西安交通大學(xué)計(jì)算方法習(xí)題(證明)答案

1、習(xí)題答案證明題第2章 線性方程組求解p. 79第14題 證明：a. 由于是范數(shù)，它必滿足范數(shù)的三條件；由于，所以 非負(fù)性： 且 當(dāng)且僅當(dāng) ，又由的非奇性，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)才有，因此：當(dāng)且僅當(dāng)； 正齊性： 三角不等式：因此，按此定義的范數(shù)是范數(shù)； b. 仿前，容易證明定義了一種矩陣范數(shù)。關(guān)于相容性： 第3章 數(shù)據(jù)近似p.129第6題： a. 取 則對(duì)插值節(jié)點(diǎn)，其插值多項(xiàng)式為，又由函數(shù)、插值多項(xiàng)式與余項(xiàng)的關(guān)系，及余項(xiàng)公式，有此處，用到： b. 證明同上，只是將，由于，所以仍有； c. 由二項(xiàng)式定理： 此處，用到了b.已證明的結(jié)論：；d. 只需注意到由于是次多項(xiàng)式，又，因此；因此，由余項(xiàng)公式：，此即所要的

2、證明。e.（方法1）：令為被插函數(shù)，則為對(duì)應(yīng)的插值多項(xiàng)式，因此 便是該插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)，由余項(xiàng)公式： ，此處，用到是首項(xiàng)（即最高次項(xiàng)）系數(shù)為1 的次多項(xiàng)式，因此；（方法2）：首先，記 ，由于為基本插值多項(xiàng)式，；其次，是首項(xiàng)系數(shù)為1 的次多項(xiàng)式，而是（不超過）次多項(xiàng)式，因此也是首項(xiàng)（即最高次項(xiàng)）系數(shù)為1 的次多項(xiàng)式；綜上所述，是以為零點(diǎn)（共個(gè)點(diǎn)），首項(xiàng)（即最高次項(xiàng)）系數(shù)為1 的次多項(xiàng)式，因此.p.129第7題，以點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式記為，求。解：由余項(xiàng)公式：，在上式中取，由于，便有差商表：因此： p.129第8題由定義，若記，則顯然，這說明，此處是次多項(xiàng)式，與上式比較，可知，即是一個(gè)次多項(xiàng)式

3、. p.129第9題由于節(jié)點(diǎn)互異，其插值多項(xiàng)式為：注意到是一個(gè)最高次項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式，因此插值多項(xiàng)式的n次項(xiàng)（即最高次項(xiàng)）的系數(shù)為； 另一方面以為節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式 因此，其n次項(xiàng)（即最高次項(xiàng)）的系數(shù)為，由插值多項(xiàng)式的唯一性，便有： p.129第10題以為插值節(jié)點(diǎn)作插值多項(xiàng)式，由于，易知；又由余項(xiàng)公式：，可知：注意到，因此：；p.129第11題 參見教材pp.177-178p.130第12題 a. 由定義：，因此由差商定義： 一般地，若 ， 則有由此得證。b. 由插值多項(xiàng)式 及，即 ，根據(jù)前得結(jié)論自然可得所求結(jié)論。 p.130第12題 只需證明： 1）在 處這是因?yàn)槭亲匀粯訔l， 2）在 等三點(diǎn)，有 例如： 類似，證明其他兩點(diǎn). 第5章 數(shù)值微積分p.187第1題設(shè) 按待定系數(shù)法，令 所以，公式為 確定代數(shù)精度：令 令所以，代數(shù)精度為1，且可知誤差 ，即 在此式中，令解之，得 ，因此中矩形公式： p.187第3題 已知：， 討論： 令，則，有 即 第5章 非線性方程求解p. 228第5題 令 ，取初值 ，則原問題的極限便是當(dāng)時(shí)序列的極限； 記 ，則當(dāng)時(shí)，且，所以，因此序列收斂，切收斂于的不動(dòng)點(diǎn)2；p. 229第7題