2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章圓與方程章末綜合測評2(含解析)新人教A版必修2

1、（四）圓與方程（時間 120 分鐘，滿分 150 分）一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符合題目要求的）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點A 3,4,0）與點耳 2 , - 1,6）的距離是（）A.2 43B. 2 21C. 9D. 86【解析】由空間直角坐標(biāo)系中兩點間距離公式得：IAB= v -3-22+1 + 12+ （J-b 2=、j86.【答案】D2.當(dāng)圓2 2 2x+y十 2x+ky十k=0 的面積最大時，圓心坐標(biāo)是( )A. (0 ,-1)B. ( - 1,0)C. (1 ,-1)D. ( - 1,1)【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得

2、：22 r k)3k2(x+1)十y十-=1-才,3k2當(dāng)半徑的平方 1- 取最大4值為 1 時，圓的面積最大.k= 0,即圓心為（一 1,0）.【答案】 B3.圓O：x2+y2-4x- 6y+ 12= 0 與圓Q:x2+y2- 8x- 6y+ 16= 0 的位置關(guān)系是（）A.相交B.相離C.內(nèi)含D.內(nèi)切【解析】 把圓O：x2+y2-4x-6y+ 12= 0 與圓Q：x2+y2-8x- 6y+ 16= 0 分別化為 標(biāo)準(zhǔn)式為（x 2） + （y 3） = 1 和（x 4） + （y 3） = 9 ,兩圓心間的距離d= .4-?2+ ；一； .!2= 2=|n - r2|，所以兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)

3、切，故選 D.【答案】 D4.過點（2,1）的直線中，被圓x2+y2- 2x+ 4y= 0 截得的最長弦所在的直線方程為（）A.3xy 5 = 0B. 3x+y 7= 0C.x+ 3y- 5 = 0D.x-3y+ 1 = 0【解析】依題意知所求直線通過圓心 （1 , - 2）,由直線的兩點式方程，得y+2= ,1 十 2 2 1即 3x-y-5= 0，故選 A.2【答案】 A5.已知點Ma,b）在圓O：x2+y2= 1 夕卜，則直線ax十by= 1 與圓O的位置關(guān)系是（ ）A.相切B.相交C.相離D.不確定31【解析】 由題意知點在圓外，貝Ua2+b2 1,圓心到直線的距離d=22 3 2,圓

4、上的點到直線的最大距離與最小距離的差是22R= 6 2.【答案】C9.把圓x2+y2+ 2x4ya2 2 = 0 的半徑減小一個單位則正好與直線3x 4y 4= 0 相切，則實數(shù)a的值為()A. 2xy 5 = 0C. x+y 1= 0B. 2x+y 3= 0D.xy 3 = 0B. 184A. 3D.以上都不對【解析】圓的方程可變?yōu)?x+1)2+ (y 2)2=a2+ 7,圓心為(一 1,2)，半徑為.a2+7,B. 3C. 3 或 35|1X34X24| ._2-由題意得-22一 =a+ 7-1，解得a= 3.Q _3 +4【答案】C2 2 210.若圓(x 5) + (y 1) =r(r

5、0)上有且僅有兩點到直線4x+ 3y+ 2 = 0 的距離等于1，則實數(shù)r的取值范圍為()A. 4,6B. (4,6)C. 5,7D. (5,7)僅有兩點到直線 4x+ 3y+ 2 = 0 的距離為 1，則 4r0),此方程表示半圓， 如y+ 2圖，設(shè)P(x,y)是半圓上的點，貝 y表示過點Rx,y),Q- 1,xn-I-2)兩點直線的斜率.設(shè)切線QA的斜率為k,則它的方程為y+ 2=3+1).從而由2+1=1,解得k= 4.又kBQ=3，所求范圍是4,3【答34,3(*(-1-2)8y= 2x+ 1,由x= 0,得為所求圓的圓心.由兩點間距離公式得圓半徑.(U12+1-12所求圓的10,18

6、在三棱柱ABQA B O中，/AO= 90，側(cè)棱00丄面OAB 0A= 0蟲00=2.若C為線段 0A的中點，在線段BB上求一點E,使|EC最小.【解】 如圖所示，以三棱柱的0點為坐標(biāo)原點，以0A 0B00所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系0 xyzAr由0A= 0蟲00= 2, 得A(2,0,0) ,B(0,2,0) ,0(0,0,0),A(2,0,2) ,B(0,2,2) ,O(0,0,2).由C為線段O A的中點得C點坐標(biāo)為(1,0,1),設(shè)E點坐標(biāo)為(0,2 ,z)，根據(jù)空間兩點間距離公式得I EQ=. U12+/ 2+z12=,z-12+ 5,故當(dāng)z=1 時，|EC取

7、BB的中點.(1)求直線PA PB的方程;求過P點的圓C的切線長.【解】(1)切線的斜率存在，設(shè)切線方程為y+ 1 =k(x 2)，即kxy 2k 1=0.、解答題(本大題共 6 小題，共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)【解】 法一：圓心在y軸上, 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2+ (yb)x2+ (y 1)2= 10.法二：線段AB的中點為(1,3),4kAB=31弦AB的垂直平分線方程為y 3= 2(x 1),即y= 2x+ 1.17.(本小題滿分 10 分)求經(jīng)過兩點A- 1,4),氏 3,2)且圓心在y軸上的圓的方程.該圓經(jīng)過AB兩點,-12+32+2b2 21b=r,2 2=

8、r,b= 1,r2= 10.所以圓的方程是9圓心到直線的距離等于-2，即2=、2,2k 6k 7 = 0,解得k= 7 或k= 1,故所求的切線方程為y+ 1 = 7(x 2)或y+ 1 = (x 2),即 7xy 15 = 0 或x+y 1 = 0.(2)在 RtPAC中 |PA2= |pq2 |AQ2=(2 1)2+ ( 1 2)2 2= 8,過P點的圓C的切線長為 2 2.20.(本小題滿分 12 分)點A(0,2)是圓x2+y2= 16 內(nèi)的定點，B,C是這個圓上的兩個動 點，若BAL CA求BC中點M的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么曲線.【解】 設(shè)點Mx,y)，因為M是弦BC的中點，

9、故OMLBC1又/BAC=90,. |MA= qlBC= |MB IMB2=|OB2|OM2,|OB2=|MO2+ |MA2,即卩 42= (x2+y2) + (x 0)2+ (y 2)2，化簡為x2+y2 2y 6=0,2 2即x+ (y 1) = 7.所求軌跡為以(0,1)為圓心，以.7 為半徑的圓.21.(本小題滿分 12 分)如圖 1 所示，平行四邊形ABCD勺對角線AC與BD交于E點，定點代C的坐標(biāo)分別是A 2,3) ,C(2,1).yDH圖 1(1)求以線段AC為直徑的圓E的方程；若B點的坐標(biāo)為(一 2, 2)，求直線BC截圓E所得的弦長.【解】(1)AC的中點E(0,2)即為圓心

10、，半徑r= 2|ACf = 2,42+ 22= 5, 所以圓E的方程為x2+ (y 2)2= 5.10其方程為y 1 = 4(x 2)，即 3x 4y 2 = 0.點E到直線BC的距離為d= - ；-2|= 2，所以BC截圓E所得的弦長為 2 5 22= 222.(本小題滿分 12 分)如圖 2，已知圓C：x2+y2+ 10 x+ 10y= 0,點A(0,6).(1)求圓心在直線y=x上，經(jīng)過點A,且與圓C相外切的圓N的方程; 若過點A的直線m與圓C交于P,Q兩點，且圓弧PQ恰為圓C周長的寸，求直線的方程.2 2【解】由x+y+ 10 x+ 10y= 0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(X+ 5)2+ (y+ 5)2= 50.所以圓 C 的圓心坐標(biāo)為 Q 5, 5),又圓N的圓心在直線y=x上，所以當(dāng)兩圓外切時，切點為O設(shè)圓N的圓心坐標(biāo)為(a,a),則有a02+ad2=a)2+a2,解得a= 3,所以圓N的圓心坐標(biāo)為(3,3)，半徑r= 3 2, 故圓N的方程為(x 3)2+ (y 3)2= 18.因為圓弧PQ恰為圓C周長的1所以CPL CQ所以點C到直線m的距離為 5.當(dāng)直線m的斜率不存在時，點C到y(tǒng)軸的距離為 5，直線m即