二重積分習(xí)題

1、第九章二重積分習(xí)題9-122. 31、設(shè) 1l(x y ) d ,Di其中 Di ( x,y)| 1 x 1, 2 y 2；又 I2(x2 y2)3d ,D2其中 D2 (x,y)|0 x 1,0 y 2,試?yán)枚胤e分的幾何意義說明I1與I2之間的關(guān)系.解：由于二重積分I1表示的立體關(guān)于坐標(biāo)面 x 0及y 0對稱,且I1位于第卦限局部與I2一致,因此I1 4I2.2、利用二重積分的幾何意義說明：(1)當(dāng)積分區(qū)域 D關(guān)于y軸對稱,f(x,y)為x的奇函數(shù),即f( x,y) f(x,y)時(shí),有f (x, y)d 0；D(2)當(dāng)積分區(qū)域 D關(guān)于y軸對稱,f(x,y)為x的偶函數(shù),即f( x,y)

2、f (x, y) 時(shí),有f(x, y)d 2 f (x, y)d 淇中D1為D在x 0的局部.DD1并由此計(jì)算以下積分的值 淇中D (x,y)|x2 y2 R2.34 .222y cosx .(I) xy d ； (II) y R x y d ； (III)2d .DDD 1 x y解：令I(lǐng) f(x,y)d ,I1 f(x,y)d 淇中D1為D在x 0的局部, DD1由于D關(guān)于y軸對稱,f(x, y)為x的奇函數(shù),那么I表示的立體關(guān)于坐標(biāo) 面x 0對稱,且在x 0的局部的體積為I1,在x 0的局部的體積為I1,于是I 0;(2)由于D關(guān)于y軸對稱,f(x, y)為x的偶函數(shù),那么I表示的立體關(guān)

3、于坐標(biāo)2ln(x y)2dDy 1.解：由于在D內(nèi),e 3 x y6,有 ln(x y),21,ln(x y) ln(x y),面x 0對稱,且在x 0的局部的體積為I1,在x 0的局部的體積也為11,于 是 I 2I1.一 _.22_2- ,、4(I)由于D ( x, y) | x y R 關(guān)于y軸對稱,且f (x, y) xy為x的奇函 數(shù),于是xy4d0；D(II)由于 D (x,y)|x2 y2 R2關(guān)于 x 軸對稱,且/二222222 .-、一,R x y為y的奇函數(shù),于是 yqR x y d 0；D3_.22 _2y cosx(III)由于 D ( x,y)|x y R 關(guān)于 x軸

4、對稱,且 f (x,y)2 為1 x y3一、, y y cosx , 一y的奇函數(shù),于是 22d 0.d 1 x y3、根據(jù)二重積分的性質(zhì),比較以下積分的大?。?、2,、3,一Ii (x y) d 與I2 (x y) d ,其中D是由x軸、y軸與直線DDx y 1所圍成；解：由于在D內(nèi),0 x y 1,有0 (x y)3 (x y)2,所以12 (x y)3d(x y)2d I1.DD(2) I1 ln(x y)d 與 I2D其中 D ( x,y)|3 x 5,0所以11 ln(xDy)d2ln(x y)2d I2.D4、利用二重積分的性質(zhì)估計(jì)以下二重積分的值: I xy(x y 1)d ,

5、其中 D (x,y)|0 x 1,0 y 2；解：由于D的面積為2,且在D內(nèi),0 xy(x y 1) 8 ,那么0 0 2 xy(x y 1)d8 2 16.D22(3) I (x2 4y29)d,D其中D ( x,y) | x2y24；,且在D內(nèi),一 一 2 一 一13 3y 25,那么解：由于D的面積為4一 22 一9 x 4y 9369 4(x2 4y2 9)d25 4100D(4) I22- ,D 100 cos x cos y其中 D (x,y)|x| |y| 10；解：由于D的面積為200,且在D內(nèi),1100,那么11,一,一22102 100 cos x cos y200 2.1

6、00100_ 200dL / / 一_22-51102 D 100 cos x cos y習(xí)題9-21、計(jì)算以下二重積分：,22 一. (x y )d ,其中D是矩形區(qū)域：|x| 1,| y| 1；D解：2211221218(x y )d 1dx 1(x y )dy 2 1(x 3)dx 3.(2)22xye d 淇中 D (x,y)|ax b,c y d；.22解： (x y )dDbdx2 y21d2 c2bx2dx (xye )dy -(e e ) xe dx.ac2a1 / b2a2d2 c2、4(e e )(e e )(3) (3x 2y)dD解： (3x 2y)dD,其中D是由兩坐

7、標(biāo)軸及直線x y 2所圍成的閉區(qū)域;22 x2220° dx ° (3x 2y)dy ° (4 2x 2x )dx 一 .(4) xcos(x y)dD,其中D是頂點(diǎn)分別為(0,0), ( ,0)和()的三角形閉區(qū)域.x3解： xcosx y)d dx xcosx y)dy x(sin2x sinRdx 一D00022、畫出積分區(qū)域,并計(jì)算以下二重積分:xjd ,其中D是由兩條拋物線x, y所圍成的閉區(qū)域;解:x 2dx,x 處 37(x4x)dx655(2)yd ,其中D是由直線 xy x, y2x及x1,x2所圍成的閉區(qū)域;解:ydD x2 2xdx I x-

8、dy x2xdx1(2xy)d淇中D是由x,y1 p一及 x2所圍成的閉區(qū)域;解:(2xDy)d2,dy 1 (2x y)dx (2y 1 一I1康19 Fdy - y 6(5) ex yd 淇中D是由|x| | y| 1所確定的閉區(qū)域D扁力x y0 x 1 xy1 x 1 x y解： e d dx e dy dx e dy1 x 1 J 0 x 1JD0/ 2x 11X.1 (e e )dx1- ,0(e ex )dxe 3 e 11e -.2 2e 2 2eea:=0.1;b:=x-1.-x+1;f:=exp(x+y); int(f,y=b);int(int(f,y=b),x=a); si

9、mplify(");3、如果二重積分f (x, y)d 的被積函數(shù)f (x, y)是兩個(gè)函數(shù)f(x)及f2(y)的乘D (x,y)|a即D積,b,cf (x,y) "x)f2(y),積分區(qū)域d,證實(shí)這個(gè)二重積分等于兩個(gè)單積分的乘積 ,f (x, y)dD證實(shí)：f(x)dxdf2(y)dy .cf (x, y)dDbf1(x)abdxadf(x, y)dxcbdxa"x)f2(y)dybf2(y)dy dxf1(x)dxadc f2(y)dy .4、化二重積分I f(x,y)d 為二次積分(分別列出對兩個(gè)變量先后次序不D同的兩個(gè)二次積分),其中積分區(qū)域 D是：(1)

10、由曲線y lnx、直線x 2及x軸所圍成的閉區(qū)域；圖形plot(ln(x),0,2,0,2,ln(2),x=0.2,y=0.,color=1);2 ln xln2 2解：I dx ° f (x, y)dy . dy ey f (x, y)dx.一,22-(2)由y軸及右半圓xJay所圍成的閉區(qū)域；圖形plot(1-xA2)A(1/2), -1*(1-xA2)A(1/2),x=0.1, color=1);a2 y2dy 0 f (x, y)dx.a解：I dx0a2 x2f(x,y)dya x(3)由拋物線y2 .x與直線2x y 3所圍成的閉區(qū)域.圖形plot(xA2, 3-2*x,

11、x=-3.1, color=1);解：I °dy f f (x, y)dx1 dy 2y f(x,y)dx.5、改換以下二次積分的積分順序:1 y 0dyy f(x, y)dx；1 x解：I°dx *2 f (x, y)dy.1(2) 0 dyeey f (x, y)dx ；解:e In x1dx0 f(x, y)dy.111 y2(3) 0dy 2 y f (x,y)dx；I JI2 2x x2解：I dx 2 * f (x, y)dy.1x222f(x,y)dy ；(4) 0dx 0 f (x,y)dy 1 dx 0解:12 ydy f (x, y) dx.0 ysin

12、 x 0 dx sinx f(x,y)dy ；2圖形 > plot(sin(x),-sin(x/2),Pi,0,Pi,-1, x=0.Pi,color=1);01arcsin y解：I dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx.1 J 2arcsin y07 arcsin y v2 a . 2ax22 x(6) 0 dx 2ax x2 f(x,y)dy1 dx0 f(x,y)dy.0, 2 ax xi 0圖形 > plot(2*x-xA2)A(1/2),(2*x)A(1/2),2,0,2,2, x=0.2,color=1);22a a a ya 2a解：I 0 dy

13、f (x, y)dx 0 dy a f (x,y)dx2a2aa dy2ay2 f(x, y)dx.2a6、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線x y 2, y x和x軸所圍成,它的面密度(x,y) x2y2,求該改薄片的質(zhì)量.圖形 > plot(2-x,x, x=0.2,y=0.1,color=1);12 x c c解：m (x, y)d Qdy y (x y )dx1/8 / 2 8 3、4(二 4y 4y -y )dy -.0 3337、求由平面x 0, y 0, z 1, x y 1及z 1 xy所圍成的立體的體積圖形 > with(plots):A:=plot3d(x,y,1,

14、x=0.1,y=0.1-x):B:=plot3d(x,1-x,z,x=0.1,z=1.2):F:=plot3d(x,0,z,x=0.1,z=1.1+x):G:=plot3d(0,y,z,y=0.1,z=1.1+y):H:=plot3d(x,y,1+x+y,x=0.1,y=0.1-x):display(A,B,F,G,H,grid=25,20, axes= BOXED , scaling=CONSTRAINED,style= PATCHCONTOUR);11 x1 191解：V (1 x y) 1d0dx 0 (x y)dy - 0(1 x )dx -.D238、為修建高速公路,要在一山坡中月出

15、一條長 500m,寬20m的通道,據(jù)測量, 以出發(fā)點(diǎn)一側(cè)為原點(diǎn),往另一側(cè)方向?yàn)?x軸0 x 20,往公路延伸方向?yàn)?y軸(0 y 500),且山坡高度為z 10siny sinx ,試計(jì)算所需挖掉50020的土方量.圖形plot3d(10*sin(Pi*y/500)+ sin(Pi*x/20),y=0.500,x=0.20);205003解：V zd dx (10siny sin - x)dy 70028(m ).D 00500209、畫出積分區(qū)域,把積分I f(x,y)d 表示為極坐標(biāo)形式的二次積分,其D 中積分區(qū)域D是： _,222_ D (x,y)|x y a ,x 0 (a 0);圖形

16、plot(1-xA2)A(1/2),-(1-xA2)A(1/2), x=0.1,color=1); - a解：I 2 d f (r cos , rsin )rdr .一 0 2一 ., 一 22(2) D ( x, y)|x y 2y；f (rcos , rsin )rdr .圖形plot(1+(1-xA2)A(1/2), 1-(1-xA2)A(1/2), x=-1.1,color=1); 2 解：x y 2y r 2rsin r 2 sin ,于是 2sin d_2222. D ( x, y) |a x y b ,其中 0 a b；圖形 > plot(1-xA2)A(1/2),-(1-

17、xA2)A(1/2),(4-xA2)A(1/2),-(4-xA2)A(1/2), x=-2.2,color=1);2b解：I 0 d a f (r cos , r sin )rdr .2.(4) D ( x, y) |0 x 1,0 y x .圖形 > plot(xA2,1,0,1,1, x=0.1,color=1);解：y x2 r sin r2 cos2r sec tanx 1 rcos 1 r sec,于是_secI 4 d f (r cos , rsin )rdr .0sec tan10、化以下二次積分為極坐標(biāo)形式的二次積分:11 0 dx 0 f (x,y)dy；圖形plot(

18、0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,color=1);解：x1rcos1rsec,y1r sin1rcsc,于是csco f (r cos , r sin )rdr . sec-I 4d f(rcos ,rsin )rdr 2d0041 1 x21222 2) 0 dxi x f (vx y )dy；圖形plot(1-xA2)A(1/2),1-x,x=0.1,color=1);1于是解：y 1 x rsin 1 rcos r sin cos-1102 d1 f (r)rdr .sin cos11、把以下積分為極坐標(biāo)形式,并計(jì)算積分值：2 a2ax x222 0 dx 0 (x y )dy

19、；圖形 > plot(2*x-xA2)A(1/2), x=0.2,color=1);II解：y J2ax x2rsin42arcosr2cos2r 2acos2acos 34 K 4于是I2 d r dr 4a 2 cos000圖形plot(3A(1/2)*x,x, x=0.1,color=1);解：x 1 rcos_ secI3ddr-041 r sec,于是3“, 233 sec dIn .71. 23a a2 dxy2dyJadx02a2 x2x2 y2dy.圖形plot(3A(1/2)*x/3, (1-xA2)A(1/2),x=0.1,y=0.,color=1);解:x 1 rc

20、os6 a 2I 6 d r dr00sec ,于日ZE06d3 一 a . 1812、利用極坐標(biāo)計(jì)算以下各題：二222 .一.22_、；R x y d,其中D為圓域x y Rx(R 0)；D圖形 > plot(x-xA2)A(1/2),-(x-xA2)A(1/2),x=0.1,color=1);解：x2 y2 Rx r2 Rrcos r Rcos,于是.2 . Rcos二22- .13 ,4、I 2 d . R r rdr R ().20331及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象(2) ln(1 x2 y2)d 淇中 D 為圓 x2y2D限內(nèi)的閉區(qū)域；圖形 > plot(1-xA2)A(1/

21、2),x=0.1,color=1);1).一 12解：I02 d 0 1n(1 r )rdr (2 ln 2, y, 一, r ,一一 22,22.一, arctan-d ,其中D為圓周x y 1 , x y 4及直線 DXy 0, y x所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.圖形 > plot(1-xA2)A(1/2),-(1-xA2)A(1/2), (4-xA2)A(1/2),-(4-xA2)A(1/2),x,x=-2.2,y=0.2A(1/2),color=1);, 一T 23 T39斛：I 4 d rdr - 4 d 012 06413、選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算以下各題：2X ._一d ,其中

22、D是直線x 2,y x及曲線xy1所圍成的閉區(qū)域;d y圖形 > plot(x,1/x,2,1/2,2,2,x=0.2,y=0.2,color=1);22 x x22 0Q解：I dx 1 dy (x x)dx -.1 x y 14(2) sin v'x2 y2d 淇中D是圓環(huán)形區(qū)域2 x2y2D圖形 > plot(1-xA2)A(1/2),-(1-xA2)A(1/2),(4-xA2)A(1/2),-(4-xA2)A(1/2), x=-2.2,color=1);2 2 2解:I d r sin rdr 6.0,22、0)所(x y )d ,其中 D是由直線 y x, y x a, y a,y 3a(aD圍成的閉區(qū)域;圖形plot(0,1,1,1,3,3,2,3,0,1,x=0.3,y=0.3,color=1);3解: