提公因式法知識講解

1、精心整理提公因式法（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解因式分解的意義 , 以及它與整式乘法的關(guān)系；2 能確定多項式各項的公因式，會用提公因式法將多項式分解因式.【要點梳理】要點一、因式分解把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式 .要點詮釋：（1 ）因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.（2 ）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.（3 ）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形， 而整式乘法是一種運算 .要點二、公因式多項式的各項中都含有相同的因

2、式，那么這個相同的因式就叫做公因式 .要點詮釋：（1 ）公因式必須是每一項中都含有的因式.（ 2 ）公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個多項式 .（ 3 ）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：公精心整理因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù) . 字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的 .要點三、提公因式法把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式m， 另 一 個 因 式 是， 即，而正好是除以 m 所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法要點詮釋：（1 ）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（ 2 ）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項式各項

3、的公因式 .（3 ）當(dāng)多項式第一項的系數(shù)是負(fù)數(shù)時， 通常先提出“”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)， 同時多項式的各項都要變號 .（ 4 ）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零， 則提取公因式后， 該項變?yōu)椋骸?1 ”或“ 1 ”，不要把該項漏掉，或認(rèn)為是 0 而出現(xiàn)錯誤 .【典型例題】類型一、因式分解的概念1、觀察下列從左到右的變形：6a3b32a2b3ab2； mambcm abc6x2 12xy6 y26 xy22b3a2b9a24b2； 3a其中是因式分解的有（填序號）精心整理【思路點撥】 根據(jù)因式分解的定義是將多項式形式變成幾個整式的積的形式，兩方面去判

4、斷從對象和結(jié)果【答案】（ 3）.【解析】解： (1)的左邊不是多項式而是一個單項式，(2) (4) 的右邊都不是積的形式，所以它們都不是因式分解；只有 (3) 的左邊是多項式，右邊是整式的積的形式，所以只有(3) 是因式分解【總結(jié)升華】 因式分解是將多項式變成積的形式，所以等式的左邊必須是多項式，將單項式拆成幾個單項式乘積的形式不能稱為因式分解等式的右邊必須是整式因式積的形式舉一反三：【變式】（ 2014?海南）下列式子從左到右變形是因式分解的是（）A.a2 +4a21=a（ a+4） 21B.a2+4a 21=（a 3）（ a+7）C. （ a3）（ a+7） =a 2 +4a21D.a2+

5、4a 21=（a+2）2 25【答案】B.類型二、提公因式法分解因式2、 (1)多項式3x26 xy3 的公因式是_；(2) 多項式4mn316m28m的公因式是_；(3)多項式x(bca)y(bca)(abc) 的公因式是_；(4)多項式2( x3)x(3x) 的公因式是_【答案】(1)3(2)4m(3)bca(4)x3【解析】解：先確定系數(shù)部分的公因式，再確定字母部分的公因式(1) 的公因式就是 3、6、 3 的最大公約數(shù)，最后的一項中不含字母，所以公因式中也不含字母公因式為 3.(2) 公因式的系數(shù)是4、 16、 8 的最大公約數(shù)，字母部分是m 公因式為4 m .(3) 公因式是（ b

6、c a ），為一個多項式因式(4) 多項式可變形2 x3x x3，其公因式是x3 【總結(jié)升華】 確定公因式一定要從系數(shù)、字母及指數(shù)三方面入手，公因式可以是一個數(shù)，可以是一個單項式，還可以是一個多項式，互為相反數(shù)的因式可變形為公因式也舉一反三：【變式】下列多項式中，能用提公因式法分解因式的是（）Ax2yB x22xC xy2Dxxyy2精心整理【答案】 B；3、若 p q2q p32q p E ，則 E 是（） 1 q pBqpC 1 p qD 1 q pA【答案】 C；【解析】解：p2qp3p2p q故選 Cqq1q222【總結(jié)升華】 觀察等式的右邊，提取的是p ，故可把p q 變成 q p，

7、即左邊 qp2pq. 注意偶次冪時，交換被減數(shù)和減數(shù)的位置，值不變；奇次冪時，交1換被減數(shù)和減數(shù)的位置，應(yīng)加上負(fù)號舉一反三：【變式】把多項式m 1m1m 1提取公因式m1 后，余下的部分是（）A m 1B 2mC2D m 2【答案】 D；解： m 1 m 1m1， m 1 m 1 1 ， m 1 m 2 4、（ 2015 春 ?新沂市期中）分解因式：3x（ a b） 6y（ b a） .【思路點撥】將原式變形后，提取公因式即可得到結(jié)果【答案與解析】解：原式 =3x（ a b）+6y （ a b） =3（ a b）（ x+2y ）【總結(jié)升華】 此題考查了因式分解提公因式法， 熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】用提公因式法分解因式正確的是（）A 12abc9a2b2c23abc 43abB 3x2 y3xy6 y3yx2x 2 yC a2abacaabcD x2 y5xyyyx25x精心整理【答案】 C；解： A. 12abc9a2b2c23abc 43abc ，故本選項錯誤；B. 3x2 y3xy 6y3y x2x2 ，故本選項錯誤；C. a2abaca abc，正確；D. x2 y5xyyy x25x1，故本選項錯誤類型三、提公因式法分解因式的應(yīng)用5、若 x23x 20 ，求 2x36