第31課時(shí)——用二分法求方程的近似解——教師版

1、第三十一課時(shí)用二分法求方程的近似解【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 學(xué)習(xí)要求 1通過具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用；2能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解； 3體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過程，感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一 自學(xué)評(píng)價(jià)1二分法對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷，且滿足的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法2給定精度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：聽課隨筆（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度；（2）求區(qū)間的中點(diǎn)；（3）計(jì)算：若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn)； 若

2、83;<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；若·<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；（4）判斷是否達(dá)到精度：即若，則得到零點(diǎn)值（或）；否則重復(fù)步驟24【精典范例】例1：利用計(jì)算器，求方程的一個(gè)近似解（精確到0.1）【解】設(shè)，先畫出函數(shù)圖象的簡(jiǎn)圖.(如右圖所示)因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)，方程有一解，記為.取與的平均數(shù)，因?yàn)?，所以 .再取與的平均數(shù)，因?yàn)?，所?.如此繼續(xù)下去，得，因?yàn)榕c精確到的近似值都為，所以此方程的近似解為 .利用同樣的方法，還可以求出方程的另一個(gè)近似解.點(diǎn)評(píng):第一步確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器，但盡量取端點(diǎn)為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長(zhǎng)度，通?？纱_定一

3、個(gè)長(zhǎng)度為1的區(qū)間；建議列表樣式如下：零點(diǎn)所在區(qū)間區(qū)間中點(diǎn)函數(shù)值區(qū)間長(zhǎng)度10.50.250.125如此列表的優(yōu)勢(shì)：計(jì)算步數(shù)明確，區(qū)間長(zhǎng)度小于精度時(shí)，即為計(jì)算的最后一步例2：利用計(jì)算器，求方程的近似解（精確到0.1）分析：分別畫函數(shù)和的圖象，在兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)處，函數(shù)值相等因此，這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解由函數(shù)與的圖象可以發(fā)現(xiàn)，方程有惟一解，記為，并且這個(gè)解在區(qū)間內(nèi).【解】設(shè)，利用計(jì)算器計(jì)算得 聽課隨筆因?yàn)榕c精確到的近似值都為，所以此方程的近似解為 .思考:發(fā)現(xiàn)計(jì)算的結(jié)果約穩(wěn)定在.這實(shí)際上是求方程近似解的另一種方法迭代法 除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法還有牛頓切線法、弦切法等例3：利用計(jì)

4、算器，求方程的近似解（精確到0.1）【解】方程可以化為分別畫函數(shù)與的圖象，由圖象可以知道，方程的解在區(qū)間內(nèi)，那么對(duì)于區(qū)間，利用二分法就可以求得它的近似解為.追蹤訓(xùn)練一1. 設(shè)是方程的解，則所在的區(qū)間為 （ B ）A B C D2. 估算方程的正根所在的區(qū)間是 （ B ）A B C D3計(jì)算器求得方程的負(fù)根所在的區(qū)間是（ A ）A（，0） BC D4.利用計(jì)算器,求下列方程的近似解(精確到)(1) (2)答案: (1)(2),【選修延伸】一、含字母系數(shù)的二次函數(shù)問題 例4：二次函數(shù)中實(shí)數(shù)、滿足，其中，求證：（1）)；（2）方程在內(nèi)恒有解分析：本題的巧妙之處在于，第一小題提供了有益的依據(jù)：是區(qū)間

5、內(nèi)的數(shù)，且，這就啟發(fā)我們把區(qū)間 劃分為(，)和（，）來處理【解】（1） ，由于是二次函數(shù),故，又，所以， 由題意，得, 當(dāng)時(shí)，由（1）知聽課隨筆若，則，又,所以 在（，）內(nèi)有解若，則聽課隨筆，又，所以在（,）內(nèi)有解當(dāng)時(shí)同理可證點(diǎn)評(píng)：（1）題目點(diǎn)明是“二次函數(shù)”，這就暗示著二次項(xiàng)系數(shù)若將題中的“二次”兩個(gè)字去掉，所證結(jié)論相應(yīng)更改（2）對(duì)字母、分類時(shí)先對(duì)哪個(gè)分類是有一定講究的，本題的證明中，先對(duì)分類，然后對(duì)分類顯然是比較好追蹤訓(xùn)練二1若方程在內(nèi)恰有一則實(shí)數(shù)的取值范圍是 (B ) A B C D2.方程的兩個(gè)根分別在區(qū)間和內(nèi)，則的取值范圍是；3已知函數(shù)，在上存在，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_4已知函數(shù)試求函數(shù)