用“指內(nèi)向外”的法向量可求二面角_法向量

1、本文格式為word版，下載可任意編輯用“指內(nèi)向外”的法向量可求二面角_法向量 在立體幾何中，用平面的法向量求二面角的方法已經(jīng)為所大家所熟知，然而由于平面法向量方向的不確定性，選擇合適的法向量就成了一個(gè)問(wèn)題。筆者發(fā)覺(jué)，只要平面的法向量能“指內(nèi)向外”就可以求二面角了，即：法向量能夠一個(gè)指向二面角的內(nèi)部，另一個(gè)指向二面角的外部就可以求二面角。 其理如下圖其中=n nn為的法向量，指向二面角-l-的內(nèi)部；n為的法向量，指向二面角-l-的外部。bcl,dcl，bcd為二面角-1-的平面角。在四邊形abcd中，abcadcrt故有=bcd例1：（2021年高考湖南卷第17題）如圖1已知abcd是上底、下底

2、長(zhǎng)分別為2和6，高為oo1=的等腰梯形，將它沿對(duì)稱(chēng)軸oo1折成直二面角如圖2(）證明：acbp1() 求二面角o-ac-o1的大小解：(）證明：由題設(shè)可知：oaoo1，oboo1，故aob是所成直二面角的平面角，即oaob.以o為原點(diǎn)，oa，ob，oo1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz，如圖2，則a（3，0，0），b（0，3，0），c（0，1，）從而=（-3，1，），=（0，-3，） =-3+ =0即acbo1（）由于bo1oc=-3+=0故bo1oc由（）知acbo1所以bo1平面oac是平面oac的一個(gè)法向量由圖可以推斷出指向二面角o-ac-o1的內(nèi)部。設(shè)=（x

3、,y,1）是平面o1a的一個(gè)法向量由=0=0 即-3x+y+=0y=0得x=y=0=(,0,1)由圖可以推斷出指向二面角o-ac-o的外部。設(shè)二面角的大小為=（）cos=cos（）=arccos若所求法向量同時(shí)指向二面角的內(nèi)部或外部，只需取其中一個(gè)法向量的相反向量作為新的法向量參與求二面角即可。例2：如圖3pa平面abcd，adbc，abc=解：如圖形以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線ab，ad，ap分別為x軸，y軸，z軸的正向，建立空間直角坐標(biāo)系，（下轉(zhuǎn)第66頁(yè)）（上接第64頁(yè)）則b（1，0，0），p（0，0，1），c（1，1，0），d（0，3，0）從而=（-1，0，1），=（0，1，0）=（0，-3，1），=（1，-2，0）設(shè)平面pbc的一個(gè)法向量1=（x,y,1）則 =-x+1=0=y=0得x=1y=0=（1，0，1）指向二面角的外部設(shè)平面pcd的一個(gè)法向量2=（x,y,1）則2=x-2y=0=-3y+1=0 即x=y=2=（，1）指向二面角的外部可取-=（-，-，-1）作為平面pcd的一個(gè)新法向量，則-指向二面角b-pc-d的內(nèi)部。設(shè)二面角大小為則=（1-）cos=cos（1,-)=-=-arccos從以上兩個(gè)例子可以看出：法向量指向二面角的內(nèi)部或外部時(shí)是可以從圖中推斷出來(lái)的。因此，我們用法向量求二面角時(shí)，要求所求的