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文檔簡介
1、滲透思想方法,突出數(shù)學(xué)味例談數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透作者:侯英敏單位:河南省鄭州市惠濟(jì)區(qū)教研室郵編:450044【標(biāo)題】滲透思想方法,突出數(shù)學(xué)味例談數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透【內(nèi)容提要】所謂數(shù)學(xué)思想方法(為表述方便,以下簡稱MIM)是人們對數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識,是對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)的概括。一、認(rèn)識數(shù)學(xué)思想方法(一)思想與方法的區(qū)別(二)數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識的關(guān)系二、教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的重要意義(一)提高學(xué)習(xí)者的思維強(qiáng)度(二)有利于構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)(三)激發(fā)學(xué)數(shù)學(xué)的動機(jī)、用數(shù)學(xué)的意識三、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)現(xiàn)狀四、中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)的核心數(shù)學(xué)思想方法五、教學(xué)中滲透思想方法的原則
2、(一)過程性原則注重體驗(yàn),經(jīng)歷過程 (二)系統(tǒng)性原則類比歸納,形成體系(三)目標(biāo)性原則潛移默化,注重滲透(四)層次性原則螺旋上升,反復(fù)滲透(五)差異性原則尊重差異,區(qū)別對待(六)隱顯結(jié)合原則根據(jù)需要,適時顯性六、教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的有效策略(一)備課中合理確定(二)課堂中充分感受 (三)練習(xí)中反復(fù)體驗(yàn)(四)復(fù)習(xí)中及時提煉【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想方法(MIM) 數(shù)學(xué)味 課堂教學(xué) 策略【問題的提出】問題背景一:數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修改稿)中明確指出:“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),學(xué)生能夠獲得:對未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(包括數(shù)學(xué)知識,數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn))以及基本的思想方法和必要的應(yīng)用技術(shù)?!?/p>
3、將數(shù)學(xué)思想方法列為數(shù)學(xué)教學(xué)的“四基”之一,這是以往所不曾有的。當(dāng)數(shù)學(xué)思想方法大眾化已在數(shù)學(xué)課程中充分體現(xiàn)的今天,很多老師不知所措。在調(diào)研過程中我們發(fā)現(xiàn),很多老師對“什么是數(shù)學(xué)思想?基礎(chǔ)教育階段的教材中體現(xiàn)了哪些重要的數(shù)學(xué)思想?如何再課堂上有效的滲透數(shù)學(xué)思想?”等問題充滿迷茫和困惑,這些已成為困擾很多數(shù)學(xué)老師的問題,成為制約教師專業(yè)發(fā)展的瓶頸,成為影響數(shù)學(xué)教師課程執(zhí)行了的一個重要因素。修訂后的標(biāo)準(zhǔn)把數(shù)學(xué)思想和方法放到了重要的位置,面對新課程背景下滲透數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的新要求,作為新教材的實(shí)施者,我們試圖通過對此課題的研究促使教師澄清認(rèn)識,科學(xué)有效地在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法。問題背景二:在下校聽課
4、的過程中,我們越來越感覺到課改之后的數(shù)學(xué)課堂不同程度地出現(xiàn)了“去數(shù)學(xué)化”的傾向,如教學(xué)過于注重形式創(chuàng)新,淡化了數(shù)學(xué)本質(zhì);過于追求課堂熱鬧,忽略了教學(xué)效果。顯然,這是不符合課程改革精神的,也是違背數(shù)學(xué)教育規(guī)律的。解決這一問題的根本對策在于增加數(shù)學(xué)課的“數(shù)學(xué)味”,在數(shù)學(xué)課堂上要以內(nèi)容為載體,讓學(xué)生去感受、了解、掌握數(shù)學(xué)最本質(zhì)最核心的東西數(shù)學(xué)思想方法。 基于以上原因,特以“例談數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透”為切入點(diǎn)進(jìn)行有關(guān)的研究和實(shí)踐。【正文】國家科學(xué)院院士、著名數(shù)學(xué)家張景中曾指出:“小學(xué)生學(xué)的數(shù)學(xué)很初等,很簡單。但盡管簡單,里面卻蘊(yùn)含了一些深刻的數(shù)學(xué)思想?!泵绹逃睦韺W(xué)家布魯納指出:掌握基本的數(shù)學(xué)
5、思想方法,能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶,領(lǐng)會基本數(shù)學(xué)思想和方法是通向遷移大道的“光明之路”。所謂數(shù)學(xué)思想方法(為表述方便,以下簡稱MIM)是人們對數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識,是對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)的概括。它屬于對數(shù)學(xué)規(guī)律性的認(rèn)識范疇。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂,數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)著數(shù)學(xué)問題的解決,并具體體現(xiàn)在解決問題的不同方法中。一、理解本質(zhì)認(rèn)識數(shù)學(xué)思想方法MIM是指在認(rèn)識或處理各種數(shù)學(xué)或者非數(shù)學(xué)現(xiàn)象的思維過程中,所表現(xiàn)出來的種種數(shù)學(xué)觀念及思維方式。(一)思想與方法的區(qū)別:嚴(yán)格說來,數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法是有區(qū)別的。數(shù)學(xué)思想及牽涉到認(rèn)識論方面的內(nèi)容,如:對數(shù)學(xué)科學(xué)的看法,對數(shù)學(xué)與外部世界關(guān)系的看法,對數(shù)學(xué)認(rèn)識過
6、程的看法;又牽涉到方法論方面的內(nèi)容,如:表示、加工、處理某種現(xiàn)象或形式的手法,為實(shí)現(xiàn)某個預(yù)期目標(biāo)的具體途徑和方法。相對而言,數(shù)學(xué)思想更具有普遍性和可創(chuàng)造性,其抽象程度更高一些,理論的味道更濃一些。數(shù)學(xué)方法則表現(xiàn)出更多的可操作性可程序性,實(shí)踐的味道更多一些。數(shù)學(xué)方法經(jīng)常表現(xiàn)為實(shí)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)思想的手段,而對于方法的有意識選擇,往往體現(xiàn)出對于數(shù)學(xué)思想的理解深度。盡管存在著這樣那樣的區(qū)別,但是數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法之間的總體關(guān)系乃是密不可分、相互交融的。因此,我們不可能也沒有必要把思想和方法嚴(yán)格區(qū)分開來。(二)MIM與數(shù)學(xué)知識的關(guān)系:數(shù)學(xué)知識是MIM的載體,MIM通過數(shù)學(xué)只是來顯化,數(shù)學(xué)知識的形成又是MIM
7、運(yùn)用的結(jié)果。從教育的角度來看,兩者之間有著明顯的區(qū)別。數(shù)學(xué)語言是MIM的外殼,但某些MIM并不完全能用數(shù)學(xué)語言來表述,同一個MIM也可以用不用的數(shù)學(xué)語言來表達(dá)。數(shù)學(xué)概念是MIM的某一個側(cè)面之外顯形式,是學(xué)習(xí)MIM的起點(diǎn),數(shù)學(xué)概念的發(fā)展亦得益于MIM,同時,數(shù)學(xué)概念的記錄于演變也能促進(jìn)MIM的發(fā)展。二、教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的重要意義事實(shí)上,單純的知識教學(xué),只顯見于學(xué)生知識的積累,是會遺忘甚至于消失的,而方法的掌握,思想的形成,才能使學(xué)生受益終生,正所謂“授之以魚,不如授之以漁”。從數(shù)學(xué)教材體系來看,整個中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中貫穿著兩條主線,一條是寫進(jìn)教材的最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識,它是明線,一直都很受重視。
8、另一條是數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法的滲透,這是條暗線,較少或沒有被直接寫進(jìn)教材,但對中學(xué)小學(xué)的學(xué)習(xí)和成長卻事發(fā)十分重要,也越來越引起了廣大數(shù)學(xué)教育者的重視。在教學(xué)中不能只注重數(shù)學(xué)知識的教學(xué),忽視了數(shù)學(xué)思想方法的滲透。兩條線應(yīng)在課堂教學(xué)中并進(jìn),無形的數(shù)學(xué)思想賦予有形的數(shù)學(xué)知識以靈魂。重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)有利于教師從整體上把握數(shù)學(xué)教學(xué)目的,講述學(xué)的本質(zhì)、知識形成的規(guī)程,解決問題的過程展示給學(xué)生,使教學(xué)達(dá)到事半功倍的效果。(一)提高學(xué)習(xí)者的思維強(qiáng)度數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)之一就在于其抽象性舍棄了許多非本質(zhì)因素。 (圖1) (圖2)例如圖1表示一個迷宮的平面圖,字母好比是其中的門和通道。那么,作為從外部進(jìn)入
9、該迷宮內(nèi)部的行路圖,圖2就足夠了。換言之,圖1和圖2是同一個模型,圖2 可以算的上是圖1的抽象舍棄了迷宮的內(nèi)部形狀、大小、裝飾等非本質(zhì)屬性,只保留了通道的相對位置這一本質(zhì)屬性。因此,讓學(xué)生多接觸模型,對于培養(yǎng)七思維的深刻性品質(zhì)是有益的。二模型化的則是一種意識、一種主觀傾向,它的形成過程實(shí)質(zhì)上就是個體思維強(qiáng)度的提高過程,而它的實(shí)現(xiàn),則依賴于主體對客體的認(rèn)知水平,對知識的領(lǐng)悟水平,反映出個體的思維深刻性、廣闊性和靈活性。(二)有利于構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)由于模型本身的抽象性所帶來的廣泛可應(yīng)用性,使得同一模型可以在不同的知識里都有所反映。例如:(奇偶)作為一個二元模型,可以用來表示許多生活中、數(shù)學(xué)中的具
10、有兩種狀態(tài)的現(xiàn)并可以作為研究和處理這些現(xiàn)象的有效工具。事實(shí)上,下面的幾個問題都可以通過這個模型來解決。123456789問題1:圖3是一所房間的示意圖,數(shù)字表示房間號碼,相鄰房間均有門相通,若從1號房不重復(fù)地走遍這幾個房間,又回到1號房,可以么?(不可以) (圖3)問題2:桌上有七只杯子,其中三只杯口向上,四只杯口向下,每個人將杯子(隨意幾只)翻動四次,問:若個個人翻動后,能否使七只杯子全部杯口向下?(不能)問題3:全世界的人都在握手,兩個人每握依次手則給個人均記一次,問:握手次數(shù)為奇數(shù)的那些人的總和是奇數(shù)還是偶數(shù)。(偶數(shù))顯然,同一模型在不同知識或問題中的統(tǒng)一性,使得學(xué)習(xí)者能夠意識到不同知識
11、或問題之間的本質(zhì)性聯(lián)系,這種通過MIM而形成的不同只是或問題之間的聯(lián)系性的強(qiáng)弱,正是個體認(rèn)知結(jié)構(gòu)是否有效的一個重要指標(biāo),反映出個體對于知識的領(lǐng)悟程度,是個性化的體現(xiàn)。類似地,Ax=B也可以作為溝通許多不同類型問題的一個模型。(三)激發(fā)學(xué)數(shù)學(xué)的動機(jī)、用數(shù)學(xué)的意識由于模型形成的背景十分豐富,因此,在選擇教學(xué)內(nèi)容是,可以有較大的自由度,因而能夠較好地照顧到學(xué)生的興趣。同時,還可以通過激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力來形成他們的學(xué)習(xí)動機(jī)。根據(jù)現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué),學(xué)生學(xué)習(xí)動機(jī)的出現(xiàn),在其年齡較小時,好奇與興趣占有很大比重,而隨著年齡增大,認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力則逐漸扮演了重要的角色。同時,模型的概念與模型化意識可以很方便地應(yīng)用到數(shù)
12、學(xué)以外的世界,這對于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識無疑極為有利。大量的應(yīng)用問題、組合問題都有力地說明了這一點(diǎn)。三、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)現(xiàn)狀修訂后的標(biāo)準(zhǔn)把數(shù)學(xué)思想和方法放到了重要的位置,但多數(shù)教師教學(xué)中往往只是重視了知識和技能目標(biāo)的落實(shí),很少涉及數(shù)學(xué)思想和方法的滲透?,F(xiàn)行教材主要以知識結(jié)構(gòu)作為編寫體系,因而MIM則散見于教材之中,MIM的教學(xué)中要依賴于教者的理解和領(lǐng)悟,主觀隨意性很大。現(xiàn)在的教學(xué)中,一些教師對數(shù)學(xué)思想方法理解不透,在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)成為被人遺忘、冷落的角落。長期以來,我們對數(shù)學(xué)教學(xué)效果的評價總是以對“顯性知識”的掌握而展開的,因此,導(dǎo)致在課堂上我們的許多老師數(shù)學(xué)教學(xué)變成了
13、單純的“解題教學(xué)”,只講解題步驟,不展示思維的過程;只講解題結(jié)果,不探尋來龍去脈。如計算教學(xué)中仍是以計算為主線,雖然也重視算法的多樣性,但卻忽視算法多樣性背后的不變性即算法所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。究其原因,教師沒有充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)思想方法對學(xué)生發(fā)展的重要性,對挖掘教材中的數(shù)學(xué)思想方法存在困難,甚至不少教師對特定的數(shù)學(xué)知識背后隱藏什么樣的數(shù)學(xué)思想方法全不知曉。更讓人痛心的是一些很生動活潑的數(shù)學(xué)思想方法,由于淹沒在大量的“加、減、乘、除、乘方運(yùn)算法則及習(xí)題”中,而失去了魅力和價值。四、中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中體現(xiàn)的核心數(shù)學(xué)思想方法整個中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中貫穿著兩條主線,一條是寫進(jìn)教材的最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識,它是明線,
14、一直都很受重視。另一條是數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法的滲透,這是條暗線,較少或沒有被直接寫進(jìn)教材,但對學(xué)生的學(xué)習(xí)和成長卻十分重要,我們對中小學(xué)教材中的重要數(shù)學(xué)思想方法做了梳理。(一)對應(yīng)思想方法對應(yīng)是人的思維對兩個集合間問題聯(lián)系的把握,是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個最基本的概念。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中主要利用虛線、實(shí)線、箭頭、計數(shù)器等圖形將元素與元素、實(shí)物與實(shí)物、數(shù)與算式、量與量聯(lián)系起來,滲透對應(yīng)思想。對應(yīng)是人們對兩個集合因素之間的聯(lián)系的一種思想方法,小學(xué)數(shù)學(xué)一般是一一對應(yīng)的直觀圖表,并以此孕伏函數(shù)思想。例如:直線上的點(diǎn)(數(shù)軸)與表示具體的數(shù)是一一對應(yīng)。又如北師大版教材一年級上冊操場上一課,教材分別將實(shí)物圖片、圖形
15、一一對應(yīng)后,進(jìn)行多少的比較學(xué)習(xí),向?qū)W生滲透了事物間的對應(yīng)關(guān)系,為學(xué)生解決問題提供了思想方法。(二)符號化思想方法英國著名數(shù)學(xué)家羅素說過:“什么是數(shù)學(xué)?數(shù)學(xué)就是符號加邏輯。”數(shù)學(xué)離不開符號,數(shù)學(xué)處處要用到符號,符號就是數(shù)學(xué)存在的具體化身。數(shù)學(xué)符號除了用來表述外,它也有助于思維的發(fā)展?,F(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材十分注意符號化思想的滲透。例如:北師大版教材從一年級就開始用“”代替變量 x ,讓學(xué)生在其中填數(shù)。 1 + 3 = ,3 +=5 ,6- = 3等。還如(上圖)北師大版教材一年級上冊操場上一課,先用實(shí)際人頭圖片來表示學(xué)生和老師,在分別用和分別表示學(xué)生和老師,再用數(shù)字來表示學(xué)生和老師的人數(shù),最后用式子來
16、表示學(xué)生比老師多幾人,這就是符號化思想的體現(xiàn)。符號化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中隨處可見,教師要有意識地進(jìn)行滲透。數(shù)學(xué)符號是抽象的結(jié)晶與基礎(chǔ),如果不了解其含義與功能,它如同“天書”一樣令人望而生畏。因此 ,教師在教學(xué)中要注意學(xué)生的可接受性。用符號化的語言(包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號)來描述數(shù)學(xué)內(nèi)容,這就是符號思想。如數(shù)學(xué)中各種數(shù)量關(guān)系,量的變化及量與量之間進(jìn)行推導(dǎo)和演算,都是用小小的字母表示數(shù),以符號的濃縮形式表達(dá)大量的信息。如定律、公式等。(三)轉(zhuǎn)化思想方法轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想和方法,在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用。轉(zhuǎn)化是運(yùn)用聯(lián)系、運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)來觀察和認(rèn)識問題,通過對原題進(jìn)行改造、
17、變形,使原來感到生疏的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的熟悉的問題,從而化繁難為簡易,化抽象為具體,是問題得以順利解決的一種方法。轉(zhuǎn)化是解決數(shù)學(xué)問題的一種主要的思維方法,轉(zhuǎn)化思想是分析問題和解決問題的一個重要的基本思想,不少數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn),就解答問題的本質(zhì)而言,解題就意味著轉(zhuǎn)化,即把生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題,把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知條件等等。其實(shí)轉(zhuǎn)化的思想方法無處不在,它是分析問題、解決問題的有效途徑。例如,有這樣一個數(shù)學(xué)問題:“有人在如圖所示的小路上行走,當(dāng)他從A處走到B出示,共走了幾米?假設(shè)小路的寬都是1米?!?(圖4)當(dāng)我們看到這個圖形就讓人頭暈?zāi)垦5念}目時,一
18、定會覺得求出答案并非易事。如果想用分段求和的方法求出總長度,條件不夠根本無法下手,得另辟蹊。 南京師范大學(xué)附中的馬明先生看到這道題時,室內(nèi)電視機(jī)里正在轉(zhuǎn)播排球比賽。運(yùn)動員揮汗如雨,休息時,服務(wù)員用寬寬的扁平拖把在地板上擦汗跡,馬明先生靈機(jī)一動,他想,如果這個拖把的寬度是1米,若行人就是服務(wù)員,并帶著拖把沿小路前推,那么行人走遍小路相當(dāng)于拖把拖遍整個場地,每拖1平方米的場地,相當(dāng)于行人前進(jìn)了1米,整個場地的面積是168即128平方米,所以行人從A到B共前進(jìn)了128米。這真是個絕妙的方法,馬明先生巧妙地把一個長度問題轉(zhuǎn)化為面積問題,真叫人嘆為觀止,由此可見善于轉(zhuǎn)化對于解決問題是多么的重要。 在教材
19、中轉(zhuǎn)化的思想在空間與圖形領(lǐng)域更是隨處可見,尤其是在圖形面積和立體圖形的體積學(xué)習(xí)過程中,教材都是引導(dǎo)學(xué)生想辦法把新問題轉(zhuǎn)化為以前學(xué)過的知識進(jìn)行解決。 例如北師大版教材六年級上冊圓的面積這部分內(nèi)容中,教材設(shè)計了在探索圓面積計算公式的過程,體會“化曲為直”的轉(zhuǎn)化思想。 (四)類比思想方法類比思想是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性,有可能將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去的思想。以上內(nèi)容是北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊第三單元分?jǐn)?shù)中的一課,這部分內(nèi)容安排在分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)之前,旨在通過觀察比較發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系,從而建立起商不變的規(guī)律與分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)之間的聯(lián)系。類比思想不僅使數(shù)學(xué)知識容易理解,而且
20、使知識的記憶變得自然和簡潔。(五)分類思想方法當(dāng)你走進(jìn)超市購物付款時,不知道你是否留意,收銀員會將收到的錢按100元、50元、20元、10元、5元不同面值的人民幣整理成一疊一疊的,你知道這樣做的原因嗎?也許你會認(rèn)為,這樣做僅僅是算總錢數(shù)時會方便快捷,其實(shí)用數(shù)學(xué)的眼光去看,這當(dāng)中還體現(xiàn)了一個分類的數(shù)學(xué)思想方法。分類思想方法不是數(shù)學(xué)獨(dú)有的方法,數(shù)學(xué)的分類思想方法體現(xiàn)對數(shù)學(xué)對象的分類及其分類的標(biāo)準(zhǔn)。如自然數(shù)的分類,若按能否被2整除分奇數(shù)和偶數(shù);按約數(shù)的個數(shù)分質(zhì)數(shù)和合數(shù)。又如三角形可以按邊分,也可以按角分。不同的分類標(biāo)準(zhǔn)就會有不同的分類結(jié)果,從而產(chǎn)生新的概念。對數(shù)學(xué)對象的正確、合理分類取決于分類標(biāo)準(zhǔn)的
21、正確、合理性,數(shù)學(xué)知識的分類有助于學(xué)生對知識的梳理和建構(gòu)。例如:以下是北師大版教材四年級下冊的內(nèi)容,教材通過分類活動,使學(xué)生認(rèn)識并識別直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形、等腰三角形和等邊三角形。在數(shù)學(xué)中,分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn),把數(shù)學(xué)研究的對象區(qū)分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。正確的分類應(yīng)當(dāng)符合兩個原則:(1)應(yīng)按照同一標(biāo)準(zhǔn)(2)分類應(yīng)當(dāng)不重復(fù)、不遺漏。(六)數(shù)形結(jié)合思想方法數(shù)與形是數(shù)學(xué)教學(xué)研究對象的兩個側(cè)面,把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來去分析問題、解決問題,就是數(shù)形結(jié)合思想?!皵?shù)形結(jié)合”可以借助簡單的圖形、符號和文字所作的示意圖,促進(jìn)學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展,溝通數(shù)學(xué)
22、知識之間的聯(lián)系,從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征。數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的兩個主要對象,數(shù)離不開形,形離不開數(shù),一方面可以使抽象的數(shù)學(xué)概念,復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系,借助圖形使之直觀化、形象化、簡單化;另一方面復(fù)雜的形體可以用簡單的數(shù)量關(guān)系表示。在解應(yīng)用題中常常借助線段圖的直觀幫助分析數(shù)量關(guān)系。以下幾例均是北師大教材中體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合典型內(nèi)容。又如,在初中數(shù)學(xué)有理數(shù)及其運(yùn)算這一章教學(xué)中利用“數(shù)軸”這一圖形,鞏固“具有相反意義的量”的概念,了解相反數(shù),絕對值的概念,掌握有理數(shù)大小的道理,理解有理數(shù)加法、乘法的意義,掌握運(yùn)算法則等。實(shí)際上,對學(xué)生來說,也只有通過數(shù)形結(jié)合,才能較好地完成本章的學(xué)習(xí)任務(wù)。(七)函數(shù)方
23、程思想方法恩格斯說:“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù),運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),微分和積分也就立刻成為必要的了?!焙瘮?shù)思想的可貴之處正在于它是運(yùn)動、變化的觀點(diǎn)去反映客觀事物數(shù)量間的相互聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律的。函數(shù)思想在人教版一年級上冊教材中就有滲透。例如讓學(xué)生觀察20以內(nèi)進(jìn)位加法表,發(fā)現(xiàn)加數(shù)的變化引起的和的變化的規(guī)律等,都較好的滲透了函數(shù)的思想,其目的都在于幫助學(xué)生形成初步的函數(shù)概念。函數(shù)思想在初中教材中的體現(xiàn)更是隨處可見,在此不一一列舉。五、教學(xué)中滲透思想方法的原則數(shù)學(xué)思想方法是與數(shù)學(xué)知識和解決問題的過程密切聯(lián)系在一起的,在教學(xué)中是深藏不露還是獨(dú)立教學(xué)?是“蜻蜓
24、點(diǎn)水”還是“形成系列”?通過學(xué)習(xí)、思考和實(shí)踐我們認(rèn)為,在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)遵循以下原則:(一)過程性原則注重體驗(yàn),經(jīng)歷過程 滲透數(shù)學(xué)思想方法,并不是將其從外部注入到數(shù)學(xué)知識的教學(xué)之中。因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法是與數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展和解決問題的過程聯(lián)系在一起的內(nèi)部之物。教學(xué)中不直接點(diǎn)明所應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法,而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動過程中潛移默化地體驗(yàn)蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法,切忌生搬硬套、和盤托出。例如學(xué)生寫出幾個商是2的除法算式,通過觀察可以歸納出被除數(shù)、除數(shù)和商之間的關(guān)系,大膽猜想出商不變的規(guī)律:可能是被除數(shù)和除數(shù)同時乘以或除以同一個數(shù)(零除外),商不變;也可能是同時加上或減去同一個數(shù),
25、商不變。到底何種猜想為真?學(xué)生帶著問題運(yùn)用不完全歸納舉例驗(yàn)證自己的猜想,最終得到了“商不變性質(zhì)”。所以學(xué)生獲得“商不變性質(zhì)”的過程,又是歸納、猜想、驗(yàn)證的體驗(yàn)過程,絕不是從外部加上一個歸納猜想驗(yàn)證。學(xué)生一旦感悟到這種思想,就會聯(lián)想到加減法和乘法是否也存在類似的規(guī)律,從而把探究過程延續(xù)到課外。(二)系統(tǒng)性原則類比歸納,形成體系與具體的數(shù)學(xué)知識一樣,數(shù)學(xué)思想方法只有形成一定結(jié)構(gòu)的系統(tǒng),才能更好地發(fā)揮其整體的功能。如解方程的換元法,屬于轉(zhuǎn)化思想,轉(zhuǎn)化思想更抽象,在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用更廣泛,學(xué)生掌握起來也更困難。對于某一種數(shù)學(xué)思想而言,它能概括的一類數(shù)學(xué)方法,必須形成自身的體系,才能為學(xué)生理解和掌握的更好。
26、(三)目標(biāo)性原則潛移默化,注重滲透要把數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一。中小學(xué)數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容是由具體的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法組成的有機(jī)整體,現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材的編排一般是沿知識的縱方向展開的,總體上可分為兩個層次,一個稱為基礎(chǔ)知識,包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)的基本知識和基本技能。另一個稱為深層知識,那就是數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。一般認(rèn)為,在具體知識的教學(xué)中,通過精心設(shè)計的學(xué)習(xí)情境與教學(xué)過程,著意引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)思想和方法,使他們在潛移默化中達(dá)到理解和掌握。(四)層次性原則螺旋上升,反復(fù)滲透從學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律看,對每種數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識都是在反復(fù)理解和運(yùn)用中形成的,其間有一
27、個由低級到高級的螺旋上升過程,如對同一數(shù)學(xué)思想方法,應(yīng)該注意其中不同知識階段的再現(xiàn),以加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識。例如數(shù)形結(jié)合的思想方法,在初一講數(shù)軸時,涉及到數(shù)形結(jié)合思想,學(xué)生會借助數(shù)軸表示相反數(shù)、絕對值、比較有理數(shù)的大小等;講到不等式組的解法時,要求學(xué)生畫數(shù)軸找出不等式組的公共解集。此時,學(xué)生已能初步形成通過數(shù)軸幫助解題的方法,學(xué)習(xí)乘法公式時,可以借助于圖形的變換推導(dǎo)出公式,逐漸地學(xué)生可以形成借助幾何圖形求解代數(shù)問題的觀念。到初三學(xué)習(xí)函數(shù)時,在教師的反復(fù)滲透下,大多數(shù)學(xué)生都能逐步形成數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。(五)差異性原則尊重差異,區(qū)別對待人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué);人人都能獲得必要的數(shù)學(xué);不同
28、的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。這一新數(shù)學(xué)教育理念要求教師要及時了解并尊重學(xué)生的個體差異,對不同的學(xué)生提出不同的要求,數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)更是如此。(六)隱顯結(jié)合原則根據(jù)需要,適時顯性 數(shù)學(xué)思想方法有一個從模糊到清晰、從未成形到成形再到成熟的過程。在教學(xué)中,思想方法何時深藏不露,何時顯山露水,應(yīng)審時度勢,隨機(jī)應(yīng)變。一般而言,在低中年級的新授課中,以探究知識、解決問題為明線,以數(shù)學(xué)思想方法為暗線。但在知識應(yīng)用、課堂小結(jié)或階段復(fù)習(xí)時,根據(jù)需要,應(yīng)對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納和概括。六、教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的有效策略(一)備課中合理確定 滲透數(shù)學(xué)思想方法,教師在進(jìn)行教學(xué)預(yù)設(shè)時應(yīng)抓住數(shù)學(xué)知識與思想方法的有效結(jié)合點(diǎn),在教學(xué)目標(biāo)中體現(xiàn)每個數(shù)學(xué)知識所滲透的數(shù)學(xué)思想方法。只有在教學(xué)預(yù)設(shè)中確定了要滲透的主要數(shù)學(xué)思想方法,教師才會去研究落實(shí)相應(yīng)的教學(xué)策略,在備課時要多問自己幾個為什么,
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