雙曲線知識點及題型總結(jié)學生版

1、雙曲線知識點及題型總結(jié)1,雙曲線定義：到兩個定點Fi與 F2的距離之差的絕對值等于定長(v | F1F2I )的點的軌跡 (|PF1 - PF2| =2a < F1F2 (a為常數(shù))這兩個定點叫雙曲線的焦點.要注意兩點：(1)距離之差的絕對值.(2) 2a<| FE| ,這兩點與橢圓的定義有本質(zhì)的不同.當| MF | MF|=2 a時,曲線僅表示焦點 F2所對應的一支；當| MF |MF|= 2a時,曲線僅表示焦點 Fi所對應的一支；當2a=| FiF2|時,軌跡是一直線上以 Fi、F2為端點向外的兩條射線；當2a> | FiF2|時,動點軌跡不存在.動點到一定點 F的距離與

2、它到一條定直線 l的距離之比是常數(shù) e( e> 1)時,這個動點的軌跡是雙曲 線這定點叫做雙曲線的焦點,定直線l叫做雙曲線的準線,22222 .雙曲線的標準方程： 斗1=1和冬>=1 (a>0, b>0).這里b2 =c2 -a2,其中| F1 F2 |=2c. a b a b要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.3 .雙曲線的標準方程判別方法是：如果x2項的系數(shù)是正數(shù),那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正數(shù),那么焦點在y軸上.對于雙曲線,a不一定大于b,因此不能像橢圓那樣,通過比較分母的大小來判斷焦點 在哪一條坐標軸上.4 .求雙曲線的標準方程,應注

3、意兩個問題： 正確判斷焦點的位置；設出標準方程后,運用待定系數(shù)法求解.5 .曲線的簡單幾何性質(zhì)22 一 =1 (a>0, b>0)a b范圍：|x| >a, y C R對稱性：關(guān)于x、y軸均對稱,關(guān)于原點中央對稱頂點：軸端點 A1 (-a, 0), Az (a, 0)漸近線：2222xy/ 一 、一一xy-b假設雙曲線方程為假設漸近線方程為2"一-2" = 1 = 漸近線方程 一2一-2"=0= y = ±xababa22b x y, , x yy=±bx= ±y = 0n雙曲線可設為2、= 'a a ba2

4、 b2假設雙曲線與222 4=1有公共漸近線,可設為 x-= Z (九> 0 ,ba b焦點在x軸上,在y軸上) 特別地當a = b時u離心率e = u 兩漸近線互相垂直,分別為y=±x ,此時雙曲線為等軸雙曲線,可設為x2 - y2 =九；y=- x, y=- - x ( 什么是共輾雙曲線) aa準線：l1： x=a2 , 12： x=£ ,兩準線之距為 cc2K1K2 =2 -ca2焦半徑：PF1 =e(x +)=ex + a,(點P在雙曲線白右支上 x之a(chǎn))；c2一 ,a.PF2 =e( x)=ex a,(點P在雙曲線白右支上 x之a(chǎn))； c當焦點在y軸上時,標

5、準方程及相應性質(zhì)(略) 22與雙曲線x2工 =1共漸近線的雙曲線系方程是 a b22與雙曲線 與 工 =1共焦點的雙曲線系方程是a2 b222x y T2a b2x-2-a k= ( =0)b22y =1一 k6曲線的內(nèi)外部2 x 點P(x0,y0)在雙曲線a2一 ,x(2)點P(x°,yo)在雙曲線-2 a2y,=1(a >0,b >0)的內(nèi)部 u b2yy=1(a >0,b >0)的外部 ub222xyo d-21a b.1a2 b27曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系2222x y .x yb(1 )假設雙曲線方程為(2)假設漸近線方程為2(3)假設雙曲線與各

6、 a點在y軸上).2一-2-=1= 漸近線方程：一一一2=0u y = ±x.a2b2a2b2a22y=±bxu - ±- =0=>雙曲線可設為與一當a a ba b222x軸上, 4=1有公共漸近線,可設為 x-4=k (九> 0 ,焦點在b2a2 b28雙曲線的切線方程22(1)雙曲線 與4=1(a A0,b>0)上一點P(x°, y°)處的切線方程是 繆誓 =1. a2b2a2b222(2)過雙曲線x24=1(a>0,b >0)外一點P(x0,y0)所引兩條切線的切點弦方程是駕岑 =1.a ba b22(3)

7、雙曲線 xy4=1(a >0,b >0)與直線 Ax + By+C =0相切的條件是 A2a2 - B2b2 = c2. a b9線與橢圓相交的弦長公式AB = J(x1 -X2)+(必y2)假設斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB, A、B兩點分別為A(x1, y1)、B(x2,y 2),那么弦長AB = 1 k2 x2 -x1 = (1 k2)(x1 x2)2 -4松=1 +! ,y2 _y1 = j(1 +；) ,(y1 +y2)2 _4y1y2,這里表達了解析幾何“設而不求的解題思想； , k. k高考題型解析題型一：雙曲線定義問題1. “ab<0是“曲線ax2+

8、by2=l為雙曲線的A,充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分又不必要條件222.假設k WR,那么“ k>3是“方程_=1表示雙曲線的k -3 k 3A.充分不必要條件.B.必要不充分條件.C.充要條件.D.既不充分也不必要條件223.給出問題：Fi、E是雙曲線 -=1的焦點,點P在雙曲線上.假設點P到焦點Fi的距離等于9,求點1620P到焦點E的距離.某學生的解答如下：雙曲線的實軸長為8,由| PF|下桎|=8 ,即|9|P同|=8 ,得| PR|=1 或 17.該學生的解答是否正確假設正確,請將他的解題依據(jù)填在下面橫線上；假設不正確,將正確結(jié)果填在下 面橫線

9、上.4.過雙曲線x2-y2=8的左焦點Fi有一條弦PQ在左支上,假設|PQ|=7 , F2是雙曲線的右焦點,那么4 PF2Q的周 長是 .題型二：雙曲線的漸近線問題221.雙曲線：x-匕=1的漸近線方程是 49A. y=± 3x2B.y=± -x32C.y=± - x4D.y=± 4 x2.過點2, 2且與雙曲線-y2=1有公共漸近線的雙曲線方程是222A.L L=1 B.x-24422=12C.D.2=14題型三：雙曲線的離心率問題221雙曲線 , "y = 1 a>0,b >0的左右焦點分別為=4 I PE I ,那么此雙曲線的

10、離心率e的最大值為A. 4B. 5C. 233F1、F2,點P在雙曲線的右支上,且ID.PF I_. ,222.F1,F2是雙曲線 J _0 =1,a Ab >0的左、右焦點,過冗且垂直于x軸的直線與雙曲線的左支 a2 b2,交于A、B兩點,假設AABF2是正三角形,那么雙曲線的離心率為A. 2B. . 3 C. 2D. 322 y dx - -2 =13.過雙曲線M:b的左頂點A作斜率為1的直線I,假設與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|,那么雙曲線 M的離心率是A. 10 B.5 C.)_10一3D.3x-2y=0, Fi、F2分別是雙曲線的左、D.92 X2

11、.雙曲線12斜率的取值范圍是A(、3、3)(-t,t)B.(-23.圓C過雙曲線93, , 3)C. -怖年 D. -3 .32y_=1的一個頂點和一個焦點,且圓心在此雙曲線上,那么圓心到雙曲線中央的164.在給定雙曲線中,過焦點垂直于實軸的弦長為<2 ,焦點到相應準線的距離為彳,那么該雙曲線的離心率為()A. 2 B. 2C .2D. 22225.雙曲線=1(a>0,b<0)的右焦點為F,假設過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有a2b2且只有一個交點,那么此雙曲線離心率的取值范圍是A.( 1,2) B. (1,2)C.2,+ 8)D.(2,+ oo)題型四

12、：雙曲線的距離問題221.設P是雙曲線、一工=1上一點,雙曲線的一條漸近線方程為 a29右焦點.假設| PF|=3 ,那么| PF|等于()A.1 或 5B.6C.72匕=1的右焦點為F,假設過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,那么此直線 4距離是 題型五：軌跡問題1 .橢圓 x2+2y2 =8的兩焦點分別為F1、F2, A為橢圓上任一點.AP是AF1F2的外角平分線,且AP FP =0.那么點P的軌跡方程是.2 .雙曲線x2 y2=4的兩焦點分別為F1、F2,A為雙曲線上任一點.AP是/ F1AF2的平分線,且 AP ,“=0.那么點P的軌跡是()A.橢圓的一局部B.雙曲線的一局部C

13、.圓的一局部D. 拋物線的一局部3求與圓(x 3)2 +y2 =1及(x+3)2 +y2 =9都外切的動圓圓心的軌跡方程 高考例題2X 21. 尼,52是雙曲線 -y =1的左、右焦點,P、Q為右支上的兩點,直線PQ過F2,且傾斜角為a, 2那么PFJ +QF1 PQ的值為()A 4收B . 8 C c 2<2D 隨口的大小變化2.過雙曲線2x2 -y2 2=0的右焦點作直線l交曲線于A、B兩點,假設AB = 4那么這樣的直線存在()A 0條 B . 1條 C , 2條 D , 3條1y = x +5與曲線3B .1 個 Cxx y匚+<=1的交點個數(shù)是925.2個 D . 3個x

14、2 +y2 =a2的位置關(guān)系為x y4. P為雙曲線 =1上一點,F1為一個焦點,以PF1為直徑的圓與圓 a b()A內(nèi)切 B 1:外切 C ,內(nèi)切或外切 D .無公共點或相交.25設三下2是雙曲線 y2=1的兩個焦點,點P在雙曲線上且滿足 NF1PF2 =90：那么APF1F2的面積 4為()A 1 B C 2 D ,52 6 .,設兄下2是雙曲線 -y2 =1的左、右焦點,P在雙曲線上,當AF1P52的面積為1時,PF1 PF2的值4為()A 0 B 1 C 1 D 227 .過點A (0, 2)可以作_條直線與雙曲線x2- -= 1有且只有一個公共點 一422一 一 一 一一 x y 一

15、, " 過點R4,4)且與雙曲線 行£= 1只有一個交點的直線有()16 9A. 1條 B .2條 C .3條D.4條.1AM + MF2的最小值 228.A (3,2), M是雙曲線H: *2-匕=1上的動點,F2是H的右焦點,求 3及此時M的坐標.9.雙曲線C: x2軸最近的M點的坐標為= 1(x殳1), 一條長為8的弦AB兩端在C上運動,AB中點為M那么距y-i- mBi10 .P為雙曲線x2 卷=1右支上一點,MN分別是圓(x+4)2+y2=4和(x 4)2 + y2= 1上的點,那么| PM 15一| PN的最大值為.11 .直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x2

16、 y2 =1的右支交于不同的兩點A、B.(I)求實數(shù)k的取值范圍；(n)是否存在實數(shù) k,使得以線段 AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線 C的右焦點F?假設存在,求出k的值.假設 不存在,說明理由.12.兩定點E(J2,0), F2(衣,0),滿足條件PF2 - PF1=2的點P的軌跡是曲線E,直線 y = kx-1與曲線E交于A、B兩點.(I)求k的取值范圍；(n)如果AB|=6點且曲線E上存在點C,彳5tOA+OB=mOCm%l：和AABC的面積S.練習題1.雙曲線中央在原點且一個焦點為F( j7 , 0),直線y=x1與其相交于M N兩點,M廂點的橫坐標為2-2 ,那么此雙曲線的方程是()3222

17、2A. 3匕=1 B .x_L=1 C .行一4432.雙曲線虛軸的一個端點為 M兩個焦點為A. ,3 B. _6 C._6D.上3、雙曲線 x2y2 = 1 (a>0, b>0)亞¥2a_ (O為原點),那么兩條漸近線的夾角為(2A. 30oB. 45o2222y_=1 d.上=15 一 22 一 5F1、F2, / FiMF=120° ,那么雙曲線的離心率為()的右焦點為F,右準線與一條漸近線交于點A, OAF的面積為)C. 60oD. 90o4、雙曲線的兩個焦點為Fi(J5,0), F2(<5,0) , P是此雙曲線上的一點,且 PF1 IPF2 ,

18、| PF1 | PF2 |=2 ,那么該雙曲線的方程是22222cA.2_匕=1 B .、匕=1C. 土 _y2=123324225、Fi、F2是雙曲線 J_L=1(a>0,b>0)的兩焦點,以線段a2 b22D- x2 .L =14F1F2為邊作正三角形MFF2,假設邊 MF的中點在雙曲線上,那么雙曲線的離心率是()3 1D. .31A. 4 2 3 B. ,3-1C.2,八 x x y 26 .直線y = x + 3與曲線L + J=1的交點的個數(shù)是()44(A) 0 個 (B) 1 個 (.2 個(D) 3 個7 .假設雙曲線x2y2=1右支上一點P(a, b)到直線y=x的距離是J2 ,那么a+b的值為().1 11 ,、1八(A) - -(B) -(C)-或 一(D)2 或一22 222228.點F是雙曲線與一3=1(a>0, b>0)的左焦點,點E是該雙曲線的右頂點,過F且垂直于x軸的直a b線與雙曲線交于 A、B兩點,假設4 ABE銳角三角形,那么該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A. (1, +8) B . (1,2) C . (1,1 +柩 D . (2,1 +V2)229 .設P為雙曲線 一一y2=1上一動點,O為坐標原點,M為線段OP的中點,那么點 M的軌跡方程是 .41