二元一次方程組的應(yīng)用例題與講解

1、3.4二元一次方程組的應(yīng)用根底知識塔本技能1.列二元一次方程組解應(yīng)用題1列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟設(shè)出題中的兩個未知數(shù)；找出題中的兩個等量關(guān)系；根據(jù)等量關(guān)系列出需要的代數(shù)式,進而列出兩個方程,并組成方程組；解這個方程組,求出未知數(shù)的值；檢驗所得結(jié)果的正確性及合理性并寫出答案.2用方程解決實際問題的幾個本卷須知先弄清題意,找出相等關(guān)系,再根據(jù)相等關(guān)系來選擇未知數(shù)和列代數(shù)式,比先設(shè)未知數(shù),再找出含有未知數(shù)的代數(shù)式,再找相等關(guān)系更為合理.所列方程兩邊的代數(shù)式的意義必須一致,單位要統(tǒng)一,數(shù)量關(guān)系一定要相等.要養(yǎng)成“驗的好習(xí)慣,即所求結(jié)果要使實際問題有意義.不要漏寫“答,“設(shè)和“答都不要丟掉單位

2、名稱.分析過程可以只寫在草稿紙上,但一定要認真.對于可解的應(yīng)用題,一般來說,有幾個未知數(shù),就應(yīng)找出幾個等量關(guān)系, 從而列出幾個方程,即未知數(shù)的個數(shù)應(yīng)與方程組中方程的個數(shù)相等.解技巧用二元一次方程組解應(yīng)用題的步驟列二元一次方程組解決實際問題一般需要遵循如下步驟：審題；確定相等關(guān)系；設(shè)出未知數(shù)；解方程；檢驗、寫出答案.【例1 1】為了保護環(huán)境,某校環(huán)保小組成員收集廢電池, 第一天收集1號電池4節(jié), 5號電池5節(jié),總重量為460克,第二天收集1號電池2節(jié),5號電池3節(jié),總重量為240 克,試問1號電1和5號電池每節(jié)分別重多少克分析：如果1號電1和5號電池每節(jié)分別重 x克,y克,那么4節(jié)1號電和5節(jié)5

3、號電池總重量為4x+5y克,2節(jié)1號電和3節(jié)5號電池總重量為2x+ 3y克.解：設(shè)1號電池每節(jié)重x克,5號電池每節(jié)重y克,根據(jù)題意可得4x+ 5y =460,2x+ 3y=240.X 2,得y=20.把 y= 20代入,得 2x+ 3X 20=240, x=90.x= 90,所以這個方程組的解為y= 20.答：1號電池每節(jié)重 90克,5號電池每節(jié)重20克.【例1 2】“甲、乙隔河放牧羊,兩人互相問數(shù)量,甲說得乙羊九只,我羊是你二倍整.乙說得甲羊八只,兩人羊數(shù)正相當.請你幫助算一算,甲、乙各放多少羊分析：題中有兩個未知數(shù)：甲放羊的只數(shù)和乙放羊的只數(shù).相等關(guān)系：1甲放羊的只數(shù)+9= 2乙放羊的只數(shù)

4、一9; 2甲放羊的只數(shù)一8=乙放羊的只數(shù)+ 8.解：設(shè)甲放羊x只,乙放羊y只.由題意,得x+9=2y-9x- 8=y+ 8,x= 59,解得ly=43.答：甲放羊59只,乙放羊43只.析規(guī)律如何列方程組解應(yīng)用題在列方程組解決實際問題時,應(yīng)先分析題目中的量、未知量是什么,各個量之間的關(guān)系是什么,找出它們之間的相等關(guān)系,列出方程組,建模過程即可完成,因此解決實際 問題的建模過程非常重要.根本方法培本水平t yyTSiEWi f. a j i l .2 .足球比賽積分問題足球比賽積分由比賽規(guī)那么決定,足球比賽結(jié)果分勝、平、輸三種情況,一般地,勝一場 得3分,平一場得1分,輸一場得0分.各類比賽規(guī)那么

5、不盡相同,因此,弄清比賽規(guī)那么是正 確列出方程的先決條件.這類問題根本等量關(guān)系為： 比賽總場數(shù)=勝場數(shù)+負場數(shù)十平場數(shù)； 比賽總積分=勝場積分+負場積分+平場積分.【例2】 足球比賽的記分規(guī)那么是：勝一場得3分,平一場得1分,負一場得0分.個隊踢了 14場,負了 5場,共得19分,那么這個隊勝了 .A . 3場B . 4場C. 5場D . 6場x+ y+5= 14,x= 5,解析：設(shè)這個隊勝了 x場,平了 y場,根據(jù)題意,得5解得彳_3x+y= 19,卜=4,那么這個隊勝了 5場,平4場.答案：C3 .列方程組解答生活中的百分比問題在生活中,我們時刻都在與經(jīng)濟打交道,經(jīng)常面臨利潤問題、利息問題

6、等.解決這類問 題,應(yīng)熟記一些根本公式：1增長率問題增長量增長率=訐面*100%；方案量x 1+增長率=增長后的量;方案量.X1減少率=減少后的量.2經(jīng)濟類問題利息=本金X禾I率X期數(shù)；本息和=本金+利息=本金+本金X禾I率X期數(shù)；稅后利息=本金X利率X期數(shù)X 1利息稅率；商品的利潤=商品的售價一商品的進價；商品的利潤率=商品的利潤商品的進價X 100%.析規(guī)律確定實際問題中的相等關(guān)系先認真審題,找出問題中的量和未知量,再借助于表格分析具體問題中蘊涵的數(shù)量關(guān)系,從而問題中的相等關(guān)系就會清楚地浮現(xiàn)出來.【例3】 某工廠去年的總產(chǎn)值比總支出多500萬元.由于今年總產(chǎn)值比去年增加15%,總支出比去年

7、節(jié)約 10%,因此,今年總產(chǎn)值比支出多950萬元.今年的總產(chǎn)值和總支出各是多少萬元分析：可列下表去年總產(chǎn)值x萬元,總支出y萬元：總產(chǎn)值總支出差去年xyP 500今年(1 + 15%)x(1-10%)y950題中有兩個相,等關(guān)系：(1)去年的總產(chǎn)值一去年的總支出=500萬元；(2)今年的總產(chǎn)值一今年的總支出=950萬元.解：設(shè)去年的總產(chǎn)值是 x萬元,去年的總支出是 y萬元,由題意,得x y= 500,(1+15% x (1 10% y=950.x=2 000,解得y= 1 500.所以(1 + 15%)x=2 300, (1 - 10%)y=1 350.故今年的總產(chǎn)值是 2 300萬元,總支出是

8、1 350萬元.4 .利用二元一次方程組解決信息題(1)表格信息題是指通過表格的形式以及一定的文字說明來提供問題情景的一類試 題.它的形式多樣,取材廣泛,條件清楚、明了.有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題.的水平.對圖表型信息應(yīng)用題,要善于從圖表中挖掘信息,找到一些隱含信息,構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué) 模型,靈活應(yīng)用所學(xué)知識來解決實際問題.(2)情境信息題是通過圖形中的文字表述或圖中的人物對話獲取信息,確定相等關(guān)系, 列出方程組或通過觀察圖形,獲取隱含信息,如拼圖問 題,要注意根據(jù)拼圖中的相等線段 找等量關(guān)系.重在分析,審題,列式是核心,書寫格式必須完整、準確.要善于根據(jù)情境捕捉解題條件,把情境中的相等關(guān)系

9、正確地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)關(guān)系.【例4】 在“五一期間,小明、小亮等同學(xué)隨家人一同到江郎山游玩,以下圖是購門 票時,小明與他爸爸的對話.爸爸等一下 讓我算一算. 換一種方式買 票是否呵以更 省錢一I 萼價；成人：35用張學(xué)生：按成人票 5折優(yōu)惠 ；團體票(16人以 ；匕含16人)： 七硬甦一大人門票每張35元； 學(xué)生門票對折優(yōu)惠, 我們共有12個人, 供需355t,O 斤O 1或(1)小明他們一共去了幾個成人幾個學(xué)生(2)請你幫小明算一算,用哪種方式買票更省錢并說明理由.x+y=12,1=8：解：(1)設(shè)去了 x個成人,y個學(xué)生,那么有335解得f35x+ y=350,7=4.答：小明他們一共去了 8個

10、成人,4個學(xué)生.(2)假設(shè)購團體票那么需：16X 35 X 0.6= 336(元),由于336(元)350(元),所以買團體票更省錢.答：買團體票更省錢.5 .列二元一次方程組的應(yīng)用題常用策略(1) “直接與“間接轉(zhuǎn)換：當直接設(shè)未知數(shù)不便時,轉(zhuǎn)而設(shè)間接未知數(shù)來求解,反 之亦然.(2) “一元與“多元轉(zhuǎn)換：當設(shè)一個未知數(shù)有困難時,可考慮設(shè)多個未知數(shù)求解, 反之亦然.(3) “局部與“整體轉(zhuǎn)換：當整體設(shè)元有困難時,就考慮設(shè)其局部,反之亦然,如： 數(shù)字問題.(4) “一般與“特殊轉(zhuǎn)換：當從一般情形入手困難時,就著眼于特殊情況,反之亦 然.(5) “文字與“圖表轉(zhuǎn) 換：有的應(yīng)用題,用文字語言表達較難,

11、就可以用表格或圖 形來分析,這樣既直觀,也易理解題意.談重點用二元一次方程組解文字型實際問題用二元一次方程組解決文字表達型實際問題,最主要的是從實際問題中找到兩個相等關(guān)系,通過設(shè)適當?shù)膬蓚€未知數(shù),用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系,列出兩個二元一次方程.【例5】 學(xué)校書法興趣小組準備到文具店購置A, B兩種類型的毛筆,文具店的銷售方法是：一次性購置 A型毛筆不超過20支時,按零售價銷售；超過20支時,超過局部每支比零售價低0.4元,其余局部仍按零售價銷售.一次性購置B型毛筆不超過15支時,按零售價銷售；超過15支時,超過局部每支比零售價低0.6元,其余局部仍按零售價銷售.如果全組共有20名同學(xué),

12、假設(shè)每人各買 1支A型毛筆和2支B型毛筆,共支付145元; 假設(shè)每人各買2支A型毛筆和1支B型毛筆,共支付129元.這家文具店的 A, B兩種類型 毛筆的零售價各是多少分析：20名同學(xué)每人買1支A型毛筆的錢+每人買 2支毛筆的錢=145元；20名同學(xué) 每人買2支A型毛筆的錢+每人買 1支B型毛筆的錢=129元.解：設(shè)該家文具店 A型毛筆的零售價為每支 x元,B型毛筆的零售價為每支 y元,根據(jù) 題意,得20x+ 15y+25(y0.6 尸 145,20x+20(x- 0.4 115y+5(y- 0.6 / 129,20x+40y= 160,即40x+ 20y= 140,x+ 2y= 8,化簡,得

13、2x+y= 7.|x=2,解得+y=3.這家文具店A型毛筆的零售價為每支 2元,B型毛筆的零售價為每支 3元.6 .利用方程組解決方案問題“方案優(yōu)化與設(shè)計類型的題目逐漸成為熱點考題,尤其是運用二元一次方程組求解的試題更為常見.對于二元一次方程組的應(yīng)用問題,關(guān)鍵是由實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程.解答設(shè)計方案決策題,應(yīng)先根據(jù)題意設(shè)計出可行的方案,然后再從中選擇出最正確方案.有時,不需要我們自己去設(shè)計, 題目中提供給同學(xué)們幾種可供選擇的方案,只需根據(jù)題目要求通過計算得出最正確方案即可.這類題目的特點比較突出,需要分類討論不同的方案,選擇滿足某種要求的最優(yōu)的方 案.難點在于要 求解的量不明顯,其實,要

14、求解的量恰恰是隱藏在“方案中.解答有些方案題時,首先要設(shè)未知數(shù),多數(shù)題目可以直接設(shè)未知數(shù),但并不是千篇一 律問什么就設(shè)什么.有時候在方案設(shè)題中需要設(shè)間接未知數(shù),有時候需要設(shè)輔助未知數(shù).方案設(shè)計題一般具有開放性,而且所給的題目具有很強的情境性,同學(xué)們一定要耐心地讀懂題意,然后再,根據(jù)要求去決策.【例6】 某省某地生產(chǎn)的一種綠色蔬菜,在市場上假設(shè)直接銷售,每噸的利潤為1 000元,經(jīng)粗加工后銷售,每噸利潤可達4 500元,經(jīng)精加工后銷售,每噸的利潤漲至 7 500元.當 地的一家公司收購這種蔬菜 140噸,該公司加工廠的生產(chǎn)水平是：如果對蔬菜進行粗加工, 每天可加工16噸；如果進行精加工,每天可加

15、工 6噸,但兩種加工方式不能同時進行.受 季節(jié)等條件的限制,公司必須用15天的時間將這批蔬菜全部的銷售或加工完畢.為此,公司研制了三種可行方案：方案一：將蔬菜全部進行粗加工.方案二：盡可能多的對蔬菜進行精加工,沒來得及進行加工的蔬菜, 在市場上直接銷售.方案三：將一局部蔬菜進行精加工,其余的蔬菜進行粗加工,并恰好用15天完成.你認為選擇哪種方案獲利最多為什么解：選擇第三種方案獲利最多.方案一：由于每天粗加工16噸,140噸可以在15天內(nèi)加工完,總利潤 W1=4 500X 140 = 630 000(元).方案二：由于每天精加工6噸,15天可以加工90噸,其余的50噸直接銷售,總利潤W2 = 9

16、0X 7 500+50 X 1 000=725 000(元).x+ y= 140,方案三：設(shè)15天內(nèi)精加工蔬菜x噸,粗加工蔬菜y噸,依題意,得x y 6+16=15,x= 60, 得4y=80.總利潤 W3 = 60X 7 500+80X4 500 = 810 000(元).綜合以上三種方案的利潤情況,知W1VW2VW3.所以第三種方案獲得利潤最多.7 .列二元一次方程組解決實際問題的常用方法(1)數(shù)量較多的問題常用列表的方式分析數(shù)量關(guān)系由于利用表格可清楚地反映數(shù)量之間的關(guān)系,從而到達少設(shè)未知數(shù),減少計算量的目的.解題時,有這樣一種規(guī)律：如果少設(shè)未知數(shù),那么思路復(fù)雜,計算簡單；如果多設(shè)未知 數(shù)

17、,那么思路簡單,計算復(fù)雜.我們應(yīng)根據(jù)具體的題目合理選擇所設(shè)未知數(shù)的個數(shù).(2)借助“表格或“線段圖分析復(fù)雜的問題例如：從甲地到乙地全程 3.3千米,一段上坡、一段平路、一段下坡,如果保持上坡每 小時行3千米,平路每小時行 4千米,下坡每小時行 5千米,那么從甲地到乙地需行 51分 鐘,從乙地到甲地需行 53.4分鐘,求甲地到乙地的上坡、 下坡和平路的路程各是多少千米這個問題中的數(shù)量關(guān)系借助線段圖來分析更直觀.甲,上坡.平路,下坡,乙【例7】 據(jù)市場調(diào)查,個體服裝店做生意,只要銷售價高出進貨價的 20%便可贏利； 假設(shè)你準備買1件標價為200元的服裝.(1)個體服裝店假設(shè)以高出進價的50%要價,你應(yīng)怎樣還價(2)個體服裝店假設(shè)以高出進價的100%要價,你應(yīng)怎樣還價(3)個體服裝店假設(shè)以高出進價的50%100%要價,你應(yīng)該在什么范圍內(nèi)還價分析：分別計算(1)(2)兩種情況的最低價格.數(shù)量關(guān)系為：進價X (1 + 50%) = 200,最低價=進價 X (1+20%);進價 X (1 + 100%) = 200,最低價=進價 X(1+20%).解：(1)設(shè)該服裝的進價為 x元,那