Mathematica——常微分方程、拉氏變換與級數(shù)實驗

1、§13.5學習目標1. 會用Mathematica求解微分方程（組）；2. 能用Mathematica求微分方程（組）的數(shù)值解；3. 會利用Mathematica進行拉氏變換與逆變換；4. 能進行冪級數(shù)和傅里葉級數(shù)的展開。一、 常微分方程（組）Mathematica能求常微分方程（組）的準確解，能求解的類型大致覆蓋了人工求解的范圍，功能很強。但不如人靈活（例如在隱函數(shù)和隱方程的處理方面），輸出的結果與教材上的答案可能在形式上不同。另外，Mathematica求數(shù)值解也很方便，且有利于作出解的圖形。在本節(jié)中，使用Laplace變換解常微分方程（組）的例子也是十分成功的，過去敬而遠之的方

2、法如今可以輕而易舉的實現(xiàn)了。求準確解的函數(shù)調用格式如下：DSolveeqn，yx，x 求方程eqn的通解y（x），其中自變量是x。DSolveeqn，yx0= =y0，yx，x 求滿足初始條件y（x0）= y0的特解y（x）。DSolveeqn1，eqn2，y1x，y2x，x 求方程組的通解。 DSolveequ1，y1x0= =y10，y1x，y2x，x 求方程組的特解。 說明：應當特別注意，方程及各項參數(shù)的表述方式很嚴格，容易出現(xiàn)輸入錯誤。微分方程的表示法只有通過例題才能說清楚。例1 解下列常微分方程（組）：2y1+y22+(x+1)，（2）y¢= （1）y¢=， （3

3、） x+1(x+x3)y5常微分方程、拉氏變換與級數(shù)實驗 ìy¢=z， í¢z=-yîìy¢=z （4）í的通解及滿足初始條件y（0）=0，z（0）=1的特解。îz¢=-y解：In1：=DSolveyx= =2yx/（x+1）+（x+1）（5/2），yx，xìì2üü Out1=ííyx®(1+x)7/2+(1+x)2c1ýý 3þþîîIn2：=DSolveyx=

4、=（1+yx2）/(x+x3）yx)，yx，x-1-Out2=yx®-11+c1-1-+c122xx， yx® 11+2+2xxIn3：=DSolveyx= =zx，zx= = -yx，yx，zx，xOut3=yxC1Cosx+ C2Sinx，zxC2Cosx- C1SinxIn4：=DSolveyx= =zx，zx= = -yx，y0= =0，z0= =1，yx，zx，xOut4=yxSinx，zxCosx提示：認真觀察上例，可以從中學習輸入格式，未知函數(shù)總帶有自變量，等號用連續(xù)鍵入兩個等號表示，這兩點由于不習慣會出錯！導數(shù)符號用鍵盤上的撇號，連續(xù)兩撇表示二階導數(shù)，這與習

5、慣相同。自變量、未知量、初始值的表示法與普通變量相同。說明：輸出結果總是盡量用顯式解表出，有時反而會使表達式變得復雜，這與教科書的習慣不同。當求顯式解遇到問題時，會給出提示。通解中的任意常數(shù)用C1，C2，表示。例2 求解下列微分方程：（1）y¢¢¢+3y¢¢+3y¢+y=(x-5)e-x，（2）x2+(y¢)2=1，（3）y¢=xy。解：In1：=DSolvey¢¢¢x+3yx +3yx + yx = =（x - 5）Exp-x，yx，x1-x2æx2ö-x

6、0;5x2x3ö Out1=yx®exç-5x+÷+exç-÷+ ç÷ç÷22ø3øèè25x3x4ö-x-x-x2 1e-xæç÷-+eC1+exC2+exC3 ç÷2è34øIn2：=Simplify%Out2=yx®1-xe(-20x3+x4+24C1+24xC2+24x2C3) 24In3：=DSolvex2 + yx2 = = 1，yx，x1ArcSinx+

7、C1， Out3=yx®-x-x2-22yx®1ArcSinxx-x2-+C1 22In4：=DSolveSqrtyx = = x yx，yx，xOut4=yx®-3 3x-C1說明：由以上可以看出對方程的類型并無限制，但是輸出的答案未必符合習慣，例如第一個方程的答案需要化簡，有時即使化簡后也未必與教材上的答案一致。例3 求微分方程2dy+2xy=xe-x的通解。 dx解：In1：=DSolveyx+2x yx= = x E（-x2），yx，x66212 Out1=yxe-xx2+e-xC1 2這就是所給微分方程的通解。式中的C1是通解中的任意常數(shù)。上述命令也可以

8、輸入為：DSolveDyx + 2x yx= =x E（ - x2），yx，x。例4 求微分方程xy+ y - ex = 0在初始條件y|x=1 = 2e下的特解。解：In1：=DSolvex*yx+yx-Ex= =0，y1= =2E，yx，xe+exOut1= yx x二、 常微分方程（組）的數(shù)值解函數(shù)NDSolve用于求給定初值條件或邊界條件的常微分方程（組）的近似解，其調用格式如下：NDSolveeqns，y1，y2，x，xmin，xmax 求常微分方程（組）的近似解。 其中微分方程和初值條件的表示法如同DSolve，未知函數(shù)仍有帶自變量和不帶自變量兩種形式，通常使用后一種更方便。初值點

9、x0可以取在區(qū)間xmin，xmax上的任何一點處，得到插值函數(shù)InterpolatingFunctiondomain，table類型的近似解，近似解的定義域domain一般為domain，table，也有可能縮小。例5 求常微分方程y= x2 + y2，滿足初始條件y（0）= 0的數(shù)值解。解：In1：=s1=NDSolveyx= =x2+yx2，y0= =0，y，x，-2，2Out1=yInterpolatingFunction-2.，2.，< >In2：= y=y / . s11Out2=InterpolatingFunction-2.，2.，< >In3：=Plotyx，x，-2，2，AspectRatioAutomatic，PlotRange-1.5，1