勻變速直線運動的位移與時間的關系要點梳理

1、勻變速直線運動的位移與時間的關系【要點梳理】要點一、勻變速直線運動的位移公式推導 方法一：用v-t圖象推導在勻變速直線運動中,雖然速度時刻變化,但只要時間足夠小,速度的變化就非常小,在這段時間內 近似應用我們熟悉的勻速運動的公式計算位移,其誤差也非常小,如下列圖.0 Q t O Q t O Q t甲乙丙如果把每一小段 t內的運動看做勻速運動,那么矩形面積之和等于各段勻速直線運動的位移,顯然小 于勻變速直線運動在該段時間內的位移.但時間越小,各勻速直線運動的位移和與勻變速直線運動的位移 之間的差值就越小,當 t一0時,各矩形面積之和趨近于v-t圖線下面的面積.可以想象,如果把整個運動過程劃分得非

2、常非常細,很多很多小矩形的面積之和就能準確代表物體的位移了,位移的大小等于圖丙 中梯形的面積.這一推理及前面講瞬時速度時,都用到無限分割逐漸逼近的方法,這是微積分原理的基本思想之一,我們要注意領會.勻變速直線運動的 v-1圖象與t軸所夾面積表示t時間內的位移.此結論可推至任何直線運動.圖線與時間軸間的面積表示位移,下方的面積表示負向位移,它們的代數(shù)和表示總位移,算術和表示路程.由前 面的討論可知,當時間間隔分割得足夠小時,折線趨近于直線AP,設想的運動就代表了真實的運動,由此可以求出勻變速運動在時間 t內的位移,它在數(shù)值上等于直線 AP下方的梯形 OAPQ的面積如圖丙.這 個面積等于S =s

3、+S2 = OA LoQ +-AR_RP = vt0+-at2 , 2 一2r ,、一12即位移 x =v0t + at .2這就是勻變速直線運動的位移公式.方法二：用公式推導,、, 一 一 v0 Vt由于位移x=vt,而v = -0L, 2又 vt =v +at,v0 V0 ati故 x =Lt,2一12即 x =v0t +-at . 2要點詮釋：該式也是勻變速直線運動的根本公式,和vt =v0 + at綜合應用,可以解決所有的勻變速直線運動問題.公式中的x、v0、a、vt都是矢量,應用時必須選取統(tǒng)一的方向為正方向.假設選v0為正方向,那么在加速運動中,a取正值,即a> 0,在減速運動

4、中,a取負值,即a< 0.要點二、位移一時間圖象(x-t圖象)要點詮釋：1、位移-時間圖象的物理意義描述物體相對于出發(fā)點的位移隨時間的變化情況.2、位移-時間圖象的理解 能通過圖像得出對應時刻物體所在的位置.(2)圖線的傾斜程度反映了運動的快慢.斜率越大,說明在相同時間內的位移越大,即運動越快,速度 越大.(3)圖線只能描述出對于出發(fā)點的位移隨時間的變化關系,不是物體的實際運動軌跡隨時間的變化關系, 兩者不能混淆.(4)初速度為零的勻變速直線運動的對應的x-t圖象為過原點的拋物線的一局部.要點三、x-t圖象與v-t圖象的比較要點詮釋：圖甲、乙兩圖以及下表是形狀一樣的圖線在x-t圖象與v-

5、1圖象中的比較.x -t圖v-t圖表小物體做勻速直線運動(斜舉表小速度v)表示物體靜止表示物體做勻加速直線運動(斜率表示加速度a)表示物體做勻速直線運動表示物體靜止在原點O表示物體靜止表示物體向反方向做勻速直線運動；初位置為x表不物體做勻減速直線運動,初速度為v0交點的縱坐標表示三個運動質點相遇時的位置交點的縱坐標表示三個運動質點的共同速度t1時間內物體位移為 x1t1時刻物體速度為v1(圖中陰影局部面積表示質點在01時間內的位移)要點四、運用圖象要注意問題要點詮釋：1 .首先明確所給的圖象是什么圖象,即認清圖中橫、縱軸所代表的物理量及它們的函數(shù)關系.特別 是那些圖形相似,容易混淆的圖象,更要

6、注意區(qū)分.2 .要清楚地理解圖象中的“點、“線、“斜率、“截距、“面積的物理意義.(1)點：圖線上的每一個點都對應研究對象的一個狀態(tài),特別注意“起點、“終點、“拐點, 它們往往對應一個特殊狀態(tài).(2)線：表示研究對象的變化過程和規(guī)律,如v-t圖象中圖線假設為傾斜直線,那么表示物體做勻變速直線運動.(3)斜率：表示橫、縱坐標軸上兩物理量的比值,常有一個重要的物理量與之對應.用于定量計算對應物理量的大小和定性分析變化的快慢問題.如x-t圖象的斜率表示速度大小,v -1圖象的斜率表示加速度大小.(4)面積：圖線與坐標軸圍成的面積常與某一表示過程的物理量相對應.如 v-t圖象與橫軸包圍的 “面積大小表

7、示位移大小.(5)截距：表示橫、縱坐標兩物理量在“邊界條件下的物理量的大小.由此往往能得到一個很有 意義的物理量.【典型例題】類型一、關于位移圖象的理解例1、某物體的位移圖象如下列圖,假設規(guī)定向東為位移的正方向,試求；物體在OA、AB、BC、CD、DE各階段的速度.【答案】見解析【解析】物體在t=0開始從原點出發(fā)向東行做勻速直線運動,歷時 2s；接著在第3s5s內靜止；第6s內 繼續(xù)向東做勻速直線運動；在第 7s8s內勻速反向西行,至第 8s末回到出發(fā)點；在第 9s12s內從原點 向西行做勻速直線運動.由x t圖得各階段的速度如下：x16OA 段：v1 =- = -m/s=3m/s, 向東ti

8、 2AB段：物體靜止,速度為 0BC 段：丫3=& = 12_6m/s = 6m/s,向東 t31一 x 0-12CD段：v4 = =m/s = 6m/s,負w說明方向向西t42DE 段：v5=& = -m/ s = -1m/s, 向西 t54【總結升華】位移圖象的斜率表示速度的大小和方向(斜率的正負表示速度的方向).圖象平行于t軸,說明物體的速度為零,表示物體靜止；圖象斜率為正值,表示物體沿與規(guī)定方向相同的方向運動；圖象斜率 為負值,表示物體沿與規(guī)定方向相反的方向運動.舉一反三【變式】如下列圖,A、B兩物體從O點開始運動,從A、B兩物體的位移圖象可知, 下述說法正確的選項是A

9、、A、B兩物體的運動方向相同B、A物體2s內發(fā)生的位移是10mC、B物體發(fā)生10m的位移的時間是2sD、A物體的速度大小是 5m/s, B的速度大小是2.5m/s* Hl【答案】ABD 類型二、位移與時間關系公式的應用中注意問題例2、列車進站前剎車,剎車前列車速度為60km/h ,剎車加速度大小為 0. 8m/s2,求剎車后15s和30s列車的速度.【答案】4.7m/s0【解析】以初速度方向為正方向,60km/h = 16. 7m/s,殺ij車后15s,列車的速度=v0+at =16.7m/s0.8M15m/s =4.7m/s；剎車至列車停下所需時間t=±1V.;.-167s= 20

10、.9s ,故剎車后a-0.830s列車的速度V2= 0.【總結升華】解勻減速問題應注意：1書寫格式標準,如不能寫成V1 = V0-at,因a是矢量,代入數(shù)字時帶有方向“ +或“-".“ + 可以省去.2剎車類問題應注意停止運動的時間,一般應先判斷多長時間停 下,再來求解.此題假設代入30s運算得V2=-7. 3m/s,是錯誤的.物理題目的求解結果一定要符合實際,例如你所求得的量假設質量出現(xiàn)負值就是不符合實際的.舉一反三【變式1】以18m/s的速度行駛的汽車,緊急剎車后做勻減速直線運動,其加速度的大小為6m/s2,求汽車在6s內通過的距離.【答案】27m1 2【解析】如果把 a= -6

11、m/s2和vo= 18m/s代入位移公式x=v0t+at,得21 /2 cx =18 M6m + M-6父6 m =0 .23s, 3s t0汽車在6 s內的位移竟然為 0,這可能嗎為什么會出現(xiàn)這樣的結果 原來汽車剎車后只運動了 后便停下了,直接把 6s的時間代入公式必定會出現(xiàn)錯誤的結論.故應先判斷汽車停下的時間,設歷時 停下,t0:18m/s =3s, t =6s>t0 ,故6s內的位移等于3 s內的位移.a.1 .解法一：由 x=v0t0 +at0,有2_ _1_ _ 2_x =18 x3m +- 父-6父3 m = 27m .2解法二：由逆向運動法知,12 1c 八2cx= at0

12、 =一父6父3 m = 27m .22vn,18解法二：由 x=-0t0有,x= x3m=27m. 22【高清課程：勻變速直線運動中位移與時間的關系第5頁】【變式2】由靜止開始做勻加速直線運動的汽車,第 ls內通過0.4m位移,那么不正確的結論是 A .第1s末的速度的0.8m/s2B,加速度為0.8m/sC.第2s內通過位移為1.2mD. 2s內通過的位移為 1.2m【答案】D類型三、位移圖象描述相遇問題例3、如下列圖是做直線運動的甲、乙兩物體的 x-t圖象,以下說法中正確的選項是A、甲啟動的時刻比乙早t1B、當t = t2時,兩物體相遇C、當t = t2時,兩物體相距最遠D、當1 = t3

13、時,兩物體相距x1【答案】ABD【解析】由x-t圖象可知甲物體是在計時起點從坐標原點Xi處開始沿x負方向做勻速直線運動,乙物體是在t1時刻開始從坐標原點沿 X正方向做勻速直線運動,兩物體在t2時刻相遇,然后遠離,t3時刻兩物體相距x1,因此選項ABD正確.【總結升華】x-t圖象中兩圖線相交說明兩物體相遇,其交點 A的橫坐標表示相遇的時刻,縱坐標表示相遇處對參考點的位移.舉一反三直線b是表示物體乙從B地向【變式1】如下列圖,折線a是表示物體甲從 A地向B地運動的位移圖線,A地運動的位移圖線,那么下述說法中正確的選項是A、甲、乙兩物體是相向運動B、甲物體是勻速運動,速度大小是7.5m/sC、甲、乙

14、兩物體運動 8s后,在距甲的出發(fā)點 60m處相遇D、甲在運動中停了 4s【答案】ACD【解析】由圖象知,甲、乙兩物體在開始運動時相距100m,后來相距越來越小,甲向乙的出發(fā)點運動,乙向甲的出發(fā)點運動,因而它們是相向運動,選項 A正確.兩圖線相交點表示了甲、乙同一時刻同一位置,即相遇的時刻與位置,應選項C正確.甲在運動中有一段圖線與時間軸平行,這表示甲在4s內位置始終沒變,因而是靜止的,選項D正確.甲在全過程中并不是勻速運動,應選項B是錯的.【變式2】一質點的x-t圖象如圖甲所示,那么此質點的v-t圖象可能是圖乙中的.【答案】A【解析】解題關鍵明白兩種圖象斜率的物理意義不同.v-t圖象的切線斜率

15、表示速度,由圖象可知：0L2時間內圖象的斜率為正且越來越小,在卜時刻圖象斜率為0,即物體正向速度越來越小,8時刻減為零；22從上ti時間內,斜率為負值,數(shù)值越來越大,即速度反向增大,應選項 A正確.2類型四、位移公式解決實際問題例4、某市規(guī)定,汽車在學校門前馬路上的行駛速度不得超過40 km/h. 一次,一輛汽車在校門前馬路上遇緊急情況剎車,由于車輪抱死,滑行時在馬路上留下一道筆直的車痕.交警測量了車痕長度x=9m,又從監(jiān)控資料上確定了該車從剎車到停止的時間t=1.5s,立即判斷出這輛車違章超速,這是為什么【答案】汽車超速x一 9【斛析】斛法一：速度判斷法由于x= 9m, t= 1.5 s,據(jù)

16、v =一得平均速度v = m/s = 6m/s,又因t1.5為 v=v0,得初速度 v0 = 2v =2x 6m/s= 12m/s= 43. 2km/h. 2由于車速超過 40 km/h,可知此車超速.,、一、"100 一解法二：位移判斷法設汽車恰以v°=40km/h=m/s的速度行駛,那么剎車后 1.5s停下,剎車9100加速度 a =生=0_包=-9-m/s2 =-200m/s2 .t 1.51.527,.1 o 一100. 1 2 200一以此加速度剎車,剎車位移x =v0t+ at2= |父1.5+父父1.52 im=8.33m<9m,故21 92 I 27

17、J汽車超速.【總結升華】超速判斷涉及科技生活情景,是高考熱點,可用速度判斷,即根據(jù)剎車的運動矢量判斷剎車 前速度與限速關系；也可用位移判斷,即假設以限速行駛,在實際剎車情景中的剎車位移與求得的剎車位 移比照,從而判斷是否超速.舉一反三【變式】一輛汽車在筆直的公路上做勻變速直線運動,該公路每隔15 m安置一個路標,如下列圖,汽車通過AB兩相鄰路標用了 2s,通過BC兩路標用了 3s,求汽車通過 A、B、C三個路標時的速度._ABC【答案】8.5m/s6.5m/s3.5m/s【解析】題目中條件是位移、時間,求的是速度,所以可用位移公式求解.汽車從A到C是勻變速直線運動,設汽車通過路標A時速度為va

18、,通過AB的時間ti = 2s,通過BC1 212的時間t2=3s.根據(jù)位移公式 x = v0t + at ,研究AB運動的過程,有 xAB =vAt +-at1 .2 21 , 2研允AC運動過程,有 xAC =vAt十一 at ,2其中 t=t1+t2=5s,2解得 va = 8. 5m/ s, a= - 1m/ s .再根據(jù)速度公式vb= VA+at1= 6. 5m/s, vc= VA+at= 3. 5m/s.求得a=-1 m/s2,其中“-說明a的方向與初速的方向相反,汽車做勻減速直線運動.【高清課程：勻變速直線運動中位移與時間的關系第6頁】【變式2】兩物體從同一地點同時出發(fā),沿同一方

19、向做勻加速直線運動,假設它們的初速度大小不同,而加速度大小相同,那么在運動過程中A.兩物體速度之差保持不變B.兩物體的速度之差與時間成正比C.兩物體的位移之差與時間成正比D.兩物體的位移之差與時間的平方成正比【答案】AC【高清課程：勻變速直線運動中位移與時間的關系第8頁】【變式3】一物體以5m/s的初速度,2m/s2的加速度在粗糙水平面上滑行,4s內物體通過的位移為A. 4mB . 36mC. 6.25mD .以上答案都不對【答案】C【高清課程：勻變速直線運動中位移與時間的關系第10頁】【變式4】礦井里的升降機由靜止開始勻加速上升,經(jīng)過5s速度到達v=4 m/s后,又以這個速度勻速上升20s,

20、然后勻減速上升,再經(jīng) 4s停在井口.求礦井的深度.【答案】98m【穩(wěn)固練習】一、選擇題：1、關于物體運動的 x-t圖象,以下說法中正確的選項是 A、x-t圖象表示的是質點的位置隨時間而變化的函數(shù)關系B、x-t圖象就是質點運動的軌跡C、x-t圖象上各點的坐標表示對應的各時刻質點相對參考點的位移的大小D> x-t圖象上各點的坐標表示對應的各時刻質點通過路程的大小2、假設一質點從t=0開始由原點出發(fā)沿直線運動,其速度一一時間圖象如下列圖,那么該質點A、t = 1 s時離原點最遠B、t = 2 s時離原點最遠C、t=3 s時回到原點D、t = 4 s時回到原點,路程為 10 m3、某做直線運動的

21、質點的位移隨時間變化的關系式為x= 4t+2t2, x與t的單位分別是 m和s,速度和加速度分別是A、4m/ s 和 2 m/ s2B、0 和 4m/ s2C、4m/ s 和 4m/s2D、4 m/ s 和 0那么質點的初4、在圖所示的x-t圖象中,表示質點做勻速直線運動的是那么B、CDE、如圖所5、甲、乙兩物體在同一直線上的 x t圖象如下列圖,以甲的出發(fā)點為原點,出發(fā)時間為計時起點,A、甲、乙同時出發(fā)乙比甲先出發(fā)甲開始運動時,乙在前面 x.處甲、乙從同一地點出發(fā)甲在中途停止了一段時間,而乙沒有停止6、一遙控玩具小車在平直路上運動的位移 示,那么 A、15 s末汽車的位移為 300 mB、2

22、0 s末汽車的速度為一1 m/s 2C、刖10 s內汽車的加速度為 3 m/sD、前25 s內汽車做單方向直線運動ix/m0 510 15 20 25 M7、某物體的位移一時間圖象如下列圖,那么以下表達正確的選項是A、物體運行的軌跡是拋物線B、物體運動的時間為 8 sC、物體運動所能到達的最大位移為80 mD、在t=4 s時刻,物體的瞬時速度為零二、解做題：1、一輛沿平直路面行駛的汽車,速度為 36 km/h,剎車后獲得加速度的大小是4m/s2,求剎車后3s汽車滑行距離.2、某飛機起飛的速度是50m/s,在跑道上加速時可能產(chǎn)生的最大加速度為4m/s2,該飛機從靜止到起飛成功需要跑道的最小長度為

23、多少3、一汽車在平直公路上運動,它的位移一時間圖象如圖甲所示:1根據(jù)圖象在圖乙所示的位置坐標軸上標出A B C D、E各點代表的汽車的位置.x / km02040 S 80100乙2求出以下各段時間內汽車的路程和位移大?。旱趌 h內前6 h內 前7 h內 前8 h內4、一質點從 A點開始運動,沿直線運動到 B點停止,在運動過程中,物體能以 ai = 6. 4m/s2的加速度加 速,也能以a2 = 1. 6m/s2的加速度減速,也可以做勻速直線運動.假設 AB間的距離為1. 6 km,質點應該怎 樣運動,才能使它的運動時間最短,最短時間為多少5、火車沿平直軌道勻加速前進,通過某一路標時的速度為1

24、0. 8km/h, imin后變成54km/ h,需再經(jīng)多少時間,火車的速度才能到達64. 8km/h?【穩(wěn)固練習】1、一質點做勻變速直線運動,A、位移的大小可能小于 B、位移的大小可能小于C、加速度的大小可能小于 D、加速度的大小可能大于-、選擇題:某時刻速度大小為4m/s, 1 s后速度的大小變?yōu)?0 m/s,在這1 s內該質點4 m10 m24 m/s210 m/s2、假設一質點從t=0開始由原點出發(fā)沿直線運動,其速度一時間圖象如下列圖,那么該質點 A、t = 1 s時離原點最遠B、t = 2 s時離原點最遠C、t=3 s時回到原點D、t = 4 s時回到原點,路程為 10 m3、如下列圖是某質點運動的速度圖象,由圖象得到的正確結果是A、01s內的平均速度是 2m/sB、02 s內的位移大小是C、01 s內的加速度大于D、01s內的運動方向與3 m24 s內