直覺 證明數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的一種有效方法

1、“直覺+證明”數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的一種有效方法朱成杰數(shù)學(xué)工作室學(xué)員 趙 偉人們認(rèn)識事物是一個(gè)復(fù)雜的過程，需要經(jīng)歷若干階段才能逐漸透過現(xiàn)象認(rèn)識事物的本質(zhì)，認(rèn)識的最初階段只能根據(jù)已有的部分事實(shí)及結(jié)果，運(yùn)用某種判斷推理的思維方法，對某類現(xiàn)象提出一種推測性看法，這種推測性看法就是直覺。數(shù)學(xué)直覺就是依據(jù)某些已知的事實(shí)和數(shù)學(xué)知識，對未知量及其關(guān)系作出的一種似真判斷。直覺思維如同邏輯思維與形象思維一樣，是人類的基本思維形式。同時(shí)直覺思維也是數(shù)學(xué)思維的重要內(nèi)容之一，如歐氏幾何的建立就充分體現(xiàn)了“依據(jù)直覺建立理論”的古希臘精神，把幾何學(xué)公理看作是不證自明的事實(shí)，是古希臘哲學(xué)家、科學(xué)家共有的直覺觀念。同樣，人們正是基

2、于直覺認(rèn)為歐幾里得的第五公設(shè)敘述冗長，并且在整個(gè)幾何原本中僅使用一次，因此懷疑第五公設(shè)可以從其他命題邏輯地推導(dǎo)出來，但經(jīng)過無數(shù)人的努力都以失敗告終。意大利教士、教授薩凱里，憑借直覺考慮圖-1中的四邊形ABCD，A=B=，且AD=BC，對于C和D的大小，從邏輯上考慮共有三種假設(shè)可選擇：(1)C和D是直角(直角假設(shè))；(2)C和D是銳角(銳角假設(shè))；(3)C和D是鈍角(鈍角假設(shè))。在直角假設(shè)下得到的就是歐氏幾何。薩凱里在銳角的假設(shè)下曾經(jīng)推導(dǎo)出一系列有價(jià)值的定理(不同于歐氏幾何的一種全新的幾何定理)，由于薩凱里不敢越“雷池一步”，他失去了發(fā)現(xiàn)新的幾何的機(jī)會。年輕的俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基則在銳角假設(shè)下

3、大膽地提出了羅氏平行公理，從而創(chuàng)立了羅氏幾何。德國數(shù)學(xué)家黎曼則從鈍角假設(shè)出發(fā)建立了黎曼幾何。可見，沒有大膽的直覺行為就不會產(chǎn)生羅氏幾何和黎曼幾何。同樣，直覺思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著重要的作用。兒童喜歡通過直覺提出問題，并運(yùn)用已有的知識和判斷對問題提出推測性的看法，教師只要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步尋求嚴(yán)格的邏輯證明，就可以達(dá)到進(jìn)行數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)之目的。可見，培養(yǎng)兒童的直覺思維能力也是數(shù)學(xué)教育的一項(xiàng)重要內(nèi)容，以“直覺證明”的形式開展數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)，對全面提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神是極其重要的。一、直覺是開展數(shù)學(xué)探究活動的切入點(diǎn)1、直覺思維符合學(xué)生的思維習(xí)慣學(xué)生的思維想象豐富、自由度大，他們不受

4、各種已有的條款、框框束縛，敢于向?qū)＜?、?quán)威人士、教科書提出質(zhì)疑。具體表現(xiàn)在：一方面，學(xué)生對新事物有著強(qiáng)烈的好奇心，喜歡展開無邊無際的想象；另一方面，由于學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)存在缺陷，只具備初步的邏輯思維能力，有時(shí)他們能模糊地感覺到數(shù)學(xué)問題的某種關(guān)系，但又說不清道不明。學(xué)生思維的這些特點(diǎn)正好與直覺思維的普遍性、模糊性相適應(yīng)，數(shù)學(xué)教學(xué)就要抓住這個(gè)有利時(shí)機(jī)，對學(xué)生進(jìn)行直覺思維能力的培養(yǎng)，并根據(jù)不同的學(xué)習(xí)材料有意識地誘發(fā)其直覺意識，訓(xùn)練其直覺思維的方法，使學(xué)生養(yǎng)成“直覺證明”的言必有理、言必有據(jù)的思維習(xí)慣。2、直覺是開展數(shù)學(xué)探究活動的切入點(diǎn)問題是數(shù)學(xué)的心臟，是數(shù)學(xué)探究活動的切入點(diǎn)，是數(shù)學(xué)不斷向前發(fā)展的原動力

5、。當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)理論認(rèn)為：學(xué)習(xí)是主體主動的意義建構(gòu)，是主體在頭腦里建立和發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。直覺思維是在建構(gòu)活動中，主體的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)對當(dāng)前面臨的新知識、新問題進(jìn)行的預(yù)測性的重組、整合的過程，它使外部知識與內(nèi)部創(chuàng)造的不平衡達(dá)到暫時(shí)的平衡。如果數(shù)學(xué)探究活動中缺少了直覺，數(shù)學(xué)材料就不能形成主體的心理意義，從而造成意義建構(gòu)失敗，所以，直覺是開展數(shù)學(xué)探究活動的切入點(diǎn)。直覺是提出問題的原動力。二、培養(yǎng)直覺思維就是培養(yǎng)兒童的創(chuàng)新精神直覺思維和邏輯思維都能獲得新知識，但邏輯思維只能在不超出前提知識的條件下得到一系列結(jié)論，他往往受到傳統(tǒng)思維方式的左右，在遇到需要突破傳統(tǒng)觀念的課題時(shí)，就顯得無能為力。而直覺思維

6、具有反常規(guī)的獨(dú)創(chuàng)性，具有突破傳統(tǒng)思路的開拓性。直覺思維是一種合情推理。數(shù)學(xué)教學(xué)必須注重知識的發(fā)生過程，體現(xiàn)學(xué)生的主體性，讓學(xué)生感受再創(chuàng)造的樂趣，教學(xué)中必須滲透“直覺證明”的發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的科學(xué)思維。問題一直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，請?jiān)O(shè)計(jì)一種方法，將所有的整點(diǎn)染色，每一整點(diǎn)染成白色、紅色、黑色，使得：(1)每一種顏色的點(diǎn)出現(xiàn)在無窮多條平行于縱軸的直線上；(2)對于任意的白點(diǎn)A、紅點(diǎn)B、黑點(diǎn)C，總可以找到一個(gè)黑點(diǎn)D，使ABCD為一個(gè)平行四邊形，證明你設(shè)計(jì)的方法符合上述要求。課堂上氣氛活躍，學(xué)生們紛紛議論，動手比劃，認(rèn)為染黑色的點(diǎn)應(yīng)盡可能地分布廣些，同時(shí)要使任意白、黑、紅三點(diǎn)

7、不共線，聯(lián)系平行四邊形具有中心對稱的特點(diǎn)，學(xué)生從特殊位置入手，設(shè)計(jì)出了多種符合要求的方案：把在X軸正半軸上的整點(diǎn)(包括原點(diǎn))染成紅色，X軸負(fù)半軸上的整點(diǎn)染成白色，其余各點(diǎn)染成黑色。就能滿足題意。問題二如圖-2，BP=CQ，A為線段BC外一動點(diǎn)，且BAP=CAQ，問ABC是什么三角形？試證明你的結(jié)論。很多學(xué)生憑借直覺就能猜測ABC是等腰三角形，AB=AC。在大力培養(yǎng)創(chuàng)新精神的今天，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維就顯得尤為重要，因?yàn)橹庇X思維可使得學(xué)生智力得到發(fā)展，尤其是觀察力、想象力、創(chuàng)造性思維能力得到迅速提高。但要注意兩種現(xiàn)象：(1)直覺不可能完全正確，有可能導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論，因此，由直覺導(dǎo)出的結(jié)論要通過邏輯證

8、明才能進(jìn)一步肯定其正確性；(2)不能以直覺代替嚴(yán)格的邏輯證明。例如在學(xué)習(xí)三角形面積公式S=時(shí)，讓學(xué)生探索如下問題(由著名的蝴蝶定理改編)，如圖-3一個(gè)圓內(nèi)有三條弦AB、CD、EF交于圓內(nèi)一點(diǎn)O，DE與CF截AB于G、H，如果O平分AB，試問O點(diǎn)是否平分GH？并證明你的結(jié)論。學(xué)生憑借直覺，紛紛猜測點(diǎn)O應(yīng)是線段GH的中點(diǎn)。老師進(jìn)一步設(shè)問，能否肯定點(diǎn)O就是中點(diǎn)，試對你的猜想加以證明？經(jīng)過15分鐘的分組討論以后，奇跡發(fā)生了，一個(gè)小組的同學(xué)舉手交流，借助面積公式和相交弦定理，可以這樣推出結(jié)論：設(shè)FHO的面積為，DGO的面積為，CHO的面積為，EGO的面積為。根據(jù)同一圓中同弧或等弧所對的圓周角相等，又可得出FCO=DEO(=)，CFO=EDO(=)，由對頂角相等有FOH=GOE(=)，DOG=COH(=)。于是，再利用恒等式：(對于同一三角形