兩類曲線積分與格林公式習(xí)題課63637

1、兩類曲線積分習(xí)題課兩類曲線積分習(xí)題課曲線積分曲線積分對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分格林公式格林公式曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān)1.1.定義定義：第一類曲線積分（又稱對(duì)弧長的曲線積分）：第一類曲線積分（又稱對(duì)弧長的曲線積分）iiniilsfdsyxf ),(lim),(10 2.存在條件：存在條件：.),(,),(存在存在對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí)在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng) ldsyxflyxf3.推廣推廣曲線積分為曲線積分為上對(duì)弧長的上對(duì)弧長的在空間曲線弧在空間曲線弧函數(shù)函數(shù) ),(zyxf.),(lim),(10iniiiis

2、fdszyxf 一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容第一類曲線積分的計(jì)算第一類曲線積分的計(jì)算)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxllyxfl則則上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在在其中其中的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù)在曲線弧在曲線弧設(shè)設(shè);. 1 一定要小于上限一定要小于上限定積分的下限定積分的下限.,),(. 2而是相互有關(guān)的而是相互有關(guān)的不彼此獨(dú)立不彼此獨(dú)立中中yxyxf推廣推廣)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf.)(:)2

3、(dycyxl .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcl )(dc 特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyl .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbal )(ba 幾何與幾何與物理意義物理意義,),()1(的線密度時(shí)的線密度時(shí)表示表示當(dāng)當(dāng)lyx ;),( ldsyxm ;,1),()2( ldslyxf弧長弧長時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),),(),()3(處的高時(shí)處的高時(shí)柱面在點(diǎn)柱面在點(diǎn)上的上的表示立于表示立于當(dāng)當(dāng)yxlyxf.),( ldsyxfs柱面面積柱面面積sl),(yxfz ,)4(軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸及軸及曲線弧對(duì)曲線弧對(duì)yx.,22 lylxdsxidsyi 曲線弧的重心

4、坐標(biāo)曲線弧的重心坐標(biāo))5(., lllldsdsyydsdsxx 存在條件：存在條件：.,),(),(第二類曲線積分存在第二類曲線積分存在上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí)在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng)lyxqyxp llldyyxqdxyxpdyyxqdxyxp),(),(),(),(.,jdyidxdsjqipf 其中其中. ldsf第二類曲線積分（又稱對(duì)坐標(biāo)的曲線積分第二類曲線積分（又稱對(duì)坐標(biāo)的曲線積分）推廣推廣 空間有向曲線弧空間有向曲線弧.),(lim),(10iiiniixpdxzyxp . rdzqdypdx.),(lim),(10iiiniiyqdyzyxq .),(lim),(10iiiniiz

5、rdzzyxr 性質(zhì)性質(zhì).,)1(2121 lllqdypdxqdypdxqdypdxlll則則和和分成分成如果把如果把則則有向曲線弧有向曲線弧方向相反的方向相反的是與是與是有向曲線弧是有向曲線弧設(shè)設(shè),)2(lll lldyyxqdxyxpdyyxqdxyxp),(),(),(),( 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān)曲線的方向有關(guān). .第二類曲線積分的計(jì)算第二類曲線積分的計(jì)算,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在則曲線積分則曲線積分且且續(xù)導(dǎo)數(shù)續(xù)導(dǎo)數(shù)一階連一階連為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有及及在以在以運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到

6、終點(diǎn)沿沿的起點(diǎn)的起點(diǎn)從從點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)到到變變單調(diào)地由單調(diào)地由當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù)的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為續(xù)續(xù)上有定義且連上有定義且連在曲線弧在曲線弧設(shè)設(shè) ldyyxqdxyxpttttblalyxmttytxllyxqyxp 定理定理特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyl，終點(diǎn)為，終點(diǎn)為起點(diǎn)為起點(diǎn)為 .)()(,)(,dxxyxyxqxyxpqdypdxbal 則則.)(:)2(dcyyxxl，終點(diǎn)為，終點(diǎn)為起點(diǎn)為起點(diǎn)為 .),()(),(dyyyxqyxyyxpqdypdxdcl 則則dttttqtttpdyyxqdxyxpl)()(),()()(),(),(),( 且且.,)()()(:)3(

7、終點(diǎn)終點(diǎn)起點(diǎn)起點(diǎn)推廣推廣ttztytx dtttttrttttqttttprdzqdypdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 格林公式格林公式2.2.它是它是newton-leibniznewton-leibniz公式在二重積分情形下的推廣公式在二重積分情形下的推廣.1.green公式的實(shí)質(zhì)：溝通了沿閉曲線的第二類曲線公式的實(shí)質(zhì)：溝通了沿閉曲線的第二類曲線積分與該閉曲線所圍的閉區(qū)域上的二重積分的之間積分與該閉曲線所圍的閉區(qū)域上的二重積分的之間的聯(lián)系。的聯(lián)系。定理定理 設(shè)設(shè)d d 是是單連通域單連通域 , ,),(),(yxqyxp在在d d 內(nèi)內(nèi)具有具有一階連續(xù)偏導(dǎo)

8、數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)(1)沿沿d d 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線l l, ,有有.0dd lyqxp(2)(2)對(duì)對(duì)d d 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 l l, ,曲線積分曲線積分(3)yqxpdd ),(yxuyqxpyxudd),(d (4)4)在在d d 內(nèi)每一點(diǎn)都有內(nèi)每一點(diǎn)都有.xqyp lyqxpdd與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), , 只與起止點(diǎn)有關(guān)只與起止點(diǎn)有關(guān). . 函數(shù)函數(shù)則以下則以下四個(gè)條件等價(jià)四個(gè)條件等價(jià): :在在 d d 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分,即即 ,d22 lyxse計(jì)算計(jì)算,:222ayxl 由圓周由圓周軸軸及及直線直線xxy 在第一象

9、限中所圍圖形的邊界在第一象限中所圍圖形的邊界.ab lyxsed22 boaboa提示提示解解:oa, 0 y oayxsed22xsd01d2 :ab,sin,cos ayax 40 seabyxd22 d40aea xeaxd01 aeaae4 ,0ax xyo例例二、例題二、例題ab:bo,xy seboyxd22xsd11d2 xeaxd222021 ae lyxsed22故故aaaee4)1(2 .220ax xyo例例 lsyx.d)(3其中其中l(wèi)是圓周是圓周.222ryx 解解 llsysxdd3 lsyxd)(3,d lsx對(duì)對(duì)因因積分曲線積分曲線l關(guān)于關(guān)于被積函數(shù)被積函數(shù)x是

10、是l上上0d lsx lsy,d3對(duì)對(duì)被積函數(shù)被積函數(shù)0d3 lsy因因積分曲線積分曲線l關(guān)于關(guān)于3y222ryx 對(duì)稱性對(duì)稱性, ,計(jì)算計(jì)算得得0 是是l上上y軸對(duì)稱軸對(duì)稱,關(guān)于關(guān)于x的奇函數(shù)的奇函數(shù)x軸對(duì)稱軸對(duì)稱,關(guān)于關(guān)于y的奇函數(shù)的奇函數(shù)xyo dds 例例 計(jì)算計(jì)算,)(222dszyxi 其中其中 為球面為球面解解, 1141)21(21:22 zxyx: 20 2)sin2( 2)cos2( 2)sin2( 18d229 20 i d2 cos221 z. 1的交線的交線與平面與平面 zx29222 zyx化為參數(shù)方程化為參數(shù)方程 21cos2 x sin2 y例例 計(jì)算計(jì)算 其中

11、其中l(wèi)為為 ,)()(22 lyxdyyxdxyxi解解圓周圓周: ，方向沿逆時(shí)針，方向沿逆時(shí)針.222ayx ladyyxdxyxi2)()(),20:(sincos: ttaytaxldttt)cos(sin2202 dt 20 2 dtatatatatatata 202)cos)(sincos()sin)(sincos(方向。方向。為半徑的圓周，逆時(shí)針為半徑的圓周，逆時(shí)針）為圓心，）為圓心，：以（：以（，：計(jì)算：計(jì)算例例)1(01422 rrlyxydxxdyl解解xqyxxyypyx 22222)4(4)0 , 0(),(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)04,1)1(22 yxydxxdyr時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)取逆時(shí)

12、針方向。取逆時(shí)針方向。內(nèi)，內(nèi)，在在且足夠小，使得且足夠小，使得其中其中：作曲線作曲線時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)clcrryrxcr, 0,sin2cos,1)2( cclyxydxxdyyxydxxdy2222原式原式 drrrrr 2024)sin(sin2cos2cos0 2021d 例例問問 是否為全微分式是否為全微分式?yyxexxeyyd)2(d)( 求其一個(gè)原函數(shù)求其一個(gè)原函數(shù).如是如是,解解在全平面成立在全平面成立.xqeypy 所以上式是所以上式是全微分式全微分式. 222yxexy 因而一個(gè)原函數(shù)是：因而一個(gè)原函數(shù)是：全平面為單連通域，全平面為單連通域，yyxexxeyxuyyxyd)2(d

13、)(),(),()0 , 0( yyxeyyd )2(0 xxexd )(00 xyo法一法一 )0 ,(x(x,y)這個(gè)原函數(shù)也可用下法這個(gè)原函數(shù)也可用下法“分組分組”湊出湊出: 222dyxxey222),(yxexyxuy yyxexxeyyd)2(d)( )dd(yxexeyy )(dyxe )d2d(yyxx 222dyx),(yxu法二法二因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)u滿足滿足pxexuy 故故yy2)( 從而從而所以所以,cyxxeyxuy 222),(問問 是否為全微分式是否為全微分式?yyxexxeyyd)2(d)( 求其一個(gè)原函數(shù)求其一個(gè)原函數(shù).如是如是, xxeuyd )(22xxe

14、y )(y 由此得由此得yxey2 y的待定函數(shù)的待定函數(shù)法三法三( )ye xy uy 2( )2 dyy yyc 。試求試求恒有恒有任意任意與積分路徑無關(guān)，且對(duì)與積分路徑無關(guān)，且對(duì)且曲線積分且曲線積分導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)，平面上有連續(xù)的一階偏平面上有連續(xù)的一階偏在在例設(shè)函數(shù)例設(shè)函數(shù)),(),(2),(2,),(2),(), 1()0,0()1 ,()0,0(yxqdyyxqxydxdyyxqxydxtdyyxqxydxxoyyxqttl xypxqxyyxp22),( 件得件得，由積分與路徑無關(guān)條，由積分與路徑無關(guān)條解法一：設(shè)解法一：設(shè))(),(2ycxyxq )1 ,()0,0(),(2tdyyx

15、qxydx 102102)()(dyyctdyyct ), 1()0,0(),(2tdyyxqxydx ttdyyctdyyc002)()(1 tdyyctdyyct0102)()(由題設(shè)得：由題設(shè)得：)(12tctt 求導(dǎo)得：求導(dǎo)得：兩邊對(duì)兩邊對(duì). 12),(12)(2 yxyxqttc),(,2),(),(2yxqyuxyyxpxuyxu 使使存在函數(shù)存在函數(shù)由積分與路徑無關(guān)，由積分與路徑無關(guān)，解法解法)(2),(2yfyxxydxyxu )(),(2yfxyxq 由已知積分等式得：由已知積分等式得：)()1(), 1()1 ,(2tftfttutu 12)()(12 ttftftt求導(dǎo)得

16、：求導(dǎo)得：兩邊對(duì)兩邊對(duì). 12),(2 yxyxq。功最大？并求此最大功功最大？并求此最大功所做的所做的一點(diǎn)時(shí)，使一點(diǎn)時(shí)，使的第一卦限部分上的哪的第一卦限部分上的哪沿直線移動(dòng)到曲面沿直線移動(dòng)到曲面原點(diǎn)原點(diǎn)，問將質(zhì)點(diǎn)從，問將質(zhì)點(diǎn)從已知力場已知力場例例fczbyaxokxyjzxiyzf1.222222 ),(wvua一點(diǎn)為一點(diǎn)為設(shè)曲面上設(shè)曲面上 oaxydzzxdyyzdxw )(000000:twzvyuxoa 解：解： oaxydzzxdyyzdxw )(000000:twzvyuxoa 10:,: twtzvtyutxoa 10)()()()()()(wtdvtutvtdutwtutdwt

17、vt 1023dttuvwuvw )1(222222 cwbvauuvwf ),3,3,3(cba.33abcw )1(222222 cwbvauuvwf 1020202222222222cwbvaucwuvfbvuwfauvwfwvu 222222cwbvau 31 選擇題選擇題：).(),()()()(),()()()(:. 1 ldxyxfabbattytxl則則，終點(diǎn)為，終點(diǎn)為中始點(diǎn)為中始點(diǎn)為的有向光滑曲線段，其的有向光滑曲線段，其是一連接兩點(diǎn)是一連接兩點(diǎn)已知已知 dttttfdtdtttfcdtttfbdtttfa)()(),(.)()(),(.)(),(.)(),(.d.),(),(. 3）徑無關(guān)的充要條件是（徑無關(guān)的充要條件是（域內(nèi)與路域內(nèi)與路在在分分連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積上具有一階上具有一階在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)dqdypdxdyxqyxpl ypxqdxpyqcxpyqbypxqa .d).(,). 222的圓周，則積分是的圓周，則積分是半徑為半徑為是圓心在原點(diǎn)、是圓心在原點(diǎn)、其中其中（曲線積分曲線積分acdsyxc 33324 .