向量易錯(cuò)題帶答案

1、在AABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=1,點(diǎn)P在AM上且滿足學(xué) aP = 2PM* ,那么PA <PB十急等于A、2.4一9向量a =(1,2), b = (2, 3).假設(shè)向量 c滿足(c+a)/b,A、7 7(,-)9 377(,-397 7(-,)3 9c 1 (a + b),那么 c =()77、(一一,一一)933.|利=8, |品|=5,那么|彘|的取值范圍是A、3, 8B、 (3,8)C、3, 13D (3,13)4.Xi設(shè)向重 a =(xi ,y),b =(x2, y2),那么一y1,是a / b的條件.x2y2A、C、5.充要充分不必要以下命題：、必要不充分、既不充分也不

2、必要(a)2 (a)2.4二| a |(a b) c = (a c) b | a b |=|a | , |b | 假設(shè)a II b ,b / c,那么 a / c設(shè)ei , e2是平面內(nèi)兩向量,那么對(duì)于平面內(nèi)任何一向量a,都存在唯一一組實(shí)數(shù) x、y,使a = xe1 + ye2成立.假設(shè) | a + b |=| a - b | 那么真命題個(gè)數(shù)為A、6.和 a 二 (3,7.向量8.9. a b =0,那么a = 0或b=0)B、2C、3D> 3個(gè)以上-4平行的單位向量是a bp=4+3,其中a、b均為非零向量,那么| p|的取值范圍是|a|b|假設(shè)向量a = (x, 2x ),在四邊形A

3、BCD中,b = -3x,2 ,且a , b的夾角為鈍角,那么 x的取值范圍是T -*BAaB = DC =(1,1), IBABCBD一,那么四邊形ABCD勺面積是10 . ABC中, AB AC >0, BC AB <0, CB CA >0 ,判斷 ABC的形狀為11 .向量a、b都是非零向量,且向量 a + 3b與7a5b垂直,a 4b與7a 2b垂直,求a與b的夾角.12 . a =(1+cos%sin s),b = (1cos B, sin 口), c = (1,0)p w (0,冗),P w (n,2冗),a與 c 的夾角為 九,b 與-n ot - Pc的夾角為

4、0 2,且斗一日2 =一,求sin的值.3213 .設(shè)兩個(gè)向量 e1, e2,滿足|e i| =2, |e 2| = 1, e1與e2的夾角為3 .假設(shè)向量2te 1 + 7e2與a + te 2的夾角為鈍角,求實(shí)a / b ,那么存在唯一實(shí)數(shù)入,使b = Ka 假設(shè)a c = b c ,且數(shù)t的范圍.14 .四邊形 ABCD中, AB = a,BC = b , CD = c , DA = d,且 a,b = b, c = c ,d = d,a,試問四邊形ABCD是什么圖形15 .如圖,在 RtAABC中,BC=a,假設(shè)長為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn),問PCfe BC的夾角日取何彳t時(shí)BP C

5、Q的值最大并求出這個(gè)最大值.16 .常數(shù) a>0,向量c= (0,2人c為方向向量的直線相交于點(diǎn)a) , i= (1,P,其中人0),經(jīng)過原點(diǎn) .以c+入i為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A(0, a)以i6 R.試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F,使得|PE|+|PF|為定值.假設(shè)存在,求出E、F的坐標(biāo)；假設(shè)不存在,說明理由17 .a是以點(diǎn) A(3,-1)18 . Pi(3,2) , P2 (8,為起點(diǎn),且與向量b= (-3,4) 平行的單位向量,那么向量3),假設(shè)點(diǎn) P在直線P1P2上,且滿足|PiP|=2|PP 2| ,求點(diǎn)a的終點(diǎn)坐標(biāo)是多少?P的坐標(biāo).19 .在邊長為1的正三角形ABC中,求

6、十的值.20.同一平面上的向量a、b、c兩兩所成的角相等,并且|a|=1, |b|=2, |c|=3,求向量a + b + c的長度.參考答案1. . A【解析】【錯(cuò)解分析】不能正確處理向量的方向?qū)е洛e(cuò)選為由AP = 2方知,p為AABC的重心,根據(jù)向量的加法, 戒推2M 1 ?左屈晶=2APP>APPM=2ApPMcos0=2 - - 1-43 39.(PB PC) = 2APPZAPPM=2ApPMcos0=2 2 - 1=43 39,(PB PC)=-AP (PBPB PC)一4 應(yīng)選A.9,2. D【解析】【錯(cuò)解分析】由于混淆向量平行與垂直的條件,即非0 向量 a b u Xi

7、y2 - X2 y1 = 0 ,a _L b u x1x2 + y1y2 = 0,而不能求得答案.【正解】不妨設(shè) C =(m,n),那么 a + c = (1 +m, 2+ n), a + b = (3, 1),對(duì)于(c + a ) b ,那么一 77有 3(1+m) =2(2 +n)；又 c_L(a + b),那么有 3m n = 0,那么有 m = ,n =-一,應(yīng)選93D o【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,通過平面向量的平行和垂直關(guān)系的考查,很好地 表達(dá)了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在解決具體問題中的應(yīng)用.3. C【解析】【錯(cuò)解分析】對(duì)題意的理解有誤,題設(shè)條件并沒有給出A、B、C三點(diǎn)不能

8、共線,因此它們可以共線.當(dāng)A、B、C共線時(shí), ABC不存在,錯(cuò)選 D.【正解】由于向量減法滿足三角形法那么,作出|AB| = 8 |AC|=5BC =AC - AB(1)當(dāng) ABC存在,即A、B、C三點(diǎn)不共線時(shí),3<|BC|<13；(2)當(dāng)AC與AB同向共線時(shí),|BC |=3；當(dāng)AC與AB反向共線時(shí),| BC |=13o,|BC|W3, 13,應(yīng)選 c4. C【解析】【錯(cuò)解分析ab= x1y2 _x2y1 =0= %Vi ,- . ,一 ,一,此式是否成立,未考慮,選AoX2V2x1y1【正斛】右=那么Xiy2 X2y1 =0,二a/b,假設(shè)ab ,有可能x2或y2為0,應(yīng)選C.

9、X2y25. B【解析】【錯(cuò)解分析】共線向量、向量的數(shù)乘、向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)和運(yùn)算法那么等是向量一章中正確應(yīng)用向量知識(shí)解決有關(guān)問題的前提,在這里學(xué)生極易將向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算等同起來,如果認(rèn)為向量的數(shù)量積的運(yùn)算和實(shí)數(shù)一樣滿足交換律就會(huì)產(chǎn)生一些錯(cuò)誤的結(jié)論.4 24 2【正解】正確.根據(jù)向量模的計(jì)算a,a = a判斷.錯(cuò)誤,向量的數(shù)量積的運(yùn)算不滿足交換律,這是由于根據(jù)數(shù)量積和數(shù)乘的定義a c.b表示4.4.444和向量b共線的向量,同理 a b c表示和向量 c共線的向量,顯然向量 b和向量c不一定是共線向量,故a b c#a c b不一定成立.錯(cuò)誤應(yīng)為 a錯(cuò)誤錯(cuò)誤應(yīng)加條件“非零向量a錯(cuò)誤

10、向量不滿足消去律.根據(jù)數(shù)量的幾何意義,只需向量b和向量b在向量c方向的投影注意零向量和任意向量平行.非零向量的平行性才具有傳遞性.相等即可,作圖易知滿足條件的向量有無數(shù)多個(gè).錯(cuò)誤.注意平面向量的根本定理的前提有向量ei ,e2是不共線的向量即一組基底.正確.條件表示以兩向量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線相等,即四邊形為矩形.故錯(cuò)誤.只需兩向量垂直即可.綜上真命題個(gè)數(shù)為 2,應(yīng)選B【點(diǎn)評(píng)】在利用向量的有關(guān)概念及運(yùn)算律判斷或解題時(shí),一定要明確概念或定理成立的前提條件 和依據(jù)向量的運(yùn)算律解答,要明確向量的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算的相同和不同之處.一般地a , b ,a ) , b =配律)36 .(5【解析】c

11、和實(shí)數(shù)入,那么向量的數(shù)量積滿足以下運(yùn)算律：a b = b a人a,b = a ,入b數(shù)乘結(jié)合律a + b , c = a交換律人【錯(cuò)解分析】5)由于 a的模等于5,所以與a平行的單位向量就是1 a,即5【正解】由于a的模等于5,所以與a平行的單位向量是土a,即§, 55-)或(-5【點(diǎn)評(píng)】平行的情況有方向相同和方向相反兩種.讀者可以自己再求解“和a= (3, 4)垂直的單位向量,結(jié)果也應(yīng)該是兩個(gè)7. °,2【解析】【錯(cuò)解分析】此題常見錯(cuò)誤五花八門,錯(cuò)誤原因是沒有理解向量的模的不等式的性質(zhì).【正解】a ba,b分別表示與a、 b同向的單位向量,【解析】【錯(cuò)解分析】只由a,b的

12、夾角為鈍角得到 a b <0,而無視了 ab <0不是a,b夾角為鈍角的充要條件,由于a,b的夾角為180 一時(shí)也有a b c0,從而擴(kuò)大x的范圍,導(dǎo)致錯(cuò)誤【正解】丁 a , b的夾角為鈍角a b =x -3x 2x 2 = -3x2 4x :二 0-44解得x <0或x >一(1)3 1又由a,b共線且反向可得 x = (2)3由,(2)得x的范圍是6 - 匚lolu'W3' 3)、3'八3')9 .場與/ ABC的角平分線有關(guān),從而不能迅速找到解題的突破【解析】【錯(cuò)解分析】不清楚口,不能正確求解.【正解】由題知四邊形ABCD是菱形,其

13、邊長為 J2 ,且對(duì)角線 BD等于邊長的< 3倍,所以_2 2-61_3 c-2 -3cosABD =r=一一,故 sin ABD =, SABCD = (v 2) =.32 2222210 .銳角三角形【解析】【錯(cuò)解分析】BC AB <0 , I BC| | AB | cosB <0.B為鈍角,. ABC為鈍角三角形.錯(cuò)將BC與AB的夾角看成是 ABC的內(nèi)角B,向量BC與AB的夾角應(yīng)為冗一B正解AB AC =|AB | .|AC | cosA .BC AB =(BC| |Ab | cos(n -B )=|BC| jAB | cosB CB CA =|CB| |CA | co

14、sC.Ab ac >0, Bc Ab <0, Cb ca >0 ocosA >0 5 cosB >0 5 cosC >0 ,A、B、C均為銳角.ABC為銳角三角形.11 . e =60,【解析】【錯(cuò)解分析】由題意,得 (a+ 3b)17a -5b) = 0,(a -砧山7a -2b) =0,將、展開并相減,得 46aLb= 23b2,.1 一1 b# 0,故 a = b,2將代入,得 a2 =b2,那么 a = b ,1albb 1設(shè)a與b夾角為6 ,那么cos8=2廠=1.同叫l(wèi)b2 2- 0C< 6 < 1801,6 =60.【正解】設(shè)向量

15、a、b的夾角為e ,由題意,得(a+ 3b)J(7a 5b) = 0,(a _%)L(7a -2b) =0,將、展開并相減,得46aLb = 23b2,有2al_b = b2 ,代入式、式均可得a2 = b2,那么a =|b ,aLb4Jbl又0C< e < 1SO°, .- 6 =60.【點(diǎn)評(píng)】錯(cuò)解中解法外表上是正確的,但卻存在著一個(gè)理解上的錯(cuò)誤,即由得到,錯(cuò)把數(shù)的 乘法的消去律運(yùn)用在向量的數(shù)量積運(yùn)算上.由于向量的數(shù)量積不滿足消去律,所以即使b# 0,也不能隨便約去.12.【解析】【錯(cuò)解分析】此題在解答過程中,學(xué)生要將向量的夾角運(yùn)算與三角變換結(jié)合起來,注意在用 角表示兩

16、組向量的夾角的過程中,易無視角的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論.b 二2 ： c .二：、c二,：二、a -(2cos ,2sin cos) -2cos(cos ,sin),：'： s (a-i(二一2p-JI2故nW 0.c 02s = Tb % |b |c |JI+ 2【點(diǎn)評(píng)】P2-s i22s in2F二s-i- n2-Pa c os= -44-2 :.2 co- s221 ca02a1,- 2sin = -sin =26當(dāng)今高考數(shù)學(xué)命題注重知識(shí)的整體性和綜合性,重視知識(shí)的交匯性,向量是新課程新增內(nèi)容,具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份.它是新舊知識(shí)的一個(gè)重要的交匯點(diǎn),成為聯(lián)系這些知 識(shí)的橋梁,因

17、此,向量與三角的交匯是當(dāng)今高考命題的必然趨勢.高考對(duì)三角的考查常常以向 量知識(shí)為載體,結(jié)合向量的夾角、向量的垂直、向量的?；蛳蛄康倪\(yùn)算來進(jìn)行考查學(xué)生綜合運(yùn) 用知識(shí)解決問題的水平.13. 7<t< 1 且 tw 14【解析】【錯(cuò)解分析】 2tei + 7e2與ei + te 2的夾角為鈍角,(2te i+7e2) (ei+ te 2)<0 ,-2t 2+ 15t + 7<0,解之得：12 .t的范圍為(7,-).2【正解】2te 1 + 7e2與e-te 2的夾角為鈍角,(2te1 +7e2), (e1 +te 2)<0 且 2te 1 + 7e2 w 入(e 1

18、+ te2)(入 <0).3 (2te1+7e2)- (e1+te 2)<0 得 2t 2+ 15t + 7<0 , 7<t< .2假設(shè) 2te 1 + 7e2=入(e 1 + te 2)(人 <0), 2t -人e 葉7 t 入e 2=0.2t - = 0 口口 ,14 7 -t' =0' t F.t的取值范圍為：一7<t< -且tw Y1422【點(diǎn)評(píng)】此題錯(cuò)誤的關(guān)鍵是沒有把握準(zhǔn)向量夾角與向量數(shù)量積的等價(jià)關(guān)系.一般地,向量 a, b為非零向量,a與b的夾角為8 ,那么0為銳角 a - b>0且a, b不同向；0為直角 a-

19、b=0； 0為鈍角 a - b<0且a - b不反向.2te 1+ 7e2與 ei+ te 2 的夾角為鈍角 (2te 1+ 7e2) (e 1 + te 2)<0.14 .四邊形ABC提矩形【解析】【錯(cuò)解分析】四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定,關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量, 易無視如下兩點(diǎn)：(1)在四邊形中, AB, bc , cd , DA是順次首尾相接向量,那么其和向量是零向量,即a + b+ c +d = 0,應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積,由于數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系.【正解】四邊形 ABC/矩形,這是由于一方面：由 a

20、 + b+ c+d=0 得 a + b= ( c+d),即(a + b )2,2.,I c | +2cd+|d|2+ I b 12+ | d I由可得I ac |2 + | d | 2 =I C | 2 + I b | | ,且 | b | = | d |2 2即四邊形ABCCW組對(duì)邊分別相等.四邊形 ABC提平行四邊形另一方面,由a,b = b, c,有b (a c)=0,而由平行四邊形 ABCD可得a = 代入上式得 b - (2 a ) = 0 即 a b = 0 , a,b 也即AB± BG綜上所述,四邊形 ABC/矩形.【點(diǎn)評(píng)】向量具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份能融數(shù)形

21、于一體,能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容 的許多主干知識(shí)綜合,形成知識(shí)交匯點(diǎn),所以高考中應(yīng)引起足夠的重視.基于這一點(diǎn)解決向量 有關(guān)問題時(shí)要樹立起數(shù)形結(jié)合,以形助數(shù)的解題思路.15 .當(dāng)e =0時(shí),BC CQ最大,值為0.【解析】【錯(cuò)解分析】此題易錯(cuò)點(diǎn)有(1 )不會(huì)利用AP AQ = a2及AC AB =0這兩個(gè)關(guān)系式,即沒有把BP表示為AP AB , CQ表示為AQ - AC.致使該題在運(yùn)算上發(fā)生錯(cuò)誤.(2)在運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算過程中,未知數(shù)多,如 B(b,0), C(0,c),P(x, y),Q(x, y)而無視了這些量內(nèi)在的聯(lián)系b2 +c2 =a2,x2 +y2 =a2,還有cos日的表示式cos = &q

22、uot; 2cy ,這些關(guān)系不 a能充分利用,導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤.【正解】解法一：；AB_AC,. AB AC = 0.故當(dāng)cose =1,即6=0(PQ與BC方向相同)時(shí),BC CQ最大,其最大值為0.解法二：以直角頂點(diǎn) A為坐標(biāo)原點(diǎn),兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如下列圖的平面直角坐標(biāo) 系.故當(dāng)cos6 =1,即日=0( PQ與BC方向相同)時(shí),BC CQ最大,其最大值為0.【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查向量的概念,平面向量的運(yùn)算法那么,考查運(yùn)用向量及函數(shù)知識(shí)的水平.16.存在哈下?F(TJ,a)E(02(a+Ja2), F(0,-(a2 和 22221、 a .2)【解析】【錯(cuò)解分析】此題綜合程度較高,

23、易錯(cuò)點(diǎn)一方面表現(xiàn)在學(xué)生對(duì)題意的理解如對(duì)方向向量的概念的 理解有誤,另一面是在向量的問題情景下不能很好的結(jié)合圓錐曲線的定義來解答,使思維陷入 僵局而出錯(cuò).【正解】根據(jù)題設(shè)條件,首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程,據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn),使得點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離的和為定值 .i= (1, 0) , c= (0, a),c+ X i=(人,a) , i 2 入 c= (1, 2 入 a)因此,直線 OP和AP的方程分別為71y =ax和ya = 2入ax.消去參數(shù)人,得點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足方程 y(y a) = 2a2x2./ a2整理得 x218(y-2)1二1.(2)2由于a a Q所以得:E和F;(i

24、Ma=時(shí),方程是圓方程,故不存在符合題意的定點(diǎn) 2(ii)當(dāng)0 <a(且時(shí),方程表示橢圓,焦點(diǎn)2E(2,.：2"F(1 1 222,旦)為符合題意的兩個(gè)定點(diǎn)；(iii )當(dāng)a 理時(shí),方程也表示橢圓,焦點(diǎn) 2符合題意的兩個(gè)定點(diǎn).【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算E(0,2(a+、a2 -2) 和 f(0,-2 (aa2f為,求軌跡的方法,橢圓的方程和性質(zhì),利用方程判定曲線的性質(zhì),曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的根本思想和綜合解題水平.在高考中向量與 圓錐曲線的結(jié)合是成為高考命題的主旋律,在解題過程中一方面要注意在給出的向量問題情景 中轉(zhuǎn)化出來,另一方面也要注意應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)

25、算來解決解析幾何問題.如：線段的比值、 長度、夾角特別是垂直、點(diǎn)共線等問題,提升自已應(yīng)用向量知識(shí)解決解析幾何問題的意識(shí).17 . (12,- 1)或(18,-9)【解析】【錯(cuò)解分析】此題易錯(cuò)點(diǎn)常表現(xiàn)在不能正確把握單位向量的概念,從而無法解答,同時(shí)解答過程 中如果不能正確轉(zhuǎn)換平行條件,也是無法解答此題的.【正解】方法設(shè)向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y),那么a=(x-3,y+1),那么題意可知4(x -3) +3(y +1) =0 :, 解得?(x3)2 + (y + 1)2 =1125可118x =5 ,故填9廠一5121-1)或(竺,-3)1 ,、一(-3,4),5還有點(diǎn)P是Pi,一 3P2的外分點(diǎn).故須分情況討論.19.方法二 與向量b= (-3,4)平行的單位向量是士便可得結(jié)果.故可得a=± (-,),從而向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y)=a-(3,-1),5 5【點(diǎn)評(píng)】向量的概念較多,且容易混淆,在學(xué)習(xí)中要分清、理解各概念的實(shí)質(zhì),注意區(qū)分共線 向量、平行向量、同向向量、反向向量、單位向量等概念.與a平行的單位向量 e=± -a|a|19 8.18 .( 一,)或(13, 4)3 3【解析】19 8【錯(cuò)解分析】由|PiP|=2|PP 2|得,點(diǎn)P分PR所成的比為2,