工學(xué)數(shù)值分析例題

1、緒論:例巳知內(nèi)=3.142,匕=3.141作為乃=的近似值，試別高求出它們有效數(shù)字的位數(shù)及相對誤差限解：(1)"一用V-=VX103=X101,1Z2=3,/.Z2=4.二有4位有效數(shù)字_ 0.00041，“一國一3.142= 0.013%(2)x2-|«XW2l-n=-2.-n=3有3位有效數(shù)字與0.000593nmof/8=0.019%小x31411 21一.看成為”的近似數(shù)時有3位有效數(shù)字，不具有4位有效數(shù)字，有效，千分位1不是有效數(shù)字。練習(xí)巳知為=,%=,的=作為e=的近似值，求這3個近似數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)。(n=2,3,4)推論1對于給出的一個有效數(shù)，其絕對誤差限

2、不大于其末位數(shù)字的半個單位。推論2若近似值x=±a*10m供中a產(chǎn)0)具有n位有效數(shù)字，則其相對誤差同*10一。1)2。o證明：=土0卻說*10°1.|x|御*10nH又x具有n位有效數(shù)字，則|xr|W，iU* ()TT)，n越大，|心1就越小，一般應(yīng)用中取I。-"2%例1:求屈的近似值，使其相對誤差不超過:*1。"。解：、用=取%=2,設(shè)區(qū)”=、存有n位有效數(shù)字，由推論2,£r=-!-*K）Tf（1*10-3,.n=4,取<=242練習(xí)：要便畫的近似值相對誤差不超過,則至少要求幾位有效數(shù)字？解：設(shè)d=國,其近似數(shù)X具有n位有效數(shù)字，其相

3、對誤差限知足與=_L*10-“i）W%=>n2An=42al例1求有效數(shù)，之和。解E=213而這和的絕對誤差限為2*10+*104+*103比打03£應(yīng)舍入成最末3位的計算沒成心義，合理的做法是將小數(shù)位較多的列位數(shù)按小數(shù)位最少的位數(shù)多取1位作舍入處置，再相加+=3*1031。3=<*102和舍入至小數(shù)后2位得一任“一一4-例2：求x2+（a+夕）x+10'=0的根，求根公式x=%,a=-10/?=-lb=a+j0=-*10iO=*10l°（設(shè)為八位機運算）io9±109109=>b24ac=10、4*l*10'=*10y=>

4、x*=20一b-sgn（b）ylbAac_1=>5換一種算法2ac109,看=高=談"注意：（D大量運算時，£與可能專門大。（舉例，如高考估分）（2）兩個相差專門大的數(shù)進(jìn)行加減時，要避免大數(shù)“吃”小數(shù)現(xiàn)象，在多個數(shù)求和時，若是被加數(shù)的絕對值之間不同較大，且包括許多絕對值較小的數(shù)，則應(yīng)按絕對值從小到大的順序相加。（3）要避免兩個相近數(shù)相減例：C0S2J,但1-C0S2。：卻只有一名有效數(shù)字，遺失有效位。為避免這種情形，改變計算公式1-cosa=2sin2yyfx-yjX-1=r=,，(當(dāng)x專門大)Jx+1S£sin(x+s)-sinx=2cos(x+)sin2

5、2Inxi-lnx2=In%(當(dāng)x與X2接近時)x2y=a*x(a為常數(shù))易知Ie*1=1a*e；llal*t,若a增大，貝1|le；,I也增大(4)避免小數(shù)作除數(shù)和大數(shù)作乘數(shù)(5)盡可能簡化計算步驟，減少運算次數(shù)。例如，若是直接計算x255的值須進(jìn)行254次乘法運算若采用公式x255=x*x2*x4*x8*x16*x32*x64*x,2只需做14次乘法運算(6)注意運算順序聞江.c0.0005*0.0143*0.0012例計算。=0.0003*0.0125*0.0135解算法一：4=0.0005*0.0143*0.0012=g0.000000009(有舍入)B=0.0003*0.0125*0

6、.0135=40.000000051(有舍入)Di=A/B=47D的真值為48148.,只精準(zhǔn)到小數(shù)后一名算法二：a=667b=c=2889D2=abc=.=482,則Di精準(zhǔn)到小數(shù)后五位例計算XUeXdx(n=0,1,2,3)，解用分部積分公式得遞推式：/二1一Ml，二1一6一,。用四位有效數(shù)字計算：/。=,。=1一4=0.3679(=1一2/1=026427=1-3/=0.20741=1-41,=0.1704A/A，人=1一5乙=0.14804=16/5=0112077=1-7/6=0.2160Z8=1-8Z7=-0.7280估算1>l < max =0<x<l故0

7、<n+10,0460<L<0.12500.0409<Z8<0.1111，°于是17,IS與精準(zhǔn)值已經(jīng)渙然一新，一名有效數(shù)字也沒有。這是由于若是Io有誤差6=0.5x10：(一I/1y(6一|七1+(1)+：_+.+：_,當(dāng)卜=7時，、0.36792!k!其截斷誤差&=-1-0.36791<-L<1x10-4<0.5x10-4,R=(x-x0)7+,1814(7+1)!不計中間再產(chǎn)生的舍入誤差，該誤差隨著計算進(jìn)程別離乘以2,37,8,到L時已經(jīng)變成了8!e=40320j誤差擴大了4萬倍。因此該算法不是穩(wěn)固的。若是換一種算法，將遞推

8、式改成/,=1(1-/“)，neT111-取，:記V/9V而A=0.0684由樂慢慢計算兒17直到1。二,°計算結(jié)果有四位有效數(shù)字，若是19有誤差”，其傳播到A)所引發(fā)的誤差僅為»故該算法是穩(wěn)固的。練習(xí)序列yj知足遞推關(guān)系yn=ioyn/-i(n=i,2,)，若丫。=行1.41(3位有效數(shù)字)，計算到。時誤差有多大？這種算法是穩(wěn)固的嗎？解yl=1.41f(yo)=0.5x102=£)；一乃|=叫第一先|41。£lyio-Mo|=叫第一刃=1。"»；-右歸I。"7由此遞推關(guān)系每計算一次，其結(jié)果誤差比上一次增加10倍，故算法是不

9、穩(wěn)固的。例證明方程l-x-sinr=O在區(qū)間0,1內(nèi)有唯一實根，若是利用二分法求該區(qū)間內(nèi)的根,且誤差不超過X10F,試問需要二分區(qū)間0,1多少次？證明令八*)=1xsinx,V/(0)=1>0,/(l)=-sinl<0:.八0二1一丫一sinx=O在0,1有根。又/W=-1cosx<0Creo,11),故f(x)=O在區(qū)間0,1內(nèi)有唯一實根給定誤差限£=*IO-，有"n-T=Tn0.5+41nl()13.2877In2In2故只要取n=14即可。練習(xí)證明方程F+10x-2=0在區(qū)間0,1內(nèi)有一個根，若是利用二分法求該區(qū)間內(nèi)的根,且誤差不超過10一6,試問需

10、要二分區(qū)間0,1多少次？證明令人工)=+10*2,:/(0)=-1<0,/(l)=e+8>0,./&)二亡+10丫一2:0在0,1有根。又-+10>0(x0,1),故/(x)=0在區(qū)間0,1內(nèi)有唯一實根。給定誤差限I。"，有.、In(/?-a)-Ins161ii101K>1=-1In2In2只要取k=19次.第一章例求過這三個點(0,1),(b2),(2,3)的拉格朗日插值多項式。鳥(乃=(m)i (x-0)(x-2) (0-l)(0-2)X(1-0)(1-2)x3=x+l此為一條直線，其原因在于(0, 1), (1, 2), (2, 3)三點共線注意

11、2：工/1*)= 1 /-0Xk-2045J*51-31例1已知函數(shù))1X)的觀察數(shù)據(jù)為下表，試構(gòu)造拉格朗日多項式 Ln(x),并計第 L(-l)。解：先構(gòu)造基函數(shù)，0(x) =x(x-4)(x-5)(-2-0)(-2-4)(-2-5)x(x-4Xx-5)84/1(x)=(x + 2)(x-4)(x-5) _ (x + 2)(x 4)(x 5) (0-(-2)(0-4)(0-5) -40k(x) =(x +2)x(口-5)(4+ 2)(4-0)(4-5)x(x + 2)(x-5)24，3(X)=(x + 2)(x-0)(x-4) _ x(x + 2)(x-4) (5+ 2)(5-0)(5-4)

12、35所求三次多項式為L3(x)=-5 xx(x-4)(x-5) h84(x + 2)(x 4)(x 5)40一 (3)xx(x + 2)(x - 5)24x(x + 2)(x 4)+354214551一一x + 121L3(1)=-51+42 14皂+ 1 =少217例2已給=,=,=,用線性插值及拋物插值計算的值并估量截斷誤差。解：由題意取x°=,(=，Xi=,yi=,x?=,y,2=o用線性插值及拋物插值計算，取Xo=及X尸,又由公式得sinO.3367aL產(chǎn)v0+1一也*(0.3367X。)為一看= 0.314567+0.018920.02*0.0167其截斷誤差得R(小吟*-

13、Xo)(x-Xl)|f(x)=sinx其中M四物M.=1Tiax|SWx)|=S加()40.33351(0.3367-X1)2X0<X<X!sin0.3367eL(0.3367)=y+0.018787=0.333487+(-0.0033)=0.3303870.02以x)歸咎U-Xl)(x-%2)|Mi= maxX<X<X2/f (x)< 0.3523(0.3367)=sin0.3367-£0.3367)<1(0.3523)(0,0023)(0.0233)<1.36xl0-5sin0.3367ay-Aj_-+y'"'+

14、y°(Xo-Xi)(Xo"X2)Xo)(xrx2)(x2"Xo)(m-x)=£2(0.3367)= 0.314567 x0.7689x IO-40.0008-+ 0.333487x3.89 x IO-40.0004+ 0.352274x-0.551 lx IO-40.0008-=0.330374<0.178x10-i|尺(0.3367)卜卜inO.3367L，(°3367)|q(O.828)(O.O167)(O.O33)(O.O233)A%= max fM =X0<X<X21cos%< 0.828Ko=11再=12/。(

15、幻=±1叢=一(工一12)/I(x)=x-llX。一芭為一X。(x)=-2.3979(x-12)+2.4849(%-11)x=11.5In11.5«£,(11.5)=2.3979xO.5+2.4849x0.5=2.4414上=0.0082645 ll2(bix)：1.1R(x)=(x11)(12x)(Inx)"=；1112|(hix)<|/?,(11.5)|<0.0082645x0.5x0.5=1.03306x10-3x0=11王=12x2=13L,(x)=2.3979d2)(13)+24849(.v-1l)(.v-13)+(11-12)(1

16、1-13)(12-11)(12-13)2.5649(13-11)(13-12)=1.19895(x-12)(x-13)-2.4849(x-11)(x-13)+1.28245(x-ll)(x-12)11111.5(11.5)=1.19895x(-0.5)x(-1.5)-2.4849x0.5x(-1.5)+2?1.28245x0.5x(-0.5)=2.442275(Inxf=max|(lnxr|<=0.1503x10一x3gsT11p(lnx)7|/?2(11.5)|=一T1(115-11)(11.5-12)(11.5-13)|3!<-xO.15O3xlO-2xO.5xO.5xl.5t

17、rVf(6hi11.5=2.442347J-J=9.3938x10-'/(x)y=/(x)X,/（匕）f(x)Xq9x1Xo,X,X2X。，玉戶2，工3%Ni(x)=/(x0)+fxo，x/(x-x0)f(x0)=17/xo,xj=-8fx0,xi9x2=3/x0,xpx2,x4=lN、(x)=17-8(x+2)=-l-8xN2(X)=f(%)+/%，占(%一%0)+一玉)(元一司)N?(x)=-l-8x+3(x+2)x=3x2-2x-SO)=/(/)+/%,再。一%)+/%,再,%。一玉)(工一再)+/x0,x1,x2,x3(x-x0)(x-x1)(x-x2)N<x)=N2(x

18、)+(x+2)x(x-1)=3x22x1+(x+2)x(x1)=/+4f4x1/(1.5)1 +(X -+ (x-xj(x-J：二"2。) = /(%2）=/3）的函數(shù)值表如下給定單調(diào)持續(xù)函數(shù)X-2-1123= 1 + (x-1)x0.5 + (x-1)(x-3)x2.5=2.5廠一95x + 8/(1.5) = N?(L5)=-0.625f(x)-10-511118求方程府）=0的根的盡可能好的近似值解：分析若是直接運用插值公式，能夠求得4次插值多項式。從而能夠取得一元4次方程。但是咱們沒有靠得住的辦法直接解高次方程。因為函數(shù)=西）單調(diào)持續(xù)，所以制必存在反函數(shù)利用已知函數(shù)值表可知y

19、=f(x)-10-511118x=fA(y)-2-1123成立差商表ykfA（yk）一階差商二階差商三階差商四階差商-10-2-5-111112183取得牛頓插值jV4(y)=-2+0.2(y+10)+0.012121(y+10)(j+5)-0.001272(y+10)(y+5)(y-l)+0.000072(y+10)(y+5)(y-l)(y-ll)x=尸（0）4/V4（0）x0.709250特別注意：女把值總中事黃占薇才氣利用。例.已知函數(shù)表Xi()12Ji8-18求函數(shù)）=加9在0,2上零點的近似值解：由于M是嚴(yán)格單調(diào)的，可用反插值求其零點?？上惹蟪霾逯刀囗検絰=9（y）,并令丁=0Ji8

20、-18Xi012一心，、一（）一.”）（）'）丫.（y-yo）（y-y2）v,（y-（y-yi）v（凡一乃）。'0一%）°（必一九）。'1一）2）（）2一）'。）。'2一）'1）2工=以0）=（°+7.5）（0+網(wǎng)乂。+（0一8）（0+網(wǎng)I】卡（。一8）（0+75）乂？（8+75）（8+18）（-7.5一8）（-7.5+18）（-18-8）（-18+7.5）=0.445練習(xí).給定單調(diào)持續(xù)函數(shù)="切的函數(shù)值表如下X-2-1123f(x)-10-511118求方程府）=0的根的盡可能好的近似值解：利用函數(shù)值表f(x)-1

21、0-511118x=r(y)-2-1123成立差商表yk,尸（“）一階差商二階差商三階差商四階差商-10-2-5-I11112183取得牛頓插值N4(y)=-2+0.2(y+10)+0.012121(y+10)(y+5)-0.001272(y+10)(y+5)(y-l)+0.000072(y+10)(y+5)(y-l)(y-ll)x=尸(0)xNJO)x0.709250練習(xí)2已知函數(shù)表Xi012Ji8-18求函數(shù)在0,2上零點的近似值解：由于是嚴(yán)格單調(diào)的，可用反插值求其零點。可先求出插值多項式X=夕（y）,并令j=0Ji8-18Ai012一小，、一（y-yo）（y-y2）v.Cv-Ao）（.y

22、-.V1）v（凡一乃）（凡一當(dāng)）°（兇一）0）。'1一）2）（）'2一,'。）。2一口）2.如0）=（0+7.5）（。+18）0+（。-8）（。+18）x+（0-8）（0+7.5）4（8+7.5）（8+18）（-7.5一8）（-7.5+18）（-18-8）（-18+7.5）=0.445例.給定函數(shù)的函數(shù)值表如下，已知該函數(shù)是一個多項式，試求第二數(shù)及x的最高幕的系數(shù)X012345fix)-7452665128解：構(gòu)造差商表如下Xkf(Xk)一階差商二階差商三階差商四階差商0-71-4325933262161465399105128631210由表知，函數(shù)的三階差

23、商均為1,故多項式的最高次數(shù)為3由牛頓插值公式得7+3(x-0)+3(x-0)(x-l)+(x-0)(x-1)(x-2)=x3+2r-7故二的系數(shù)為1例求一個次數(shù)不高于3的多項式P3(x)知足下列插值條件X123fix)2412fW3解:設(shè)P2(x)知足P2(l)=2,P2(2)=4,P2(3)=12,則有Pz(x)=3x2-7x+6為求得P3(X),按照插值條件知，P3應(yīng)具有下面的形式P3(X)=P2(X)+A(X-1)(X-2)(X-3),如此的P3(x)自然知足：P3(%)=/(Xi)由P；(2)=3P3'(2)=Pz(2麗(22)(23)+(2-1)(2-3)+(2-1)(2-

24、2)=Pz'(2)k=3VPi(2)=5：.k=2:.P3(x)=P2(x)+2(x-1)(x-2)(x-3)=2x3-9x2+15x-6作業(yè)1.用如下數(shù)值表構(gòu)造不超過3次的插值多項式X012fix)129fW32 .P5511題3 .證明方程F+10x2=0在區(qū)間0,1內(nèi)有一個根，若是利用二分法求該區(qū)間內(nèi)的根，且誤差不超過10-6,試問需要二分區(qū)間0,1多少次？4 .設(shè)1=為準(zhǔn)確值，取=為4的近似值，試求出居有效數(shù)字的位數(shù)及相對誤差練習(xí)用牛頓插值法求V7的近似值第二章例試構(gòu)造求積公式4/(；)+4/(使其代數(shù)精度盡可能高，并證明構(gòu)造出的求積公式是插值型的。解：設(shè)原式對于人/,0精準(zhǔn)，

25、可列方程'4)+4=11<131=>A=A=-A+-A=-12I4"412如此構(gòu)造出的求積公式是«-/(-)+-/(-)24,21331設(shè)王=易知拉格朗日插值基函數(shù)別離為/°(x)=-2x+5,/i(aO=2.y-£/0(=1乙乙故所求積公式是插值型的。練習(xí)：用兩種方式計算并指明該求試構(gòu)造形如、/&)+Aj(1)+的插值型求積公式,積公式所具有的代數(shù)精度。3 x- -474-4.解按題設(shè)原式是插值型的，故有1YX- -4J容易計算出工一一4A是有求積公式1-t+一3374由于原式含有3個節(jié)點，按定理1它至少有2階精度。考慮到其

26、對稱性，能夠猜到它可能有3階精度。事實上，對于/(%)=X?原式左右兩頭相等。另外，容易驗證原式對/(X)=X不準(zhǔn)確，故所構(gòu)造的求積公式確實有3階精度。特例：當(dāng)11=1的牛頓-柯特斯公式為：梯形公式T=()之CJ/K)當(dāng)n=2時k=011=-«)1-/(«)+-/wl.牛頓-柯特斯公式為：辛普森（Simpson）公式S = S-a)ZCp/(。)A=0z. 、1 . /、 4. 4+/71 ./f、=(b_ a) -/(«) + -/() + -/(/?)_o o 2 o= lr- /(a)+ 4/() + /S).o L2_2)_ _ 1 . r _ 4 oo當(dāng)

27、n=4時牛頓-柯特斯公式為：柯特斯公式。=富"）.這里 a> =a+kh (k=0,l，,4), h =(b-a)/4nC0(n)Ci(n)C2(n)cwC4(n>cwCM641/8409/359/28034/1059/2809/3541/840練習(xí)1用n=6牛頓一柯特斯公式計算定積分J：£ 的值（下列數(shù)據(jù)表作為參考）解：h=(b-a)/n= 1/6, Xj=0+i/6=i/6f-0419 691341919 I 411+ X +X +X +X + X +X -840 35 7 280 1105t 1280t235t 5840 21 + -1 + 1+ 1 +

28、-3236= 0.6933練習(xí)2別離利用梯形公式、Simpson公式和柯特斯公式計算積分£edx的值解：(D梯形公式 1 exdx x -e° + / = 1.859140 9(2) Simpson公式11 exdx- 0 +4 + = 1.7188612Jo6（2）柯特斯公式j(luò)11.dx右7Z+32/+12/+32+7"=1.7182827練習(xí)3當(dāng)n=l,2,3時，別離用牛頓柯特斯公式計算積分fi sinx , axJo x的值。華/、 sinx解：取/w = x當(dāng) n=l 時，1=八 «-/(0) + /(1) = 1(1 + 0.8414709)

29、= 0.9207354當(dāng) n=2 時，/= Jx -/(0) + 4/(-) + /(1) = 0.9461359% x62當(dāng) n=3 時，1= -cix «4"(0) + 3/(1) + 3/(|) + /(1) = 0.9461109Ju x833練習(xí)1試查驗下列求積公式的代數(shù)精度。解記 因為“（X）八/力（X）心JU/(7)=£ " = 1/(/) = (xx = g /小米=g/(7)="=:212/(/) = _xl-xl + -xl = l3332 1/(n = -x一3 4112 3-x + x 3 2 3 41112X+x16

30、3 4 39167(7)2111227=X X + X 36438364/(/) = )" = ；1w 5_2當(dāng)/（x）=x時左右兩頭不等，故所給求積公式僅有三階精度。練習(xí)2：判別下列求積公式是不是是插值型的，并指明其代數(shù)精度:f(x)dx«1/(1)+/(2)解這里關(guān)于拉格朗日插值基函數(shù)/（）（X）,/（X）直接求積知(3.33公力/(x)dx=3因此所給求積公式是插值型的。按定理1,含有2個節(jié)點的求積公式至少有1階精度。再考察f（X）,原式3左端=9,而右端=5（1+4）,左右兩頭不相等。因此所給求積公式僅有1階精度。例取9個等距節(jié)點（包括區(qū)間端點）別離用復(fù)化梯形公式和

31、復(fù)化辛甫生公式求積分，三，的近似值（取6位小數(shù)）解：易知=0.125列表如下8Xkfk復(fù)化梯形公式組合系數(shù)復(fù)化辛甫生公式組合系數(shù)041124222422242224211對復(fù)化梯形公式=/o+2(2+/2+力)+任=50.223818四二、4笈=3.1389891+x22對復(fù)化辛甫生公式工=八+4力+2/2+4八+2fa+4%+2f°+%+人=75.389224f14dx2h_olz11cnaJoi+x?62練習(xí)利用n=5的復(fù)化辛甫生公式計算積分/ = £'dx的近似值.分析：n=5,需要2X5+1=11個點的函數(shù)值，h=(1-0)/5=1/5,然后計算。解：區(qū)間長

32、度為b-a=1,n=5,h=1/5=所需節(jié)點xk=O+kh(=0.1,.,5),在每一個小區(qū)間中還要計算x1=(k=12,5)/«-1?一!"七2S=7"+/S)+2X/(a+4Z/(x64=i&=0s,=lxlx+2x(!+!+!+!)+651+01+0.21+0.41+0.61+0.8=0.693154x('+,+,+'+')+1+0.11+0.31+0.51+0.71+0.9例.依次利用n=8的復(fù)化梯形公式和n=4時的復(fù)化辛甫生公式計算定積分/=（坐公，已知函數(shù)外=皿的數(shù)據(jù)如下表川xxkafWk%fQk)0000()055/8

33、155611/8397863/4851621/4615877/8192533/8726781470941/28510ahE解/(刈八。7；=不"()+/(0+227(3乙k=l.1=±"(0)+/(1)+2£/(&)1。人=1=0.9456909hfMclxnS=g"(a)+/S)+4*/(xI)+2*f(xk)"6"0k+QA=133+/(O+45；f(x,)+2£f(xk)24*=o*+2女=1133S4=f(0)+fW+4£/(X,)+2/(x,)24A=o*+2*=0=!"(0)

34、+/+4")+/(j)+/(1)+f(，+24oooo1?3+2/(-)+/(-)+/(-)444=0.9460832小結(jié)：判斷一種算法的好壞，計算量是一個重要的因素。由于在求/(x)的函數(shù)值時，通常要做許多加減乘除四則運算，因此在統(tǒng)計求積公式Z&J(4)的計算時只要統(tǒng)計求函k數(shù)值/0)的次數(shù)用復(fù)化求積法。取=8用梯形公式(18)求得/=056909再取=4用復(fù)化公式辛甫生公式(19),又得邑=0.9460832比較上面兩個結(jié)果，它們都要提供9個點的函數(shù)值，工作量大體相同，但是精度卻不同專門大，同積分的準(zhǔn)確值比較，復(fù)化梯形方式的結(jié)果1有兩位有效數(shù)字，而復(fù)化辛甫生公式的結(jié)果s4

35、卻有六位有效數(shù)字。復(fù)化辛甫生公式是一種常常利用的數(shù)值求積方式。為了便于編寫程序，可將求積公式(19)事前改寫成下列形式，rT/>S=£/'S)-/m)+Z4/(x1+2/6)6仁FJ例.用變步長梯形公式計算定積分/=I"吧竺dl.JoX解：咱們先對整個區(qū)間0,1利用梯形公式.對于函數(shù)/'(不)='吧，有=而x/(I)=0.8414709,據(jù)梯形公式計算得：(=與2/(0)+/(1)=0.9207355然后再計算中點的函數(shù)值/(；)=0.9588510,從而據(jù)心=；，+不工1)有乙=大升+大/(大)=0,9397933.以此類推乙Lk=o2222

36、1113T4=-T2+-/(-)+/(-)=0-9445135如此不斷二分下去，二分10次能夠取得比較精準(zhǔn)的值.練習(xí)：用變步長梯形公式計算積分/=(蕓，要求及*一|405乂10-22解：設(shè)應(yīng)用變步長梯形公式有1+廠1_n199r.=-/(0)+/(1)=-()=1.511124=+5A")=5(15+-v)=1.55111122乙I,乙乙1IU乙J1V/«/J£=/+,"(6)+/A)+/(3)+/(«)ZOOOOO,-+一-r+)|1 + O.3752 1 + O.6252 1 + O.875211?=-1.5656+-(-+241+0.12

37、52«1.5695v|7；-7；|=O.OO39<O.5xlO-2.取1.5695例用中心差商數(shù)值微分公式計算函數(shù)/(%)=V%在x=2處的一階導(dǎo)數(shù)解：:+當(dāng)x=2時，有一2hJ(2)=-h1第二章例1求解初值問題yy-(0<x<l)解為便于進(jìn)行比較，本章將多種差分方式求解上述初值問題。這里先用歐拉方式。求解方程(3-8)的歐拉格式具有形J(°)T式y(tǒng)+1=y+八-3)1?取步長力=0，計算結(jié)果見下表。yn丁(匕)怎y丁“)例2用歐拉方式計算初值問題卜=/+100)21n的解函數(shù)y(x)在=時的近似值。(取步長卜=，小數(shù)點后至少保留4位)解：歐拉格式為：K

38、+1=X,+以+100城)=L+。.1X(*+1001)由y(0)=00y(0.l卜y=0.0000y(Q2)«y2=0.1x0.12=0.0010y(0.3)«y3=y2+0.1x(0.22+100x0.00102)=0.0050fy = 8-3,y,(l<x<2)練習(xí)：用梯形格式求解初值問題y() = 2,取步長h=，小數(shù)點后至少保留五位解：梯形格式為”第 ="%)+ /(Z+"z)，于是02Hm=先+亍8-3%+8-3£用,=716“川二百力+石由y(i)=)'o=2計算得)，(1.2)=乃=2.30769)，(4)7

39、2=2.47337).(1.6)比,3=2.56258y(L8)”4=2.61062y(2.0)*y5=2.63649試探題對初值問題yf+y=0y(o)=1試證明用梯形格式所求得的近似解為：%=（河）（其中h為步長）證明：梯形格式為先第=%+"區(qū)，%）+/區(qū)+2“+1），于是h/、£*=%+5（一）'一）1）=1上122-Z?2而X)=y(°)=1,故得例用歐拉預(yù)-校格式求初值問題)/+y+y2sinx=0),()=，要求取步長h=試計算y及y的近似值（小數(shù)點后至少保留五位）>'用=y+/(%，%)解：hy+i=%+-f(xn，)'

40、)+y+)于是有=y"一°2(L+),：sinx“)=X-01()1+城sin工+藍(lán)+焉-sinxn+I)由ND=）"=i計算得乃=0.63171y(l.2)=H=0.715488y2=0.47696y(1.4)«y2=0.52611練習(xí)用歐拉預(yù)-校格式求初值問題）/=_2.vo<t<21+產(chǎn),要求取步長h=,計算結(jié)果y（o）=0保留6位小數(shù)。解："+I=L+磯*L).”，、Ih將h=,/«,)，)=1一"=L+，L)+f(i，加)=0.1,2,代入,于是有Fw="+(°5-yy”)ft”7)

41、Zr+i=K+0-5x(l-y-yZI由九=0計算得加=0.500000,>-(0.5)、必=0.400000=0.740000,y(1.0)«乃=0-635000%=0.817500,y(l-5)«y3=0.787596a=0.924090,y(2.0)xy4=0.921025練習(xí)試寫出歐拉預(yù)報-校正格式，預(yù)報%+i=）'“+好（z，k）Il_校正y"+i=）'“+2"區(qū)，）'）+/（七出，»練習(xí)試寫出歐拉預(yù)報-校正格式。預(yù)報%用=券+/礦（%，%）校正加=”+."區(qū)，方）+/（%，£川）第四

42、章例用方程的迭代解法求方程xe-1二°的一正根，要求根的近似值X*穩(wěn)固至小數(shù)點后5位。解：設(shè)/(x)=x/1v/(0)=-h/(l)=-l>0./(1)=。在區(qū)間0,1上有根/'(X)=e'+xe'>0xe0,+co./(x)=。在區(qū)間o,1上有唯一實根取X。=0.5,將xe'-1=0改寫成x=ex,成立迭代公式xk+=e"(k=0,1,2,)進(jìn)行迭代：%=0.5,X=0.60653,-,x15=0.56715,x7=x16=0.56714.根的近似值為X,，練習(xí)用方程的迭代解法求方程/(工)二工一工一1=°在%)=15

43、周圍的一根1”。如成立X&+1=Na+i的迭代公式，其迭代進(jìn)程是收斂的。x7=x8=1.32472如成立xk+xk(x0=1.5)的迭代公式，則有X=2.375*2=12.39.xk會愈來愈大，不可能趨于某個極限。這種不收斂的迭代進(jìn)程稱作是發(fā)散的，縱使進(jìn)行了千百次迭代，其結(jié)果也是亳無價值。例,用不同的迭代公式求方程x“一3=0的正根解設(shè)/(幻=/-3,能夠?qū)?(x)=o改寫成不同的等價式X=O(X),由此可組成不同的迭代式。(1)(p(x)=x2+x-3,4+=X；+43。'(/)=火'(揚=26+1>1(2)(PM=-1xk+=-t(%+)=(V3)=-1xXk

44、x(a)=x-7(x2-3),S+i=x4-1(x；-3),44/3”(x)=l-X,”(x")=d(6)=1-0.134<113313(4)(px)=-(x+-)(2x=x+-),xk+i=(xk+),2xx/d(x)=g(l-W),9<x")="V5)=02x很明顯，迭代法(IX(2)不知足lg'(x)Kq<l的條件，其迭代法發(fā)散；迭代法(3)、(4)知足l0'(X)Kq<l的條件，均局部收斂，且(4)比(3)收斂得快。練習(xí)設(shè)叭X)=R+ax-5),要使迭代進(jìn)程4+<p(Xn)局部收斂到X*=M,求夕取值范圍。解夕

45、'(x)=l+2a*x由在根f二，田鄰域具有局部收斂時，收斂條件(px4)H1+2a%i5l<1=-211<a<05例用牛頓迭代法求方程尸=io的一個實根，精度要求£=10”解：原方程同解變形為*改一1=0,令/(x)=xl"一1V/(2)=2lg2-l<0,/(3)=31g3-l>0,:J*/(3)<0J(x)=xl改一1=0的根區(qū)間為(2,3)。f(X)=lg(x)+Ige>0xe(2,3)注意(/ogu)'=1/(xlna)/"W=>°,而且八3)與/"(x)同號X二牛頓迭代

46、法收斂.x-XfM,取xo=3,計算k+1km得Xl=,X2=,X3=X4=最后取實根V=練習(xí)討論用牛頓迭代法求解/一1一1=0在x=L5周圍的收斂性，若收斂,用牛頓迭代法求其解。要求以*一演卜1（）7民+1-”“05乂10一5。答案1.324717957.例.用單點弦截法解方程/（x）=xe'-1二。，要求解：/（0.5）0,/（0.6）0易知根區(qū)間為,/'(x)="(1+x)W0/"(x)=el(2+x)>0f(0.5)f0.5)<0f(0.6)f0.6)>0所以取（，/（0.6）為不動點，即取k=,k尸，代入下式/"）/（/

47、）得擰32經(jīng)5次迭代后取得乂中5二，知足條件 4+11左<0.5x10-5取x七0.56714。例.用雙點弦截法求方程9一二一1=0,在x=周圍的根.計算中保留5位小數(shù)點.解/（丫）=x3一丫2一1,f（1）=-lff（2）=3f有根區(qū)間取1,2.取加1,心=2,/（工）=3/2xw0（xg1,2）迭代公式為f（X）X； 7； - 1/（乙）一/（七1）3(%1-x0)=2-xl1.25x3=1.251.253-1.252-1；;rx(1.23-2)1.25s-1.252-23+22=1.37662-1.376623-1.376622-11.376623-1.376622-1.253+1

48、.252x(1.37662-1.25)148881-L比鬻U黑;X(1.48881-137662)146348=1.46348-1.463483-1.463482-11.463483-1.463482-1.488813+1.488812x(1.46348-1.48881)«取，環(huán)fw練習(xí).用單點弦截法解方程/（x）=xev-l=O,要求限一xj«0.5x10-（X4=X5=»進(jìn)程略）第五、六章例1解線性方程組2為一a2+3&=144再+2x7+5x.=4xl+2x2=7解：方程的系數(shù)矩陣的增廣矩陣為p-13rA=>4254|J207J"1009"=>010-101.3750.75'1-0.250.50-0.8755.25二”=(9,-1,-6)例2解線性方程組X+x2+x3=6<12周一3+3七=15(6-3)18%|+=15解先消去方程組（6-3）中后兩個方程中的變量得同解方程組x+x2+=6(6-4)<-15x2+9x3=-572Lv2+17x3=939/ =572266一七二一5 35再消去方程組（6-4