附錄1 截面的幾何性質

1、一、截面的靜矩一、截面的靜矩 截面對截面對x軸的靜矩軸的靜矩 截面對截面對y軸的靜矩軸的靜矩 dAxyyxoyASxddxASyddAAxxAySSddAAyyAxSSdd量綱：長度量綱：長度3 3；單位：；單位：m m3 3、cmcm3 3、mmmm3 3。靜矩的值可以是正值、負值、或零靜矩的值可以是正值、負值、或零截面對形心軸的靜矩恒等于零；截面對某軸的靜矩為零，則該截面對形心軸的靜矩恒等于零；截面對某軸的靜矩為零，則該軸過截面形心。軸過截面形心。 組合截面的靜矩等于截面各部分對同一軸靜矩的代數(shù)和組合截面的靜矩等于截面各部分對同一軸靜矩的代數(shù)和 二、截面的形心二、截面的形心 AdAzzAd

2、AyyACACCiiCAyZAAzzdASCiiCAzyAAyydAS212121AAAxAxAAxxiimm3 .201080110101101035mmy7 .341080110101101060試確定圖形的形心試確定圖形的形心解 ：801201010 xyC2C1C1(0,0)C2(-35,60)Example計算圖示三角形截面對其底邊重合的計算圖示三角形截面對其底邊重合的y 軸的靜矩。軸的靜矩。 dyASz A 解：解： 0()dhhz bzzh 26bh CySAz 23bhh 26bh Example一、一、 慣性矩慣性矩 截面對截面對y軸的慣性矩軸的慣性矩 截面對截面對x軸的慣性

3、矩軸的慣性矩 二、極慣性矩二、極慣性矩 dAxyyxroAxAyId2yxAIIAId2rrAyAxId2圖形對任一對相互垂直的坐標系的慣性矩之和恒等于圖形對任一對相互垂直的坐標系的慣性矩之和恒等于此圖形對該兩軸交點的極慣性矩此圖形對該兩軸交點的極慣性矩三、慣性半徑三、慣性半徑 截面對截面對y、z軸的慣性半徑軸的慣性半徑 四、慣性積四、慣性積 截面對截面對y、x軸的慣性積軸的慣性積 y、x軸之一為截面對稱軸，則軸之一為截面對稱軸，則 Ixy = 0 AxyAxyIdAIiAiIzzzz2AIiAiIyyyy2dAxyyxrobhOxyDrdrOxy123bhIx123hbIy32d2 d420

4、22DAIDAprrrr644DIIyx五、簡單截面的慣性矩五、簡單截面的慣性矩2AdzIyA 2A1+A2+AndyA 12nzzzIIIn1yyiiII n1zziiII 222A1A2AndddyAyAyA 截面對軸的慣性矩或慣性積等于該截面各部分對同截面對軸的慣性矩或慣性積等于該截面各部分對同一軸的慣性矩或慣性積代數(shù)和。一軸的慣性矩或慣性積代數(shù)和。 六、組合截面的慣性矩和慣性積六、組合截面的慣性矩和慣性積 n1yzyziiII 圓環(huán)截面慣性矩圓環(huán)截面慣性矩 （圓內徑為（圓內徑為d ，外徑為，外徑為D ，z z軸過圓心）軸過圓心） 4444()(1)6464zDdDI )(DddDOrd

5、r4444()(1)6464zDdDI CCybyxax0CxCyASAxAyId2dAxyyxrabCxCyCo一、慣性矩的平行移軸定理一、慣性矩的平行移軸定理 AbyACd)(2AbbSIxCxC22 AbbyyCACd)2(22dAxyyxrabCxCyCAbIIxCx2AaIIyCy2abAIIxCyCxy22()CIIabArr計算圖示計算圖示T 形截面對其形心軸形截面對其形心軸yC 的慣性矩。的慣性矩。 解：確定形心軸的位置，坐標系如圖解：確定形心軸的位置，坐標系如圖 截面對形心軸截面對形心軸yC的慣性矩的慣性矩C(0.14 0.02) 0.08(0.1 0.02) 0(0.14

6、0.02)(0.1 0.02)z CCC12yyyIII3210.02 0.14(0.080.0467)0.02 0.14123210.1 0.020.04670.02 0.1126412.12 10 m 0.0467m Example求圖示圓截面對軸的慣性矩和極慣性矩求圖示圓截面對軸的慣性矩和極慣性矩解解：6424dIIIPyx44425()2644*464ABxddddIIABAdxyOxyxIIIdI2324rExamplecossinsincos11yxyyxxdAxyyxx1y1x1y12sin2cos221xyyxyxxIIIIIIo一、慣性矩和慣性積的轉軸公式一、慣性矩和慣性積的

7、轉軸公式 2sin2cos221xyyxyxyIIIIII2cos2sin211xyyxyxIIIIyxyxIIII11 的符號為：從的符號為：從 z 軸至軸至 z1 軸軸 逆時針為正，順時針為負逆時針為正，順時針為負一一、主慣性軸（主軸）主慣性軸（主軸） 如果圖形對過某點的某一對坐標軸的慣性積為零，則如果圖形對過某點的某一對坐標軸的慣性積為零，則該對軸為圖形過該點的主慣性軸該對軸為圖形過該點的主慣性軸0)2cos2sin2(0000 xyyxyxIIII02tg2xyxyIII 二、主慣性矩（主矩）二、主慣性矩（主矩） 圖形對主軸的慣性矩圖形對主軸的慣性矩I I0 0、I Iy0y0 稱為主

8、慣性矩，主慣性稱為主慣性矩，主慣性矩為圖形對過該點的所有軸的慣性矩中的最大和最小值。矩為圖形對過該點的所有軸的慣性矩中的最大和最小值。0022Principal moments of inertia: ()22xxyxyxyyIIIIIIIyCxCxCyCIII22tg0三三、形心主慣性軸（形心主軸）形心主慣性軸（形心主軸）如果圖形的兩個主軸為圖形的形心軸，則此兩軸為形心如果圖形的兩個主軸為圖形的形心軸，則此兩軸為形心主慣軸。（主慣軸。（Icyc= 0。 c、yc 為形心軸。為形心軸。c、yc 為形為形心主軸）。心主軸）。四、形心主慣性矩：四、形心主慣性矩：圖形對形心主軸的慣性矩。（圖形對形心

9、主軸的慣性矩。（Ic、Iyc）。22)2(2 00 xCyCyCxCyCxCyCxCIIIIIII求圖示圖形的形心主慣性求圖示圖形的形心主慣性 矩矩( (b b=1.5=1.5d d) )解：解： 1 1 建立坐標建立坐標2 求形心求形心3 建立形心坐標求建立形心坐標求IyC ， IxC ， I xCy dddddAAyyAAAxxiiii177.0434200222db2dxyOxCyCx1CExampledb2dxyOxCyCx12rectangle circle tanrectangle2circle 1circle(0.5) xCxCxCrecglexxIIIIAyIAdy4224223685. 0)177. 05 . 0(464)177. 0(312)2(5 . 1ddddddddd344rectangle circle (1.5 )20.5131264y