用直線與圓的位置關(guān)系解中考題

1、用直線與圓的位置關(guān)系解中考題江蘇省邳州市明德實(shí)驗(yàn)學(xué)校 劉超設(shè)O的半徑為r,圓心到直線的距離為d，則直線與圓的位置關(guān)系有以下三種：（1）直線與圓相交 dr；（2）直線與圓相切 dr；（3）直線與圓相離 dr；其中直線與圓相切，除上述dr的判定外，還有切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。下面以近兩年的中考題為例說(shuō)明它們的應(yīng)用。例1、（2003年江蘇省揚(yáng)州市中考題）如圖，BD是O的直徑，E是O上的一點(diǎn)，直線AE交BD的處長(zhǎng)線于A點(diǎn)，BCAE于C點(diǎn),且CBE=DBE.（1）求證：AC是O的切線 （2）略分析與證明：由條件知，需構(gòu)造過(guò)E點(diǎn)的半徑，連結(jié)OE，則EC O OE

2、B=OBE ， 而CBE=DBE=OEBOEBC，又BCAEADBOEAC，AC是O的切線。評(píng)：本題已知直線過(guò)圓上某一點(diǎn)（通常稱(chēng)之為“準(zhǔn)切點(diǎn)”），所以只需證明該直線垂直于過(guò)這一點(diǎn)的半徑，為此需連結(jié)圓心和準(zhǔn)切點(diǎn)，然后證垂直，可總結(jié)為：有“準(zhǔn)切點(diǎn)”，用判定定理。例2、（2001年上海市中考題）如圖，在RtABC中, B=90°, A的平分線交于點(diǎn)D,E為AB上的一點(diǎn),DE=DC,以D為圓心,DB的長(zhǎng)為半徑作D(1) 求證：AC是D的切線, （2）略。A分析與證明：由條件知，是判定的第二種情況（無(wú)準(zhǔn)切點(diǎn)），需構(gòu)造圓心到直線的距離d，為此需過(guò)圓心D作DFAC，F(xiàn)為垂足， DDD E F AD

3、是B AC的平分線， ABC=90°，DB=DF，DB是D的半徑，BCAC是D的切線評(píng)：本題為無(wú)準(zhǔn)切點(diǎn)的情況，需用dr來(lái)證明，為此需作出d?？煽偨Y(jié)為：無(wú)準(zhǔn)切點(diǎn)，用dr證明。例3、（2002年山西中考題）如圖，MN表示某引水工程的一段設(shè)計(jì)路線，從M到N的走向?yàn)槟掀珫|30°，在M的南偏東60°方向上有一點(diǎn)A，以A 為圓心，500m為半徑的圓形區(qū)域?yàn)榫用駞^(qū)，取MN上另一點(diǎn)B，測(cè)得BA的方向?yàn)槟掀珫|75°，已知MB=400m，通過(guò)計(jì)算回答，如果不改變方向，輸水路線是否會(huì)穿過(guò)居民區(qū)？北東MAB C N分析與解：要判斷輸水路線是否會(huì)穿過(guò)居民區(qū)，只要判斷以A為圓心、以

4、500m為半徑的圓與MN的位置關(guān)系即可，為此需過(guò)A點(diǎn)作ACMN，C為垂足（構(gòu)造d），比較d與r的大小關(guān)系。由條件可知：AMC=30°，ABC=45°，AC=BC，在RtACM中，tan30°=，MC=，又MB=MCBC=MCAC=400AC=400，AC=200（+1）500，即dr，A與MN相離，輸水路線不會(huì)穿過(guò)居民區(qū)。例4、（2001年長(zhǎng)沙市中考題）由于過(guò)渡彩伐森林和破壞植被，使我國(guó)許多地區(qū)頻頻遭受沙塵暴的侵襲。近日，A市氣象臺(tái)則得沙塵暴的中心在A市的正西方向300千米的B處，以10千米小時(shí)的速度向東偏南30度的BF方向移動(dòng)，距沙塵暴中心200千米的范圍是受沙

5、塵暴嚴(yán)重影響的區(qū)域（1）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明A市必然會(huì)受到這次沙塵暴的嚴(yán)重影響；（2）計(jì)算A市受沙塵暴影響的時(shí)間。 A 解析：（1）如圖，過(guò)A作AEBF， BEEE足為E，在RtABE中，AE=AB·sin30。E=300×=150（千米），F(xiàn)150200，即dr，A 與BF相交，A市必然會(huì)受到這次沙塵暴的嚴(yán)重影響。（2）略。鞏固練習(xí)：1、如圖，AB為O的直徑，AB=AC，BC與O相交于點(diǎn)D，DEAC，垂足為E，求證：DE是O的切線。 AOECDB2、如圖，ABC中, B=30°,O為AB上的一點(diǎn),且AB=3AO,以O(shè) 為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A 求證: O與BC相切 OACB3、（2002年貴陽(yáng)市中考題）如圖，A、B兩座城市相距離100千米，現(xiàn)計(jì)劃在這兩座城市之間修筑一條高級(jí)公路（即線段AB），經(jīng)測(cè)量，森林保護(hù)區(qū)中心P點(diǎn)在A城市的北偏東30