世界一流數學家發(fā)現(xiàn)實數集合的漏洞

1、世界一流數學家發(fā)現(xiàn)實數集合的漏洞Round I：為什么代數數是不可數的？實數可以用兩種不同的方式細分為兩種類型：（1）按照有理數和無理數，（2）按照代數數和超越數?？低袪栕C明了，即使是代數數這一類（它們遠比有理數更加一般），它們依然跟整數有一樣的勢。這里可能有一個錯誤：代數數集合不是可數集合。我們知道，代數數是有理系數多項式的根。而對于一個n次有理系數多項式來，他的根只有有限多個。而所有n次有理系數多項式與Qn等勢，所以是可數的。（Qn指有理數Q的n次笛卡爾積。對應方式是利用多項式系數對應Qn一個點。這是一單射，說明n次有理系數多項式至多可數。而n次有理系數多項式有無限個，說明至少可數。）所以

2、，對于固定的n，所有根的集合是可數個有限集的并是可數的。再讓n跑遍所有自然數，得到代數數集是可數個可數集的并。所以代數數集合是可數的。于是與有理數等勢。這個證明過程有一個“顯著”的邏輯錯誤，就是：當再讓n跑遍所有自然數，得到代數數集不是可數個可數集的并，而是所有n次有理系數多項式的子集的冪集，是一個簡簡單單、標準的所有無窮個子集的冪集，所以代數數集合是不可數的，它的勢是c。那么，問題來了：正是超越數，給予“實數系”以導致更高勢的“密度”。本質上正是密度問題，決定了一個集合的勢。那么，密度來自哪里？！來自我們分割的次數，次數越多，數值越小，越能達到我們無法想象的數值境界，就是能找出更多的數來，而

3、不屬于無理數。舉個例子說，22，e，等等，不知道為什么把他們歸于實數，如果把它們歸于實數，它們的密度遠遠大于代數數。（需要證明）事實上，包括康托爾、希爾伯特、劉維爾、戴德金等等一大批數學先哲們已經在感覺上幫我們找到了它們，但它們又給自己畫了一個框：通過戴德金分割，把不是有理數的數通通劃歸無理數或超越數，都包含在實數之內。因為直線和實數是一一對應的，沒有大于實數的數，實數就是“垃圾桶”。事實上它們也很早就懷疑過這個命題，包括魏爾斯特拉斯（高手）在內。那是一個“群星燦爛”的年代，那是一個輝煌的年代，那也是一個不應該的年代，只是那一代人不知為什么，始終都沒能越雷池一步，遺憾！一切都很明顯了，在超限數

4、2n的基礎上，我們得到了1/2n，它的數值是1/2c。所以說，包含超越數的實數集合的基數是2c，（假若叫實數的話）。c是第一個真正意義上的數值無窮。Round II：實數集合講解。接下來我以高屋建瓴的方式鳥瞰函數理論的算術化實數集合。這對于算術幾何也有著舉足輕重的作用，希望有更多年輕人投入到這方面的工作中去。數學的發(fā)展都是在數的引導下發(fā)生的：據希爾伯特說，戴德金和魏爾斯特拉斯對算術基本概念的定義和康托爾的作品導致了一次“函數理論的算術化”，與此同時，關于非歐幾何的現(xiàn)代研究，連同它們對嚴謹邏輯的發(fā)展和數的概念的清晰引入的關注，導致了“幾何學的算術化”。一個元素集S，如果它的一個真子集S'

5、中的元素可以跟S中的元素建立起一一對應的關系，則我們說S是無窮集。戴德金早在1858年就開始關注無理數問題，當時他正在講授微積分。他得出結論，極限概念，如果想讓它嚴謹的話，就應該僅僅通過算術來發(fā)展，無需來自幾何的引導。戴德金沒有簡單地尋找一條走出柯西的惡性循環(huán)的途徑，而是問自己，在連續(xù)的幾何量中，究竟有什么東西把它跟有理數區(qū)別開來。在思考這個問題的時候，戴德金得出結論：一條線段的連續(xù)性，其本質并非由于一種含糊不清的緊密相連，而是要歸因于一種截然相反的屬性：線段上的一點把線段分為兩部分的那種特性。把線段上的點分為兩類，使得每一點屬于且只屬于其中一類，且一類中的每一點都在另一類中的每一點的左邊，在

6、任何這樣的分割中，都有且只有一點導致這種分割。實數的定義，正如漢克爾曾經提及的那樣，是建立在有理數基礎上的智性結構，而不是從外部強加給數學的某種東西。在上述定義中，一個最流行的定義是戴德金的定義。戴德金定義了戴德金分割，是將一切有理數的集合劃分為兩個非空且不相交的子集A和B，使得集合A中的每一個元素小于集合A'中的每一個元素。集合A稱為劃分的下組，集合A'稱為劃分的上組，并將這種劃分記成A|A'。戴德金把這個劃分定義為有理數的一個分割。因為每一點附近都有大量被各種不同間隔分開的其它點存在。 從更廣泛、更嚴格的意義上說，戴德金分割是建立在有理數意義基礎上定義的無理數。即是

7、說戴德金分割是建立在有理數（超限數n的基礎上得到了（并且只能得到）數值上的無理數）。簡單的說，先是在一切有理數的集合（超限數n）這個基礎上得到了1/n，這個數值寫出來表達為1/2n，這是第一個真正意義上的數值無窮。因為每一點附近都有大量被各種不同間隔分開的其它點存在。因此我們可以在更廣泛的超限數2n的基礎上，將一切無理數的集合劃分為兩個非空且不相交的子集A和B，使得集合A中的每一個元素小于集合A'中的每一個元素。集合A稱為劃分的下組，集合A'稱為劃分的上組，并將這種劃分記成A|A'。我們可以把這個劃分定義為無理數的一個分割。戴德金原理(Dedekind principl

8、e)亦稱戴德金分割，是保證直線連續(xù)性的基礎，其內容為：如果把直線的所有點分成兩類，使得：1.每個點恰屬于一個類，每個類都不空。2.第一類的每個點都在第二類的每個點的前面，或者在第一類里存在著這樣的點，使第一類中所有其余的點都在它的前面；或者在第二類里存在著這樣的點，它在第二類的所有其余的點的前面。這個點決定直線的戴德金割切，此點稱為戴德金點(或界點)，戴德金原理是戴德金(J.W.)R.Dedekind)于1872年提出來的，在構造歐氏幾何的公理系統(tǒng)時，可以選取它作為連續(xù)公理，在希爾伯特公理組，的基礎上，阿基米德公理和康托爾公理合在一起與戴德金原理等價。19世紀戴德金利用他提出的分割理論，從對有

9、理數集的分割精確地給出了實數的定義，并且該定義作為現(xiàn)代數學實數理論的基礎之一可以推出實數理論中的六大基本定理：確界原理、單調有界定理、閉區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、致密性定理和柯西收斂準則。實數集R的任一戴德金分割(S，T)，都唯一地確定一個實數a(稱為中介數或中介點)，它或者是S的最大數(此時T中無最小數)，或者是T的最小數(此時S中無最大數)。在解析函數中，對實數定義大意是，先從自然數出發(fā)定義正有理數，然后通過無窮多個有理數的集合來定義實數；現(xiàn)在通常所采用的是戴德金和康托的構造方法。戴德金方法稱為戴德金分割，是將有理數的集合分成兩個非空不相交的子集A與B，使得A中的每一個元素小于B中的每一個

10、元素。戴德金把這種劃分定義為有理數的一個分割，記為（A，B）。因為不存在有理數X使得X的平方等于2，戴德金說，考慮一個不是由有理數產生的分割（A，B）時，就得到一個新數，即無理數a，這個數是由分割（A，B）完全確定的。因此，戴德金就把一切實數組成的集合R定義為有理數集的一切分割，而一個實數a就是一個分割（A，B）。在這一定義中，由一個給定的有理數r產生的兩個實質上等價的分割被看成是同一的。戴德金的方法也稱為戴德金分割,是將一切有理數的集合劃分為兩個非空不相交的子集和,使得中的每一個元素小于中的每一個元素,這時戴德金把這個劃分定義為有理數的一個分割,記為.有些分割是有理數產生的,在這樣的分割中,要么有最大元素,要么有最小元素.但有些分割卻不是,例如,若是由滿足的一切正有理數組成,是由一切其余的有理數組成,則既不存在的最大元素,也不存在的最小元素,因