線性代數(shù)及其應(yīng)用

1、第第5 5章章 二次型二次型n 二次型與對(duì)稱矩陣二次型與對(duì)稱矩陣n 二次型的標(biāo)準(zhǔn)化二次型的標(biāo)準(zhǔn)化n 慣性定理慣性定理 二次型的規(guī)范形二次型的規(guī)范形n 正定二次型正定二次型n MathematicaMathematica軟件應(yīng)用軟件應(yīng)用第第5.1節(jié)節(jié) 二次型與對(duì)稱矩陣二次型與對(duì)稱矩陣 二次型理論起源于解析幾何中化二次曲線或二次型理論起源于解析幾何中化二次曲線或二次曲面方程為標(biāo)準(zhǔn)形問(wèn)題二次曲面方程為標(biāo)準(zhǔn)形問(wèn)題. . 這里這里首先介紹一些首先介紹一些基本概念，然后討論如何利用可逆線性變換把一基本概念，然后討論如何利用可逆線性變換把一個(gè)二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形個(gè)二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形. .基本內(nèi)容基本內(nèi)容n二次型的

2、定義二次型的定義n二次型的矩陣表示二次型的矩陣表示的的二二次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)變變量量含含有有nxxxn,21稱為稱為n元二次型，簡(jiǎn)稱元二次型，簡(jiǎn)稱二次型二次型.稱為稱為二次型的系數(shù)二次型的系數(shù).1. 二次型定義二次型定義定義定義1), 2 , 1,(njiaij 22232232222113113211221112122222),(nnnnnnnnxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxf 定義定義2 （二次型的標(biāo)準(zhǔn)形）（二次型的標(biāo)準(zhǔn)形）3121232221321422),(xxxxxxxxxxf 23222132126),(xxxxxxf 只含有平方項(xiàng)的二次型，即只含有平方項(xiàng)的

3、二次型，即222221121),(nnnydydydyyyf 稱為稱為標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形. 例如：例如：一般二次型一般二次型標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型2. 二次型的矩陣表示二次型的矩陣表示對(duì)二元二次型，有對(duì)二元二次型，有221211 122212 1 2221 112 1 222212 1 2111 1122212 122211 11221212 1222( ,)2()()()()( ,)f x xa xa xa x xa xa x xa xa x xx a xa xx a xa xa xa xx xa xa x,xxTA(,)aaxx xaax111211212222二次型的矩陣表示二次型的矩陣表示,.xaax

4、AAxaa1111221222其其中中, ,為為二二階階對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣一般地，對(duì)一般地，對(duì)n元二次型元二次型22232232222113113211221112122222),(nnnnnnnnxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxf2332211332333233213312232232222122111311321122111nnnnnnnnnnnnnnnxaxxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxxaxa)()()()(332211333323213132323222121213132121111nnnnnnnnnnnnnxaxaxaxax

5、xaxaxaxaxxaxaxaxaxxaxaxaxaxnnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121),(,nnijjinnnnnaaaxaaaxaaAxaaax11121121222212令令則則,.TijjiaaAAA由由于于于于是是即即 為為對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣二次型二次型f 與實(shí)對(duì)稱矩陣是一一對(duì)應(yīng)的與實(shí)對(duì)稱矩陣是一一對(duì)應(yīng)的. 稱稱A為二次型為二次型f 的矩陣；稱的矩陣；稱A的秩為二次型的秩為二次型f 的秩的秩.二次型二次型f 的標(biāo)準(zhǔn)形與對(duì)角矩陣是一一對(duì)應(yīng)的的標(biāo)準(zhǔn)形與對(duì)角矩陣是一一對(duì)應(yīng)的.AxxxxxfTn ),(21二次型的矩陣表示二次型的矩陣表示32212

6、32221321322),()1(xxxxxxxxxxf ( )(,),xfxxxxxxxx112312323110311223012例例1 1 寫(xiě)出二次型的矩陣表示寫(xiě)出二次型的矩陣表示解解2322213214),()2(xxxxxxf ( )(,),xf xxxxxxxx1123123231002010004問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 如何將一個(gè)二次型經(jīng)過(guò)可逆（滿秩）的線如何將一個(gè)二次型經(jīng)過(guò)可逆（滿秩）的線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形？性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形？即通過(guò)怎樣的線性變換將一即通過(guò)怎樣的線性變換將一個(gè)帶有交叉的二次齊次多項(xiàng)式個(gè)帶有交叉的二次齊次多項(xiàng)式( (一般二次型一般二次型) )化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)為只含有平方項(xiàng)的二次齊式為

7、只含有平方項(xiàng)的二次齊式 ( (標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形).).第第5.2節(jié)節(jié) 二次型的標(biāo)準(zhǔn)化二次型的標(biāo)準(zhǔn)化nnnnnnnnnnnnx xxyyyxc yc yc yxc yc ycyxcyxc ycycy121211111221221122221122,變變量量與與變變量量之之間間的的關(guān)關(guān)系系式式即即 1. 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí) 將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，需要借助線性變換來(lái)將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，需要借助線性變換來(lái)實(shí)現(xiàn)首先回顧實(shí)現(xiàn)首先回顧線性變換線性變換的概念的概念,.nnxxxyyy1212稱稱為為由由到到的的線線性性變變換換 若若C可逆，稱之為可逆線性變換；可逆，稱之為可逆線性變換；若若C是正交矩陣，稱之為正交線性

8、變換是正交矩陣，稱之為正交線性變換.12( ,)()()().TTTTTnTf x xxx AxCyACyy C AC yyyC AC為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型. .其其中中為為對(duì)對(duì)角角陣陣其次，給出其次，給出矩陣合同矩陣合同的概念的概念 對(duì)對(duì)n元二次型，我們關(guān)心的主要問(wèn)題是：尋找元二次型，我們關(guān)心的主要問(wèn)題是：尋找可逆的線性變換可逆的線性變換x=cy，使，使將上式中將上式中A和和 滿足的特殊關(guān)系一般化，有以下定義滿足的特殊關(guān)系一般化，有以下定義:定義（合同矩陣）：定義（合同矩陣）：設(shè)設(shè)A、B為為n階矩陣，如果有可逆階矩陣，如果有可逆矩陣矩陣C，使，使 CTAC=B稱稱A與與B合同合同.合同是矩陣之間的

9、一種關(guān)系，具有合同是矩陣之間的一種關(guān)系，具有n反身性反身性n對(duì)稱性對(duì)稱性n傳遞性傳遞性定理：定理：可逆線性變換后的二次型矩陣與原二次型的可逆線性變換后的二次型矩陣與原二次型的矩陣合同矩陣合同二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：如何將一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同于如何將一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同于一個(gè)對(duì)角矩陣。一個(gè)對(duì)角矩陣。1. 正交變換法正交變換法 由于二次型的矩陣由于二次型的矩陣A都是實(shí)對(duì)稱矩陣，根據(jù)上都是實(shí)對(duì)稱矩陣，根據(jù)上一節(jié)的結(jié)果知一節(jié)的結(jié)果知,存在正交矩陣存在正交矩陣Q ，使，使 Q1AQ= QT AQ =為對(duì)角陣為對(duì)角陣. 將此結(jié)論應(yīng)用于二次型，有如下結(jié)論將此結(jié)論應(yīng)用于二次型，有如下結(jié)

10、論定理定理 任意任意n元實(shí)二次型元實(shí)二次型 f=xTAx，都可經(jīng)正交變換，都可經(jīng)正交變換xQy化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形 12221122Tnnnfyyyyy.,11的的全全部部特特征征值值為為這這里里An 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：寫(xiě)出二次型寫(xiě)出二次型 f 的矩陣的矩陣A；求正交矩陣求正交矩陣Q，使得，使得為對(duì)角陣；為對(duì)角陣；正交變換正交變換x = =Qy化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 f =yT y .12TnQ AQ 解解 (i)二次型二次型 f 的矩陣為的矩陣為例例1 求一個(gè)正交變換求一個(gè)正交變換xQy把二次型把二次型3123222132122),

11、(xxxxxxxxf 101020101A(ii)求出求出A的全部特征值及線性無(wú)關(guān)特征向量的全部特征值及線性無(wú)關(guān)特征向量2) 2(1111) 2(101020101 AE；的特征值的特征值得得2, 0321 A化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形.得對(duì)應(yīng)的一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量得對(duì)應(yīng)的一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量1011010020010101000EA由當(dāng)當(dāng)1=0,時(shí)解方程組時(shí)解方程組 (0E-A)x=0. 1011 當(dāng)當(dāng)2 =3=2,時(shí)解方程組時(shí)解方程組 (2E-A)x=0.得對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為得對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為 111,10132 (iii)將所求特征向量正交化、單位化將所求特征向量正交化、

12、單位化因因 1 分別分別 與與 2， 3正交正交,故只需將故只需將 2， 3 正交化正交化.正交化正交化1122, 取取 010101221112,22,3233 單位化單位化312123123110220,0,111022qqq 則正交變換則正交變換xQy將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.220232221yyyf (iv)寫(xiě)出正交變換寫(xiě)出正交變換令令12311022(,)00111022Qqqq 正交變換是線性變換中的特殊一類，它具有正交變換是線性變換中的特殊一類，它具有保持向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度不變等優(yōu)點(diǎn)，即若保持向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度不變等優(yōu)點(diǎn)，即若xQy為為正交變換，則正交變換，則12121

13、21212,(),xxxxxxx xx xTTTTQQQQQ Q所以正交變換能保持幾何圖形的大小和形狀不變所以正交變換能保持幾何圖形的大小和形狀不變() ()yy yxxxxx xxTTTTTQQQ Q解解 二次型二次型 f 的矩陣為的矩陣為例例2 已知二次型已知二次型22212312323( ,)2332(0)f x xxxxxax x a20003.03Aaa經(jīng)正交變換標(biāo)準(zhǔn)化后，二次型標(biāo)準(zhǔn)形的平方項(xiàng)系數(shù)經(jīng)正交變換標(biāo)準(zhǔn)化后，二次型標(biāo)準(zhǔn)形的平方項(xiàng)系數(shù)是矩陣是矩陣A的全部特征值的全部特征值,根據(jù)特征值的性質(zhì)，有根據(jù)特征值的性質(zhì)，有2| 2(9)1 2 510 Aa通過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形通過(guò)正交變

14、換化為標(biāo)準(zhǔn)形求參數(shù)求參數(shù)a ，并指出二次曲面，并指出二次曲面 所屬的所屬的 曲面類型曲面類型; .fyyy22212325123( ,)10f x x x化簡(jiǎn)為化簡(jiǎn)為這是一個(gè)橢球面，所以曲面這是一個(gè)橢球面，所以曲面 解得解得0,2.aa又得123(,)10.f x xx也也是是一一個(gè)個(gè)橢橢球球面面 通過(guò)正交變二次曲面通過(guò)正交變二次曲面方程方程22212312323( ,)233410f x x xxxxx x2221232510,yyy2. a2. 配方法配方法例例3 用配方化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用配方化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用的可逆線性并求所用的可逆線性 變換變換.3231213213231212

15、321321),()2(2423),()1(xxxxxxxxxfxxxxxxxxxxxf 解解 (1)由于由于f 中含有中含有x1的平方項(xiàng)的平方項(xiàng),首先把含首先把含x1的項(xiàng)歸并的項(xiàng)歸并起來(lái)進(jìn)行配方，得起來(lái)進(jìn)行配方，得23322223213223312121323121232172)2(23)42(2423xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf 2323223216)()2(xxxxxx 111011001C這里 3332232113332232112yxyyxyyyxxyxxyxxxy即即令令則可逆線性變換則可逆線性變換xCy化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：2221236.fyy

16、y 1122121133110,110001xyyxyyxC yCxy即其中,233223113322311zCyzyzyzzyyzyzyyz 也即也即即即再令再令23222312231213213212221)(2)()(yyyyyyyyyyyyyyyyf 有有解解 (2)由于由于f 中不含有平方項(xiàng)中不含有平方項(xiàng),首先令首先令2101010.001C其中12110101111110010111001001001CC C.232221zzzf 則則二二次次型型化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型所求可逆線性變換為所求可逆線性變換為xCz，這里這里配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（小結(jié)）配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（小結(jié)） 利

17、用和的平方公式逐步消非平方項(xiàng)（交叉項(xiàng)）利用和的平方公式逐步消非平方項(xiàng)（交叉項(xiàng)）.(1)若二次型含有若二次型含有xi的平方項(xiàng)的平方項(xiàng)，則把含有，則把含有xi的項(xiàng)集中的項(xiàng)集中,再按再按xi配成平方項(xiàng)，其余類推，直至都配成平方項(xiàng)；配成平方項(xiàng)，其余類推，直至都配成平方項(xiàng)； (2)若在二次型中沒(méi)有平方項(xiàng)若在二次型中沒(méi)有平方項(xiàng),但但aij0(i j),則首先則首先作可逆線性變換：作可逆線性變換： ),( ,jikzxyyxyyxkkjijjii化二次型為化二次型為(1)的情形，再的情形，再配方配方. 可以證明可以證明n定理定理 任何實(shí)二次型，都可經(jīng)過(guò)可逆線性變換化任何實(shí)二次型，都可經(jīng)過(guò)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)

18、形為標(biāo)準(zhǔn)形.用矩陣語(yǔ)言表述，即是用矩陣語(yǔ)言表述，即是n定理定理 對(duì)于任何實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)于任何實(shí)對(duì)稱矩陣A，總存在可逆矩陣，總存在可逆矩陣C，使得使得CTAC= 為對(duì)角矩陣，即實(shí)對(duì)稱矩陣一定合為對(duì)角矩陣，即實(shí)對(duì)稱矩陣一定合同于一個(gè)對(duì)角矩陣同于一個(gè)對(duì)角矩陣 . 3.初等變換法初等變換法n定理定理 對(duì)任何實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)任何實(shí)對(duì)稱矩陣A ,一定存在初等矩陣一定存在初等矩陣 P1,P2 Ps,使使 PsTP2TP1T AP1,P2 Ps= 為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣. . 證證 A為實(shí)對(duì)稱矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣, 故存在可逆線性變換故存在可逆線性變換xCy使使 f(x1, ,xn)=xTAx=(Cy)TA(Cy)= y

19、TCTAC y = yT y 為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形. 由于由于C為可逆矩陣，因此可以寫(xiě)成一系列為可逆矩陣，因此可以寫(xiě)成一系列 初等矩陣的乘積初等矩陣的乘積,即即 C=P1P2 Ps 從而從而 CTAC=PsT P2TP1T AP1P2 Ps= 定理表明：定理表明：對(duì)對(duì)A的行每作一次初等變換的同時(shí)，也的行每作一次初等變換的同時(shí)，也對(duì)對(duì)A的列作相同的初等變換，經(jīng)過(guò)若干次這樣的的列作相同的初等變換，經(jīng)過(guò)若干次這樣的雙雙變換變換就可把就可把A化為對(duì)角矩陣化為對(duì)角矩陣 .n初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟： (1)構(gòu)造構(gòu)造2n n矩陣矩陣 1112121222121000100

20、01nnnnnnaaaaaaAaaaE(2) TTTAssAsEAPP P AP PPECP PP211212對(duì) 施行初等行變換對(duì)整體作同樣的列變換 例例4 用初等變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形用初等變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,并求相應(yīng)的并求相應(yīng)的可逆線性變換可逆線性變換.解解 二次型二次型f 的矩陣的矩陣 32312123213212423),(xxxxxxxxxxxf 112101 ,213A2121112102101011213213100110010010001001rrAEcc于是于是 313110001120111122010001rrcc則則可逆線性變換可逆線性變換x=Cy化二次型為標(biāo)準(zhǔn)

21、形化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形3232100100011010011000112111010011001001rrCccCC111011(0)001令 .2221yyf 思考練習(xí)思考練習(xí).4427),()3(;222),()2(;242),()1(. 122234121432132312221321yzxzxyzyxzyxfxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxf 寫(xiě)寫(xiě)出出下下列列二二次次型型的的矩矩陣陣.4844)2(;4332)1(:. 232312123222132232221xxxxxxxxxfxxxxxf 化化下下列列二二次次型型成成標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形 對(duì)實(shí)二次型對(duì)實(shí)二次型 f (x1, x2, ,

22、 x3)=xTAx，用不同的可，用不同的可逆線性變換均可將其化為標(biāo)準(zhǔn)形，逆線性變換均可將其化為標(biāo)準(zhǔn)形，如果所用的可逆如果所用的可逆線性變換不同線性變換不同,則化成的標(biāo)準(zhǔn)形一般也不同但是，則化成的標(biāo)準(zhǔn)形一般也不同但是，對(duì)同一個(gè)二次型，不同的標(biāo)準(zhǔn)形還是有一些共同特對(duì)同一個(gè)二次型，不同的標(biāo)準(zhǔn)形還是有一些共同特性的性的第第5.3節(jié)節(jié) 慣性定理慣性定理 二次型的規(guī)范形二次型的規(guī)范形基本內(nèi)容基本內(nèi)容n慣性定理慣性定理n二次型的規(guī)范形二次型的規(guī)范形1. 慣性定理慣性定理定理定理 設(shè)實(shí)二次型設(shè)實(shí)二次型f(x1,xn)=xTAx 的秩為的秩為r,可逆線性可逆線性變換變換xC1y和和xC2z分別把它化為標(biāo)準(zhǔn)形分別

23、把它化為標(biāo)準(zhǔn)形), 2 , 1, 0(22112222211riyyyyyirrpppp ), 2 , 1, 0(22112222211rizzzzzirrqqqq 及及則則p=q.(證明略證明略) 設(shè)實(shí)二次型設(shè)實(shí)二次型f(x1, x2,x3)=xTAx 經(jīng)可逆線性變換化經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形 ，繼續(xù)施行可逆線性變，繼續(xù)施行可逆線性變換，可以進(jìn)一步化為下面兩種形式換，可以進(jìn)一步化為下面兩種形式: fyyy222123492222221231239及fzzzfuuu 對(duì)比以上三種標(biāo)準(zhǔn)化形式對(duì)比以上三種標(biāo)準(zhǔn)化形式,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),可以推斷：無(wú)可以推斷：無(wú)論做何種可逆線性變換論做

24、何種可逆線性變換,標(biāo)準(zhǔn)形的平方項(xiàng)系數(shù)中標(biāo)準(zhǔn)形的平方項(xiàng)系數(shù)中,非零的個(gè)數(shù)非零的個(gè)數(shù)不變；正數(shù)、負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)不變?cè)摻Y(jié)果具有一般性不變；正數(shù)、負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)不變?cè)摻Y(jié)果具有一般性,這就是這就是實(shí)二次型的慣性定律實(shí)二次型的慣性定律慣性定理慣性定理告訴我們：告訴我們：n(1) 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中，平方項(xiàng)系數(shù)中非零的個(gè)數(shù)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中，平方項(xiàng)系數(shù)中非零的個(gè)數(shù)唯一確定，是二次型的秩；正數(shù)、負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)唯唯一確定，是二次型的秩；正數(shù)、負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)唯一確定，分別稱其為二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)；一確定，分別稱其為二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)；正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)之差稱為二次型的符號(hào)正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)之差稱為二次型的符號(hào)差差n(

25、2) 該定理反映在幾何上，即是：通過(guò)可逆線性變?cè)摱ɡ矸从吃趲缀紊?，即是：通過(guò)可逆線性變換將二次曲線（面）方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，方程換將二次曲線（面）方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，方程的系數(shù)與所作的變換有關(guān)，但曲線的類型（橢圓的系數(shù)與所作的變換有關(guān)，但曲線的類型（橢圓型、雙曲型等）不會(huì)因所作線性變換不同而有所型、雙曲型等）不會(huì)因所作線性變換不同而有所改變改變第第5.4節(jié)節(jié) 正定二次型正定二次型 對(duì)不同二次型進(jìn)行分類，在理論上和應(yīng)用上都對(duì)不同二次型進(jìn)行分類，在理論上和應(yīng)用上都有重要意義有重要意義, ,本節(jié)介紹一種重要的二次型本節(jié)介紹一種重要的二次型 正定正定二次型二次型. .基本內(nèi)容基本內(nèi)容n二次型的有定性二

26、次型的有定性 n正定二次型的判別法正定二次型的判別法n二次型二次型有定性在求函數(shù)極值中的應(yīng)用有定性在求函數(shù)極值中的應(yīng)用 1.1.二次型的有定性二次型的有定性 定義：定義：設(shè)有實(shí)二次型設(shè)有實(shí)二次型f(x1,xn)=xTAx，如果對(duì)任意的，如果對(duì)任意的x 0，都有，都有 f(x1,xn)=xTAx0稱稱f 為為正定二次型正定二次型;相應(yīng)的矩陣相應(yīng)的矩陣A稱為稱為正定矩陣正定矩陣，記為，記為A0; 若對(duì)任意若對(duì)任意x 0都有都有f)的充分必要條的充分必要條件是標(biāo)準(zhǔn)形的件是標(biāo)準(zhǔn)形的n個(gè)系數(shù)均為正個(gè)系數(shù)均為正.證明證明 若可逆線性變換若可逆線性變換x=Cy使使f =xTAx=yT(CTAC)y=yTy

27、=yyAxxfTCyxCT 為為可可逆逆陣陣設(shè)設(shè)有有正正定定，則則對(duì)對(duì)任任意意若若, 0 yAxxfT且且可可逆逆),0(0 yCCyx()()()0TTTTTyyyC AC yCyA Cyx Ax 由于由于C可逆，所以可逆，所以x 0與與y 0等價(jià)等價(jià).而而y 0時(shí)，時(shí)，2222211nnyyy 即標(biāo)準(zhǔn)形的即標(biāo)準(zhǔn)形的n個(gè)系數(shù)均為正個(gè)系數(shù)均為正. .),.,2 , 1(002222211niyyyinn 推論推論1 f=xTAx正定正定(或或A) 是正慣性指數(shù)等于是正慣性指數(shù)等于n.推論推論2 f=xTAx正定（或正定（或A）是是A的特征值都大的特征值都大于零于零.推論推論3 f=xTAx正定

28、（或正定（或A）則）則A0.22121122(,)222.f x xxx xx 判判別別二二次次型型是是否否正正定定解解 (法法1）A的全部特征值：的全部特征值： 1=3, 2=1,該二次型正定該二次型正定.)1)(3(1)2(21122 EA由由2112fA的矩陣為 (法法2）2222122212123)21(2222xxxxxxxf 標(biāo)準(zhǔn)形中兩個(gè)系數(shù)均為正，該二次型正定標(biāo)準(zhǔn)形中兩個(gè)系數(shù)均為正，該二次型正定.例例1問(wèn)題：?jiǎn)栴}：對(duì)一般的二次型，無(wú)論將其化為標(biāo)準(zhǔn)形還是對(duì)一般的二次型，無(wú)論將其化為標(biāo)準(zhǔn)形還是求其矩陣求其矩陣A的特征值均非易事！的特征值均非易事！能否直接利用二次能否直接利用二次型的矩

29、陣型的矩陣A判別它是否正定？判別它是否正定？A的順序主子式定義的順序主子式定義., 2 , 1,)(212222111211階階順順序序主主子子式式為為矩矩陣陣的的稱稱子子行行列列式式設(shè)設(shè)iniaaaaaaaaaDaAiiiiiiinnij nnnnnnnnijaaaaaaaaaaA212222111211)(設(shè)設(shè)1階順序主子式階順序主子式2階順序主子式階順序主子式n階順序主子式階順序主子式定理定理3 二次型二次型f(x1,xn) = xTAx正定正定(或或A)的充分的充分必要條件是必要條件是A的各階順序主子式都大于零的各階順序主子式都大于零,即即. 0, 0, 021222211121122

30、21121111 nnnnnnaaaaaaaaaaaaaa解解各階順序主子式各階順序主子式, 026221, 012221121111 aaaaa所以，所以，f 是正定二次型是正定二次型.例例2 判斷二次型是否正定判斷二次型是否正定. 32312123222132122456),(xxxxxxxxxxxxf 121261115fA二二次次型型的的矩矩陣陣074112410120121511162121 A解解522260204fA二二次次型型 的的矩矩陣陣各階順序主子式各階順序主子式, 080, 0266225, 052221121111 Aaaaaa故故f 不是正定二次型不是正定二次型.例例

31、3 3 判斷二次型是否正定判斷二次型是否正定. . 312123222132144465),(xxxxxxxxxxf 解解421220103tfAt二二次次型型 的的矩矩陣陣0)611( 2, 0)2( 42224, 0422 tAtttf 正定，應(yīng)有正定，應(yīng)有例例4.24324),(3121232221321正正定定型型滿滿足足什什么么條條件件時(shí)時(shí)，二二次次xxxtxxxxxxxft ,61106110222 ttt解解.,611是是正正定定的的時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)ft 若若f 負(fù)定，則負(fù)定，則 - -f 正定正定; 因此有如下結(jié)論因此有如下結(jié)論.定理定理 4 (i)n元二次型元二次型f=xTAx負(fù)

32、定負(fù)定標(biāo)準(zhǔn)形的標(biāo)準(zhǔn)形的n個(gè)系數(shù)均為負(fù)；個(gè)系數(shù)均為負(fù)；(ii)n元二次型元二次型f=xTAx負(fù)定負(fù)定負(fù)慣性指數(shù)等于負(fù)慣性指數(shù)等于n；(iii)n元二次型元二次型f=xTAx負(fù)定負(fù)定 A的特征值都小于零；的特征值都小于零；(iv)n元二次型元二次型f=xTAx負(fù)定負(fù)定A的奇數(shù)階順序主子式都的奇數(shù)階順序主子式都小于零小于零, 而偶數(shù)階順序主子式都大于零，即而偶數(shù)階順序主子式都大于零，即. ), 2 , 1(0)1(212222111211niaaaaaaaaaiiiiiii 解解522260204fA二次型 的矩陣各階順序主子式各階順序主子式, 080, 0266225, 052221121111 Aaaaaa故故f是負(fù)定二次型是負(fù)定二次型.例例5 判斷二次型的正定性判斷二次型的正定性. . 312123222132144465),(xxxxxxxxxxf 定理定理5 (i)n元二次型元二次型f=xTAx半正定充分必要條件是正半正定充分必要條件是正慣性指數(shù)慣性指數(shù)p=r(A)n. (ii)n元二次型元二次型f=xTAx半負(fù)定充分