新課程高一數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)與形

1、新課程高一數(shù)學(xué)教學(xué)中的“數(shù)”與“形”潘曄晨 嘉興市第三中學(xué)摘要： 以往的“數(shù)形結(jié)合”大多出現(xiàn)在教師的習(xí)題課中，以灌輸為主，這并不完全符合新課程理念。應(yīng)尋找一種辦法，能使學(xué)生在上“數(shù)形結(jié)合”的習(xí)題課之前就自主地發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的存在，并自然地使用數(shù)形結(jié)合的方法解題。關(guān)鍵詞： 新課程 高一 數(shù)形結(jié)合一、“數(shù)形結(jié)合”的重要性“數(shù)”與“形”作為數(shù)學(xué)中最古老最重要的兩個(gè)方面，一直就是一對矛盾體。正如矛和盾總是同時(shí)存在一樣，有“數(shù)”必有“形”，有“形”必有“數(shù)”。華羅庚先生曾說過：“數(shù)與形本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)

2、系，切莫分離！”寥寥數(shù)語，把數(shù)形之妙說得淋漓盡致?！皵?shù)形結(jié)合”作為數(shù)學(xué)中的一種重要思想，在高中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位。關(guān)于這一點(diǎn)，查查近年高考試卷，就可見一斑。在多年來的高考題中，數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛，大多是“以形助數(shù)”，比較常見的是在解方程和不等式、求函數(shù)的最值問題、求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)等問題中，巧妙運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想解題，可以化抽象為具體，效果事半功倍。二、新課程背景下的“數(shù)形結(jié)合”如此重要的數(shù)學(xué)思想自然一直被作為重點(diǎn)貫穿于每位數(shù)學(xué)教師的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)近年來關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”的論文也是數(shù)不勝數(shù)，但其內(nèi)容大多是一些可以用數(shù)形結(jié)合巧解的例題。筆者認(rèn)為在講解練習(xí)時(shí)強(qiáng)化“數(shù)形結(jié)合”固然是一種常用的有效

3、的方法，但是也有缺點(diǎn)，就是學(xué)生是否能在老師提示之前自己想到“數(shù)形結(jié)合”的解法，如果不能，需要靠老師的提示完成，那么下次學(xué)生在碰到可以用“數(shù)形結(jié)合”巧解的題目時(shí)，是否還能想到要用“數(shù)形結(jié)合”來解。如果說需要強(qiáng)化多次才能使學(xué)生掌握這種方法的話，那么需要強(qiáng)化幾次強(qiáng)化多久才算夠？在課時(shí)安排非常緊張的高一階段能否抽出大量時(shí)間去單獨(dú)講“數(shù)形結(jié)合”？如果學(xué)生在大量基礎(chǔ)內(nèi)容集中的高一階段沒有掌握好“數(shù)形結(jié)合”的話，是否會影響到后面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)甚至高考？種種時(shí)間上的限制和教學(xué)策略上的缺憾使得“數(shù)形結(jié)合”這一重要數(shù)學(xué)思想即使只被當(dāng)作一種解題方法都不容易實(shí)現(xiàn)，更別說把它提升到一定的理論高度去指導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)?！?/p>

4、為了每一位學(xué)生的發(fā)展”是新課改的核心理念，作為一個(gè)高中數(shù)學(xué)教師，筆者對此的理解是：以學(xué)生為本，以學(xué)生為主體，讓學(xué)生自主獲得更多的知識和能力。所以，對于上面提到的問題，筆者認(rèn)為：1、數(shù)形結(jié)合必須要講，高一開始就要講。2、應(yīng)對以前的灌輸式教學(xué)作一些調(diào)整，具體策略是在平時(shí)上新課時(shí)就有目的地鋪設(shè)一些細(xì)節(jié)使學(xué)生深入了解“數(shù)形結(jié)合”。這樣做的目的就是讓學(xué)生在老師提示用“數(shù)形結(jié)合”的解法前就自己想到用“數(shù)形結(jié)合”解題。三、 關(guān)注細(xì)節(jié)，讓學(xué)生主動“數(shù)形結(jié)合”筆者在去年所教的2008屆畢業(yè)班學(xué)生中，發(fā)現(xiàn)一個(gè)普遍的問題：一些能用“數(shù)形結(jié)合”巧解的題目，在自己做題時(shí)卻想不到用“數(shù)形結(jié)合”，等老師提示后才恍然大悟，但

5、下次再碰到卻還是想不到要用“數(shù)形結(jié)合”。筆者認(rèn)為，學(xué)生出現(xiàn)這樣的問題，老師肯定是有責(zé)任的。問題應(yīng)該是出在前面兩年打基礎(chǔ)的時(shí)候。所以這次教新高一時(shí)，在平時(shí)上課中（包括新課和習(xí)題課），有目的地強(qiáng)化了一些細(xì)節(jié)，具體做法如下：第一步，在新課中“數(shù)”、“形”并進(jìn)，讓學(xué)生見“數(shù)”想到“形”，見“形”不忘“數(shù)”。例如：在必修1第一章“集合”內(nèi)容中，除了在數(shù)集運(yùn)算中借助于畫數(shù)軸解決外，還要重視韋恩圖的運(yùn)用。韋恩圖作為集合的第三種表示方法，往往容易被學(xué)生忽略，如果老師上課時(shí)多用用韋恩圖來處理集合的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，學(xué)生就會感受到問題一旦形象化了，運(yùn)算會很方便。在必修1第二章“函數(shù)”內(nèi)容中，在解釋指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函

6、數(shù)這對反函數(shù)時(shí)，除了像書本上那樣講之外，再增加一種“形”上的解釋。即把一張畫了指數(shù)函數(shù)圖像的薄紙翻轉(zhuǎn)過來從反面去觀察，從而發(fā)現(xiàn)對數(shù)函數(shù)。在這一過程中（如圖1所示），學(xué)生感受到了軸和軸的對調(diào)，以及互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱的性質(zhì)，更好地理解了反函數(shù)的形成。 正面 翻轉(zhuǎn) 背面 （圖1） 在必修4第一章“三角函數(shù)”內(nèi)容中，多多強(qiáng)調(diào)函數(shù)圖像的作用，例如在三角函數(shù)值比較大小、求三角函數(shù)最值等題目中，盡量多用畫圖的方法解決。在必修4第二章“平面向量”內(nèi)容中，由于向量同時(shí)具有“形”和“數(shù)”兩個(gè)特點(diǎn)，是數(shù)形結(jié)合的橋梁，所以向量的題目往往有“數(shù)”和“形”兩種解法。講解例題時(shí)盡量講兩種解法，讓學(xué)生理解：1

7、、向量的有向線段表示法（即作圖法）就是用平面幾何知識解決向量問題，2、向量的坐標(biāo)表示（即線性運(yùn)算和數(shù)量積）可以把幾何問題算出來。在必修5第二章“數(shù)列”內(nèi)容中，用函數(shù)圖像表示出等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，這樣學(xué)生就能很容易地分辨出等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。把等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式畫成函數(shù)圖像，就能幫助學(xué)生理解等差數(shù)列的的最值問題。在必修5第三章“不等式”內(nèi)容中，在解一元二次不等式時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)圖像，著重分析其幾何意義，從圖象上找出題目的答案。在必修2第二章“立體幾何”內(nèi)容中，在時(shí)間允許且學(xué)生學(xué)有余力的情況下，適當(dāng)介紹建立空間直角坐標(biāo)系后用坐標(biāo)的方法將幾何中的點(diǎn)、線、面的性質(zhì)及其相互關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算的

8、方法，讓學(xué)生體會到將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化純粹的代數(shù)運(yùn)算的妙處。一句話總結(jié)，就是在學(xué)習(xí)偏“數(shù)”的內(nèi)容時(shí)別讓學(xué)生忘記“形”，在學(xué)習(xí)偏“形”的內(nèi)容時(shí)別讓學(xué)生忘記“數(shù)”。為以后做題時(shí)學(xué)生的主動“數(shù)形結(jié)合”打好基礎(chǔ)。第二步，習(xí)題課中讓“數(shù)”“形”之妙體現(xiàn)出來。在講解有關(guān)可以用數(shù)形結(jié)合解題的題目時(shí)，調(diào)動學(xué)生的積極性，運(yùn)用分組討論等形式讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合的便捷和樂趣。還有一類題目也許不能稱之為嚴(yán)格意義上的“數(shù)形結(jié)合”，例如在一些求直線或圓方程的題目中，可以根據(jù)畫圖得出答案，也可以通過計(jì)算得到答案。對于這類題目，筆者認(rèn)為在習(xí)題課上應(yīng)該兩種方法都要顧及，然后讓學(xué)生自己感受兩種方法的各自的優(yōu)點(diǎn)和缺陷，以及如何選擇

9、哪種做法、怎樣彌補(bǔ)自己解法中的缺陷和錯誤等等。（板書結(jié)構(gòu)如圖2所示）這些做法目的很明確，就是要培養(yǎng)學(xué)生的“主動數(shù)形結(jié)合”能力。經(jīng)過一年時(shí)間的培養(yǎng)，筆者找出去年教高三時(shí)保留的幾份試卷中的5道可用數(shù)形結(jié)合解的題目，對今年所教班級的學(xué)生進(jìn)行測試分析，得到對比數(shù)據(jù)如下： 題號12345去年學(xué)生人數(shù)112112112112112用到“數(shù)形結(jié)合”人數(shù)6732851154比例（去年）59.8%28.5%75.8%9.8%48.2%今年學(xué)生人數(shù)157157157157157用到“數(shù)形結(jié)合”人數(shù)125601322985比例（今年）79.6%38.2%84%18.4%54.1%這次的嘗試對于提高學(xué)生的解題能力是有明顯效果的，但筆者認(rèn)為這樣做的好處更多的是把“數(shù)形結(jié)合”作為一種數(shù)學(xué)思想，去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力，而不只是一種解題方法。參考文獻(xiàn)：1 王君芬. 例談數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合J.