高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)概念、方法、題型、易誤點(diǎn)匯整(四)

1、高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)概念、方法、題型、易誤點(diǎn)匯整（四）第五部分 立體幾何1三視圖與直觀圖：注：原圖形與直觀圖面積之比為。2表（側(cè)）面積與體積公式：柱體：表面積：S=S側(cè)+2S底；側(cè)面積：S側(cè)=；體積：V=S底h 錐體：表面積：S=S側(cè)+S底；側(cè)面積：S側(cè)=；體積：V=S底h：臺(tái)體：表面積：S=S側(cè)+S上底S下底；側(cè)面積：S側(cè)=；體積：V=（S+）h；球體：表面積：S=；體積：V= 。3位置關(guān)系的證明（主要方法）：位置關(guān)系有：空間兩直線:平行、相交、異面;判定異面直線用定義或反證法；直線與平面: a、a=A (a) 、a； 平面與平面:、=a常用定理有：線面平行;線線平行:;面面平行:;線線垂直:;所

2、成角900；(三垂線);逆定理?線面垂直:;面面垂直：二面角900; ;4.求角：（步驟-。找或作角；。求角） （了解即可）異面直線所成角的求法：平移法：平移直線，構(gòu)造三角形；補(bǔ)形法：補(bǔ)成正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系。直線與平面所成的角：直接法（利用線面角定義）；先求斜線上的點(diǎn)到平面距離h，與斜線段長(zhǎng)度作比，得sin。二面角的求法：定義法：在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），作出平面角，再求解；三垂線法：由一個(gè)半面內(nèi)一點(diǎn)作（或找）到另一個(gè)半平面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；射影法：利用面積射影公式：,其中為平面角的大??； 注：對(duì)于沒(méi)有給出棱的二面

3、角，應(yīng)先作出棱，然后再選用上述方法；5.求距離：（步驟-。找或作垂線段；。求距離）兩異面直線間的距離：一般先作出公垂線段，再進(jìn)行計(jì)算；點(diǎn)到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線段，再求解；點(diǎn)到平面的距離：垂面法：借助面面垂直的性質(zhì)作垂線段（確定已知面的垂面是關(guān)鍵），再求解；等體積法；球面距離：（步驟）（）求線段AB的長(zhǎng)；（）求球心角AOB的弧度數(shù)；()求劣弧AB的長(zhǎng)。6結(jié)論：從一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若AOB=AOC，則點(diǎn)A在平面BOC上的射影在BOC的平分線上；A長(zhǎng)方體的性質(zhì)：長(zhǎng)方體體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為則：cos2+cos2+cos2=1；sin2+sin2

4、+sin2=2 。長(zhǎng)方體體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2；sin2+sin2+sin2=1 。正四面體的性質(zhì)：設(shè)棱長(zhǎng)為，則正四面體的：高：；對(duì)棱間距離：；相鄰兩面所成角余弦值：；內(nèi)切球半徑：；外接球半徑：；常用轉(zhuǎn)化思想:構(gòu)造四邊形、三角形把問(wèn)題化為平面問(wèn)題將空間圖展開(kāi)為平面圖割補(bǔ)法等體積轉(zhuǎn)化線線平行線面平行面面平行線線垂直線面垂直面面垂直有中點(diǎn)等特殊點(diǎn)線,用“中位線、重心”轉(zhuǎn)化.特別指出：立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明的基本思路是利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即： 第六部分 直線與圓1、直線的傾斜角：（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與軸相交的直線，如

5、果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線與軸重合或平行時(shí)，規(guī)定傾斜角為0；（2）傾斜角的范圍。如直線的傾斜角的范圍是_ _；過(guò)點(diǎn)的直線的傾斜角的范圍值的范圍是_2、直線的斜率：（1）定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，即tan(90°)；傾斜角為90°的直線沒(méi)有斜率；（2）斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、的直線的斜率為；（3）直線的方向向量，直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系？（4）應(yīng)用：證明三點(diǎn)共線： 。如 兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的_條件；實(shí)數(shù)滿足 ()，則的最大值、最小值分別為_(kāi)3

6、、直線的方程：（1）點(diǎn)斜式：已知直線過(guò)點(diǎn)斜率為，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。（2）斜截式：已知直線在軸上的截距為和斜率，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。（3）兩點(diǎn)式：已知直線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，則直線方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線。（4）截距式：已知直線在軸和軸上的截距為,則直線方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過(guò)原點(diǎn)的直線。（5）一般式：任何直線均可寫(xiě)成(A,B不同時(shí)為0)的形式。如經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，1）且方向向量為=(1,)的直線的點(diǎn)斜式方程是_；直線，不管怎樣變化恒過(guò)點(diǎn)_；若曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是_提醒：(1)直線方程的各種形式都有局限性.（如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在

7、的直線，還有截距式呢？）；(2)直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過(guò)原點(diǎn)；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過(guò)原點(diǎn)；直線兩截距絕對(duì)值相等直線的斜率為或直線過(guò)原點(diǎn)。如過(guò)點(diǎn)，且縱橫截距的絕對(duì)值相等的直線共有_條4.設(shè)直線方程的一些常用技巧：（1）知直線縱截距，常設(shè)其方程為；（2）知直線橫截距，常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為0的直線)；（3）知直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)斜率存在時(shí)，常設(shè)其方程為，當(dāng)斜率不存在時(shí)，則其方程為；（4）與直線平行的直線可表示為；（5）與直線垂直的直線可表示為.提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解5、點(diǎn)到

8、直線的距離及兩平行直線間的距離：（1）點(diǎn)到直線的距離；（2）兩平行線間的距離為。6、直線與直線的位置關(guān)系：（1）平行（斜率）且（在軸上截距）；（2）相交；（3）重合且。提醒：（1） 、僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件！為什么？（2）在解析幾何中，研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線與直線垂直。如設(shè)直線和，當(dāng)_時(shí)；當(dāng)_時(shí)；當(dāng)_時(shí)與相交；當(dāng)_時(shí)與重合；已知直線的方程為，則與平行，且過(guò)點(diǎn)（1，3）的直線方程是_；兩條直線與相交于第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_；設(shè)分別是ABC中A、B、C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線與的位置關(guān)系

9、是_；已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，是直線外一點(diǎn)，則方程0所表示的直線與的關(guān)系是_；直線過(guò)點(diǎn)（，），且被兩平行直線和所截得的線段長(zhǎng)為9，則直線的方程是_7、對(duì)稱(chēng)（中心對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)）問(wèn)題代入法：如（1）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)；（2）已知直線與的夾角平分線為，若的方程為，那么的方程是_；（3）點(diǎn)（，）關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2,7)，則的方程是_；（4）已知一束光線通過(guò)點(diǎn)（，），經(jīng)直線:3x4y+4=0反射。如果反射光線通過(guò)點(diǎn)（，15），則反射光線所在直線的方程是_；（5）已知ABC頂點(diǎn)A(3，)，邊上的中線所在直線的方程為6x+10y59=0，B的

10、平分線所在的方程為x4y+10=0，求邊所在的直線方程； （6）直線2xy4=0上有一點(diǎn)，它與兩定點(diǎn)（4,1）、（3,4）的距離之差最大，則的坐標(biāo)是_；（7）已知軸，C（2，1），周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)。提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對(duì)稱(chēng)求解。8設(shè)A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），ABC的重心G：（）；9、圓的方程：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：。圓的一般方程：，特別提醒：只有當(dāng)時(shí)，方程才表示圓心為，半徑為的圓；二元二次方程表示圓的充要條件是什么？ （且且）；圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為。圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：；。為直徑端點(diǎn)的圓方程如圓C與圓關(guān)于直線

11、對(duì)稱(chēng)，則圓C的方程為_(kāi)；圓心在直線上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_；已知是圓（為參數(shù)，上的點(diǎn)，則圓的普通方程為_(kāi)，P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值為_(kāi)，過(guò)P點(diǎn)的圓的切線方程是_；如果直線將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過(guò)第四象限，那么的斜率的取值范圍是_；方程x2+yx+y+k=0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)；若（為參數(shù)，若，則b的取值范圍是_圓的方程的求法：待定系數(shù)法；幾何法；圓系法。10與圓有關(guān)的結(jié)論：過(guò)圓x2+y2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：x0x+y0y=r2；過(guò)圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：(x0-a)(x-a)+(y0-b)

12、(y-b)=r2；以A(x1，y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程：(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0。圓系：經(jīng)過(guò)兩個(gè)圓的圓系方程：； 注：當(dāng)時(shí)表示兩圓交線。經(jīng)過(guò)直線與圓的圓系方程：11點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：（表示點(diǎn)到圓心的距離）點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓內(nèi)；點(diǎn)在圓外。也可把點(diǎn)（x0，y0）代入圓的方程檢驗(yàn)，若(x0-a)2+(y0-b)2<r2(=r2,>r2),則 P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2內(nèi)(上、外) 直線與圓的位置關(guān)系，可從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面來(lái)判斷：（1）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況）：相交；相離；相

13、切；（2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大?。涸O(shè)圓心到直線的距離為，則相交；相離；相切。（主要掌握幾何法）圓與圓的位置關(guān)系：（表示圓心距，表示兩圓半徑，且）相離；外切；相交；內(nèi)切；內(nèi)含。提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡(jiǎn)捷。如（1）圓與直線，的位置關(guān)系為_(kāi)；（2）若直線與圓切于點(diǎn)，則的值_；（3）直線被曲線所截得的弦長(zhǎng)等于 ；（4）一束光線從點(diǎn)A(1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 ；（5）已知是圓內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)有以為中點(diǎn)的弦所在直線和直線，則A，且與圓相交 B，且與圓相交C，且與圓相離 D，且與圓相離；（6）已知圓C：，直線L：。求證

14、：對(duì)，直線L與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；設(shè)L與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若，求L的傾斜角；求直線L中，截圓所得的弦最長(zhǎng)及最短時(shí)的直線方程. 12、圓的切線與弦長(zhǎng)：(1)切線：過(guò)圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：，過(guò)圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：，一般地，如何求圓的切線方程？（抓住圓心到直線的距離等于半徑）；從圓外一點(diǎn)引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件，運(yùn)用幾何方法（抓住圓心到直線的距離等于半徑）來(lái)求；過(guò)兩切點(diǎn)的直線（即“切點(diǎn)弦”）方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程；切線長(zhǎng)：過(guò)圓（）外一點(diǎn)所引圓的切線的長(zhǎng)為（）；如設(shè)A為圓上動(dòng)點(diǎn)，PA是圓

15、的切線，且|PA|=1，則P點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)；（2）弦長(zhǎng)問(wèn)題：圓的弦長(zhǎng)的計(jì)算：常用弦心距，弦長(zhǎng)一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來(lái)解：；過(guò)兩圓、交點(diǎn)的圓(公共弦)系為，當(dāng)時(shí)，方程為兩圓公共弦所在直線方程.。13.解決直線與圓的關(guān)系問(wèn)題時(shí)，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長(zhǎng)定理、割線定理、弦切角定理等等)!如1.如果直線與圓交于M、N兩點(diǎn)，且M、N關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則不等式組：表示的平面區(qū)域的面積是 A B C1 D22.在圓有n條弦長(zhǎng)的長(zhǎng)度成等差數(shù)列，最短弦長(zhǎng)為數(shù)列的首項(xiàng)a1，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為數(shù)列的第n項(xiàng)an，若公差，則n的取值的集合為（ ）A4，5，6B6，7，8，9C3，4，5D3，4，