高等數(shù)學(xué)公式(費(fèi)了好大的勁)技巧歸納

1、高等數(shù)學(xué)公式導(dǎo)數(shù)公式：2(tgx)'=secx(ctgx)'=-cscx(secx)'=secxtgx(cscx)'=-cscxctgx(a)'=alna(logaxx2(arcsinx)'=(arccosx)'=-(arctgx)'=11+x1-x1-x222x)'=1xlna(arcctgx)'=-dx211+x22tgxdxctgxdxsecaxa=-lncosx+C=lnsinx+Ccossinxx=secxdx=tgx+Ccsc2dx2xdx=-ctgx+Cxdx=lnsecx+tgx+Ccscxdx=l

2、ncscx-ctgx+Cdx2secxtgxdxcscxctgxdxax=secx+C=-cscx+C+C+xdx-adx-xdx22=1a1arctglnlnxa+C+C+Cx-ax+aa+xa-xxadx=axlna222a12ashxdxchxdx2=chx+C=shx+C=ln(x+x±a)+C2222a-x2=arcsin+Cdxx±a222In=sin02nxdx=cosxdx=nn-1naaa2In-2x+a)+Cx-axa+C2222x+adx=x-adx=a-xdx=22222x2x2x2x+a+x-a-a-x+22222222ln(x+lnx+arcsi

3、n22+C2基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分： sinx=2u1+u，cosx=21-u1+u，u=tg2x2，dx=2du1+u一些初等函數(shù)： 兩個(gè)重要極限：e-e2e+e2shxchx2x-xx-x雙曲正弦:shx=雙曲余弦:chx=雙曲正切:thx=arshx=ln(x+archx=±ln(x+arthx=12ln1+x1-xlimsinxx1xx0=1=e=2.7182818284xlim(1+x59045.=e-ee+exx-x-xx+1）x-1)三角函數(shù)公式： ·誘導(dǎo)公式：·和差角公式： ·和差化積公式：sin(±)=sincos&

4、#177;cossincos(±)=coscos sinsintg(±)=tg±tg1 tgtgctgctg 1ctg±ctgsin+sin=2sinsin-sin=2cos+2cossin-2+2-2cos+cos=2coscos-cos=2sin+2cossin-2ctg(±)=+2-2·倍角公式： sin2=2sincoscos2=2cos-1=1-2sin=cos-sinctg2=tg2=ctg-12ctg2tg1-tg222222sin3=3sin-4sincos3=4cos-3costg3=3tg-tg1-3tg2333&

5、#183;半角公式：sintg2=±=±1-cos21-cos1+cosasinA1-cossinbsinBcosctg2=±1+cos2+cos1-cos=1+cossin=sin1-cos2=sin1+cos2=±·正弦定理：·反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx=2-arccosxarctgx=csinC=2R ·余弦定理：c=a+b-2abcosC2222-arcctgx高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz）公式：n(uv)=u(n)=Ck=0knu(n-k)v(k)(n)v+nu(n-1)v'+n(n-1)2!u

6、(n-2)v''+ +n(n-1) (n-k+1)k!u(n-k)v(k)+ +uv(n)中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：柯西中值定理：f(b)-f(a)=f'()(b-a)=f'()F'()拉格朗日中值定理。f(b)-f(a)F(b)-F(a)當(dāng)F(x)=x時(shí)，柯西中值定理就是曲率：弧微分公式：平均曲率：K=ds=s+y'dx,其中y'=tg.:從M點(diǎn)到M'點(diǎn)，切線斜率的傾角變sddsy''(1+y')232化量；s：MM'弧長(zhǎng)。M點(diǎn)的曲率：直線：K=0;K=lims0=.半徑為a的圓：K=

7、1a.定積分的近似計(jì)算：b矩形法：f(x)abb-an(y0+y1+ +yn-1)梯形法：f(x)abb-a1(y0+yn)+y1+ +yn-1n2b-a3n(y0+yn)+2(y2+y4+ +yn-2)+4(y1+y3+ +yn-1) 拋物線法：f(x)a定積分應(yīng)用相關(guān)公式： 功：W=Fs水壓力：F=pA引力：F=km1m2r2,k為引力系數(shù)1b-ab 函數(shù)的平均值：y=1b-abaf(x)dx均方根：af(t)dt2空間解析幾何和向量代數(shù)：空間2點(diǎn)的距離：向量在軸上的投影：d=M1M2=(x2-x1)+(y2-y1)+(z2-z1)222PrjuAB=cos,是AB與u軸的夾角。Prju(

8、a1+a2)=Prja1+Prja2ab=abcos=axbx+ayby+azbz,是一個(gè)數(shù)量?jī)上蛄恐g的夾角：cos=k,axbx+ayby+azbzax+ay+azbx+by+bz222222ic=ab=axbxjaybyaz,c=absin.例：線速度：bzaybycyazbzczv=wr.ax向量的混合積：abc=(ab)c=bxcx代表平行六面體的體積。=abccos,為銳角時(shí)，平面的方程：1、點(diǎn)法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中n=A,B,C,M0(x0,y0,z0)Ax+By+Cz+D=0xa+yb+zc=1d=Ax0+By0+Cz0+DA+B+C空間

9、直線的方程：2222、一般方程：3、截距世方程：平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離：x=x0+mtx-x0y-y0z-z0 =t,其中s=m,n,p;參數(shù)方程：y=y0+ntmnpz=z+pt02222二次曲面：1、橢球面：2、拋物面：3、雙曲面：?jiǎn)稳~雙曲面：雙葉雙曲面：xaxa2222xa222+yb+2zc=1xy2p2q=z（,p,q同號(hào)）+-ybyb2222-+zczc2222=1=（馬鞍面）1多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dz=zxdx+zydydu=uxdx+uydy+uzdz全微分的近似計(jì)算：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法zdz=fx(x,y)x+fy(x,y)y：dzzuzvz=fu(t),v(

10、t)=+dtutvtzzuzvz=fu(x,y),v(x,y)=+xuxvx當(dāng)u=u(x,y)，v=v(x,y)時(shí)，du=uxdx+uydydv=vxdx+vydy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：FFFdydydy隱函數(shù)F(x,y)=0=-x2=(-x)(-x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隱函數(shù)F(x,y,z)=0=-=-xFzyFzFF(x,y,u,v)=0(F,G)隱函數(shù)方程組：J=uG(u,v)G(x,y,u,v)=0uuxuy=-=-1(F,G)v1(F,G)=-J(x,v)xJ(u,x)1(F,G)v1(F,G)=-J(y,v)yJ(u,y)Fv=FuGGuvFvGv2微分法在幾何上的

11、應(yīng)用：x=(t)x-x0y-y0z-z0空間曲線y=(t)在點(diǎn)M(x0,y0,z0)處的切線方程：='(t0)'(t0)'(t0)z=(t)在點(diǎn)M處的法平面方程：若空間曲線方程為：'(t0)(x-x0)+'(t0)(y-y0)+'(t0)(z-z0)=0FzGzGz,FzFxGx,FxGxFyGy FyF(x,y,z)=0,則切向量T=GyG(x,y,z)=0曲面F(x,y,z)=0上一點(diǎn)M(x0,y0,z0)，則：1、過此點(diǎn)的法向量：n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)2、過此點(diǎn)的切平面方程3、過此點(diǎn)

12、的法線方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0x-x0Fx(x0,y0,z0)=y-y0Fy(x0,y0,z0)=z-z0Fz(x0,y0,z0)方向?qū)?shù)與梯度：函數(shù)z=f(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)沿任一方向其中為x軸到方向l的轉(zhuǎn)角。l的方向?qū)?shù)為：fl=fxcos+fysin函數(shù)z=f(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是單位向量。l多元函數(shù)的極值及其求法： f是gradf(x,y)在l上的投影。f f i+jxyf=gradf(x,y)e，其中e=cosi+sinj，

13、為l方向上的l設(shè)fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CA<0,(x0,y0)為極大值2AC-B>0時(shí)，A>0,(x0,y0)為極小值2則：值A(chǔ)C-B<0時(shí)，無極AC-B2=0時(shí),不確定重積分及其應(yīng)用：Df(x,y)dxdy=D'f(rcos,rsin)rdrdzz+ + dxdyxy22曲面z=f(x,y)的面積A=Dx平面薄片的重心：=MMx(x,y)d=D(x,y)dD,=MMy=DDy(x,y)d(x,y)dD平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：平面薄片（位于Fx=f對(duì)于x軸Ix=Dy(

14、x,y)d,對(duì)于y軸Iy=2x(x,y)d2xoy平面）對(duì)z軸上質(zhì)點(diǎn)M(0,0,a),(a>0)的引力：F=Fx,Fy,Fz，其中：Fy=f3D(x,y)xd222D(x,y)yd222Fz=-fa3D(x,y)xd3(x+y+a)2(x+y+a)2(x+y+a)2222柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：x=rcos柱面坐標(biāo)：y=rsin,f(x,y,z)dxdydz=z=z其中：F(r,z)=f(rcos,rsin,z)F(r,z)rdrddz,x=rsincos2球面坐標(biāo)：y=rsinsin，dv=rdrsinddr=rsindrddz=rcos2r(,)f(x,y,z)dxdydz=1MF(r,

15、)rsindrdd=1M2ddF(r,)rsindr2重心：=轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：xdv,=ydv,=1M2zdv，其中M=22dvIx=(y+z)dv，Iy=22(x+z)dv，Iz=2(x+y)dv曲線積分：第一類曲線積分（對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分）：x=(t)設(shè)f(x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：,(t),則：y=(t)Lf(x,y)ds=x=t22''f(t),(t)(t)+(t)dt(<)特殊情況：y=(t)第二類曲線積分（對(duì)坐設(shè)L的參數(shù)方程為標(biāo)的曲線積分）：x=(t)，則：y=(t)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(t),(t)'(t)+Q(t),(t)

16、9;(t)dtL兩類曲線積分之間的關(guān)L上積分起止點(diǎn)處切向量格林公式：(D系：Pdx+Qdy=L(PcosL+Qcos)ds，其中和分別為的方向角。)dxdy=Qx-PyPdx+Qdy格林公式：(LDQx-Py)dxdy=12PdxL+QdyQP當(dāng)P=-y,Q=x-=2時(shí)，得到D的面積：A=xy·平面上曲線積分與路徑1、G是一個(gè)單連通區(qū)域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分，·二元函數(shù)的全微分求積在QxPy注意方向相反！：，且Qx無關(guān)的條件：Ddxdy=xdyL-ydxPy。注意奇點(diǎn)，如(0,0)，應(yīng)時(shí)，Pdx+Qdy才是二元函數(shù)u(x,

17、y)的全微分，其中：(x,y)u(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy，通常設(shè)(x0,y0)x0=y0=0。曲面積分： 對(duì)面積的曲面積分：對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：f(x,y,z)ds=Dxyfx,y,z(x,y)+zx(x,y)+zy(x,y)dxdy22P(x,y,z)dydzDxy+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：號(hào)；號(hào)；號(hào)。+Qcos+Rcos)dsR(x,y,z)dxdy=±Rx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上側(cè)時(shí)取正=±Px(y,z),y,zdydz，取曲面的前側(cè)時(shí)取正DyzP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdx=

18、77;Qx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右側(cè)時(shí)取正Dzx兩類曲面積分之間的關(guān)系：Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcos高斯公式：(Px+Qy+Rz)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcos+Qcos+Rcos)ds高斯公式的物理意義通量與散度：div<0,則為消失.PQR散度：div=+,即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若xyz通量：Ands=Ands=(Pcos+Qcos+Rcos)ds，因此，高斯公式又可寫成：divAdv=Ands斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系：(Ry-Qz)dydz+(Pz-Rx)dzdx+(dzdxyQQx-Py)dxdy=cos

19、xPPdx+Qdy+RdzcoszR上式左端又可寫成：dydzxPdxdyzRRy=cosyQ空間曲線積分與路徑無ixPjyQ關(guān)的條件：kzRQPRQP=zzxxy旋度：rotA=向量場(chǎng)A沿有向閉曲線的環(huán)流量：Pdx+Qdy+Rdz=Atds常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：等比數(shù)列：1+q+q+ +q等差數(shù)列：1+2+3+ +n=調(diào)和級(jí)數(shù)：1+12+13+ +1n2n-1=1-qn1-q(n+1)n2是發(fā)散的級(jí)數(shù)審斂法：1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法根植審斂法（柯西判別法）：設(shè)：=limn<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂un，則>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散=1時(shí)，不確定2、比值審斂法：<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂Un+1設(shè)：=lim，則>

20、1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散nUn=1時(shí)，不確定3、定義法：sn=u1+u2+ +un;limsn存在，則收斂；否則發(fā)n散。交錯(cuò)級(jí)數(shù)u1-u2+u3-u4+ (或-u1+u2-u3+ ,un>0)的審斂法如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足unun+1limu=0，那么級(jí)數(shù)收斂且其和nn萊布尼茲定理：su1,其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值rnun+1。絕對(duì)收斂與條件收斂：(1)u1+u2+ +un+ ，其中un為任意實(shí)數(shù)；(2)u1+u2+u3+ +un+如果(2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱為絕對(duì)如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱調(diào)和級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)：1nn發(fā)散，而收斂；時(shí)發(fā)散p>1時(shí)收斂收斂級(jí)數(shù)；(1)為條件收斂級(jí)數(shù)。n(-1)

21、n12p級(jí)數(shù)：1np冪級(jí)數(shù)：1+x+x+x+ +x+ 23nx<1時(shí)，收斂于x1時(shí)，發(fā)散11-x對(duì)于級(jí)數(shù)(3)a0+a1x+a2x+ +anx+ ，如果它不是僅在原點(diǎn)x<R時(shí)收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在R，使2n收斂，也不是在全x>R時(shí)發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。x=R時(shí)不定0時(shí)，R=求收斂半徑的方法：設(shè)liman+1an=，其中an，an+1是(3)的系數(shù)，則1n=0時(shí)，R=+=+時(shí)，R=0函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)：函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)：余項(xiàng)：Rn=f(n+1)f(x)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)n+1f''(x0)2!(x-x0)+ +2f(n)(x0)n!(

22、x-x0)+n()(n+1)!,f(x)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)的f''(0)2!2充要條件是：limRn=0nx0=0時(shí)即為麥克勞林公式：f(x)=f(0)+f'(0)x+x+ +f(n)(0)n!x+n一些函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)： (1+x)m=1+mx+x3m(m-1)2!x+ +n-12m(m-1) (m-n+1)n!x+ (-1<x<1)nsinx=x-3!+x55!- +(-1)x2n-1(2n-1)!+ (-<x<+)歐拉公式：ix-ixe+ecosx=2=cosx+isinx或 ix-ixsinx=e-e2eix三角級(jí)數(shù)：f(t)=A0+An

23、=1nsin(nt+n)=a02+(an=1ncosnx+bnsinnx)其中，a0=aA0，an=Ansinn，bn=Ancosn，t=x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積上的積分0。在-,傅立葉級(jí)數(shù)：f(x)=a02+(an=1ncosnx+bnsinnx)，周期=21an=其中1bn=1+122-f(x)cosnxdx(n=0,1,2 )-f(x)sinnxdx(n=1,2,3 )13+2+142152+ =162281+1222+1332+-1442+ =+ =26+ =2241-2121212212正弦級(jí)數(shù)：an=0，bn=2f(x)sinnxdxn=1,2,3 f(x)=ba02nsinnx是奇函數(shù)余弦級(jí)數(shù)：bn=0，an=f(x)cosnxdxn=0,1,2 f(x)=+ancosnx是偶函數(shù)周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)：f(x)=a02+n=1(ancosnxl+bnsinnxl)，周期=2ll1nxa=f(x)cosdx(n=0,1,2 )nll-l其中l(wèi)1nxbn=f(x)sindx(n=1,2,3 )l-l