一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)

1、第八節(jié)第八節(jié) 一般一般周期函數(shù)周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù)一、以一、以 2l 為周期為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)的函數(shù)的傅里葉級數(shù)二、正弦級數(shù)與余弦級數(shù)二、正弦級數(shù)與余弦級數(shù)回顧：回顧：函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)定理定理 2 . 設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端級數(shù)可逐項積分右端級數(shù)可逐項積分, 則有則有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn定理定理3 (收斂定理收斂定理, 展開定理展開定理) 設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為2 的的周期

2、函數(shù)周期函數(shù), 并滿足并滿足狄利克雷狄利克雷( dirichlet )條件條件:1) 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2) 在一個周期內(nèi)只有有限個極值點在一個周期內(nèi)只有有限個極值點, 則則 f (x) 的傅的傅里里葉級數(shù)收斂葉級數(shù)收斂 , 且有且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 為間斷點為間斷點其中其中nnba ,為為 f (x) 的傅的傅里里葉系數(shù)葉系數(shù) . x 為連續(xù)點為連續(xù)點一、以一、以2l 為周期為周期的傅氏級數(shù)的傅氏級數(shù)定理定理 設(shè)周期為設(shè)周期為 2l 的周期函數(shù)的周期函數(shù) f (x) 滿足

3、滿足dirichlet 充分條件，則充分條件，則 f (x) 的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù) 10)sincos(2nnnxlnbxlnaa 在每點處收斂在每點處收斂. 且當且當 x 是是 f (x) 的連續(xù)點時的連續(xù)點時 , 級數(shù)收斂于級數(shù)收斂于 f (x) .當當 x 是是 f (x) 的間斷點時的間斷點時, 級數(shù)收斂于級數(shù)收斂于.2)()( xfxf其中其中), 2 , 1 , 0(,dcos)(1 nxxlnxflalln ), 2 , 1(,dsin)(1 nxxlnxflblln 證明證明,lxz 令令lxl , z, )()()(zflzfxf 設(shè)設(shè).2)(為周期為周期以以 zf),s

4、incos(2)(10nzbnzaazfnnn .dsin)(1,dcos)(1 znzzfbznzzfann其中其中)sincos(2)(10 xlnbxlnaaxfnnn ), 3 , 2 , 1(.dsin)(1), 3 , 2 , 1 , 0(,dcos)(1 nxxlnxflbnxxlnxflallnlln 其中其中)()(,xfzflxz ,)()1(為奇函數(shù)為奇函數(shù)如果如果xf則有則有,sin)(1 nnxlnbxf ,dsin)(20 xxlnxflbln 其中系數(shù)其中系數(shù)), 2 , 1( n,)()2(為偶函數(shù)為偶函數(shù)如果如果xf則有則有,cos2)(10 nnxlnaax

5、f xxlnxflalndcos)(20 其中系數(shù)其中系數(shù)), 2 , 1 , 0( nk2 xy2044 解解., 2 滿足狄里克雷充分條件滿足狄里克雷充分條件 l 20020d21d021xkxa,k 20d2cos21xxnk , 0 20d2sin21xxnkbn )cos1( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk當當當當)25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf),2;(zkkxx na), 2 , 1( n二、二、正弦級數(shù)與余弦級數(shù)正弦級數(shù)與余弦級數(shù)1、周期奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)、周期奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)(1)(1)當周期

6、為當周期為 2的奇函數(shù)的奇函數(shù))(xf展開成傅展開成傅里葉級數(shù)時里葉級數(shù)時, ,它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為 ), 2 , 1(dsin)(2), 2 , 1 , 0(00 nxnxxfbnann 定理定理 一般說來一般說來,一個函數(shù)的傅里葉級數(shù)既含有正一個函數(shù)的傅里葉級數(shù)既含有正弦項弦項,又含有余弦項又含有余弦項.但是但是,也有一些函數(shù)的傅里葉也有一些函數(shù)的傅里葉級數(shù)只含有正弦項或者只含有常數(shù)項和余弦項級數(shù)只含有正弦項或者只含有常數(shù)項和余弦項.(2)(2)當周期為當周期為 2的偶函數(shù)的偶函數(shù))(xf展開成傅展開成傅里葉級數(shù)時里葉級數(shù)時, ,它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為 ), 2 ,

7、1(0), 2 , 1 , 0(dcos)(20 nbnxnxxfann 定義定義如如果果)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù), , 傅傅氏氏級級數(shù)數(shù)nxaanncos210 稱稱為為余余弦弦級級數(shù)數(shù). . 例例 1 1 設(shè)設(shè))(xf是周期為是周期為 2的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在), 上的表達式為上的表達式為xxf )(,將將)(xf展開成展開成傅氏級數(shù)傅氏級數(shù). 2 2 3 3xy0例例 1 1 設(shè)設(shè))(xf是周期為是周期為 2的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在), 上的表達式為上的表達式為xxf )(,將將)(xf展開成展開成傅氏級數(shù)傅氏級數(shù).解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條

8、件.,), 2, 1, 0()12(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點 kkx2)0()0( ff收斂于收斂于2)( , 0 ),()12(xfkxx處收斂于處收斂于在連續(xù)點在連續(xù)點 ,2)()12(為周期的奇函數(shù)為周期的奇函數(shù)是以是以時時 xfkx), 2 , 1 , 0(, 0 nan 0dsin)(2xnxxfbn 0dsin2xnxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn), 2 , 1( n)4sin413sin312sin21(sin2)( xxxxxf(;(21) ,)xxkkz 例例 2 2 設(shè)設(shè))(xf是是周周期期為為 2的的周周期期函函數(shù)數(shù),它它在在),

9、上上的的表表達達式式為為|)(xxf ,將將)(xf展展開開成成傅傅氏氏級級數(shù)數(shù). 解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.xy0 2 2 ,2)(周期的偶函數(shù)周期的偶函數(shù)為為是以是以 xf), 2 , 1(, 0 nbn 00d)(2xxfa 0d2xx, 0dcos)(2xnxxfan 0dcos2xnxx)1(cos22 nn 1)1(22 nn , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(42kknkknk xxxxf5cos513cos31cos42)(22 )( x), 2 , 1( n 02cossin2nnxnnxx 2、非周期函數(shù)展開成正弦或

10、余弦級數(shù)、非周期函數(shù)展開成正弦或余弦級數(shù)非周期函數(shù)的周期性延拓非周期函數(shù)的周期性延拓).()2(2,) , 0( , 0)(xfllxf為周期的函數(shù)為周期的函數(shù)或或延拓成以延拓成以上上或或定義在定義在設(shè)設(shè) ,0)(0)()( xxgxxfxf令令),()2(xfxf 且且則有如下兩種情況則有如下兩種情況. 偶延拓偶延拓奇延拓奇延拓1) 奇延拓奇延拓:)()(xfxg 0)(000)()(xxfxxxfxf則則xy0 的傅氏正弦級數(shù)的傅氏正弦級數(shù))(xf 1sin)(nnnxbxf)0( x2) 偶延拓偶延拓:)()(xfxg 0)(0)()(xxfxxfxf則則的傅氏余弦級數(shù)的傅氏余弦級數(shù))(

11、xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( xxy0 定義在定義在0, 上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù),0),(xxf)(xf周期延拓周期延拓 f (x)(xf f (x) 在在 0, 上展成上展成周期延拓周期延拓 f (x)余弦級數(shù)余弦級數(shù)奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓xoy正弦級數(shù)正弦級數(shù) f (x) 在在 0, 上展成上展成oxy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf,0),(xxf)0,(),(xxf例例 3 3 將將函函數(shù)數(shù))0(1)( xxxf分分別別展展開開成成正正弦弦級級數(shù)數(shù)和和余余弦弦級級數(shù)數(shù). .解解 (1)(1)求正弦級數(shù)求正弦級數(shù)

12、. .xy0 將將 f (x) 作作奇奇周期延拓周期延拓, , 則有則有),2,1,0(0 nan 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122nnnn當當當當 4sin43sin)2(312sin2sin)2(21 xxxxx (0)x 02cossincos2nnxnnxnnxx (2)(2)求余弦級數(shù)求余弦級數(shù). .將將 f (x) 作作偶偶周期延拓周期延拓, , 則有則有xy0 1 00d)1(2xxa,2 0dcos)1(2xnxxan)1(cos22 nn

13、, 5 , 3 , 14, 6 , 4 , 202nnn當當當當 xxxx5cos513cos31cos412122 )0( x),2,1(0 nbn例例4 4. 把把 展開成展開成)20()( xxxf(1) 正弦級數(shù)正弦級數(shù); (2) 余弦級數(shù)余弦級數(shù).解解: (1) 將將 f (x) 作作奇奇周期延拓周期延拓, , 2oyx),2,1,0(0 nan 20d2sin22xxnxbn nncos4 ),2,1()1(41 nnn 24sin4123sin3122sin212sin4)(xxxxxf )20( x2oyx(2) 將將 f (x) 作作偶偶周期延拓周期延拓, ,),2,1(0

14、nbn 200d22xxa2 20d2cos22xxnxan 1)1(422 nn xxf )(),2,1( k 25cos5123cos312cos81222xxx )20( x kn2,0 ,)12(822 k12 kn當函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時當函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時,方法方法1, , )(baxxf令,2abzx即2abxzzabzfxfzf, )2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里葉級數(shù)上展成傅里葉級數(shù))(zf周期延拓周期延拓將將2abxz)(xf在在,ba代入展開式代入展開式上的傅里葉級數(shù)上的傅里葉級數(shù) 其展開方法為其展開方法為:xab2ba方法方法2, ,

15、)(baxxf令,azxzazfxfzf, )()()(ab,0在ab,0上展成上展成正弦正弦或或余弦余弦級數(shù)級數(shù))(zf奇奇或或偶偶式周期延拓式周期延拓將將 代入展開式代入展開式axz)(xf在在,ba即axz上的上的正弦正弦或或余弦余弦級數(shù)級數(shù) xab例例3. 將函數(shù))155(10)(xxxf展成傅里里葉級數(shù).解解: 令,10 xz設(shè))55( )10()()(zzzfxfzf將f(z) 延拓成周期為 10 的周期函數(shù), 理條件.由于f(z) 是奇函數(shù), 故),2, 1,0(0nan5052zbnzznd5sinnn10) 1(),2,1(n則它滿足收斂定5sin) 1(10)(1znnzf

16、nn)55(z5sin) 1(10101xnnxnn)155( x)(zfz55o ,處收斂于練習練習1.)(xf0 x,1 x0,12x則它的傅里里葉級數(shù)在x在4x處收斂于 .提示提示:2)()(ff2 )(f)(f2222)4()4(ff2)0()0( ff21102設(shè)周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達式為xyo11xyo11)(xf練習練習. 寫出函數(shù))(xf0, 1x x0, 1上在,傅氏級數(shù)的和函數(shù) .)(xs0, 1x x0, 10 x,0 x,0答案:三、小結(jié)三、小結(jié)1. 驗證是否滿足狄氏條件驗證是否滿足狄氏條件(收斂域收斂域,奇偶性奇偶性);2.求出傅氏系數(shù)求出傅氏系數(shù);3.寫出傅氏級

17、數(shù)寫出傅氏級數(shù),并注明它在何處收斂于并注明它在何處收斂于).(xf以以 2l 為周期的傅里葉系數(shù)；奇函數(shù)和偶函數(shù)的為周期的傅里葉系數(shù)；奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉系數(shù)；正弦級數(shù)與余弦級數(shù)；非周期函傅里葉系數(shù)；正弦級數(shù)與余弦級數(shù)；非周期函數(shù)的周期性延拓數(shù)的周期性延拓 .求傅里葉級數(shù)展開式的步驟：求傅里葉級數(shù)展開式的步驟：將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時為什么最好先畫出將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時為什么最好先畫出其圖形其圖形? ?答答: : 易看出奇偶性及間斷點易看出奇偶性及間斷點, , 從而便于計算系數(shù)和寫出收斂域從而便于計算系數(shù)和寫出收斂域 . .思考思考需澄清的幾個問題需澄清的幾個問題.(誤認為以下三情況正確誤認為以下三情況正確)1) 只有周期函數(shù)才能展成傅氏級數(shù)只有周期函數(shù)才能展成傅氏級數(shù);2, 0)2的傅里葉級數(shù)唯一的傅里葉級數(shù)唯一展成周期為展成周期為上上在在 . )(,)3xf級數(shù)處處收斂于級數(shù)處處收斂于值點時值點時上連續(xù)且只有有限個極上連續(xù)且只有有限個極在在 一、一、 設(shè)周期為設(shè)周期為2的周期函數(shù)的周期函數(shù))(xf在一個周期內(nèi)的表達式在一個周期內(nèi)的表達式為為 121,1210,101,)(xxxxxf, ,試將其展開成傅里葉級試將其展開成傅里葉級 數(shù)數(shù) . .二、二、 試將函數(shù)試將函數(shù) lxlxllxxxf2,20,)(展開