三次函數(shù)性態(tài)的五個(gè)要點(diǎn)

1、三次函數(shù)性態(tài)的五個(gè)要點(diǎn)邳州市岔河高級中學(xué) 解 俊 三次函數(shù)的一般形式為y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (不妨a0,a、b、c、dR) ，近幾年的全國各省市高考試卷以導(dǎo)數(shù)為工具，有重點(diǎn)地考查了有關(guān)三次函數(shù)的單調(diào)性、極值、在閉區(qū)間上的最值、對參數(shù)式的取值范圍的探究等函數(shù)性態(tài)，凸顯“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)上命題”的理念，本文結(jié)合相關(guān)試題闡述三次函數(shù)性態(tài)的要點(diǎn)。要點(diǎn)1.三次函數(shù)y=f(x)在(-,+)上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)簡析：若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的附近恒有f(x0)f(x) (或f(x0)f(x)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值（或極小值），稱點(diǎn)x0為極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。據(jù)此有結(jié)論：三次函數(shù)

2、y=f(x)在(-,+)上的極值點(diǎn)要么有兩個(gè)，要么不存在極值點(diǎn)。論證如下：令f（x）=3ax2+2bx+c，y=f（x）的極值點(diǎn)就是方程 f/（x）=0的實(shí)根。當(dāng)=4b2-12ac0時(shí)，方程f/（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，記為x1、x2，則x1、x2是f（x）在(-,+)上的兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)=4b2-12ac =0時(shí)，該方程有兩個(gè)等根：x1=x2=x0，由下表可知y=f（x）在(-,+)上單調(diào)增，此時(shí)y=f（x）沒有極值點(diǎn)； x (-,x0) x0（x0，+) f/（x） + 0 + f(x) 當(dāng)=4b2-12ac0時(shí)，f/（x）=0無實(shí)根，f(x)沒有極值點(diǎn)，結(jié)論得證。試題鏈接：錯(cuò)解剖析例1.

3、（2004年湖北高考文考卷）已知b-1，c0，函數(shù)f（x）=x+b的圖象與函數(shù)g（x）=x2+bx+c的圖象相切，（）求b與c的關(guān)系式（用c表示b）；（）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）.g（x）在(-,+)內(nèi)有極值點(diǎn)，求c的取值范圍。解：（）依題意，函數(shù)f（x）=x+b的斜率為1，g（x）=1，得2x+b=1，故x=（1-b）/2為切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將x=（1-b）/2分別代入f（x）、g（x）的函數(shù)解析式，得 f（1-b）/2=g（1-b）/2，化簡為（b+1）2=4cb-1，c0，b=-1+2c1/2 （）F（x）=f（x）.g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc，F(xiàn)（x）=3x2+4bx+

4、b2+c=0，令3x2+4bx+b2+c=0，=16b2-12（b2+c）=4（b2-3c），當(dāng)=0時(shí)，則F（x）=0有兩個(gè)等根x0；當(dāng)0時(shí)，F(xiàn)（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)根x1、x2（ 設(shè)x1x2），綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)0時(shí)，函數(shù)F（x）在(-,+)上有極值點(diǎn)。由=4（b2-3c）0得b- 3c或b3c。b=-1+2c，-1+2c3c或-1+2c3c，解之得0c7-431/2或c7+431/2，故所求c的范圍是（0，7-431/2 7+431/2，+）點(diǎn)評：第一小問解的好，但第二小問的解答卻出了一點(diǎn)錯(cuò)誤，錯(cuò)因剖析如下：把函數(shù)有極值的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程F/（x）= 3x2+4bx+b2+c=0有

5、實(shí)根，即0。忽略了極值存在必須檢驗(yàn)F（x）的符號這一重要細(xì)節(jié)，若=0，則F（x）=0有一對等根x0，F(xiàn)/（x）的取值符號如下表：x (-,x0) x0（x0，+) F/（x） + 0 + F(x) 可知x=x0不是函數(shù)F(x)的極值點(diǎn)。（）正確解法如下：F（x）=f（x）.g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc， 令F（x）=3x2+4bx+b2+c=0當(dāng)=16b2-12(b2+c)0時(shí)， F（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)根x1、x2（ 令x1x2），F(xiàn)（x）的取值變化如下表： x(-,x1)x1（x1，x2）x1（x1，+)F/（x） + 0 - 0 +F（x） x=x1是函數(shù)F(x)的極

6、大值點(diǎn)，x=x2是它的極小值點(diǎn)。 由=4（b2-3c）0得b- 3c或b3c，b=-1+2c代入得0c或c。 .當(dāng)=0時(shí)， F/（x）=0有一對等根x0，F(xiàn)/（x）的取值規(guī)律如下表：x (-,x0) x0（x0，+) F/（x） + 0 + F(x) 函數(shù)F(x)此時(shí)不存在極值點(diǎn)。綜上所述可知，當(dāng)且僅當(dāng) 0時(shí)，F(xiàn)（x）在(-,+)上有極值點(diǎn)，c的取值范圍是（0，）（，+）點(diǎn)評與反思：洞察極值存在的細(xì)節(jié)，是成功解好本題的關(guān)鍵。 要點(diǎn)2.三次函數(shù)y=f（x）的圖象與x 軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的本質(zhì)是多項(xiàng)式ax3+bx2+cx+d在實(shí)數(shù)集上怎樣進(jìn)行因式分解，記ax3+bx2+cx+d=a（x-x1）（x

7、-x2）（x-x3），（）若x1x2x3，則交點(diǎn)為3個(gè)；（）若x1、x2、x3中有兩個(gè)相等，不妨x1=x2x3，則交點(diǎn)為2個(gè)。（）若x1=x2=x3，則交點(diǎn)為1個(gè)；（）若f（x）=a（x-x0）（x2+dx+e），且 有d2-4e0，y=f（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)。試題鏈接例2.（2000年春季高考題）已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示，則（ ） A .b（-，0） B.b（0，1）C .b（1，2） D. b（2，+）略解：設(shè)f（x）=a（x-1）（x-2）=a（x3-3x2+2x）b=-3a，c=2a，d=0 ，又a0，b0,選（A ） 再看一題：如圖，函數(shù)yf

8、（x）的圖象如下，則函數(shù)f（x）的解析式可以為（）f（x）（xa）2（bx）f（x）（xa）2（xb）f（x）（xa）2（xb）f（x）（xb）2（xa）不難知，選（A）又如運(yùn)用“序軸法”解一元三次不等式x（x-1）（x-2）0，易知x的范圍是：（0，1）（2，+），我們都要先得出三次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)。要點(diǎn)3.單調(diào)性問題試題鏈接例3.函數(shù)f（x）=x3/3+ax2/2+ax-2 （a）在(-,+)上為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。錯(cuò)解：令f´（x）=x2+ax+a0在(-,+)上恒成立=a2-4a0得0a4錯(cuò)因剖析：當(dāng)f´（x）0時(shí)，f（x）為增函數(shù)，但反之未必為真

9、。舉一反例：函數(shù)f（x）=x3是實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)，但f（0）=3x2x=0=0。 回過來看例3，=a2-4a0，得a0，4為它的解。說明1：設(shè)f（x）在區(qū)間D上可導(dǎo)，則f（x）在區(qū)間D上遞增（或遞減）的充要條件是：f´（x）0 （或f´（x）0）注釋說明2：在本例題中，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x3顯然在R 上單調(diào)增；當(dāng)a=4時(shí)，f（x）x/3xx-（xxx-）/3+2/3（x）/3+2/3不難知函數(shù)yx/3的圖象按向量a=（，）平移就可得到y(tǒng)=f（x）的圖象?？梢奱=0、a=4也是解。例4.已知函數(shù)f（x）x/3（m）x（mm）x在實(shí)數(shù)集上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：

10、yf（x）在上是單調(diào)增函數(shù)f´（x）x（m）xmm在上恒成立，= =mm得m小結(jié)：三次函數(shù)y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (不妨a0,a、b、c、dR)為R上的增函數(shù)，圖象可分為兩種形式：其一是由yax的圖象平移而得；其二是由函數(shù)yax（x2sxt）（a，s,t且t，s23t）的圖象平移而得。附注：yax（x2sxt）ax3asxatx y´axasxat0在R上恒成立，0，得s2t。而x2sxt0在R上恒成立，得s2t。s2t比s2t更進(jìn)一步。這也就是為什么附屬條件不是s2t而是s2t的原因。要點(diǎn).三次函數(shù)f（x）圖象的切線條數(shù)試題鏈接例5.已知曲線yx3/34/

11、3，求曲線在點(diǎn)（，）處的切線方程解：f´（x）x2，f´（），曲線在點(diǎn)（，）處的切線斜率為kf´（）代入直線方程的斜截式，得切線方程為：y（x），即yx變式：已知曲線yx3/34/3，則曲線過點(diǎn)（，）的切線方程。錯(cuò)解：依上題，直接填上答案xy錯(cuò)因剖析：如下圖所示，在曲線上的點(diǎn)A處的切線與該曲線還有一個(gè)交點(diǎn)。這與圓的切線是有不同的。 點(diǎn)（，）在曲線yx3/34/3上，它可以是切點(diǎn)也可以不是。正確解法：設(shè)過點(diǎn)（，）的切線對應(yīng)的切點(diǎn)為（x0，x03/34/3），斜率為k=x02，切線方程為y -（x03/34/3 ）=x02（x-x0）即y=x02x- 2x03/3+4

12、/3 點(diǎn)（2，4）的坐標(biāo)代入，得4=2x02- 2x03/3+ 4/3， 2 x03-6 x02+8=0 ， x03-3x02+4=0， 又x03+1-（3x02-3）=0（x0+1）（x02-x0+1）-3（x0-1）（x0+1）=0（x0+1）（x02-4x0+4）=0 x0=-1或x0=2切線的方程為4x-4-y=0或x-y+2=0點(diǎn)評：一個(gè)是“在點(diǎn)（2，4）”、一個(gè)是“過點(diǎn)（2，4）”，一字之差所得結(jié)果截然不同。要點(diǎn)5.融合三次函數(shù)和不等式，創(chuàng)設(shè)情境求參數(shù)的范圍. 試題鏈接：例6.已知函數(shù)f（x）= x3/3+ ax2/2+ax-2（a），設(shè)A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）是

13、函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，若直線AB的斜率不小于- 5/6 ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：kAB=f（x1）-f（x2）/（x1-x2）=（x13-x23）/3+a（x12-x22）/2+a（x1-x2）/（x1-x2）=（x12+x1x2+x22）/3+a（x1+x2）/2+a-5/6在實(shí)數(shù)集上恒成立。x12/3+（x2/3+a/2）x1+x22/3+ax2/2+a+5/60在實(shí)數(shù)集上恒成立，2x12+（2x2+3a）x1+2x22+3ax2+6a+50=4x22+12ax2+9a2-8（2x22+3ax2+6a+5）=-12x22-12ax2+9a2-48a-400在實(shí)數(shù)集上恒成立，即12x22+12ax2-9a2+48a+400在實(shí)數(shù)集上恒成立，=144a2-48（-9a2+48a+40）0，得實(shí)數(shù)a的取值范圍是2-661/2/3a2+661/2/3。類似的試題再來一道：例7.已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+b，（a，bR）圖象上任意兩點(diǎn)的連線斜率小于1，求證：a23。證明：對任意x1，x2R，k=f（x1）-f（x2）/（x1-x2）=-x12+x