實變函數(shù)問題

1、實數(shù)的完備性1 實數(shù)連續(xù)性的等價描述 1求數(shù)列Jn的上、下確界： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2設在上定義，求證： (1) (2) 3設，且，試證自中可選取數(shù)列且互不相同，使；又若，則情形如何? 4試證收斂數(shù)列必有上確界和下確界，趨于的數(shù)列必有下確界，趨于的數(shù)列必有上確界 5試分別舉出滿足下列條件的數(shù)列： (1)有上確界無下確界的數(shù)列； (2)含有上確界但不含有下確界的數(shù)列； (3)既含有上確界又含有下確界的數(shù)列；(4)既不含有上確界又不含有下確界的數(shù)列，其中上、下確界都有限2 實數(shù)閉區(qū)間的緊致性 1利用有限覆蓋定理92證明緊致性定理94 2利用緊致性定理證明單調(diào)有界數(shù)列必

2、有極限 3用區(qū)間套定理證明單調(diào)有界數(shù)列必有極限 4試分析區(qū)間套定理的條件：若將閉區(qū)間列改為開區(qū)間列，結(jié)果怎樣?若將條件去掉或?qū)l件去掉，結(jié)果怎樣?試舉例說明 5若無界，且非無窮大量，則必存在兩個子列 (為有限數(shù)) 6有界數(shù)列若不收斂，則必存在兩個子列 7求證：數(shù)列有界的充要條件是，的任何子數(shù)列都有收斂的子數(shù)列8設在上定義，且在每一點處函數(shù)的極限存在，求證：在上有界 9設在無界，求證：存在，對任給，函數(shù)在上無界 10設是上的凸函數(shù)，且有上界，求證：存在11設在上只有第一類間斷點，定義求證：任意的點只有有限多個 12設在上連續(xù)且有界，對任意，在上只有有限個根或無根，求證：存在3 實數(shù)的完備性 1，

3、設在連續(xù)，求證：在一致連續(xù)的充要條件是與都存在，2求證數(shù)列當時的極限不存在3利用柯西收斂定理討論下列數(shù)列的收斂性：(1) (2) (3) 4證明存在的充要條件是：對任意給定，存在，當時，恒有 5證明在點連續(xù)的充要條件是：任給，存在，當時，恒有 6證明下列極限不存在： (1) (2) (3) (4) (5) 7設在上可導，單調(diào)下降，且存在，求證 8設在可導，且，任給，令求證， (1) 存在； (2) 上述極限為的根，且是唯一的 9設在滿足條件： (1) (2) 的值域包含在內(nèi)則對任意，令，有 (1) 存在；(2)方程的解在上是唯一的，這個解就是上述極限值4 再論閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 1設在上連

4、續(xù)，并且最大值點是唯一的，又設，使，求證 2設在上連續(xù)，可微，又設 (1) (2) 如果，則有，求證：的根只有有限多個 3設在連續(xù)，求證：存在，使，且4設是上的連續(xù)函數(shù)，其最大值和最小值分別為和，求證：必存在區(qū)間，滿足條件： (1)或； (2) ，當 5在連續(xù)，且，求證：存在，使 6設在上連續(xù)，且取值為整數(shù)，求證：常數(shù) 7設在上一致連續(xù)，證明在上有界； 8若函數(shù)在上滿足利普希茨(Lipschitz)條件，即存在常數(shù)，使得證明：在上一致連續(xù) 9試用一致連續(xù)的定義證明：若函數(shù)在和上都一致連續(xù)，則在上也一致連續(xù) 10設在上連續(xù)，且與存在證明；在上一致連續(xù)11若在區(qū)間 (有窮或無窮)中具有有界的導數(shù)，即，則在中一致連續(xù) 12求證：在上一致連續(xù) 13設在上可導，且，求證：在上不一致連續(xù)14求證：在上不一致連續(xù)5 可積性 1判斷下列函數(shù)在區(qū)間上的可積性：(1) 在上有界，不連續(xù)點為；(2) (3) (4) 2討論三者間可積性的關(guān)系 3設都在上可積，證明：在上也是可積的4設在上可積，且，求證： (1) 在可積； (2) 在可積 5設在可積，求證：任給，存在逐段為常數(shù)的函數(shù)，使 6設在上有界，定義 求證 7設在附近有定義且有界，定義 求證：在連續(xù)的充分必要條件為 8若函數(shù)在可積，證明： 其中 (這一性質(zhì)稱為積分的連續(xù)性) 9對任意省仨成立，求證： 10設在有連續(xù)的導函數(shù)，求證：