(2015)圓的有關(guān)性質(zhì)練習及答案

1、【知識要點】圓的有關(guān)性質(zhì)一、選擇題1 平行四邊形的四個頂點在同一圓上，則該平行四邊形一 定是（）A.正方形 B.菱形C矩形D.等腰1.圓的定義：（1）動態(tài)定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端 點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點 A所形成的圖形叫做圓。（2）靜態(tài)定義：在平面內(nèi)到定點（圓心O）的距離等于定長（半徑r）所有點的集合叫做圓：2.為（2014?畢節(jié)地區(qū)）如圖，已知O24,6則點O到AB的距離是（B 5 C 4O的半徑為）D 313,弦AB長2.圓的相關(guān)概念弦：直徑：弧：半圓弧：優(yōu)弧：劣?。旱然。和膱A:3.垂徑定理及推論：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。由此得到推論：（1）平

2、分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所 對的兩條弧。AB是O曲徑，則/ AOD等于（）140 ° D 120 °4.（2015湖南常德）如圖，四邊形形，已知/ BOD= 100B 80A、50ABCD為O O的內(nèi)接四邊，則/ BCD的度數(shù)為（）C 100°D 130°（2 ）弦的垂直平分線，經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。4.圓的軸對稱性：（1）圓是軸對稱圖形；（2）經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱 軸；（3）圓的對稱軸有無數(shù)條。5.圓的旋轉(zhuǎn)不變性圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形6 .圓心角、弧、弦關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧

3、相等，所對的 弦相等，所對弦的弦心距相等。7 .弧的度數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù)。8.圓周角定理及推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，并等于這條弧所對的圓心角的一半 .推論：（1）半圓（或直徑）所對的圓周角是直角.90 的圓周 角所對的弦是直徑.（2）三角形的一邊上的中線等于這邊的一半，則這個三角 形是直角三角形9 :三角形：圓內(nèi)接三角形；圓：三角形的外接圓 四邊形：圓內(nèi)接四邊形圓：四邊形的外接圓定理：圓內(nèi)接四邊形的對角互補【基礎(chǔ)和能力訓練】AC(2015C上海）如圖，已知在O O中，AB是弦，半徑 OCL5.AB,垂足為點D,要使四邊形 OACB為菱形，還需要添加一個 條件，這

4、個條件可以是（A、AD= BD B、OD= CD)C、/ CAD=/ CBD D/ OCAf/ OCB6.如圖：是小明完成的上任取一點 C引弦CD丄AB.當C點在半圓上移動時（C點不 與A、B重合），/ OCD的平分線與O O的交點卩必（ ）A。平分弧ABC .三等分弧ABA作法是：取O O的直徑AB，在O OB。到點D和直徑AB的距離相等D.到點B和點C的距離相等7 .如圖，量角器外沿上有40 °則/ 1的度數(shù)為（A 10 B 15 CA、B兩點，它們的讀數(shù)分別是 70 ° ）度25D 308. 下列語句中正確的有（相等的圓心角所對的弧相等圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是

5、它的對稱軸 相等的兩條弧是等??；等弧所對的圓心角相等A.3個 B.2個 C.1個 D.以上都不對9. （2015湖北荊州）如圖，A,B,C是O O上三點，/ ACB=25 ° 則/ BAO的度數(shù)是（ ）A . 55 ° B . 60 ° C .）平分弦的直徑垂直于弦長度70(317.（浙江省紹興市）如圖，已知點A （0, 1） , B （0, 1）, 以點A為圓心，AB為半徑作圓，交X軸的正半軸于點 C,則 / BAC等于D.無法確定10. （2015?甘肅蘭州，）如圖，經(jīng)過原點O的OP與X、y軸 分別交于A、B兩點，點C是劣弧兄上一點，貝y / ACB =A.8

6、0 ° B. 90 ° C. 10018.（2015?江蘇泰州，）如圖，O O的內(nèi)接四邊形 ABCD中, / A=115° ,貝y / BOD 等于；.#11 .（ 2015?威海）如圖，已知/ BAC=44，則/ CAD的度數(shù)為（A.AB=AC=AD CBD=2Z BDC )19.如圖，點A B、C D在O O上，0點在/ D的內(nèi)部，四邊形OAB（為平行四邊形，則/ OAD# OCD= .10#12.如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形 的面積為16,則該半圓的半徑為（）.A. （4 屈 B . 9 C45 D . 6血20. （2015貴州六盤水）趙

7、洲橋是我國建筑史上的一大創(chuàng)舉， 它距今約1400年，歷經(jīng)無數(shù)次洪水沖擊和8次地震卻安然無恙。如圖10,若橋跨度AB約為40米，主拱高CD約 米，則橋弧AB所在圓的半徑 R =米.二.填空13. 一個點與定圓上最近點的距離為4cm,與最遠點的距離為9cm,則圓的半徑是.（2015?浙江衢州）一條排水管的截面如圖所示，已知排14. （2015?江蘇南昌,）如圖，點A, B, C在O 0上，CO的延長 線交AB于點D,/ A=50°，/ B=30°則/ ADC的度數(shù)為 .15. （2015?江蘇南京）如圖，在OO的內(nèi)接五邊形 ABCDE中, / CAD=35° ,貝U

8、/ B+ / E=.21.水管的半徑= ,水面寬血= 1.2詼,某天下雨后, 管水面上升了 0.2戰(zhàn)，則此時排水管水面寬CD等于 22.（ 2014?菏澤）如圖，在 ABC中/A=25 °以點C為圓心，BC為半徑的圓交 AB于點D，交AC于點E,fl©16. （2015?江蘇徐州）如圖，AB是O O的直徑，弦CD丄AB, 垂足為 半徑為23如圖O O中，弦AB, DC的延長線相交于點 P，如果AOD 12（5,BDC 25°，那么 P三解答題24. AB 為O O 的弦，P 是 AB 上一點，AB=10 cm , OP=5 cm, PA=4 cm，求O O的半徑.

9、27.如圖,有一座拱橋是圓弧形，它的跨度為（AB） 60米,拱 高18米，當洪水泛濫到跨度（）只有30米時,要采取緊急措施，若拱頂離水面只有 4米時，是否要采取緊急措施 ？£25.如圖，AB為OO的直徑，弦CD!AB垂足為點 E. K為弧AC上一動點，AK DC的延長線相交于點 F,連接CK KD求證：/ AKD=/ CKF;28.如圖，O O是 ABC的外接圓，AB為直徑,CD丄AB于D，且交O O于G, AF交CD于E.（1）求/ ACB的度數(shù)；（2）求證：AE = CE;AC = CF,26. 在半徑為1的O O中，弦AB、AC分別是、仃、J3 , 求/ BAC的度數(shù)的多少29

10、.（ 2015?浙江濱州）如圖,OO的直徑AB的長為10,弦 AC的長為（1）求?。?）求弦5, / ACB的平分線交O O于點D.BC的長；BD的長.S/ D0E=2 / ACD=60 ./ 0D=0E , 0DE是等邊三角形.6®-0A四、附加題30. (2014年天津市)已知O 0的直徑為10,點A,點B,點 C在O 0 上,/ CAB的平分線交O 0于點D .(1) 如圖，若 BC為O 0的直徑，AB=6，求AC , BD , CD的長；(2) 如圖，若/ CAB=60，求BD的長.解：()如罔BCKDO的直徑, 化 Z CAE=Z BDC=W.，- 直角ACAB 中，BC=

11、Ub 汽*"由勾般走tJi得到：Au二寸恪- AbAjio，1.D 平分/ CAB，在SftA BDC中，BO-10 JCAB心盼易求BEuCM皿5(II )如圖，連摟OB，OD./ AB 平分Z CAE，EZ CAB =60=->32.如圖,AB是圓0的直徑,C是弧BD的中點，垂直AB,垂足為E, BD交 CE于點 F,(1)求證：CF=BF若AD=2，圓0的半徑為3，求BC的長 證明：連接AC,則/ ACB=90，易證/ BCF=/ BAC C是弧BD的中點弧 BC弧 CD/ BAC玄 CBF/ CBF=Z BCF BF=CF連接0C,交BD于點M C是弧BD的中點 0C

12、丄 BD則 0M=1/2AD =1 CM =2根據(jù)勾股定理BD=4/2 BM=2/2/ CM=2 BC=2/ 32/. Z DOB=V.又7 OB=OD-/. AOBD是導(dǎo)過三角形，?. BD=OB=OD.T © O的盲徑対! ffl OB=5j?. fiD=5.30.如圖，已知 ABC是等邊三角形，以 BC 交 AB、AC 于 D、E.(1)求證： DOE是等邊三角形.若/ A=60 ° ,AB豐AC ,則(1)中結(jié)論是否成立？如果成立, 請給出證明；如果不成立，請說明理由解：(1 ) BAC是等邊三角形，/ B= / C=60 ./ OD=OB=OE=OC , OBD和

13、OEC都是等邊三角形./ BOD= / COE=60 ./ DOE=60 . ODE是等邊三角形.(2)結(jié)論(1)仍成立.證明：連接CD,/ BC是直徑，/ BDC=90 ./ ADC=90 ./ A=60° ,/ ACD=30 .為直徑的O33.已知：等邊 ABC內(nèi)接于O 0,點P是劣弧BC上的一 點(端點除外)，延長 BP至D，使BD AP，連結(jié)CD .(1) 若AP過圓心0 ,如左圖，請你判斷 PDC是什么三 角形？并說明理由.(2) 若AP不過圓心0，如右圖，PDC又是什么三角形？ 為什么？解：(1).公ABC為等腰三角形， AC=BC , / BAC=60 , AP過圓心0

14、, AP平分/ CAB , AP為直徑，/ CAP=30 , / ACP=90 , CP=APH 10=5 (cm),在 ACAP 和 CBD 中CAP CBD , CP=CD ,./ CPD= / CAB=60 , PCD為等邊三角形,- CD=PC=5cm ;/ PC=DC PDC為等邊三角形.(2)先證APC BDC(過程同上) PC=DC / / BAP+ / PAC=60 ° / / BAP= / BCP / PAC= / PBC / CPD= / BCP+ / PBC=/ BAP+ / PAC=60【基礎(chǔ)和能力訓練】圓的有關(guān)性質(zhì)一、選擇題【知識要點】1平行四邊形的四個頂點

15、在同一圓上，則該平行四邊形一 定是（C ） A.正方形 B.菱形 C.矩形D.等腰1.圓的定義：（1）動態(tài)定義：在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端 點0旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點 A所形成的圖形叫做圓。（2）靜態(tài)定義：在平面內(nèi)到定點（圓心0）的距離等于定長（半徑r）所有點的集合叫做圓：2. （2014?畢節(jié)地區(qū)）如圖，已知O O的半徑為13,弦AB長 為24,則點O到AB的距離是（B ）A2.圓的相關(guān)概念弦：直徑：?。喊雸A弧：優(yōu)?。毫踊。旱然。和膱A:B（2014?珠海）如圖，線段AB是O O的直徑,3.垂徑定理及推論：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。由此得到推論：（2）平分弦（不

16、是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所 對的兩條弧。（2 ）弦的垂直平分線，經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。4.弦 CD 丄 AB, / CAB=20° ,則/ AOD 等于（C ）A 160 ° B150 ° C 140 ° D 120 °4. （2015湖南常德）如圖，四邊形形，已知/ BOD= 100ABCD為O O的內(nèi)接四邊，則/ BCD的度數(shù)為（D ）4圓的軸對稱性：（1）圓是軸對稱圖形；（2）經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱 軸；（3）圓的對稱軸有無數(shù)條。5.圓的旋轉(zhuǎn)不變性圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形OCLAB,垂足為點D,要

17、使四邊形 OACB為菱形，還需要添加一個 條件，這個條件可以是（A、AD= BD B、OD= CDB ）C、/ CAD=/ CBD D/ 0CA=/ OCB6 圓心角、弧、弦關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的 弦相等，所對弦的弦心距相等。7 .弧的度數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù)。8.圓周角定理及推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，并等于這條弧所對的圓心角的一半 .推論：（1）半圓（或直徑）所對的圓周角是直角.90 的圓周 角所對的弦是直徑.（2）三角形的一邊上的中線等于這邊的一半，則這個三角 形是直角三角形6.如圖：是小明完成的上任取一點 C引弦CD丄AB.

18、當C點在半圓上移動時（C點不 與A、B重合），/ OCD的平分線與O O的交點 卩必（A ）A。平分弧AB B。到點D和直徑AB的距離相等C 三等分弧AB D.至到點 B和點C的距離相等A:毛7 .如圖，量角器外沿上有40 °則/ 1的度數(shù)為（A 10 B 15 C作法是：取O O的直徑AB，在O OA、B兩點，它們的讀數(shù)分別是 70 ° B ）度25D 309 :三角形：圓內(nèi)接三角形；圓：三角形的外接圓 四邊形：圓內(nèi)接四邊形圓：四邊形的外接圓定理：圓內(nèi)接四邊形的對角互補8下列語句中正確的有（相等的圓心角所對的弧相等）平分弦的直徑垂直于弦圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的

19、對稱軸長度相等的兩條弧是等??；等弧所對的圓心角相等A.3個 B.2個 C.1個D.以上都不對9.（2015湖北荊州）如圖，A,B,C是O O上三點，/ ACB=25 °則/ BAO的度數(shù)是(CA . 55 ° B .6019.如圖，點A B、C D在O O上，O點在/ D的內(nèi)部，四 邊形OABC為平行四邊形，則/ OAD# OCD=_60 _° .10.（ 2015?蘭州,）別交于A、B兩點，A. 80 °經(jīng)過原點 0的OP與x、y軸分如圖，點C是劣弧5!上一點，貝U / ACB=（B ）B.90 ° C. 100D.無法確定#11 .（ 20

20、15?威海）如圖，已知/ BAC=44，則/ CAD的度數(shù)為（A.AB=AC=ADr CBD=2Z BDC B )20. （2015貴州六盤水）趙洲橋是我國建筑史上的一大創(chuàng)舉， 它距今約1400年，歷經(jīng)無數(shù)次洪水沖擊和8次地震卻安然無恙。如圖 米，則橋弧10,若橋跨度 AB約為40米，主拱高CD約 AB所在圓的半徑R=25 米.10nr：R、DC#12.如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形 的面積為16,則該半圓的半徑為（ C ）.A. （4 屈 B . 9 C45 D . 6血二.填空13. 一個點與定圓上最近點的距離為4cm,與最遠點的距離為9cm,則圓的半徑是 2.5或6.5c

21、m.21.（2015?浙江衢州）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA-Am ,水面寬A3 = 1.2/ ,某天下雨后， 管水面上升了 0.2戰(zhàn)，則此時排水管水面寬CD等于1622.（ 2014?菏澤）如圖，在 C為圓心，BC為半徑的圓交ABC中/ A=25 °以點AB于點D，交AC于點E,14. （2015?江蘇南昌，）如圖，點A, B, C在O O 上, CO的延長 線交 AB 于點 D,/A=50°,/ B=30°則/ ADC 的度數(shù)為110° A的度數(shù)為15. （2015?江蘇南京）如圖，在OO的內(nèi)接五邊形 ABCDE 中, / CAD=

22、35° ,貝y / B+ / E= 215,CD=8cm，則 O O 的16. （2015?江蘇徐州）垂足為E，連接AC.如圖，AB是O O的直徑，弦CD丄AB,若 / CAB=22.5以點A為圓心，AB為半徑作圓，交X軸的正半軸于點 C,則 / BAC 等于 60°18.（2015?江蘇泰州，）如圖，O O的內(nèi)接四邊形 ABCD 中, / A=115° 貝U / BOD 等于 _130°°.5023.如圖O 0AOD 12(5,中，弦AB, DC的延長線相交于點BDC 25°，那么 P 35°P，如果解答題AB為直徑，AC

23、 = CF,AF交CD于E.24. AB 為O O 的弦，P 是 AB 上一點，AB=10 cm , OP=5 cm, PA=4 cm，求O O的半徑.25.如圖，AB為OO的直徑，弦CD!AB垂足為點 E. K為弧 AC上一動點，AK DC的延長線相交于點 F,連接CK KD 求證：/ AKD= CKF;證明：連接AD ACV/ CKF是圓內(nèi)接四邊形 / CKF+/ AKC=180 ,/ AKC+/ ADC=180 / CKF/ ADCV AB為O O的直徑，弦BC / ADC/ AKD / AKD/ CKF；28.如圖，O 0是 ABC的外接圓,CD丄AB于D，且交O 0于G,(1) 求/

24、 ACB的度數(shù)；(2) 求證：AE = CE;解：（1）v AB為O O的直徑, / ACB=90 .（2）證明：連接AG ,/ AB為直徑，且AB丄CG , AC=AG , 又 AC=CF , AG=CF ,/ ACG= / CAF , AE=CE .26. 在半徑為1的O O中，弦 求/ BAC的度數(shù)的多少AB、AC分別是血、J3 ,29.( 2015?浙江濱州)如圖，OO的直徑AB的長為10,弦5，/ ACB的平分線交O O于點D.BC的長；BD的長.AC的長為(1) 求弧(2) 求弦27.如圖，有一座拱橋是圓弧形,它的跨度為(AB) 60米,拱)只有30米時,要采取緊解 fl）T竝為O

25、O的直徑，/.ZaCB=ZaDB=90* .在 EtAAEC 中，. T AC 51.cosZBAC=10 2Z0AC=0O" 5高18米，當洪水泛濫到跨度(急措施，若拱頂離水面只有 4米時，是否要采取緊急措施解：連接r OA *設(shè)H的半徑是咪J則ON= ( R.弧眈的長為竺士 =巴龍.ISO ?4米OM= ( R-18垛根據(jù)垂徑定理,得AM斗AA孔米 在直角三甬形AOM中.M0二咪Ag咪OM= ( R18 )米根據(jù)匈股走理，得：於=(R-1B ) '+900躋：R=34 .在直角二角形A'ON中,根據(jù)勾股定理得RN二(詔_ 3()2 = 16; 根據(jù)垂徑走理.得：A

26、事=> 30 .不用采取緊®措施（2）連接0D./ CD 平分/ ACB , / ACD = / BCD, / AOD = / BOD, AD=BD ,/ BAD = / ABD=45°在Rf ABD 中,電皿琴祖"屁解：(1)v BAC是等邊三角形,/ B= / C=60 .四、附加題29. (2014年天津市)已知O O的直徑為10,點A,點B，點C 在O O 上,/(1 )如圖，CD的長；(2 )如圖，CAB的平分線交O O于點D .若 BC為O O的直徑，AB=6，求AC, BD ,若/ CAB=60° 求D圖BD的長.cAn鋼：(I )如

27、圖，一EC是©0的直徑 /. Z CAB=Z BDC=90在頁紅 CAS 電，APN，由筍股走理得到：丸亡二血占%鼻石6匸再AI>平分NCAE'*金UD=BD.在直角ABDC 中，EC=l<b易求BDYD巧近i(n )如圖-連SOB，0D AD 平iiZCABf 業(yè) CAB=60°，2Z DOE=Lr DAEFT.5? OE-OD，A OBD是弄邊三角®,/. BB=OB=OD.*. © O的吏怪用IG：則OB=,，/. BDW*CA0-OD=OB=OE=OC ,. OBD和OEC都是等邊三角形./ BOD= / COE=60 . /

28、 DOE=60 . ODE是等邊三角形.(2)結(jié)論(1 )仍成立. 證明：連接CD ,/ BC是直徑，/ BDC=90 ./ ADC=90 ./ A=60 ,/ ACD=30 ./ DOE=2 / ACD=60 ./ OD=OE , ODE是等邊三角形.ADEC028.如圖,AB是圓O的直徑,C是弧BD的中點，垂直AB,垂足為E, BD交 CE于點 F,(1) 若 CD=6 , AC=8 ,求證：CF=BF求圓O的半徑和CE的長證明：連接AC則/ ACB=90 C是弧BD的中點弧 BC弧 CD/ BAC玄 CBF/ CBF=Z BCF BF=CF連接OC交BD于點M C是弧BD的中點 OC!

29、BD則 OM=1/2AD =1 CM =2根據(jù)勾股定理BD=4/2 BM=2/2,易證/BCF=/ BAC5/327.如圖，已知 ABC是等邊三角形，以 BC為直徑的O 交 AB、AC 于 D、E.(2)求證： DOE是等邊三角形.若/ A=60 ° ,AB豐AC ,則中結(jié)論是否成立？如果成立， 請給出證明；如果不成立，請說明理由.J/ CM=2 BC=2/330.已知：等邊 ABC內(nèi)接于O O,點P是劣弧BC上的一 點(端點除外)，延長 BP至D，使BD AP，連結(jié)CD .(1)若AP過圓心0 ,如左圖，請你判斷 PDC是什么三 角形？并說明理由.(2 )若AP不過圓心O,如右圖，

30、PDC又是什么三角形？為什么？A(1) ABC為等邊三角形 AC=BC又在O O中/ PAC= / DBC / AP=BD APC BDC. PC=DC 又 VAP 過圓心 O, AB=AC ,/ BAC=60 / BAP=1/2 / PAC= / BAC=3O BAP= / BCP=30 °/ PBC= / PAC=30 ° / CPD= / PBC+ / BCP=30 °30 PDC為等邊三角形°60(2)先證 APC BDC(過程同上 PC=DC V / BAP+ / PAC=60 °V / BAP= / BCP / PAC= / PBC

31、 / CPD= / BCP+ / PBC=/ BAP+ / PAC=60V PC=DC PDC為等邊三角形.1.如圖，已知 CA=CB=C過三 求證：CF平分角BCD點A,C,D的Q o交AB于點F.A證明：連接AD CA=CP/ =/ CADV/ D=/ CFA/ CAD/ CFAV/ CFA/ B+/ FCB31.如圖， ABC是O O的內(nèi)接三角形，AC O O中弧AB上一點，延長 DA至點E，使CE(1)求證：(2 )若 AC證明：(1 ) CA=CB 弧 CA=< CB / CDEM CAB又 CE=CD CA=CB/ ACB= ECD, / ECA= DCB又，CE=CD,CA

32、=CB CAEA CBD( SAS AE=BD,(2)由(1) AE=BDAD+BD=AD+AE=DE/ ACB= ECD=90，即為等腰 RTA CED AD+BD=AD+AE=DE AD BD 唸DAE BD ;BC，求證：AD BD 72CD BC , D 為 CD . / CAF/ FAD/ B+/ FCBV CA=CB / CAF/ B, / FAD/ FCB V/ FAD/ FCD / FCB/ FCD CF平分/ BCD2.如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于圓，對角線 AC與BD相交于 點 E、F 在 AC 上，AB=AD , / BFC= / BAD=2 / DFC 求證：(1) C

33、D丄DF ;(2) BC=2CD令 / CFD=x,則 / BAD= / BFC=2xV四邊形ABCD是圓0的內(nèi)接四邊形， / BAD+ / BCD=180 ° 即 / BCD=180At)a-2x又 AB=AD，有圖中 / 1= / 2，即有 / 1= / 2=90° -x CDF 中，/ CFD+ / 1=x+(90 -X)=90° / CDF=90 ° 即 CD 丄 DF過F做FG垂直BC 因為 / ACB= / ADB 又 / BFC= / BAD所以 / FBC= / ABD= / ADB= / ACB則 FB=FC所以 FG 平分 BC ,為

34、 BC 中點，/ GFC=1/2 / BAD= / DFC 證明三角形FGC全等于三角形DFC(/ GFC= / DFC,FC=FC, / ACB= / ACD )所以 CD=GC=1/2BCBC=2CDC3GA1 如圖，AB是G 的直徑,AE是弦，C是劣弧AE的中點, 過C作CD丄AB于點D,CD交AE于點F,過C作CG II AE 交BA的延長線于點 G .(1) 求證：CG是O 0的切線.(2) 求證：AF=CF .(3) 若/ EAB=30 ° CF=2 ,求GA的長.23 .如圖，AB是O 0的直徑，C是O O上的一點，CE平分/ DCO 交O 0于 E,弧 AE=M EB

35、 求證：CD丄AB(I)如圖，若 BC為O O的直徑，AB=6，求AC, BD , CD的長；(n)如圖，若/ CAB=60°,求BD的長.解：(I)如圖，v BC是O O的直徑，/ CAB=/ BDC =90°. 在直角 CAB 中，BC=10 , AB=6,24.如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度為(AB) 60米，拱 高18米，當洪水泛濫到跨度()只有30米時,要采取緊急措施，若拱頂離水面只有 4米時，是否要采取緊急措施 ？由勾股定理得到:/ AD 平分/ CAB ,岔鎖， CD=BD .在直角 BDC中，易求 BD=CD=;(n)如圖，連接 OB, OD .BC=1

36、0, CD2+BD2=BC2,/ AD 平分/ CAB，且/ CAB=60° ,DAB/ CAB=30° ,2/ DOB=2 / DAB=60° . 又 v OB=OD , OBD 是等邊三角形， BD=OB = OD .O O 的直徑為 10，則 OB=5 , BD=5.25.如圖，O O是 ABC的外接圓，AB為直徑，AC = CF,CD丄AB于D，且交O O于G ,(1) 求/ ACB的度數(shù)；(2) 求證：AE = CE;J(2014年天津市，第21題10分)已知O O的直徑為10,點A, 點B,點C在O O 上,/ CAB的平分線交O O于點D.cDOA圖

37、cAD圍®O* -26如圖， ABC是O O的內(nèi)接三角形， AC O O中弧AB上一點，延長 DA至點E，使CE(1)(2)BC, D 為 CD .求證： 若ACAE BD ;BC，求證：AD BD證明：所以弧CA=M CB所以/ CDEM CAB 又因為 CE=CD CA=CB/ ACBd ECD/ ECAd DCB 又因為，CE=CD，CA=CB 所以 CAE全等于 CBD( SAS 所以AE=BD，(2)由(1) AE=BD所以 AD+BD=AD+AE=DE / ACB/ ECD=90，即為等腰 RT CED AD+BD=AD+AE=D根號 2CD(1)因為CA=CB27.已知

38、：等邊 ABC內(nèi)接于O 0,點P是劣弧BC上的一 點（端點除外），延長 BP至D，使BD AP，連結(jié)CD .（1）若AP過圓心0，如左圖，請你判斷 PDC是什么三 角形？并說明理由.（2）若AP不過圓心0，如右圖，PDC又是什么三角形？A/ PAC= / DBC / AP=BD APC 也 BDC P C=DC 又 TAP 過圓心 0, AB=AC ,/ BAC=60/ BAP=1/2 / PAC= / BAC=30 ° BAP= / BCP=30/ PBC= / PAC=30 ° / CPD= / PBC+ / BCP=30 +30 °=60 ° PD

39、C為等邊三角形先證 APC BDC（過程同上） PC=DC / / BAP+ / PAC=60 °/ / BAP= / BCP / PAC= / PBC / CPD= / BCP+ / PBC= / BAP+ / PAC=60 P C=DCPDC為等邊三角形.四、附加題PB是O O的切線.28.如圖，已知P是O O外一點，P0交圓0于點C, OC=CP=2 , 弦AB丄0C,劣弧AB的度數(shù)為(1 )求BC的長；2 .如圖，以 兩點，且與AD交BC于F, (1)求證：AC (2 )若 BF=8 ,(2)求證：A , B連接 ABC的BC邊上一點 0為圓心的圓，經(jīng)過BC邊交于點E , D為BE的下半圓弧的中點,若 AC=FC .是O 0的切線：DfMIS，求O0的半徑r.31、如圖，AB是OO的直徑，