2018考研數(shù)學(xué)二真題及解析

1、2017年考研數(shù)學(xué)二真題、選擇題 1 18 8 小題.每小題 4 4 分，共 3232 分.1-cosx、，01 1 .若函數(shù)f(x)=(ax-,x0在x=o處連續(xù)，則、b,x0,則知道曲線f(x)在-1,0,10,1上都是凹的，根據(jù)凹凸性的定義，顯然當(dāng)xw1,0時(shí)，f(x)W2x1,當(dāng)xw10,1】時(shí)，f(x)W2x1,而且兩個(gè)式子的等號不是處處成立,101Jf(x)dx0,貝U()1(A)1J(x)dxA0(B)1f(x)dx:二001(C)f(x)dx0f(x)dx01(D)f(x)dx:0f(x)dx否則不滿足二階可導(dǎo).所以當(dāng)然，如果在考場上，不用這么詳細(xì)考慮，可以考慮代一個(gè)特殊函數(shù)f

2、(x)=2x2-1,此時(shí)0111f(x)dx=-一，(f(x)dx=-一，可判斷出選項(xiàng)(303學(xué)們在復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識的同時(shí)，掌握這種做選擇題的技巧.3.設(shè)數(shù)列xn收斂，則(A)當(dāng)limsinxn=0時(shí)，limxn=0n承.n-(C)當(dāng)l則xn+M)=0時(shí),limxn=0【詳解】此題考核的是復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則，只有A),(C),(D)A),(C),(D)都是錯(cuò)誤的，當(dāng)然選擇(B).B).希望同(B)當(dāng)物xn+7lxJ)=0時(shí)，場xn=0(D)當(dāng)ljm(xn+sinxn)=0時(shí)，域xn=0D)是正確的.limsinxnn.二sinA,lim(xnn一+7ixnb=A+MJnm(xn+X；)=A+A

3、2,ln嗎xnsinxn) =AsinA一解A=0,也就是得到limxn=0.n_F4.微分方程y4y+89=e2x(1+cos2x)的特解可設(shè)為y*=()(A)Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)(B)Axe2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)2x2x_2x2x_(C)Aexe(Bcos2xCsin2x)(D)Axexe(Bcos2xCsin2x)【詳解】微分方程的特征方程為r2-4r+8=0,有一對共軻的復(fù)數(shù)根r=22i.所以九二2不是特征方程的根，所以對應(yīng)方程y“-4y+89=e2，q特解應(yīng)該設(shè)為y*=Ae2x；而及=2+2i是方程的單根，所以對應(yīng)方程y“4y+89=e

4、2xcos2x的特解應(yīng)該設(shè)為y2*=xe2x(Bcos2x+Csin2x)；從而微分方程yMy+89=喧(什cox勺2特)解可設(shè)為y*=y1*+丫2*=Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x),應(yīng)該選(C).5 .設(shè)f(x,y)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且對任意的(x,y)都有cf(x,y)0,f(/y)f(1,0)(B)f(0,0)f(1,1)(C)f(0,1).f(1,0)(D)f(0,1):二f(1,0)【詳解】由條件對任意的(x,y)都有f(x,y)A0:f(x,y)0可知f(x,y)對于x是單調(diào)增加的，:x二y對y就單調(diào)減少的.所以f(1,1)f(0,0),f(1,1)f(0,1)f(

5、0,0),f(0,1)f(0,0)f(1,0),只有第三個(gè)不等式可得正確結(jié)論(D),應(yīng)該選(D).6 .甲、乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開始時(shí)，甲在乙前方10(單位：米)處，如圖中，實(shí)線表示甲的速度曲線v=v1(t)(單位：米/秒)，虛線表示乙的速度曲線v=v2(t)(單位：米/秒)，三塊陰影部分的面積分別為10,20,3,計(jì)時(shí)開始后乙追上甲的時(shí)刻為卜，則()(A)t0=10(B)15t025【詳解】由定積分的物理意義：當(dāng)曲線表示變速直線運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)時(shí)，S=1vdt表示時(shí)刻1Tll】內(nèi)所走的路程.本題中的陰影面積S1,-S2,S3分別表示在時(shí)間段b,10】,h0,25】，25,30】內(nèi)甲、乙兩人所走路程

6、之差，顯然應(yīng)該在t=25時(shí)乙追上甲，應(yīng)該選(C).二、填空題(本題共 6 6 小題，每小題 4 4 分，滿分 2424 分.把答案填在題中橫線上)一29.曲線y=x(1+arcsin-)的斜漸近線為.x一.2、x(1arcsin-)2解：lim=lim-=1,lim(yx)=limxarcsin=2,所以斜漸近線為x-xx-xx-x-x,，、一-x=tet,d2y10.10.設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程e確定，則d-4|t=0=.y=sintdx7 7.設(shè)A為三階矩陣,0P=(0(10203)為可逆矩陣，使得PAP=010010,貝UA(o(1+/+3)=(02(A)(A)%十%(B)(B)%

7、 %+ +2 2a a3(C)(C)%+口3(D)：i-2：3【詳解】顯然這是矩陣相似對角化的題目.可知00、000、10=(31，豆2,豆3)010=(0,豆2,2口3)02002,所以慶(%+a2+a3)=慶口+Aa2+Aa3=a2+2a3,所以可知選擇(B).28.已知矩陣A=0000)221,B=00U010)1020,0=0201,、000、0,則2，(A) A,C相似，B,C相似(B) A,C相似，B,C不相似(C) A,C不相似，B,C相似(D) A,C不相似，B,C不相似【詳解】矩陣A,B的特征值都是=%=2,%=1.是否可對解化，只需要關(guān)心九=2的情況.00對于矢I陣A,2E

8、A=00900-1,秩等于 1 1,也就是矩陣A屬于特征值九=2存在兩個(gè)線性無關(guān)的特1征向量，也就是可以對角化，也就是AC.0對于矢I陣B,2EB=：010-1000,秩等于 2 2,也就是矩陣A屬于特征值人=2只有一個(gè)線性無關(guān)的特0b征向量，也就是不可以對角化，當(dāng)然B,C不相似故選擇(B).。0A(a11ot21a3)=AP=P0I23，0二ln(1x),hdx,(1x)f(x,y)=所以f(x,y)=xyey.1,1tanx,13.13.fdyfdx=0yx【詳解】交換二重積分的積分次序得:詳解4x-t=u,則t=x-u,dt=-du,fJx-tetdt=f/uex-udu0016.16.

9、（本題滿分 1010 分）【詳解】dycostd2ydx1et,dx2,costdlr18dtdxdt(1et)sintecost(1et)3d2y，所以dx一11110【詳解】二ln(1x),(1x)2dx-ln(1x)dln(1x)二1x0-be01.2dx=1(1x)1212.設(shè)函數(shù)f（x,y）具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且已知df(x,y)=yeydx+x(1+y)eydy,f(0,0)=0,則詳解df(x,y)=yeydx+x(1+y)eydy=d(xyey),所以f(x,y)=xyey+C,由f(0)0=，得C=0,1tanx1xtanxdx=dxdy= 0.0 x1tanxdx=-ln

10、cosxJ010=-lncos1.Z114.14.設(shè)矩陣A=1281-2f1、a的一個(gè)特征向量為1，則a=【詳解】根據(jù)特征向量的定義，有41Au=120函數(shù)y=y(x)取極小值y2=0.1919 . .(本題滿分 1010 分)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間b,1】上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)0,1im230,證明:x)0-設(shè)函數(shù)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，y=f(ex,cosx),求電|xq,dx一d2ydx2|x=0.【詳解】dy=f；(ex,cosx)ex+f2(ex,cosx)(sinx),dy|x_0=f/(1,1);dxdxd2ydx2=exf1(ex,cosx)-ex(fn(ex,cos

11、x)ex-sinxf12(ex,cosx)cosxf?(ex,cosx)-sinxexf21(ex,cosx)sin2xf22(ex,cosx)d2ydx了Ix至=f1(1,1)+f1；(1,1)f2(1,1).17.17.(本題滿分 1010 分)kk求1im21n1-f：k=nn【詳解】由定積分的定義kklim21nlinn2.n1=1im1ZklnM+-n二n-n=ox1n(1x)dx18.18.(本題滿分 1010 分)112=201n(1x)dx已知函數(shù)y(x)是由方程x3+y33x+3y2=0.【詳解】在方程兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，得3x23y2y-33y=0(1)(1)在(1)(1)兩

12、邊同時(shí)對 x x 求導(dǎo)，得一一222x2y(y)yyy-0也就是y2(xy(y)2)1y2令 y=0y=0, ,得x=1.當(dāng)x1=1時(shí),y1=1；當(dāng)x2=-1時(shí)，y2=0當(dāng)x1=1時(shí),y=0,y=T0,函數(shù)y=y(x)取極大值y1=1；精品文檔(1)方程f(x)=0在區(qū)間(0,1)至少存在一個(gè)實(shí)根；方程f(x)f(x)+(f(x)2=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在兩個(gè)不同實(shí)根.證明：(1)根據(jù)的局部保號性的結(jié)論，由條件lim上0可知，存在061,及x1e(0,6),使得x-0-xf(x1)0,由于f(x)在瓦,1】上連續(xù)，且f(x)f(1)0,由零點(diǎn)定理，存在Uw(x1,1)匚(0,1),使得f

13、(D=0,也就是方程f(x)=0在區(qū)間(0,1)至少存在一個(gè)實(shí)根；f(x)(2)由條件lim工1.假若r(A)=1時(shí)，則r=0是矩陣的二重特征值，與條件不符合，所以有r(A)A2,又因?yàn)榭?-口1+2s2=0,也就是1,a2,a3線性相關(guān)，r(A)1、又由P=%+口2,口3,得非齊次方程組Ax=P的特解可取為1；23.23.（本題滿分 1111 分）222設(shè)一次型f（X1,X2,X3）=2x1一X2+ax3+2X1X2-8X1X3+2X2X3在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為22.、,一by+Z2y2,求a的值及一個(gè)正交矩陣Q.21-4【詳解】二次型矩陣A=1-11d1a-14九+11=九（九+3）（九一6）-1