計(jì)數(shù)原理知識(shí)點(diǎn)、題型小結(jié)doc

1、第一章、計(jì)數(shù)原理知識(shí)點(diǎn)小結(jié)一、分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1.分類計(jì)數(shù)原理加法原理：如果完成一件事有 不同的方案，由第1類方案中有種方法，在第2類方案中有種不同的方法，那么，完成這件工作共有 種不同的方法.2.分步計(jì)數(shù)原理乘法原理：完成一件事需要 步驟，完成第1步有種不同的方法，完成第2步有種不同的方法，那么，完成這件工作共有 種不同方法。3.兩種方法的區(qū)別與聯(lián)系： 4.用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，需要注意的問(wèn)題有哪些？最重要的是在開(kāi)始計(jì)算之前進(jìn)行仔細(xì)分析，弄清楚是一件什么事，正確選擇是先分類還是先分步.分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用加法原理求和；分步要做

2、到“步驟完整”，完成所有步驟，恰好完成任務(wù). 分步后要計(jì)算每一步的方法數(shù)，把每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)。5.常用的方法有：填空法，使用時(shí)注意： 6.常見(jiàn)的題型：（1）有關(guān)數(shù)字排列問(wèn)題例1：由數(shù)字4,5,6,7組成的所有的不重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為?（可以重復(fù)的三位數(shù)字又有多少個(gè)呢？）變式1:由0,1,2,3,4,5,6，這七個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？小結(jié)：（2）形如的問(wèn)題。例2：5名學(xué)生從3項(xiàng)體育項(xiàng)目中選擇參賽，若每一名學(xué)生只能參加一項(xiàng)，則有多少種不同的參賽方法？變式1：若5名學(xué)生爭(zhēng)奪3項(xiàng)比賽冠軍（每一名學(xué)生參賽項(xiàng)目不限），則冠軍獲得者有幾種不同的情況（沒(méi)有并列冠軍）小結(jié)：（3）

3、涂色問(wèn)題例3:用五種不同的顏料給4塊（ABCD）涂色要求共邊兩塊顏色互異，求有多少種不同的涂色方案？變式：將紅、黃、綠、黑四種不同的顏色涂入圖中的五個(gè)區(qū)域內(nèi)，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域的顏色都不同，則有多少種不同的涂色方法？小結(jié)：二、排列1.排列的定義：一般地，從n個(gè) 元素中取出m（ ）個(gè)元素，按照一定的 排成一排，叫做從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的一個(gè)排列. 2.排列問(wèn)題有何特點(diǎn)？什么條件下是排列問(wèn)題？3.排列數(shù)的定義：從 個(gè) 元素中取出 （）個(gè)元素的 的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素取出m元素的排列數(shù)，用符合 表示.4.排列數(shù)公式：從n個(gè)不同元素中取出m（）個(gè)元素的排列數(shù) 5.全排列：從n個(gè)不同元素中

4、取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，用公式表示為 6.n的階乘定義： 用 表示。 規(guī)定：0！= 注：1！= 2！= 3！= 4！= 5！= 6！= 例1計(jì)算：; ; 7.解決排列問(wèn)題的基本方法類型一：直接法和間接法例1:用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（多種方法）小結(jié)：排列問(wèn)題時(shí)，當(dāng)問(wèn)題分成互斥各類時(shí)，根據(jù)加法原理，可用分類法；當(dāng)問(wèn)題考慮先后次序時(shí)，根據(jù)乘法原理，可用位置法；這兩種方法又稱作 當(dāng)問(wèn)題的正面的分類較多或計(jì)算較復(fù)雜，而反面分類較少，計(jì)算簡(jiǎn)單時(shí)，可通過(guò)求差采用 求解； 間接法的步驟： 類型二：排列問(wèn)題(無(wú)限制條件的和有限制條件的例2：有4名男生，3名女

5、生排成一排（1） 有多少種排列方法？（2） 若7和人排成兩排，前排3人，后排4人有多少種排法？（3） 若甲男生不站排頭也不戰(zhàn)排尾有多少種不同的排法？（4） 若甲只能在中間或者兩端？（5） 甲乙必須在兩端呢？（6） 甲不站排頭，乙不站排尾呢？（7） 若3名女生必須排在一起（8） 若3名女生互不相鄰，有多少種不同的排法？（9）男生必須排在一起，女生必須排在一起，且男生甲與女生乙不能相鄰，有多少種不同的站法？（10）若甲乙相鄰，丙丁不相鄰呢？（11）若甲乙間恰有兩人？小結(jié)：1：解決這類有限制條件的排列問(wèn)題的基本方法有：元素分析法即優(yōu)先考慮 ，然后在考慮 ；位置分析法即優(yōu)先考慮 ，再考慮 小結(jié)2：排列

6、中有些元素“相鄰”問(wèn)題，可以把相鄰元素看成一個(gè)整體，當(dāng)成一個(gè)元素和其他元素進(jìn)行排列，此法稱為“ ”；而對(duì)于元素不相鄰的排列問(wèn)題，可先將允許相鄰的元素進(jìn)行排列，然后在它們的空檔處插入不能相鄰的元素，對(duì)于這種“分離”問(wèn)題我們用“ ”等.練習(xí)：用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字，能排成多少個(gè)滿足條件的四位數(shù).（1）沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？（2）比1325大的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字四位數(shù)三、組合1組合的定義：一般地，從 個(gè) 元素中取出 個(gè)元素 一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合. 2.排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系？相同點(diǎn)： 不同點(diǎn)： 3. 組合數(shù)的概念：從個(gè) 元素中取出個(gè)元素的 組合的個(gè)數(shù)，叫做從 個(gè)不同元素

7、中取出個(gè)元素的組合數(shù)用符號(hào) 表示4.與的關(guān)系為：= = 5：組合數(shù)公式： 這里的m、n滿足的條件是 6：用階乘表示= 我們規(guī)定： 7.組合數(shù)的性質(zhì)一： 8.常見(jiàn)的題型：類型一：計(jì)算例1： ； ； ； ；例2：解方程：已知=，求n=? 例3： 解不等式：>類型二：沒(méi)有限制條件的組合問(wèn)題例3：（1）. 若8名學(xué)生每2人互通一次電話，共通 次電話（2）從2，3，5，7四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)相乘，有個(gè)不同的積；任取兩個(gè)不同的數(shù)相除，有個(gè)不同的商，則：= .（3）一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員，他們呢中以前沒(méi)有一人參加過(guò)比賽，按照足球比賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是11人，問(wèn)：（1）

8、這位教練從這17位學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場(chǎng)的方案？（2）如果在選出的11名上場(chǎng)隊(duì)員時(shí)，還要確定其中的守門(mén)員，那么教練員有多少種方式做這件事？類型三：有限制條件的組合問(wèn)題例4：在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某學(xué)校有12人通過(guò)了初試，學(xué)校要從中選出5人參加市級(jí)培訓(xùn)，在下列條件下，有多少種不同的選法？（1） 任意選5人（2） 甲乙丙三人必須參加（3） 甲乙丙三人不能參加（4） 甲乙丙三人只能有1人參加（5） 甲乙丙三人至少有1人參加（6） 甲乙丙三人至多有1人參加小結(jié)：有限制條件的組合應(yīng)用題:解決“含與不含”，問(wèn)題時(shí)，將限制條件視為 ，優(yōu)先滿足。解決至少與至多問(wèn)題時(shí)，常用的方法有 ，注意不重不漏。類型四.：

9、與平面幾何有關(guān)的問(wèn)題在的邊OM上有5個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)，邊ON上有4個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)，以這10個(gè)點(diǎn)（含O點(diǎn)）為頂點(diǎn)，可以得到多少個(gè)三角形？四、二項(xiàng)式定理1： （）上面公式叫做二項(xiàng)式定理，公式右邊的多項(xiàng)式叫做的展開(kāi)式，其中（r0，1，2，n）叫做 ， 叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用符號(hào) 表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第 項(xiàng).即 注意：（1）展開(kāi)，共有 項(xiàng)？每一項(xiàng)的次數(shù) ；（2）每一項(xiàng)中，字母，的指數(shù)有什么特點(diǎn)？字母，的指數(shù)和怎樣？（3）各項(xiàng)的系數(shù)是什么？（4）是的展開(kāi)式的第幾項(xiàng)？（5）的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)系數(shù)相同嗎？若不同，有什么區(qū)別？2.常見(jiàn)的題型題型一：求二項(xiàng)式展開(kāi)式的特定項(xiàng)例1 求展開(kāi)式的第4項(xiàng)，并求第

10、4項(xiàng)系數(shù)和它的二項(xiàng)式系數(shù)； （2）求 展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)和中間項(xiàng).3：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 對(duì)稱性:與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,圖象的對(duì)稱軸是 .試試： 在(ab展開(kāi)式中，與倒數(shù)第三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等是( A 第項(xiàng) B 第項(xiàng) C 第項(xiàng) D 第項(xiàng) 若的展開(kāi)式中，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與 第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則n . 增減性與最大值 ：從圖象得知，中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最 ，左邊二項(xiàng)式系數(shù)逐漸 ，右邊二項(xiàng)式系數(shù)逐漸 . 所以的各二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)共有 項(xiàng)，是第 項(xiàng)，它的二項(xiàng)式系數(shù)是 ，取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)共有 項(xiàng)，分別是第 項(xiàng)和第 項(xiàng)，它的二項(xiàng)式系數(shù)分別是 和 ，二項(xiàng)式系數(shù)都取得最大值.試試：的各二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是 各二項(xiàng)式系數(shù)的和：在展開(kāi)式中，若，則可得到 即 若a=1,b=-1又可以得到什么呢？試試： 4.常見(jiàn)的題型類型一：求二項(xiàng)式系數(shù)和、系數(shù)的和例1.求和：= 例2.若，則 ， . 小結(jié)：特殊值法: 類型二：求系數(shù)最大（小）的項(xiàng)例3：求的展