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1、第一章、計(jì)數(shù)原理知識(shí)點(diǎn)小結(jié)一、分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1.分類計(jì)數(shù)原理加法原理:如果完成一件事有 不同的方案,由第1類方案中有種方法,在第2類方案中有種不同的方法,那么,完成這件工作共有 種不同的方法.2.分步計(jì)數(shù)原理乘法原理:完成一件事需要 步驟,完成第1步有種不同的方法,完成第2步有種不同的方法,那么,完成這件工作共有 種不同方法。3.兩種方法的區(qū)別與聯(lián)系: 4.用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí),需要注意的問(wèn)題有哪些?最重要的是在開(kāi)始計(jì)算之前進(jìn)行仔細(xì)分析,弄清楚是一件什么事,正確選擇是先分類還是先分步.分類要做到“不重不漏”,分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù),最后用加法原理求和;分步要做
2、到“步驟完整”,完成所有步驟,恰好完成任務(wù). 分步后要計(jì)算每一步的方法數(shù),把每一步的方法數(shù)相乘,得到總數(shù)。5.常用的方法有:填空法,使用時(shí)注意: 6.常見(jiàn)的題型:(1)有關(guān)數(shù)字排列問(wèn)題例1:由數(shù)字4,5,6,7組成的所有的不重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為?(可以重復(fù)的三位數(shù)字又有多少個(gè)呢?)變式1:由0,1,2,3,4,5,6,這七個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?小結(jié):(2)形如的問(wèn)題。例2:5名學(xué)生從3項(xiàng)體育項(xiàng)目中選擇參賽,若每一名學(xué)生只能參加一項(xiàng),則有多少種不同的參賽方法?變式1:若5名學(xué)生爭(zhēng)奪3項(xiàng)比賽冠軍(每一名學(xué)生參賽項(xiàng)目不限),則冠軍獲得者有幾種不同的情況(沒(méi)有并列冠軍)小結(jié):(3)
3、涂色問(wèn)題例3:用五種不同的顏料給4塊(ABCD)涂色要求共邊兩塊顏色互異,求有多少種不同的涂色方案?變式:將紅、黃、綠、黑四種不同的顏色涂入圖中的五個(gè)區(qū)域內(nèi),要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域的顏色都不同,則有多少種不同的涂色方法?小結(jié):二、排列1.排列的定義:一般地,從n個(gè) 元素中取出m( )個(gè)元素,按照一定的 排成一排,叫做從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的一個(gè)排列. 2.排列問(wèn)題有何特點(diǎn)?什么條件下是排列問(wèn)題?3.排列數(shù)的定義:從 個(gè) 元素中取出 ()個(gè)元素的 的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素取出m元素的排列數(shù),用符合 表示.4.排列數(shù)公式:從n個(gè)不同元素中取出m()個(gè)元素的排列數(shù) 5.全排列:從n個(gè)不同元素中
4、取出的一個(gè)排列,叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列,用公式表示為 6.n的階乘定義: 用 表示。 規(guī)定:0!= 注:1!= 2!= 3!= 4!= 5!= 6!= 例1計(jì)算:; ; 7.解決排列問(wèn)題的基本方法類型一:直接法和間接法例1:用0到9這10個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?(多種方法)小結(jié):排列問(wèn)題時(shí),當(dāng)問(wèn)題分成互斥各類時(shí),根據(jù)加法原理,可用分類法;當(dāng)問(wèn)題考慮先后次序時(shí),根據(jù)乘法原理,可用位置法;這兩種方法又稱作 當(dāng)問(wèn)題的正面的分類較多或計(jì)算較復(fù)雜,而反面分類較少,計(jì)算簡(jiǎn)單時(shí),可通過(guò)求差采用 求解; 間接法的步驟: 類型二:排列問(wèn)題(無(wú)限制條件的和有限制條件的例2:有4名男生,3名女
5、生排成一排(1) 有多少種排列方法?(2) 若7和人排成兩排,前排3人,后排4人有多少種排法?(3) 若甲男生不站排頭也不戰(zhàn)排尾有多少種不同的排法?(4) 若甲只能在中間或者兩端?(5) 甲乙必須在兩端呢?(6) 甲不站排頭,乙不站排尾呢?(7) 若3名女生必須排在一起(8) 若3名女生互不相鄰,有多少種不同的排法?(9)男生必須排在一起,女生必須排在一起,且男生甲與女生乙不能相鄰,有多少種不同的站法?(10)若甲乙相鄰,丙丁不相鄰呢?(11)若甲乙間恰有兩人?小結(jié):1:解決這類有限制條件的排列問(wèn)題的基本方法有:元素分析法即優(yōu)先考慮 ,然后在考慮 ;位置分析法即優(yōu)先考慮 ,再考慮 小結(jié)2:排列
6、中有些元素“相鄰”問(wèn)題,可以把相鄰元素看成一個(gè)整體,當(dāng)成一個(gè)元素和其他元素進(jìn)行排列,此法稱為“ ”;而對(duì)于元素不相鄰的排列問(wèn)題,可先將允許相鄰的元素進(jìn)行排列,然后在它們的空檔處插入不能相鄰的元素,對(duì)于這種“分離”問(wèn)題我們用“ ”等.練習(xí):用0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字,能排成多少個(gè)滿足條件的四位數(shù).(1)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?(2)比1325大的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字四位數(shù)三、組合1組合的定義:一般地,從 個(gè) 元素中取出 個(gè)元素 一組,叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合. 2.排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系?相同點(diǎn): 不同點(diǎn): 3. 組合數(shù)的概念:從個(gè) 元素中取出個(gè)元素的 組合的個(gè)數(shù),叫做從 個(gè)不同元素
7、中取出個(gè)元素的組合數(shù)用符號(hào) 表示4.與的關(guān)系為:= = 5:組合數(shù)公式: 這里的m、n滿足的條件是 6:用階乘表示= 我們規(guī)定: 7.組合數(shù)的性質(zhì)一: 8.常見(jiàn)的題型:類型一:計(jì)算例1: ; ; ; ;例2:解方程:已知=,求n=? 例3: 解不等式:>類型二:沒(méi)有限制條件的組合問(wèn)題例3:(1). 若8名學(xué)生每2人互通一次電話,共通 次電話(2)從2,3,5,7四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)相乘,有個(gè)不同的積;任取兩個(gè)不同的數(shù)相除,有個(gè)不同的商,則:= .(3)一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員,他們呢中以前沒(méi)有一人參加過(guò)比賽,按照足球比賽規(guī)則,比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是11人,問(wèn):(1)
8、這位教練從這17位學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場(chǎng)的方案?(2)如果在選出的11名上場(chǎng)隊(duì)員時(shí),還要確定其中的守門(mén)員,那么教練員有多少種方式做這件事?類型三:有限制條件的組合問(wèn)題例4:在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,某學(xué)校有12人通過(guò)了初試,學(xué)校要從中選出5人參加市級(jí)培訓(xùn),在下列條件下,有多少種不同的選法?(1) 任意選5人(2) 甲乙丙三人必須參加(3) 甲乙丙三人不能參加(4) 甲乙丙三人只能有1人參加(5) 甲乙丙三人至少有1人參加(6) 甲乙丙三人至多有1人參加小結(jié):有限制條件的組合應(yīng)用題:解決“含與不含”,問(wèn)題時(shí),將限制條件視為 ,優(yōu)先滿足。解決至少與至多問(wèn)題時(shí),常用的方法有 ,注意不重不漏。類型四.:
9、與平面幾何有關(guān)的問(wèn)題在的邊OM上有5個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn),邊ON上有4個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn),以這10個(gè)點(diǎn)(含O點(diǎn))為頂點(diǎn),可以得到多少個(gè)三角形?四、二項(xiàng)式定理1: ()上面公式叫做二項(xiàng)式定理,公式右邊的多項(xiàng)式叫做的展開(kāi)式,其中(r0,1,2,n)叫做 , 叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),用符號(hào) 表示,即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第 項(xiàng).即 注意:(1)展開(kāi),共有 項(xiàng)?每一項(xiàng)的次數(shù) ;(2)每一項(xiàng)中,字母,的指數(shù)有什么特點(diǎn)?字母,的指數(shù)和怎樣?(3)各項(xiàng)的系數(shù)是什么?(4)是的展開(kāi)式的第幾項(xiàng)?(5)的展開(kāi)式中,二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)系數(shù)相同嗎?若不同,有什么區(qū)別?2.常見(jiàn)的題型題型一:求二項(xiàng)式展開(kāi)式的特定項(xiàng)例1 求展開(kāi)式的第4項(xiàng),并求第
10、4項(xiàng)系數(shù)和它的二項(xiàng)式系數(shù); (2)求 展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)和中間項(xiàng).3:二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 對(duì)稱性:與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,圖象的對(duì)稱軸是 .試試: 在(ab展開(kāi)式中,與倒數(shù)第三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等是( A 第項(xiàng) B 第項(xiàng) C 第項(xiàng) D 第項(xiàng) 若的展開(kāi)式中,第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與 第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則n . 增減性與最大值 :從圖象得知,中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最 ,左邊二項(xiàng)式系數(shù)逐漸 ,右邊二項(xiàng)式系數(shù)逐漸 . 所以的各二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),中間項(xiàng)共有 項(xiàng),是第 項(xiàng),它的二項(xiàng)式系數(shù)是 ,取得最大值;當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),中間項(xiàng)共有 項(xiàng),分別是第 項(xiàng)和第 項(xiàng),它的二項(xiàng)式系數(shù)分別是 和 ,二項(xiàng)式系數(shù)都取得最大值.試試:的各二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是 各二項(xiàng)式系數(shù)的和:在展開(kāi)式中,若,則可得到 即 若a=1,b=-1又可以得到什么呢?試試: 4.常見(jiàn)的題型類型一:求二項(xiàng)式系數(shù)和、系數(shù)的和例1.求和:= 例2.若,則 , . 小結(jié):特殊值法: 類型二:求系數(shù)最大(小)的項(xiàng)例3:求的展
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