從不同觀測系（參照系）的角度看芝諾阿克琉斯追烏龜悖論的破解以及芝諾表述迷惑人的地方究竟在何處

1、 從不同觀測系（參照系）的角度看芝諾阿克琉斯追烏龜悖論的破解以及芝諾表述迷惑人的地方究竟在何處 沈衛(wèi)國一、觀測系（參照系）的選擇對芝諾悖論破解的影響及貢獻(xiàn)筆者前期文章中已經(jīng)講的十分清楚了，在芝諾的阿克琉斯追烏龜悖論中，如果把觀測系定在烏龜背上，也就是在該觀測系（參照系）中，烏龜是靜止的。此時(shí)我們可以很清楚地看出，芝諾的描述等價(jià)于“在阿克琉斯追上烏龜之前”。實(shí)際上，這就是芝諾描述的情況的前提或緣由。也就是，只有在阿克琉斯追上烏龜之前，才會(huì)有每當(dāng)阿克琉斯到達(dá)前一時(shí)刻烏龜?shù)竭_(dá)的點(diǎn)時(shí)，烏龜又利用這段時(shí)間前進(jìn)了一段距離。于是，最終芝諾的阿克琉斯追烏龜悖論的完整表述或本質(zhì)表述，等價(jià)于“在阿克琉斯追上烏龜之

2、前，阿克琉斯沒有追上烏龜”?；颉霸诎⒖肆鹚箾]有到達(dá)烏龜那一點(diǎn)時(shí)（共點(diǎn)），阿克琉斯沒有到達(dá)烏龜?shù)哪且稽c(diǎn)（未共點(diǎn)）”?？梢园堰@新的表述看成是同義反復(fù)，也可以看成是前因后果的關(guān)系：追上之前是前提，或原因，而阿克琉斯尚未追上烏龜是結(jié)果。顯然，所謂“在阿克琉斯追上烏龜之前”這個(gè)命題，當(dāng)然不等于“阿克琉斯就追不上烏龜”，無論是在有限時(shí)間還是在無限時(shí)間（永遠(yuǎn)）中。我們都知道，同一個(gè)物理事件或過程，改變觀測系或?qū)Σ煌挠^測系而言，其物理規(guī)律和事實(shí)不變，改變的僅僅是其表觀形態(tài)而已。因此，同一個(gè)物理過程，我們可以站在不同的觀測系的角度來看，有時(shí)可以使得該物理事件或過程的本質(zhì)更容易地被揭示。或簡化、明確該事件或過程

3、的描述。按上面的思路，我們可以把芝諾論述阿克琉斯追烏龜悖論所依據(jù)的那個(gè)觀測系定義成a觀測系，把定在烏龜“背上”的觀測系定義成b觀測系。顯然，在通常的a觀察系中，阿克琉斯是在追趕烏龜?shù)?。我們設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)方向都是自左向右的。阿克琉斯的運(yùn)動(dòng)速度（單位為省事起見省略）為5，烏龜為1。都左向。那么，同樣的這個(gè)物理事件或過程，在定在烏龜背上的b觀測系看來，烏龜?shù)倪\(yùn)動(dòng)速度為0，未動(dòng)。而阿克琉斯的運(yùn)動(dòng)速度為4，仍舊左向。這個(gè)b觀測系，當(dāng)然是相對a觀測系在向右以速度1運(yùn)動(dòng)著的（與烏龜同速同向）。我們現(xiàn)在定義一個(gè)c觀測系，它相對于a觀測系向右以速度6運(yùn)動(dòng)，在此觀測系中，烏龜向左以-5速度運(yùn)動(dòng)，而阿克琉斯也向左以速

4、度-1運(yùn)動(dòng)。在這個(gè)c觀測系中看來，烏龜反倒以更高的速度-5在向左追擊速度更慢的（-1） 阿克琉斯（當(dāng)然是只講“速度”和方向，不論阿克琉斯的臉和烏龜?shù)念^的“朝向”）。 由此可見，同樣的物理事件或過程，在不同的觀測系看來，本質(zhì)未變，但表觀效果（觀感）是不同的。于是，我們不妨定義一個(gè)觀測系d，其相對a觀測系向右以速度3運(yùn)動(dòng)，在靜止于此觀測系的人看來，阿克琉斯向右以速度2運(yùn)動(dòng)，而烏龜向左以速度-2運(yùn)動(dòng)，二者等速迎頭相向而行。它們當(dāng)然早晚會(huì)“碰頭”，也就是會(huì)合。而這個(gè)“事件”，正是a觀測系中人們看到阿克琉斯追上了烏龜?shù)哪且粫r(shí)刻。我們特別注意到，在這個(gè)d觀測系中，同樣的物理過程，從來就沒有什么在a觀測系中

5、看來的“阿克琉斯到達(dá)烏龜先前的位置時(shí)，烏龜又前進(jìn)了一段距離”等等。因?yàn)樵谶@個(gè)d觀測系中的人（觀察者）看來，阿克琉斯并沒有循著烏龜?shù)穆窂饺プ窊魹觚?，而是二者相向而行。在?huì)合之前，沒有任何空間坐標(biāo)點(diǎn)被先后“共享”。在此觀測系中的觀察者看來，每當(dāng)向右運(yùn)動(dòng)的阿克琉斯到達(dá)一個(gè)靜止于d參照系中的點(diǎn)時(shí)，烏龜都在其右方（即芝諾悖論賴以表述的a觀測系的“前進(jìn)方向”），也就是始終在“前”（芝諾的觀測系中的表述），但二者間的距離是不斷縮短的，因?yàn)樵赿系中，二者是“相互迎頭運(yùn)動(dòng)”著的。在這個(gè)與芝諾表述（基于a觀測系的）等效的d觀測系中，烏龜始終在阿克琉斯的右邊（對應(yīng)于芝諾的烏龜始終在阿克琉斯的前方）的事實(shí)，是基于“二

6、者會(huì)合之前”這個(gè)前提的。換言之，烏龜?shù)摹笆冀K在右”或“始終在前”的這個(gè)“始終”，是以二者“追上”或“會(huì)合”那一刻之前為前提的。也就是這個(gè)所謂的“始終”，是會(huì)“終”于會(huì)合的那一刻的。這一切（相同的一個(gè)事件、過程）在芝諾基于a觀測系的描述看來不明顯，而基于d觀測系對同一事件的描述看來，是非常明顯的。芝諾基于a觀測系的那個(gè)經(jīng)典表述，即“阿克琉斯剛到烏龜前一刻所經(jīng)過的那點(diǎn)，烏龜又前進(jìn)（向右）了”，當(dāng)然等效于基于d觀測系的二者在會(huì)合之前，烏龜始終在阿克琉斯的右邊，盡管是二者是不斷接近的。而正是這個(gè)“二者不斷地接近”這個(gè)信息，在芝諾的那個(gè)經(jīng)典表述中（基于a觀測系的）沒有反映出來。他只是說“烏龜又前進(jìn)了（此

7、例中即“向右了”）”。同樣的事實(shí)、過程，在d觀測系的說法，就是“烏龜始終在阿克琉斯的右邊”。右邊多少，是縮短了還是不變還是加大了，一概在芝諾的經(jīng)典表述中沒有出現(xiàn)。因此可以看出，在d觀測系中很容易被表述出來的阿克琉斯與烏龜間的相對運(yùn)動(dòng)特性（1、阿在左，龜在右。2、二者不斷接近，最終會(huì)合），在芝諾基于a觀測系的經(jīng)典表述中，實(shí)際上只剩下了“阿克琉斯在左，烏龜在右”，二者的不斷接近的信息，在芝諾的表述中沒有明確，需要進(jìn)一步的分析與推導(dǎo)。正如筆者現(xiàn)在所作的這樣。（筆者說了這么多，不都是在“分析”、“推導(dǎo)”嗎？）我們現(xiàn)在還可以換一個(gè)思路，不一定非要站在觀測系的角度來看阿克琉斯與烏龜?shù)倪\(yùn)動(dòng)方式，而是站在一個(gè)

8、觀測系的角度，來看另一個(gè)觀測系中靜止的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。比如，我們站在b觀測系的角度，也就是以“烏龜背”上的觀測者的角度，來看靜止于觀測系a中的某點(diǎn)先后經(jīng)過烏龜與阿克琉斯的情況，我們又會(huì)得到什么樣直觀的結(jié)論呢？須知，這與a觀測系中的觀察者看到的阿克琉斯追烏龜這個(gè)過程是同一個(gè)“事件”或過程，只是“觀察角度”不同罷了。具體說，我們在烏龜背上（觀測系b中），會(huì)看到靜止于觀測系a中的所有的點(diǎn)，是向左以速度-1運(yùn)動(dòng)著的。這些個(gè)點(diǎn)，在阿克琉斯到達(dá)（追上）烏龜靜止的那點(diǎn)前，都是要從右至左地先到達(dá)烏龜，然后再到達(dá)阿克琉斯的。注意，這里特別要強(qiáng)調(diào)在此b觀測系中十分顯然的事實(shí)：在阿克琉斯到達(dá)烏龜那點(diǎn)之前。因此只有在這

9、個(gè)“之前”，阿克琉斯才與烏龜之間有非0距離（無論多?。?，也才有靜止于a觀測系中點(diǎn)從右至左地先到烏龜，再到阿克琉斯的時(shí)間差存在。顯然，對這同一個(gè)事件或過程，無論在b觀測系中看，還是在a觀測系中看，實(shí)質(zhì)是一回事，只是表現(xiàn)形式不同。于是，在b中看靜止于a中的點(diǎn)的從右向左先到烏龜后到阿克琉斯，與在a中看烏龜從左向右先到靜止與a中的某點(diǎn)，而阿克琉斯隨后也從左向右到該點(diǎn)是同一個(gè)事件過程。于是，在芝諾悖論悖論的表述中的“當(dāng)阿克琉斯到達(dá)前一時(shí)刻烏龜?shù)竭_(dá)的某點(diǎn)時(shí)，烏龜又前進(jìn)了一段距離”，等于是說在前一時(shí)刻烏龜已經(jīng)也就是“先”到達(dá)了該點(diǎn)，稍后，阿克琉斯才到達(dá)同一個(gè)點(diǎn)。這等價(jià)于在b（烏龜背上看到的）中看到的靜止于a

10、中的點(diǎn)先到烏龜再到阿克琉斯。我們還可以定義一個(gè)e觀測系，把e定義在阿克琉斯身上。在這個(gè)e觀測系（也可以認(rèn)為是“阿克琉斯觀測系”）中，阿克琉斯當(dāng)然是靜止的，烏龜此時(shí)以-4的速度從右向左運(yùn)動(dòng)。阿克琉斯還是在烏龜?shù)淖筮?。在這個(gè)e觀測系中（也就是在阿克琉斯看來），烏龜是從右邊過來，向處于左邊的他以-4的速度接近并且最終與他會(huì)合的。而在他看來，靜止于a觀測系（芝諾所賴以描述整個(gè)過程的觀測系）中的某點(diǎn)，是從右邊先到達(dá)烏龜，再（后）到達(dá)阿克琉斯自己的。但注意，在這個(gè)e觀測系中看，當(dāng)a中的靜止點(diǎn)先到烏龜再到阿克琉斯的這段時(shí)間差中，烏龜不是原先的向右又走了多少距離，而是向左又走了一段距離，也就是向著阿克琉斯又近

11、了一點(diǎn)距離。這個(gè)距離是不斷縮小的，最終當(dāng)然會(huì)等于0，也就是二者會(huì)合。在芝諾的賴以表述其悖論的a觀測系中看，也就是阿克琉斯追上了烏龜?shù)哪莻€(gè)時(shí)刻。而在阿克琉斯靜止其中的e觀測系中看，非常明顯地，當(dāng)a 中的某靜止點(diǎn)經(jīng)過烏龜從右而左地到達(dá)阿克琉斯時(shí)，只要烏龜與阿克琉斯還沒有會(huì)合，烏龜就還距離阿克琉斯一段距離，但這個(gè)距離是不斷縮小的。最終為0，這是非常明顯的。因此顯然地，說在二者會(huì)合之前（當(dāng)然就是芝諾的“追上”之前）一定會(huì)有不為0的距離，證明不了二者永遠(yuǎn)不會(huì)會(huì)合，也就是證明不了總是會(huì)有不為0的距離。因?yàn)榭梢悦黠@看出，二者間的距離是不斷縮短最終消失的。而這個(gè)e觀測系中對整個(gè)事件、過程的描述，與芝諾的基于a

12、觀測系的描述的是同一個(gè)事件、過程。在芝諾的表述中給出的a觀測系看來，一個(gè)靜止與a的點(diǎn)，先被烏龜從左到右地“經(jīng)過”，然后才有在其后面（左邊）以更快是速度從左到右地經(jīng)過，烏龜與阿克琉斯的運(yùn)動(dòng)方向在a觀測系中一致，都向右，但速度值不一樣，阿克琉斯當(dāng)然更快。因此，二者之間的相對距離的不斷縮小，雖然不太直觀，但仍舊是可以看出來的。因此，芝諾那個(gè)似是而非的悖論表述，其根源是對整個(gè)事件、過程的描述不完全所致。也就是沒有對整個(gè)事件、過程的所有要素都進(jìn)行完備的描述，它等價(jià)于“在阿克琉斯追上烏龜之前的前提下，阿克琉斯沒有或尚未追上烏龜”。這是同義反復(fù)，或也可以看成是“因?yàn)橛辛税⒖肆鹚棺飞蠟觚斨斑@個(gè)前提，所以才有

13、阿克琉斯還沒有追上烏龜?shù)慕Y(jié)論”，具體說就是芝諾在其悖論中的那些表述才能成立。這當(dāng)然不意味著僅僅根據(jù)阿克琉斯還沒有追上烏龜，或等價(jià)地在芝諾的那些表述下，就推出阿克琉斯永遠(yuǎn)或在有限時(shí)間中不可能追上烏龜?shù)慕Y(jié)論。一個(gè)推導(dǎo)的前提，不能作為該推導(dǎo)的結(jié)論。邏輯上這就是因果倒置、以因?yàn)楣?。這就是芝諾阿克琉斯追烏龜悖論的完整的、完備的邏輯結(jié)構(gòu)。而一個(gè)悖論也好，佯謬也好，只要一旦明確其通常是自相矛盾或同義反復(fù)的邏輯結(jié)構(gòu)，也就等于把其原先悖在何處、謬在何處講清楚了。而一旦講清，悖論自消，也就是所謂的“解?！绷恕?、 芝諾悖論的經(jīng)典表述究竟為什么會(huì)如此迷惑于人最后，我們來分析一下究竟為什么在其它觀測系中看來非常明確的

14、一個(gè)問題，而在芝諾 的a觀測系中卻如此不明顯，以至于多少年來，爭論不休？我們說，如果我們把觀測的基點(diǎn)放在靜止的一方或速度慢的一方（也就是被追擊的一方，也就是“烏龜方”），則可以很明顯地看到另一方（阿克琉斯方）對其的不斷接近，也就是二者的距離不斷地縮短直至消失為0的整個(gè)過程（就是“追上”）。但芝諾的那個(gè)經(jīng)典的基于a觀測系的表述中，卻不是基于被追擊的、速度慢的烏龜?shù)?，而是基于追擊的一方、也就是速度快的阿克琉斯一方的。因此，該方（就是阿克琉斯）?jīng)過、到達(dá)靜止在a觀測系中某點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)是烏龜曾經(jīng)在之前到過、經(jīng)過的?，F(xiàn)在烏龜已經(jīng)又前進(jìn)一段了。在這個(gè)表述中，沒有阿克琉斯與烏龜間距離的任何信息，沒有它們越來越

15、短的任何表述。因?yàn)榘⒖肆鹚贡葹觚斶\(yùn)動(dòng)速度快這點(diǎn)，不像把觀測基點(diǎn)設(shè)定在烏龜身上（a觀測系中的靜止點(diǎn)，烏龜先經(jīng)過，阿克琉斯后來再到達(dá)），阿克琉斯比烏龜運(yùn)動(dòng)速度快，可以很容易地看出來。但如果基點(diǎn)在阿克琉斯身上，則我們說的是“當(dāng)阿克琉斯到達(dá)該點(diǎn)時(shí)”，烏龜又前進(jìn)了。阿克琉斯與烏龜間的相對速度，被掩蓋了。既沒有提，也不明顯。在這個(gè)芝諾的表述中，也無法區(qū)分如果阿克琉斯與烏龜?shù)人偕踔翞觚敺吹贡劝⒖肆鹚惯\(yùn)動(dòng)快等情況之間的區(qū)別。它只是告訴我們，“烏龜又前進(jìn)了”，前進(jìn)了多少，與阿克琉斯間的距離是多少，如何變化的等等信息，都沒有。由于在a觀測系中，阿克琉斯與烏龜是同向運(yùn)動(dòng)的，把觀測基點(diǎn)放在后面的、速度快的、追趕烏龜?shù)?/p>

16、阿克琉斯身上，在表述上就缺失了把觀測系固定在被追趕者烏龜身上（烏龜在該系中靜止的b系）或?yàn)觚斶\(yùn)動(dòng)速度慢的觀測系中那么明顯。因此，阿克琉斯與烏龜之間的距離不斷縮短的信息在芝諾的表述中的缺失或二者間原本存在的相對接近的速度沒有被表述及很容易地被看出（觀測基點(diǎn)被選在了追擊方的、速度快的、與烏龜同方向的阿克琉斯身上），在a觀測系中，看不到烏龜向著阿克琉斯的接近。只是看到阿克琉斯前進(jìn)了，烏龜也同向地前進(jìn)了。前進(jìn)了多少，前進(jìn)距離是不是更小了，一概沒有表述，與二者等速運(yùn)動(dòng)或?yàn)觚敻爝\(yùn)動(dòng)的情況沒有表述上的區(qū)別。這就是芝諾的這個(gè)悖論迷惑人的地方。它之所以能迷惑，是追趕的信息不完整。沒有看到其表述的現(xiàn)象，僅僅在阿

17、克琉斯追上烏龜之前這個(gè)前提條件下才會(huì)具有。即：阿克琉斯到達(dá)烏龜先前經(jīng)過的點(diǎn)時(shí)，烏龜又前進(jìn)了。只有在“阿克琉斯追上烏龜之前”這個(gè)前提條件下才能有。而此點(diǎn)是比較隱蔽的，不容易在芝諾的表述中被發(fā)現(xiàn)的。原因就是觀測基點(diǎn)的選擇問題。它使得問題被表述的模糊了。仔細(xì)盤點(diǎn)芝諾的對其悖論的表述“每當(dāng)阿克琉斯到達(dá)烏龜先前的位置時(shí)，烏龜又前進(jìn)了一段距離”與其實(shí)與其等價(jià)的“每當(dāng)烏龜?shù)竭_(dá)某點(diǎn)時(shí)，阿克琉斯都在其后某位置”之間的區(qū)別，可以發(fā)現(xiàn)，前者烏龜是“離開”阿克琉斯在a觀測系中達(dá)到的那個(gè)靜止的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的。而在后者，阿克琉斯是“朝向”烏龜在a觀測系中到達(dá)的那個(gè)靜止的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的。后者如果加上阿克琉斯比烏龜運(yùn)動(dòng)速度快這一事實(shí)，則

18、很容易看出二者間距會(huì)不斷縮小。即：烏龜剛剛“離開”該點(diǎn)，阿克琉斯就“朝著”該點(diǎn)跑來了，且以更快的速度。再傻的人，也能很容易地看出將會(huì)發(fā)生什么。但前者，即同一事件在芝諾的表述下，阿克琉斯到達(dá)某點(diǎn)時(shí)，烏龜不是“朝向”該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，而是向著“離開”該點(diǎn)的方向在運(yùn)動(dòng)，盡管運(yùn)動(dòng)方向與阿克琉斯是一致的，而且都知道阿克琉斯的運(yùn)動(dòng)速度大于烏龜?shù)倪\(yùn)動(dòng)速度，但在芝諾的表述中，二者的相對距離的不斷接近這個(gè)事實(shí)，不但在表述中沒有，而且不容易被一眼看出。也就是前文討論的，芝諾的這套語言“把戲”，只要阿克琉斯到達(dá)烏龜先前的位置，烏龜就會(huì)又前進(jìn)這個(gè)事實(shí)，是基于一個(gè)前提條件的，就是“阿克琉斯追上烏龜之前”。此要點(diǎn)在芝諾的經(jīng)典表述

19、中是不容易被看出來的（別看很簡單！我之前，有誰得到這個(gè)認(rèn)知了，請有心者明確指出來。一個(gè)是防止有人抄，一個(gè)是杜絕有人說“這有什么呀，本來就如此嘛”之類的便宜話）。朝向某點(diǎn)，意味著會(huì)合。而離開某點(diǎn)，表觀上似乎是分開。究竟是不是分開，還是終歸要會(huì)合，就要分析，推理了，起碼是不很直觀了?？傊ブZ的表述中容易使人困惑的原因是，在芝諾的a觀測系中，如果把這同一個(gè)事件過程，看成a觀測系中的某點(diǎn)先被速度慢的烏龜?shù)竭_(dá)并經(jīng)過，然后再被速度快的阿克琉斯到達(dá)并經(jīng)過，同一個(gè)靜止與a觀測系中的點(diǎn)，被速度不同的二者分別到達(dá)、經(jīng)過了兩次。在這樣的事實(shí)表述中，第一，很容易看出阿克琉斯在追擊烏龜，也就是他比烏龜?shù)乃俣瓤?。第二?/p>

20、根據(jù)a觀測系中某點(diǎn)先被慢速的烏龜經(jīng)過，再被快速的阿克琉斯經(jīng)過這個(gè)事實(shí)，實(shí)際我們就掌握了二者的距離信息和相對速度信息，就會(huì)推知阿克琉斯早晚會(huì)追上烏龜?shù)摹Q言之，如果把阿克琉斯與烏龜看成a觀測系中的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，我們?nèi)绻谒俣嚷臑觚旤c(diǎn)作為基準(zhǔn)，當(dāng)該點(diǎn)到達(dá)某a系中的靜止點(diǎn)時(shí)，速度快的阿克琉斯點(diǎn)是朝著烏龜點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的，而且其速度比烏龜大。這種追擊的態(tài)勢十分明確，這就很顯然，我們立刻就能明白或推出阿克琉斯早晚會(huì)追上烏龜?shù)?。但是芝諾的表述是“阿克琉斯到達(dá)烏龜前一時(shí)刻到達(dá)的某點(diǎn)時(shí)，烏龜又前進(jìn)了”。二者運(yùn)動(dòng)方向一致。可是在阿克琉斯到達(dá)a系中的某烏龜曾經(jīng)經(jīng)過的某點(diǎn)時(shí)，看此時(shí)的烏龜點(diǎn)，在a觀測系中的觀察者看來，烏龜?shù)倪\(yùn)動(dòng)方向是離開（不是“朝向”?。┌⒖肆鹚顾诘哪且稽c(diǎn)的（我們看成是基準(zhǔn)點(diǎn)）。因此僅就到此為止芝諾論述所提供的信息，a系中的觀察者，如果不作進(jìn)一步的分析，不容易看出阿克琉斯與烏龜間的相對距離在不斷地接近。因?yàn)榇藭r(shí)的觀察基點(diǎn)不是放在了被追擊的速度低的一方，而是放在了追擊一方的速度快的一方。它不容易看出這種追擊關(guān)系、二者之間的相對距離的不斷縮短的關(guān)系（