏觀導體，在保持外界條件不變的情況下，把它分成兩塊，每一塊的物理性質(zhì)，如溫度、比熱、電導率等，應(yīng)保持不變。這已為大量的實驗所證實，并在此基礎(chǔ)上建立了普通

3、物理學、熱力學和統(tǒng)計物理等。我們可以一直這樣分割下去而保持每一個子系統(tǒng)有相同的物理性質(zhì)嗎？現(xiàn)代物理學告訴我們，答案是否定的！在接近于粒子的de Broglie波長的微觀尺度內(nèi)，粒子具有波-粒二象性，它的坐標和動量，能量和時間滿足測不準原理。經(jīng)典意義上的粒子的軌道的概念失去意義，而用狀態(tài)波函數(shù)來描述粒子的傳播。一般情況下，粒子的狀態(tài)波函數(shù)由兩部分組成，一部分是它的振幅，其平方表示粒子在該點出現(xiàn)的幾率，另一部分是它的位相，表示粒子的量子相干，一般情況下它是時間和坐標的函數(shù)。位相的出現(xiàn)有其深刻的物理含義，而不是數(shù)學上的一個簡單相因子，它表征粒子內(nèi)在的波的本性。由此我們可以觀測到電子的干涉和衍射現(xiàn)象。

4、然而粒子的量子行為隨著系統(tǒng)尺度的增大、大量粒子的熱運動及與雜質(zhì)的散射破壞了粒子的量子相干性而迅速消失，這就是為什么除超導、超流和量子Hall效應(yīng)等外，我們觀測不到一般宏觀系統(tǒng)的量子現(xiàn)象。 根據(jù)Ohm定律，一個長方體導體的電導與它的橫截面積S成正比而與它的長度L成反比：這里電導率只與導體的內(nèi)部性質(zhì)有關(guān)，而與導體的大小形狀沒有關(guān)系。人們非常關(guān)心在什么樣的尺度下這個關(guān)系不再成立，因為在微觀尺度下，如接近于粒子的de Broglie波長，粒子的量子行為將顯現(xiàn)出來。在應(yīng)用固體理論和統(tǒng)計物理研究宏觀系統(tǒng)的物理性質(zhì)時，通過取熱力學極限（取系統(tǒng)的體積和粒子數(shù)N趨于無窮大，而保持粒子數(shù)密度n=N/為常數(shù)）而得到

5、系統(tǒng)的物理性質(zhì)。除了在系統(tǒng)的連續(xù)相變點外，系統(tǒng)的宏觀尺度遠大于任何表征粒子量子行為的微觀特征長度，因此系統(tǒng)的量子行為很難被觀測到。80年代中期隨著科學技術(shù)的發(fā)展和微加工技術(shù)的進步，實驗上可以制備出接近微觀特征長度的樣品，這樣觀測和測量系統(tǒng)的一些重要的量子行為變成可能。 尺度介于宏觀和微觀的系統(tǒng)稱為介觀系統(tǒng)。更確切地說，尺度接近下面所定義的，表征粒子量子行為的特征長度的系統(tǒng)稱為介觀系統(tǒng)。如果一個導體它的電導滿足Ohm定律，它的尺度必須遠大于下面三個表征粒子量子行為的特征長度中的任何一個：（1）在費米面（Fermi surface）附近的電子的de Broglie波長 ；（2）平均自由程（mean

6、 free path），它表示占據(jù)初始動量本征態(tài)的電子被散射到其它動量本征態(tài)之前電子所傳播的平均距離；（3）位相相干長度（phase coherence length），它表示占據(jù)某一個本征態(tài)的電子在完全失去位相相干前所傳播的平均距離，它一般由電子與其它電子、聲子和雜質(zhì)等的非彈性散射所決定。這些特征長度對溫度和外磁場有很強的依賴性，并且對不同的材料有很大的變化范圍。正因為如此，我們可以在一個很大的范圍內(nèi)觀測到不同于宏觀（經(jīng)典）輸運的介觀輸運現(xiàn)象。在介觀輸運現(xiàn)象中，很多在經(jīng)典輸運中的原理不再有效，如串連的電阻不滿足相加原理和并聯(lián)的電導也不滿足相加原理等。如圖1所示，是最常用的、研究量子點的輸運性

7、質(zhì)的的裝置。1.2 費米波長、費米面和態(tài)密度 為了引入一些基本的物理概念，我們考慮一個有限尺度的自由電子氣系統(tǒng)而略去正電荷背景和離子的晶格結(jié)構(gòu)。在這種情況下，電子是相互獨立的，我們只需考慮單電子薛定諤（Schrdinger）定態(tài)方程 (1.1)假定系統(tǒng)是一長方體并具有周期性邊界條件，且其長、寬、高分別為、和。電子的波函數(shù)是平面波 (1.2)本征能量為 (1.3）這里是電子的波矢量，由它所構(gòu)成的空間稱為電子的相空間或k-空間。如圖2，一個最簡單的長方體金屬導體。電子的動量可表示為。根據(jù)周期性邊界條件，波矢量的取值為， , , (1.4)這里, , 是整數(shù)，每一組, , 表示電子的一個動量本征態(tài)。

8、由上式可以看出單位相體積內(nèi)的狀態(tài)數(shù)是 (1.5)為了簡單起見，我們?nèi)?，這里表示系統(tǒng)的維數(shù)。對于上面的情況。每一個由波矢量表示的本征態(tài)可以占據(jù)兩個電子（自旋自由度），在絕對零度，電子首先占據(jù)能量最低的本征態(tài)，被占據(jù)的最高的本征態(tài)的波矢量稱為費米波矢量，用表示，對應(yīng)的動量和能量分別稱為費米動量和費米能量，這里是費米速度。對于一般的系統(tǒng)，自由電子（傳導電子或價電子）數(shù)N非常大，在絕對零度，它們所占據(jù)的相空間基本上是一個球體（d=3）、一個圓（d=2）或一個由費米波矢量確定的區(qū)間 ，（d=1），因此波矢量的變化可以看成是連續(xù)的。費米面（Fermi surface）就是由費米波矢量所定義的相體積的表面或

9、邊界。對于一維電子氣它是兩個點；二維電子氣它是一個圓；而三維電子氣它是一個球面。在零溫費米面內(nèi)的態(tài)被全占據(jù)，而費米面外的態(tài)是空態(tài)。 我們以后會經(jīng)常遇到表示系統(tǒng)的輸運性質(zhì)的物理量態(tài)密度（density of states），它的定義是單位能量內(nèi)的電子的狀態(tài)數(shù) (1.6)這里因子2來源于電子的自旋自由度，是電子的能譜。對于自由電子，是立體角，對于球?qū)ΨQ的系統(tǒng)，(d=3)，(d=2)，（d=1），因此我們得到 (1.7)另外一個經(jīng)常用到的物理量是單位體積單位能量內(nèi)的狀態(tài)數(shù)（通常也被稱為態(tài)密度，要注意兩者的區(qū)別），它定義為。圖3給出一個二維的簡單示意圖。 表征介觀系統(tǒng)的一個重要的特征長度是電子的費米波

10、長。當系統(tǒng)的尺度接近費米波長時，量子漲落非常強；當尺度遠大于費米波長時，粒子的量子漲落相對較弱，它的量子相干性很容易受到破壞。費米波矢量與電子密度的關(guān)系為 (1.8)對于一般單元素金屬，如銅、鋁、鎂等，導帶電子密度一般在的量級，因此費米波長在幾個 (1=)（angstrom）的量級。在半導體GaAs/AlGaAs異質(zhì)結(jié)的二維電子氣，電子具有很高的遷移率，其費米波長可以達到400。 根據(jù)電子的費米波長，我們可以定義系統(tǒng)的有效維數(shù)：（1）Lx, Ly, Lz：三維（2）LxLy, Lz：準二維（3）LxLy, Lz：二維（4）LxLyLz：準一維（5）Lx，LyLz：一維（6）Lx, Ly, Lz

11、：0維在零維，系統(tǒng)變成一個量子點（quantum dot），電子間的庫侖相互作用變得非常重要，從系統(tǒng)中移去或加進一個電子需要的特征能量是Ec，這里L是系統(tǒng)的有效尺度。這個有效維數(shù)的定義一般認為是在電子輸運的彈道區(qū)，而在通常的量子擴散區(qū)，系統(tǒng)的有效維數(shù)要由位相相干長度來確定，即上面的費米波長用位相相干長度代替。 我們現(xiàn)在定義一個后面經(jīng)常用到的量-橫向模（transverse modes）或通道（channels），它類似于固體理論中的能帶。考慮一個無窮長的細導體，Lx, Ly，散射到另一個動量本征態(tài)，|k。彈性散射平均自由程可表示為，這里是電子保持在某一個動量本征態(tài)的平均時間。彈性散射是電子與靜

12、態(tài)的雜質(zhì)的散射，這種散射所導致的電子的波函數(shù)相位的改變不隨時間變化，多次散射后初態(tài)與末態(tài)的相位差是每一次散射所導致的相位的改變的累加，這通常稱為相位“記憶”。這種記憶具有時間反演對稱性。原則上，彈性散射不破壞電子的相干性，但是對實際系統(tǒng)，存在大量的散射路徑，而總的位相的累加會遠遠大于2導致電子的相干性消失。相位累積達到2可能要經(jīng)歷很多次電子與雜質(zhì)的彈性散射，通常情況下，要比大幾個數(shù)量級。 非彈性散射是一種動力學散射，散射前后電子的能量改變，即電子從一個能量本征態(tài)散射到另一個能量本征態(tài)。非彈性散射是電子與其它具有動力學自由度的散射體的一類散射，如由于庫侖相互作用導致的與其它電子的散射、與聲子的散

13、射和與具有內(nèi)部自由度的雜質(zhì)的散射等。這種散射所導致的電子波函數(shù)相位的改變是隨時間無規(guī)變化的，因此電子的相干性經(jīng)過多次散射后消失。這就是彈性散射和非彈性散射的本質(zhì)區(qū)別。彈性散射馳豫時間基本不隨溫度變化，因為它是由靜態(tài)雜質(zhì)散射決定的，而非彈性散射馳豫時間與溫度有很強的依賴關(guān)系，因為它是一種動力學散射，散射體在不同溫度區(qū)間對電子的散射不同，在高溫區(qū)聲子的散射起主導作用，而在極低溫區(qū)電子間的散射及與雜質(zhì)的散射起主導作用。這就是為什么與溫度有很強的依賴關(guān)系。1.6 擴散區(qū)與彈道區(qū) 對于宏觀系統(tǒng)，它包含大量的尺度大于或接近位相相干長度的子系統(tǒng)，每一個子系統(tǒng)可以用一個獨立的薛定諤方程來描述，而可觀測量是在子

14、系統(tǒng)中相應(yīng)量的系綜（ensembles）平均。 對于介觀系統(tǒng)，它的尺度接近或小于位相相干長度，整個系統(tǒng)由單個薛定諤方程決定，因此對不同的系統(tǒng)可觀測量表現(xiàn)會不一樣，并且電子的量子行為可直接被觀測到。 根據(jù)平均自由程與系統(tǒng)的尺度L的相對大小，介觀系統(tǒng)分成擴散區(qū)（diffusive regime）和彈道區(qū)（ballistic regime）。在擴散區(qū)，L，電子的輸運可看成是量子擴散過程，并且不依賴于系統(tǒng)的形狀。在彈道區(qū)，L，電子在系統(tǒng)內(nèi)作彈道運動，而系統(tǒng)的邊界作為散射體對電子散射，因此系統(tǒng)的邊界扮演重要的角色。通常平均自由程在100的量級，處在擴散區(qū)的金屬線或點，其費米波長（12）與系統(tǒng)的尺度相比非

15、常小，因此電子能級的量子化一般不重要。只有在最近鄰的兩能級之差與溫度相比擬的時候，才變得非常重要。因此，對一般的金屬點（metallic dots），最重要的能量標度是庫侖相互作用產(chǎn)生的充電能（charging energy），這里Q是金屬點內(nèi)的總電荷，C是金屬點與周圍環(huán)境所形成的總電容（capacitance）。 對于半導體GaAs/AlGaAs異質(zhì)結(jié)中的二維電子氣，電子的平均自由程可以達到50m，因此在這類材料中可以觀測到電子的彈道輸運。電子的費米波長可以達到300500，這可以和系統(tǒng)的尺度相比擬，因此電子能級的量子化將起重要的作用，在實驗上可以觀測到階梯形變化的電導。1.7 低場磁阻 在

16、弱磁場下測量系統(tǒng)的電導率（通常稱為Hall測量）是研究半導體薄膜（semiconducting films）特性的基本方法之一，因為可以從所測的縱向和橫向電阻分別導出傳導電子密度n和遷移率（mobility），而在零磁場下電導率的測量只能給出它們的乘積。 在恒定狀態(tài)下，由于外場而導致的電子的動量改變與由于散射而導致的電子動量的改變應(yīng)該相等， (1.15)考慮二維情況，如圖5所示，上式可以表達成 (1.16)這里v是傳導電子的漂移速度，E和B分別是作用在電子上的x方向和垂直于平面的有效電場和磁場，e是電子電荷，而c是光速。由（1.16）式，我們很容易得到系統(tǒng)的縱向和橫向電阻 (1.17)這里n是

17、電子密度，是電子的遷移率。這個結(jié)果表示在低磁場下，縱向電阻是常數(shù)，而橫向電阻隨外磁場線性變化。然而在強磁場下，縱向電阻隨磁場的變化而振蕩，橫向電阻在縱向電阻極小處出現(xiàn)平臺，但總的變化趨勢仍然保持與磁場的線性關(guān)系。在強磁場下，電阻的這種行為是一種宏觀量子現(xiàn)象，它可以用電子的Landau能級和局域化理論（對于整數(shù)量子Hall效應(yīng)）和Laughlin基態(tài)波函數(shù)（對于分數(shù)量子Hall效應(yīng)）來很好地解釋。圖6給出電阻隨磁場的變化。 對一個均勻?qū)w，電流密度J（current density）通常表示為電子密度n與漂移速度v乘積 (1.18)這似乎表達所有的導帶電子在外場下都作漂移運動且都對電流有貢獻。在

18、低溫下這個圖像是一個誤解（misleading）。實際上只有在費米面附近幾個能量區(qū)間內(nèi)的電子對電流有貢獻。在低溫下，不必關(guān)心整個費米海中的電子的動力學行為，只要知道在費米面附近的電子的動力學行為就足夠了，這可使相應(yīng)的計算大大簡化。這里我們給出一個簡單的證明。在沒有加外場前，電子占據(jù)動量本征態(tài)k的幾率由費米分布函數(shù)f(k) 決定。在絕對零度，費米面以下的所有態(tài)都被電子占據(jù)f(k)=1，而費米面以上的態(tài)是空態(tài)f(k)=0。外電場使得整個費米分布函數(shù)沿著電場的（反）方向平移了，如圖7所示： 在費米面的深層，電子基本上沒有受到外場的影響，只是占據(jù)在（假定外電場沿著x坐標的反方向）附近的電子移到了附近的

19、空態(tài)上，而其它的大部分電子所占據(jù)的狀態(tài)沒有變化，如圖8所示：因此（1.18）式可以改寫成 表示只有電子總數(shù)中的很少一部分（）并以費米速度傳播的電子對電流有貢獻。然而當出現(xiàn)磁場時，情況會有所不同，因為在這種情況下在導體的邊界會出現(xiàn)回旋電流，雖然它對所測量的導體兩端的電導沒有貢獻，但它卻改變導體內(nèi)部的局域電導率。第二章 量子輸運和Anderson局域化2.1 Anderson局域化和Mott遷移率邊 電子輸運的Boltzmann半經(jīng)典理論是弱散射理論，它可以成功地描述較純金屬導體的電導率與雜質(zhì)和溫度的關(guān)系，對于描寫其它輸運性質(zhì)，如磁導率（magnetoconductivity）、Hall效應(yīng)和熱導

20、率（thermal conductivity）等也很成功。然而當雜質(zhì)濃度（impurity concentration）非常高時，雜質(zhì)散射強度增加，將出現(xiàn)弱散射理論不能解釋的奇異現(xiàn)象。例如電阻率在低溫下與溫度有很弱的依賴關(guān)系，但進一步降低溫度它卻隨溫度的降低而增加，因此Mathiessen規(guī)則不再成立。因為根據(jù)弱散射理論，聲子的散射在溫度降低時被壓制，而靜態(tài)的雜質(zhì)散射不依賴溫度。根據(jù)Mathiessen規(guī)則，系統(tǒng)的總電阻為兩者之合，因此電阻不會隨溫度進一步降低而增加。1973年Mooij通過對大量的雜質(zhì)濃度很高的介觀金屬系統(tǒng)的研究發(fā)現(xiàn)，當電阻率大于一定值（大約在80180之間）時，變成負的，即

21、電阻率隨溫度的降低而增加。這一現(xiàn)象幾乎是“普適的”，不依賴于具體的材料性質(zhì)。這一現(xiàn)象不能用弱散射理論解釋，因為它總是預(yù)言0。這預(yù)示經(jīng)典的Mathiessen規(guī)則不再有效。 為了深入地了解具有高雜質(zhì)濃度的金屬系統(tǒng)的這一特性，我們首先分析建立在弱散射理論基礎(chǔ)上的Drude電導率公式 (2.1)這里m是電子的有效質(zhì)量，n是電子密度，是電子散射的馳豫時間。只有當電子的費米波長遠遠小于它的平均自由程時，這時量子漲落很小，Drude電導率公式才有效，既滿足條件 (2.2)對于三維金屬導體，利用電子密度與費米波矢量的關(guān)系，上面的電導率公式可以寫成 (2.1)代入基本常數(shù)，得到電導率所要滿足的條件 (2.3)

22、或者電阻率所滿足的條件 (2.4)這里費米波長的單位是。對大多數(shù)金屬，導帶電子的費米波長變化不大，一般在2到5之間，這樣電阻率要滿足。當電阻率接近100cm時，Drude電導率公式將會出現(xiàn)問題，從而給出不正確的電導率或電阻率。公式（2.3）稱為Yoffe-Regel判據(jù)，它表示弱散射理論的適用條件。 大量的實驗證明，對于二維和一維金屬，即使雜質(zhì)濃度很低時，在足夠低的溫度下，總會出現(xiàn)0，這是一個普適的現(xiàn)象。對于三維金屬，在雜質(zhì)濃度很高時，也會出現(xiàn)0，而變成絕緣體。因此無序（disorder）（反映雜質(zhì)濃度大小的一個參量）是研究導體輸運性質(zhì)的一個重要參量。由于無序而導致的系統(tǒng)從金屬態(tài)到絕緣態(tài)的轉(zhuǎn)變

23、稱為Anderson轉(zhuǎn)變（Anderson transition）。 研究具有較強無序系統(tǒng)的電子輸運性質(zhì)的理論稱為Anderson局域化理論（Anderson localization theory）。它可以很好地解釋上面所討論的電阻率在低溫時的行為，并預(yù)言不存在真正的一維和二維金屬導體，并且對三維系統(tǒng)存在金屬絕緣體轉(zhuǎn)變（Anderson 轉(zhuǎn)變）。通常用無規(guī)勢V(r)（random potential）來描述無序系統(tǒng) (2.5)這里表示對雜質(zhì)分布求系綜平均，函數(shù)C(r) 的變化范圍a是一個微觀尺度，它的大小對應(yīng)于雜質(zhì)勢V(r) 的漲落強度。另一個描述無序的方式是取無規(guī)變化的周期勢，稱為Ande

24、rson模型，其哈密頓量（Hamiltonian）是 (2.6)這里表示i和j是最近鄰的格點，電子只在最近鄰的格點間躍遷。如圖2.1所示。Anderson模型是一個緊束縛近似模型。電子在格點的能量（對角無序）或躍遷能量（非對角無序），或兩者都可以取作無規(guī)變量。在Anderson模型中，Anderson取躍遷能量為一常數(shù)=V，而取為無規(guī)變化的量。在緊束縛近似下，自由電子的能帶寬度為2zV，這里z是最近鄰格點數(shù)。取格點能量為一獨立無規(guī)變量，其分布幾率為 (2.7)比值W/V可以方便的用作測量系統(tǒng)的無序強弱。當W/V很大時，表示無序很強，在這種情況下，電子被限制在一個小的區(qū)域內(nèi)而不能擴展到整個系統(tǒng)，

25、這表示電子處在局域態(tài)；當W/V很小時，表示無序很弱，電子可以運動到整個區(qū)域，表示電子處在擴展態(tài)。Anderson對局域態(tài)和擴展態(tài)作了嚴格的定義，在無限大的系統(tǒng)中，在t=0時刻在格點i上（或其附近）有一個電子，經(jīng)過很長時間t（遠遠大于任何微觀時間長度）以后，在i格點上如果找到這個電子的幾率為零，就說明這個電子離開了這個格點在系統(tǒng)中傳播，電子處于擴展態(tài)；如果在這點找到這個電子的幾率不為零，而為一有限值，就表明電子處在i格點附近的穩(wěn)定的局域態(tài)，這就是Anderson局域化概念。Anderson用微擾理論研究了上面的哈密頓量（2.6），他發(fā)現(xiàn)對于足夠強的無序，類似于束縛態(tài)的形成，出現(xiàn)一個局域態(tài)，對應(yīng)的

26、波函數(shù)的包絡(luò)（envelope）當遠離局域化中心時指數(shù)衰減。如圖所示，給出一個典型的平均自由程為的擴展態(tài)（a）和局域化長度為的局域態(tài)波函數(shù)（b）。?。?.6）式的第一項為非微擾項，而取為微擾，通過微擾展開可以得到電子自能（self-energy）的級數(shù)表達式。Anderson證明對于足夠大的W/V，即當W/V大于某一數(shù)值時W/VW/V|，電子自能的級數(shù)表達式是收斂的，W/V|的上限滿足條件 (2.8)這里e=2.7是自然常數(shù)。這就是Anderson局域化的判據(jù)。這里我們不給出Anderson的計算，只簡單的說明一下最后的結(jié)果。在格點i=0，電子的定域格林函數(shù)（Green function）可以

27、寫成 這里(E) 是電子的自能。如果電子的自能的虛部為零，比如(E) 是一個常數(shù)，則電子的定域格林函數(shù)沒有衰減，這說明電子處在以i=0為中心的局域態(tài)。上面的自能的級數(shù)收斂式的虛部為零。如果自能的虛部為一有限值，則電子的定域格林函數(shù)隨時間衰減，表明電子離開i=0的格點而傳播到整個系統(tǒng)，這時電子處在擴展態(tài)。 通過進一步的分析和大量的數(shù)值計算，現(xiàn)在一般認為對于足夠強的無序，使W/V滿足Anderson判據(jù)，系統(tǒng)的所有態(tài)都是局域化的。對于中等程度或較弱的無序，Mott認為，在能帶邊緣（帶尾）的態(tài)由于無序可能成為局域態(tài)，而在能帶中心附近的態(tài)是擴展態(tài)。擴展態(tài)與局域態(tài)通過遷移率邊和（mobility edg

28、es）分開。如圖2.2所示。Mott進一步說明，擴展態(tài)和局域態(tài)不能共存，否則任何小的相互作用都可使它們交疊而組成新的擴展態(tài)。當W/V增加時，遷移率邊互相接近并且在某一極限值時相融合，這時所有的態(tài)都變成了局域態(tài)，從而發(fā)生Anderson轉(zhuǎn)變。然而理論證明，局域化過程不能導致態(tài)密度在費米面附近出現(xiàn)任何奇異變化，如不能在費米能處出現(xiàn)能隙等。 如果在費米能量附近的態(tài)全是局域態(tài)，那么在絕對零度T=0，系統(tǒng)是絕緣體。這可以通過證明在局域態(tài)電子的擴散系數(shù)D為零來解釋。根據(jù)Einstein關(guān)系（） (2.9)當擴散系數(shù)為零，電導率也為零。為了證明處在局域態(tài)上的電子的擴散系數(shù)為零，我們選取適當?shù)哪芰勘菊鲬B(tài)，在t

29、=0時刻，以r=0點為中心構(gòu)造一個波包，如果本征態(tài) |i 遠離點r=0幾個局域化長度，則系數(shù)將指數(shù)式的趨于零。在t時刻，波包隨時間演化成 (2.10)這里在任何時間都隨與波包中心的距離r指數(shù)衰減。因此在t時刻，考慮電子的擴散，應(yīng)該等于2Dt；另一方面，電子處在局域態(tài)，永遠都不會大于，因此只有D=0。在局域態(tài)系統(tǒng)的電導為零，這給我們一個解釋金屬絕緣體轉(zhuǎn)變的簡單機制。通過改變電子的密度和無序強度，可以分別改變費米能量和遷移率邊及。只要費米能量從擴展態(tài)進入到局域態(tài)，系統(tǒng)將從金屬相進入到絕緣相。因為在絕緣相并且隨溫度增加而減小，很自然的在金屬絕緣體轉(zhuǎn)變附近是負的。至此很容易看出，局域化理論可以很好地解

30、釋無序?qū)w的反常性質(zhì)及無序?qū)е碌慕饘俳^緣體轉(zhuǎn)變。 當無序很弱時，即W/V很小，通常的弱散射理論是有效的，最方便的無量綱參量是或，它們是同量級的。弱散射的電導率由（2.1）式給出。對于二維導體，電導率等于一個普適常數(shù)乘上，。正如在本小節(jié)一開始所討論的，如果接近于1，弱散射理論不再有效。根據(jù)Yoffe-Regel判據(jù)（2.3），當1時 (2.11)這里和為常數(shù)。對一般的金屬，費米波矢量的倒數(shù)只有幾個，因此對于三維導體，電阻率一般在cm的量級。據(jù)此，Mott提出了最小金屬電導的概念，認為是導體的最小金屬電導率。是否存在最小金屬電導率現(xiàn)在還不完全清楚，新的實驗顯示，當電導率遠小于時，金屬相仍然存在。而

31、局域化的標度理論不支持存在最小金屬電導率，電導率可以連續(xù)的趨于零。無論是否真的存在最小電導率，但在這一點附近，電導率確實出現(xiàn)不尋常的變化。從這點來看，最小金屬電導率還是有一定意義的。2.2 局域化區(qū)的熱激發(fā)電導 如果在費米能量附近的態(tài)全是局域化的，為具體起見我們假定費米能級處在導帶的下部，根據(jù)上節(jié)的討論，則在T=0，系統(tǒng)的電導率為零。而在有限溫度，系統(tǒng)中存在熱激發(fā)電子，這些熱激發(fā)電子可能參與下面幾種可能的過程而對系統(tǒng)的電導率有貢獻。（1） 激活（activation）到遷移率邊。如果在費米面附近的處在局域態(tài)上的電子通過與聲子的相互作用而獲得的熱能大于，電子被激活到擴展態(tài)上，所產(chǎn)生的電導為 (2

32、.12)系數(shù)正比于電子聲子耦合強度的平方。（2） 激活到近鄰局域態(tài)。取局域態(tài)的局域化長度為，在費米能級附近的單位體積內(nèi)的態(tài)密度為n(0)，則在d維空間以尺度為所圍體積內(nèi)的單位能量內(nèi)的狀態(tài)數(shù)為，因此相鄰能級差應(yīng)為 (2.13) 那么所產(chǎn)生的電導率可表達成 (2.14)（3） 可變程躍遷（variable range hopping (VRH)）。電子從一個局域態(tài)躍遷到一個相對距離L的局域態(tài)，它對躍遷電導率的貢獻應(yīng)該正比于兩者波函數(shù)交疊矩陣元的平方，這里I是一個量級為的特征能量。另一方面，所考慮的子系統(tǒng)的尺度增大，在費米能級附近兩相鄰能級之差為 (2.15) 在距離為L的兩個局域態(tài)之間的躍遷，其電

33、導率應(yīng)正比于。在足夠低的溫度下，可以實現(xiàn)L情況的躍遷，其最佳的躍遷距離可以通過取上式指數(shù)的極小值得到 (2.16)因此在這樣的溫度下，VRH的電導率可以表達成 (2.17)這里C是一個無量綱常數(shù)，。當，最近鄰躍遷應(yīng)該是重要的，電導率的行為應(yīng)該是和之間的競爭，通常情況下起主導作用，因為比更快的趨于零。當?shù)木钟驊B(tài)，其躍遷矩陣元滿足關(guān)系（I） 當這兩個局域態(tài)之間的能量差小于或接近于，它們將通過隧穿產(chǎn)生共振而形成“雙峰態(tài)”。這兩個態(tài)的二極矩的矩陣元正比于R，而這種雙峰態(tài)的總數(shù)正比于以R為半徑為厚度的殼（shell）的體積，因此兩者的乘積，這樣可以解釋上式中的對數(shù)因子。由于低頻對應(yīng)于很大的距離R，對于介

34、觀系統(tǒng)，當R大于介觀系統(tǒng)的尺度時，在電導率中可能出現(xiàn)頻率尺度轉(zhuǎn)換（frequency-size crossover）。即當R大于介觀系統(tǒng)的最大尺度時，對數(shù)因子不再依賴于頻率。2.3 Thouless表象和金屬線的局域化及有限溫度效應(yīng)70年代中期，Thouless提出局域化問題的標度描述，對后來的局域化的標度理論的建立有重要的影響。把一個系統(tǒng)分割成一些小的塊體，通過研究塊體與塊體間的本征態(tài)的關(guān)聯(lián)效應(yīng)，來了解系統(tǒng)的局域化性質(zhì)，這可以通過研究塊體間的電導來實現(xiàn)。Thouless通過引入兩個相關(guān)的能量來定義一個無量綱的電導，通過研究這個無量綱的電導可以得到系統(tǒng)的局域化的基本性質(zhì)。Thouless的基本

35、思想是，一個體積為的塊體的本征態(tài)是一些體積為的塊體的本征態(tài)的線性組合，每個態(tài)在組合中的貢獻大小依賴于相應(yīng)態(tài)的波函數(shù)的交疊積分及能量差。能級差的典型值是塊體中的相鄰能級間隔；為了清楚的理解交疊積分，Thouless觀察到，如果把塊體在一個方向排成一個無窮的一維周期鏈，單個塊體的能級被展寬而構(gòu)成一個能帶，能帶的帶寬將可很好的用于估算交疊積分。而帶寬正好對應(yīng)于塊體在周期或反周期邊界條件下的相應(yīng)的本征態(tài)的能量變化。如果塊體的本征態(tài)是局域的，對邊界條件不敏感并且指數(shù)的小，因此塊體的本征態(tài)等同于塊體的本征態(tài)，也是局域的。相反如果很大，則塊體的本征態(tài)擴展到整個區(qū)域，因此塊體加倍后的本征態(tài)的性質(zhì)可以用單一的參

36、量來描述。在開始介紹Thouless標度化前，現(xiàn)簡要地回顧一下電子隧穿結(jié)（tunneling junction）的電導的圖像?？紤]兩個塊體（blocks），它們通過一個極薄的能使電子隧穿的絕緣層相連，處在兩邊的態(tài)上的電子相互作用且具有基本上不隨能量變化的隧穿矩陣元t，假定電子在兩個塊體間的隧穿很弱，根據(jù)費米黃金公式（Fermi golden rule），電子在某個塊體（如左邊的塊體）的平均壽命（lifetime）可表達成 (2.19)這里是隧穿矩陣元平方平均，是終態(tài)（右邊塊體）的態(tài)密度。取初態(tài)（左邊塊體）的態(tài)密度為，當在兩塊體間施加小的電壓V，則有的電子在時間內(nèi)可以隧穿到右邊，因此產(chǎn)生的電流為

37、，由此得到電導 (2.20)這個表達式非常有用，它適用于任何維數(shù)的系統(tǒng)。第二個等式就是著名的隧穿結(jié)電導表達式。嚴格來說，只有終態(tài)的能級是連續(xù)時，上式才有效。但對于一般的介觀系統(tǒng)，其能級是分立的，因此我們要假定，當介觀系統(tǒng)與外界環(huán)境，如熱庫、電極等的耦合使分離能級的展寬（broadening）要大于或至少與兩相鄰的能級差在同一量級，一般情況下這個假設(shè)是成立的。 在（2.20）式中的第一個等式是一般性的。把一個系統(tǒng)分成很多邊長為L的塊體，并且假定L, a，這里是彈性散射自由程，a是一個微觀長度標度。對于這樣一個塊體，它的典型的在費米面附近的能級差等于它的態(tài)密度的倒數(shù)。定義一個電子在最近鄰塊體間躍遷

38、的能量，這里是電子在塊體中的壽命，利用（2.20）式的第一個等式，塊體間的無量綱電導可以表達成 (2.21)這是Thouless的標度表象的最重要的關(guān)系式。Thouless利用Einstein關(guān)系（2.9）導出上式。電子在尺度為L的塊體中的擴散是一個無規(guī)行走，運行距離L所需的特征時間為，因此擴散系數(shù)可表達為 (2.22)只要塊體的邊長足夠大，經(jīng)典的擴散理論是成立的，因此不依賴于L，由此得到電子通過擴散穿過塊體的時間為。但當L趨于介觀尺度，局域化或量子效應(yīng)將使得依賴于L。一個d維的尺度為L、電導率為的金屬導體，其電導為（Ohm定律），電子在費米面附近的態(tài)密度為，這里是化學勢。利用Einstein

39、關(guān)系，可以很容易得到（2.21）式。 為了更好地理解能量的物理含義，利用費米黃金公式（至少在弱耦合情況下成立），它可以用塊體間的矩陣元表示 (2.23)它與周圍塊體所導致的能級的展寬有關(guān)。對于一個確定的塊體，相鄰塊體的影響可以通過它的邊界條件來反映，這種等價性只有當L遠遠大于電子的彈性散射平均自由程及所有的微觀特征長度時才有效。 在Thouless的標度表象中，一個均勻系統(tǒng)分割成小的塊體是虛擬的，顯然塊體間的電導正是尺度為L的塊體的電導。塊體的電導也可以用Kubo的線性響應(yīng)理論來計算，但必須指出，原則上Kubo公式只適用于能譜是連續(xù)的無限大系統(tǒng)。對于有限系統(tǒng)，它的能級是分立的，因此我們必須假定

40、外界環(huán)境對它的影響，使它的能級展寬成一個有效的連續(xù)能譜。 無量綱電導是一個表征系統(tǒng)局域化性質(zhì)的一個重要參量，當1，表示近鄰塊體中的電子有很強的耦合，然而當Lc，1。這表明系統(tǒng)在長度標度Lc出現(xiàn)局域化，Lc應(yīng)該與局域化長度在同一個量級。假定上面電導與長度L的關(guān)系在區(qū)間a, L也成立，根據(jù)局域化長度的定義（），可得到局域化長度的表達式 (2.24)這里在得到第二個等式時用到了（2.1）。因此局域化長度的量級等于彈性散射平均自由程乘上導線橫截面內(nèi)的電子數(shù)。電子處于局域化態(tài)，金屬細導線的電阻將隨它的長度指數(shù)增加。對于原子尺度的橫截面，局域化長度正好是，這與純一維的情況相符合。當L，假定G1/L至少是與我們對金屬細導線的感覺相一致的。理論上，對于L，局域化效應(yīng)較弱，在這種情況下，位相相干長度是一個重要的特征長度標度，在這個尺度內(nèi)，電子做量子擴散運動。大于這個尺度，電子的運動是經(jīng)典的，并由非彈性散射來控制。因此即使知道了絕對零度的量子力學的無量綱電導，它也僅僅對應(yīng)于情況。根據(jù)經(jīng)典物理，幾個串聯(lián)在一起的導線，給定恒定電流，總的電壓應(yīng)該是每段導線的電壓總和，因此當，系統(tǒng)的宏觀電導率可以用在尺度的絕對零度的電導根據(jù)Ohm定律來確定。位相相干長度是T=0的量子理論有效的最大長度標度，在更大的長度標度，經(jīng)典的傳導理論是有效的。這是研究弱局域化效應(yīng)的基礎(chǔ)，