圓和相似結(jié)合初三

1、圓和相似(初三)一.解做題(共18小題)1. (2021?銅仁地區(qū))如圖,. O的直徑AB與弦CD相交于點 E, AB XCD,.O的切線BF與弦AD的延長 線相交于點F.(1)求證：CD / BF;(2)假設(shè).O的半徑為5, cos/BCD=W,求線段 AD的長.52. (2021?河?xùn)|區(qū)一模)如圖, CD是.的直徑,AC ± BC,垂足為C,點E為圓上一點,直線 BE、CD相交 于點 A ,且/ A+2/AED=90 °.(I )證實：直線 AB是.O的切線；(n)當 BC=1 , AE=2 ,求 tan/OBC 的值.3. (2021?湛江)如圖,在 RtAABC中,

2、/ C=90°,點D是AC的中點,過點 A, D作O O,使圓心 O在AB上, .與AB交于點E.(1)假設(shè)/ A+ Z CDB=90 °,求證：直線 BD與.O相切；(2)假設(shè) AD: AE=4 : 5, BC=6 ,求.O 的直徑.4. (2021?豐潤區(qū)一模)如圖,. O的直徑AB與弦CD相互垂直,垂足為點 巳 過點B作CD的平行線與弦3AD的延長線相交于點 F,且AD=3 , cosZBCD=-.(1)求證：BF為.的切線.(2)求.O的半徑.5. (2021?塘沽區(qū)二模)如圖(1), AB為.的直徑,C為.上一點,假設(shè)直線 CD與.相切于點 C, AD XCD,垂

3、足為D.圖圖口)(I )求證：AADCACB ;(n)如果把直線 CD向下平行移動,如圖(2),直線CD交.于C, G兩點,假設(shè)題目中的其他條件不變, 且AG=4 ,BG=3,求切的值. AC6. (2021?德州)如圖,點 A, E是半圓周上的三等分點,直徑 BC=2, AD ± BC,垂足為 D,連接BE交AD于F, 過A作AG / BE交BC于G.(1)判斷直線AG與.O的位置關(guān)系,并說明理由.(2)求線段AF的長.G B D O C7. (1997?湖南)：如圖, AB是.的直徑,PB切.O于點B, PA交.O于點C, / APB是工分線分別交 BC, AB于點D、E,交.O

4、于點F, / A=60 °,并且線段AE、BD的長是一元二次方程 x2-奴+2的=0的兩根(k為常數(shù)).(1)求證：PA?BD=PB?AE;(2)求證：O O的直徑長為常數(shù) k;(3)求 tan/ FPA 的值.8. (2005?柳州),如圖,直線 l與.相切于點D,弦BC / l,與直徑 AD相交于點G,弦AF與BC交于點 巳弦CF與AD交于點H.(1)求證：AB=AC ;(2)如果 AE=6 , EF=2,求 AC.9. (2006?黃岡)如圖,AB、AC分別是.O的直徑和弦,點 D為劣弧AC上一點,弦ED分別交.O于點E,交AB于點H,交AC于點F,過點C的切線交ED的延長線于

5、點 P.(1)假設(shè) PC=PF,求證：ABLED;(2)點D在劣弧AC的什么位置時,才能使 AD2=DE?DF,為什么10. ：如圖,在半徑為 4的.O中,AB , CD是兩條直徑,M為OB的中點,CM的延長線交.O于點E,且 EM>MC.連接 DE, DE=V15.(1)求證：AM?MB=EM?MC;(2)求 sin/ EOB 的值；(3)假設(shè)P是直徑AB延長線上的點,且 BP=12,求證：直線 PE是.的切線.11. . (2021?臨沂)如圖,點 A、B、C分別是.O上的點,/ B=60 °, AC=3 , CD是.的直徑,P是CD延長線上 的一點,且AP=AC .(1)

6、求證：AP是.的切線；(2)求PD的長.P12. (2021?陜西)如圖,PA、PB分別與.O相切于點 A、B,點 M在PB上,且 OM / AP , MN XAP,垂足為 N.(1)求證：OM=AN ;(2)假設(shè).O的半徑R=3, PA=9,求OM的長.13. (2021?東營)如圖,AB是.的直徑,AM和BN是它的兩條切線, DE切.O于點E,交AM于點D ,交BN 于點C,(1)求證：OD / BE;(2)如果 OD=6cm , OC=8cm ,求 CD 的長.14. (2021哦石)如圖,AB是.O的直徑,AM和BN是OO的兩條切線,E是.O上一點,D是AM上一點,連 接DE并延長交

7、BN于點C,且OD / BE, OF/ BN .(1)求證：DE與.O相切；(2)求證：OF=CD.2且 D MB C N15. (2021?棗莊)如圖,AB是.O的直徑,弦 CDXAB于點E,過點B作.O的切線,交 AC的延長線于點 F,已 知 OA=3 , AE=2 ,(1)求CD的長；(2)求BF的長.16. (2021次州)如圖,C是以AB為直徑的.O上一點,過 O作OELAC于點E,過點A作.的切線交 OE的 延長線于點F,連接CF并延長交BA的延長線于點P.(1)求證：PC是.的切線.(2)假設(shè) AF=1 , OA= 2/,求 PC 的長.17. (2021?衢州)如圖,在RtAA

8、BC中,Z C=90 °, Z ABC的平分線交 AC于點D,點O是AB上一點,.過B、D兩點,且分別交 AB、BC于點E、F.(1)求證：AC是.的切線；(2) AB=10 , BC=6,求.O的半徑r.C ACD OCB .直線 ,當直線 ,當直線(2021?天津)(I )如圖(n)如圖圖18. (2021?懷化)如圖,AB是.O的弦,OB=4, / OBC=30 °,點C是弦AB上任意一點(不與點 A、B重合), 連接CO并延長CO交.O于點D ,連接AD、DB.(1)當/ ADC=18.時,求/ DOB的度數(shù);l與.O, AB是O O的直徑,AD ± l于

9、點D .l與.相切于點 C時,假設(shè)/ DAC=30 °,求/ BAC的大?。籰與.相交于點E、F時,假設(shè)/ DAE=18 °,求/ BAF的大小.圓和相似結(jié)合初三參考答案與試題解析一.解做題共18小題1. 2021?銅仁地區(qū)如圖,. O的直徑AB與弦CD相交于點 E, AB XCD,.O的切線BF與弦AD的延長 線相交于點F.1求證：CD / BF;2假設(shè).O的半徑為5, cosZ BCD=求線段 AD的長.5考點：切線的性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形.專題：壓軸題.分析： 1由BF是.的切線,AB是.O的直徑,根據(jù)切線的性質(zhì),即可得 BFXAB ,又由AB ±

10、CD ,即可得CD / BF;2又由AB是.的直徑,可得/ ADB=90 °,由圓周角定理,可得/ BAD= / BCD,然后由.O的半徑為5, cos/ BCD=-,即可求得線段 AD的長.5解答： 1證實：.BF是.的切線,AB是.的直徑, BFXAB , -3 分 CDXAB , .CD/BF;-6 分2解：.AB是OO的直徑,/ADB=90 °, f 分O O的半徑5,AB=10 , -8 分 . / BAD= / BCD,10 分4 AC . cos/ BAD=cos / BCD=,5 AB 4 _ _AD=cos / BAD ?AB= M0=8,5 .AD=8.

11、 T2 分點評：此題考查了切線的性質(zhì)、平行線的判定、圓周角定理以及三角函數(shù)的性質(zhì).此題難度適中,注意數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.2. (2021?河?xùn)|區(qū)一模)如圖, CD是.的直徑,AC ± BC,垂足為C,點E為圓上一點,直線 BE、CD相交 于點 A ,且/ A+2/AED=90 °.(I )證實：直線 AB是.O的切線；(n)當 BC=1 , AE=2 ,求 tan/OBC 的值.考點：切線的判定.專題：計算題.分析： (I)連接 OE, CE, OB,求出BC=BE ,證出OEBOCB,推出/ OEB= Z ACB=90 °,根據(jù)切線的判定 推出即可；(

12、II)證AEOs ACB ,推出 還=迪,求出 還., 解直角三角形求出即可.BC AC BC 2(I)證實：連接 OE, CE, OB, AE BDC為圓O的直徑,/ DEC=90 °,即/ CEB+ ZAED=90 °,2/AED+ Z2ZCEB=180 °,AC ± BC ,/ ACB=90 °,. A+ Z ABC=90 °, / A+2 / AED=90 °,/ ABC=2 / AED , ./ ABC+2 Z CEB=180 °, / ABC+ / CEB+ / ECB=180 °, ./ C

13、EB= /ECB,BC=BE ,在 OEB和 OCB中BE=BC OE=OC ,QB 二 OB . OEB OCB, ./ OEB= Z ACB=90 °,即 OE± AB ,AB是.O切線.(n)解：BE=BC=1 , AB=2+1=3 ,在RtAACB中,由勾股定理得： AC=鏟_ 2=2五, . Z A=Z A, / AEO= / ACB=90 °,AEOA ACB ,邈=儂,BC AC=21,BC詼2 . tan/OBC=W=還=,!.BC BC 2點評：此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,切線的判定和性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)和判定,解直角三角形的應(yīng)用,主要考

14、查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的水平.3. 2021?湛江如圖,在 RtAABC中,/ 0=90°,點D是AC的中點,過點 A, D作O O,使圓心 O在AB上, .與AB交于點E.1假設(shè)/ A+ /CDB=90 °,求證：直線 BD與.O相切；2假設(shè) AD: AE=4 : 5, BC=6 ,求.O 的直徑.考點：切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理；圓周角定理.專題：幾何綜合題；壓軸題.分析： 1連接 OD,由/ A=/ADO,進而證得/ ADO+ Z CDB=90 °,而證得 BD ± OD ;2連接DE,由AE是直徑,得到/ ADE=90

15、 °,然后利用條件可以證實 DE/ BC ,從而得到 ADEAACB ,接著利用相似三角形的性質(zhì)得到AD : AC=DE : BC,又D是AC中點,由此可以求出DE的長度,而 AD : AE=4 : 5,在直角 4ADE中,設(shè) AD=4x , AE=5x ,那么 DE=3x ,由此求出 x=1即可解 決問題.解答：解：1連接OD, OA=OD ,/ A= / ADO ,又/ A+/CDB=90 °, ./ ADO+ Z CDB=90 °, .Z ODB=180 - /ADO+/CDB =90 °, BDXOD ,BD是.O切線；（2）連接DE,7分 AE

16、是直徑, ./ ADE=90 °,8 分又. / C=90°, ./ ADE= /C, . / A= / A,ADEA ACB ,9 分AD : AC=DE : BC又D是AC中點,AD= -AC ,DE=_BC,2 BC=6, DE=3,11 分 AD : AE=4 : 5,在直角 4ADE 中,設(shè) AD=4x , AE=5x ,那么DE=3x,x=1AE=5 .C點評：此題考查了切線的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理以及推論、勾股定理、相 似三角形的判定和性質(zhì).解題的關(guān)鍵是連接OD、DE,證實DE/BC.4. (2021?豐潤區(qū)一模)如圖,. O的

17、直徑AB與弦CD相互垂直,垂足為點 巳 過點B作CD的平行線與弦AD的延長線相交于點 F,且AD=3 , cos/BCD=j.4(1)求證：BF為.的切線.(2)求.O的半徑.考點：切線的判定；圓周角定理；解直角三角形.分析： (1)由AB ±CD, BF / CD,可得 AB ±BF,又由AB是.O的直徑,即可證得 BF為.O的切線； 一一 ,一一 一,1,一一一,M 一一,r(2)首先連接 BD ,由AB是.O的直徑,可得/ ADB是直角,又由 AD=3 , cos/ BCD=-,即可得4Ari scos/ BAD=得斗 繼而求得答案.AB 4解答： 1證實：AB &#

18、177; CD, BF/CD,AB ± BF ,AB是.O的直徑,BF為.O的切線；2解：連接BD, AB是.O的直徑,/ ADB=90 °,/ BCD= / BAD , cos/ BCD=-,4cos/ BAD=-,AB 4 AD=3 ,AB=4 ,.0的半徑為2.oDCBC, AD LCD,點評：此題考查了切線的判定、圓周角定理以及銳角三角函數(shù)的性質(zhì).此題難度適中,注意掌握輔助線的作法, 注意數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. . ADCA ACB .(I )求證：AADC ACB ;假設(shè)題目中的其他條件不變,且AG=4 ,(n)如果把直線 CD向下平行移動,如圖(2),直

19、線CD交.于C, G兩點,BG=3,求義的值.AC考點：切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).分析： I連接OC,求出/ ADC= ZACB , / DCA= ZB,根據(jù)相似三角形的判定推出即可；II根據(jù)勾股定理求出 AB ,求出/ ACG+/B=180°,求出/ DCA= / B,求出/ ADC= Z AGB ,證 ADCAAGB ,得出比例式,代入求出即可.解答：I證實：連接OC, OC=OB , ./ OBC=/OCB,. AB 是.O 直徑,DC 切.于 C, AD ± DC,/ ADC= / DCO= / ACB=90 °, / DCA+ / ACO= /

20、 ACO+ / OCB=90 °, ./ DCA= ZOCB=ZOBC, / ADC= / ACB ,(II)解：: AB是.O直徑, / AGB=90 °, .AG=4, BG=3,由勾股定理得： AB=山2+產(chǎn)5, 四邊形ACGB是.的內(nèi)接四邊形,. B+Z ACG=180 °, . / ACD+ / ACG=180 °, ./ B= Z DCA , ADXDC,/ ADC= / AGB , ADCA AGB ,AD=AC AG ABAD= AG= 4 一.AC AB 5點評：此題考查了圓內(nèi)接四邊形,切線的性質(zhì),圓周角定理,相似三角形的性質(zhì)和判定,等

21、腰三角形的性質(zhì)的應(yīng) 用,關(guān)鍵是推出 ADCsACB或ADCsAGB.6. (2021?德州)如圖,點 A, E是半圓周上的三等分點,直徑 BC=2, AD ± BC,垂足為 D,連接BE交AD于F, 過A作AG / BE交BC于G.(1)判斷直線AG與.O的位置關(guān)系,并說明理由.(2)求線段AF的長.B D OC考點：切線的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；解直角三角形.專題：計算題；證實題.分析：(1)求出弧AB= M AE= M EC,推出OABE,根據(jù)AG / BE ,推出OA LAG ,根據(jù)切線的判定即可得出 答案；(2)求出等邊三角形 AOB ,求出BD、AD長,求出

22、/ EBC=30 °,在4FBD中,通過解直角三角形求出 DF 即可.解答： 解：(1)直線AG與.O的位置關(guān)系是 AG與.O相切, 點A, E是半圓周上的三等分點,:弧 AB=M AE=M EC, 點A是弧BE的中點,OA ± BE ,又 AG / BE , OAXAG ,AG與.O相切.2二點A, E是半圓周上的三等分點,/ AOB= / AOE= / EOC=60 °,又 OA=OB , .ABO為正三角形,又 ; AD ±OB , OB=1 ,BD=OD= 1, AD=±22又EBC=1/EOC=30 ° 圓周角定理：一條弧所

23、對的圓周角等于它所對的圓心角的一半2在 RtAFBD 中,FD=BD ?tanZ EBC=BD ?tan30 =立,6AF=AD DF= 一26 3答：AF的長是 返3點評： 此題考查了解直角三角形,垂徑定理,切線的判定等知識點的應(yīng)用,能運用定理進行推理和計算是解此題 的關(guān)鍵,注意：垂徑定理和解直角三角形的巧妙運用,題目比較好,難度也適中.7. 1997?湖南：如圖, AB是.的直徑,PB切.O于點B, PA交.O于點C, / APB是平分線分別交 BC, AB于點D、E,交.O于點F, / A=60 °,并且線段 AE、BD的長是一元二次方程x2- kx+26=.的兩根k為常數(shù).1

24、求證：PA?BD=PB?AE;2求證：O O的直徑長為常數(shù) k;3求 tan/ FPA 的值.考點：圓的綜合題.專題：壓軸題.分析： 1由PB切.O于點B,根據(jù)弦切角定理,可得/ PBD=/A,又由PF平分/ APB,可證得APEDs PAE, 然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例,證得PA?BD=PB ?AE ;2易證得BE=BD ,又由線段 AE、BD的長是一元二次方程 x2-kx+2«=0的兩根k為常數(shù),即可得AE+BD=k ,繼而求得 AB=k ,即：O O的直徑長為常數(shù) k;3由/ A=60°,并且線段 AE、BC的長是一元二次方程 x2-kx+2g=0的兩根k為常數(shù),

25、可求得AE 與BD的長,繼而求得tan/ FPB的值,那么可得tan/ FPA的值.解答：1證實：如圖,PB切.O于點B, ./ PBD= / A, PF 平分/ APB , ./ APE= / BPD, . PBDA PAE,PB: PA=BD : AE, . PA?BD=PB ?AE ; 2 分(2)證實：如圖, / BED= Z A+Z EPA , / BDE= / PBD+ / BPD . 又. / PBD=/A, / EPA= /BPD, ./ BED= / BDE .BE=BD . 線段AE、BD的長是一元二次方程 x2-kx+2g=0的兩根(k為常數(shù)), AE+BD=k ,AE+

26、BD=AE+BE=AB=k , 即.O直徑為常數(shù)k. (5分)(3) .PB切.于B點,AB為直徑. ./ PBA=90 °. . / A=60 °.PB=PA?sin60=圭 PA, 2 又 PA?BD=PB?AE,BD="AE ,2 線段AE、BD的長是一元二次方程 x2-kx+2dm=0的兩根(k為常數(shù)).AE?BD=2 V5,即在 AE2=2T5,2_解得：AE=2 , BD= V5,AB=k=AE+BD=2+ 無,BE=BD= 3, 在 RtPBA 中,PB=AB ?tan60 = (2+V5) W=3+2加. 在 RtAPBE 中,tanZ BPF=2

27、 - Vs,PB 3+2的 . / FPA=Z BPF, tanZFPA=2- V3.點評：此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及根與系數(shù)的關(guān)系等知 識.此題難度較大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.8. (2005?柳州),如圖,直線 l與.相切于點D,弦BC / l,與直徑 AD相交于點G,弦AF與BC交于點 巳弦CF與AD交于點H.(1)求證：AB=AC ;(2)如果 AE=6 , EF=2,求 AC.考點：切線的性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理.專題：計算題；證實題；壓軸題.分析：(1)根據(jù)切線的性質(zhì)知道 ADXL,由BC / l可得ADXBC,那么可

28、得到AB和AC所對的弧相等,進而得 至U AB=AC ;(2)根據(jù)(1)可知/ F=/B=/ACB,由此即可證實 AECsACF,然后利用其利用對應(yīng)線段成比例可 以解決問題.解答：(1)證實：.直線l與.相切于點D,AD ±1,BC / 1, ADXBC.AB=ACAB=AC .(2)解：: AB=AC , ./ B= Z ACB . . / B=Z F, ./ F= Z ACB .又. / EAC= / FAC, AECA ACF .AE=AC -, AC AF AE=4V5.點評：此題用到的知識點為： 弧相等,弧所對的弦也相等；相似三角形中的對應(yīng)線段成比例來.9. (2006?黃

29、岡)如圖,AB、AC分別是.O的直徑和弦,點 D為劣弧AC上一點,弦ED分別交.O于點E,交AB于點H,交AC于點F,過點C的切線交ED的延長線于點 P.(1)假設(shè) PC=PF,求證：ABLED;(2)點D在劣弧AC的什么位置時,才能使 AD2=DE?DF,為什么考點：切線的性質(zhì)；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì).專題：幾何綜合題.分析：(1)作輔助線,連接 OC.根據(jù)切線的性質(zhì),OCLPC.根據(jù)PC=PF, OC=OA ,可得：/ PCF=/PFC,/ OCF= / OAC .在 RtAFHA 中,可得：/ FHA=90 °,故 ABLED;(2)根據(jù) AD2=DE?DF,可得：

30、FADsAED, /FAD=/DEA.從而可知： AD=CD, 即D在劣弧AC 的中點.解答： (1)證實：連接 oc, PC為.的切線, / OCP= / FCP+ / OCF=90 °, PC=PF, ./ PCF=/PFC, OA=OC , / OCA= / OAC , . / CFP=Z AFH , / AFH+ / OAC=90 °, ./ AHF=90 °, 即：AB LED.(2)解：D在劣弧AC的中點時,才能使 AD2=DE?DF.連接 AE .假設(shè) AD2=DE?DF,可得：FADsAED,/ FAD= / DEA ,即D為劣弧AC的中點時,能使

31、 AD2=DE?DF.點評：此題主要考查切線的性質(zhì)和相似三角形性質(zhì)的運用.10.：如圖,在半徑為 4的.O中,AB , CD是兩條直徑,M為OB的中點,CM的延長線交.O于點E,且 EM>MC.連接 DE, DE=V15.(1)求證：AM?MB=EM?MC;(2)求 sin/ EOB 的值；(3)假設(shè)P是直徑AB延長線上的點,且 BP=12,求證：直線 PE是.的切線.考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì).專題：計算題；壓軸題.分析：(1)連接AE, BC,由同弧所對的圓周角相等得到一對角相等,再根據(jù)對頂角相等,利用兩對應(yīng)角相等的兩三角形相似,得到三角形 AEM與三角形CBM相似,由

32、相似得比例,化簡后即可得證；(2)根據(jù)圓周角定理及勾股定理可求出 CE的長,再由相交弦定理求出 EM的長,根據(jù)所求 EM的長與半 徑相等判斷出4OEM為等腰三角形,過 E作EFLOM,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出 OF, EF 的長,進而求出 sin/ EOB的值；(3)由EO=EM , EF垂直于OM ,得到F為OM的中點,由 M為OB中點,求出 OM的長,可得出 OF 的長,由OB+BP=OP ,得出OP的長,利用OP-OF求出FP的長,再由EF的長,利用勾股定理求出 EP 的長,在三角形 OEP中,再利用勾股定理的逆定理判斷出三角形 OEP為直角三角形,可得/ OEP為直角, 即

33、EP垂直于OE,可得EP為圓O的切線.解答：解：(1)連接 AE, BC,.一/ AEC與/ MBC都為菽所對的圓周角,/ AEC= / MBC ,又/ AME= / BMC (對頂角相等), . AME s' CMB ,AM : CM=EM : MB ,即 AM ?MB=EM ?MC ;(2)如圖,: DC為.的直徑, DEL EC,DC=8 , DE=/15,ECWdc2 - 應(yīng)2=6" 5=7,設(shè)EM=x,由于 M為OB的中點,BM=2 , AM=6 ,AM ?MB=x ? (7x),即 6>2=x (7-x),整理得：x2- 7x+12=0 ,解得：xi=3,

34、x2=4, EM >MC , EM=4,OE=EM=4 , . OEM為等腰三角形,過 E 作 EFXOM ,垂足為 F,貝U OF=-OM=1 ,2EF=Jo鏟-OF%/® 1=任,sin/EOB=&4(3)在 REFP 中,EF=V15, PF=FB+BP=3+12=15 ,根據(jù)勾股定理得：EP=ef 2+ Fp 2=7240=4V15,又 OE=4, OP=OB+BP=4+12=16 ,OE2+EP2=16+240=256 , OP2=256 , OE2+EP2=OP2, ./ OEP=90°,那么EP為圓O的切線.點評：此題考查了切線的判定,相似三角形

35、的判定與性質(zhì),勾股定理及逆定理,圓周角定理,等腰三角形的判定 與性質(zhì),以及銳角三角函數(shù)定義,其中證實切線的方法有兩種：有點連接此點與圓心證直線與半徑垂直； 無點作垂線證實垂線段等于半徑.11 . (2021?臨沂)如圖,點 A、B、C分別是.O上的點,/ B=60 °, AC=3 , CD是.的直徑,P是CD延長線上 的一點,且AP=AC .(1)求證：AP是.的切線；(2)求PD的長.p考點：切線的判定；圓周角定理；解直角三角形.分析：(1)首先連接OA,由/ B=60 °,利用圓周角定理,即可求得/ AOC的度數(shù),又由OA=OC ,即可求得/ OAC 與/ OCA的度數(shù)

36、,利用三角形外角的性質(zhì),求得/ AOP的度數(shù),又由AP=AC ,利用等邊對等角,求得/ P,那么可求得/ PAO=90 °,那么可證得 AP是.的切線；(2)由CD是.的直徑,即可得/ DAC=90 °,然后利用三角函數(shù)與等腰三角形的判定定理,即可求得PD的長.解答：(1)證實：連接OA. . / B=60 °, ./ AOC=2 / B=120 °,又 OA=OC , ./ ACP= /CAO=30 °,/ AOP=60 °, AP=AC ,.P=/ACP=30 °,/ OAP=90 °, OAXAP,AP是.O

37、的切線,(2)解：連接AD .CD是.O的直徑,/ CAD=90 °,AD=AC ?tan30 =3 起用,3 . / ADC= / B=60 °,/ PAD= / ADC - / P=60 - 30 =30 °,.P=/PAD,PD=AD= V3.11.題的關(guān)鍵是準確作出輔助線,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.12. (2021?陜西)如圖,PA、PB分別與.O相切于點 A、B,點 M在PB上,且 OM / AP , MN XAP,垂足為 N.(1)求證：OM=AN ;(2)假設(shè).O的半徑R=3, PA=9,求OM的長.考點：切線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理

38、；矩形的判定與性質(zhì).專題：幾何綜合題.分析： (1)連接OA,由切線的性質(zhì)可知 OALAP,再由MN LAP可知四邊形 ANMO是矩形,故可得出結(jié)論；(2)連接 OB,貝U OBXBP 由 OA=MN , OA=OB , OM / AP ,可知 OB=MN , / OMB= / NPM ,故可得出RtA OBMMNP , OM=MP .設(shè)OM=x ,那么NP=9 -x,在RtAMNP利用勾股定理即可求出 x的值,進而得出結(jié)論.解答： (1)證實：如圖,連接 OA,那么OAXAP, MN XAP,MN / OA , OM / AP,四邊形ANMO是矩形,OM=AN ;(2)解：連接 OB,那么O

39、BXBP OA=MN , OA=OB , OM /AP. OB=MN , / OMB= / NPM . RtA OBM RtA NPM, OM=MP .設(shè) OM=x ,那么 NP=9 x,在 RtA MNP 中,有 x2=32+ (9-x) x=5,即 OM=5 .點評：此題考查的是切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及矩形的判定與性質(zhì),在解答此類題目時 往往連接圓心與切點,構(gòu)造出直角三角形,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答.13. (2021?東營)如圖,AB是.的直徑,AM和BN是它的兩條切線, DE切.O于點E,交AM于點D ,交BN 于點C,(1)求證：OD / BE;(2)如果 O

40、D=6cm , OC=8cm ,求 CD 的長.DM考點：切線的性質(zhì)；勾股定理.專題：幾何綜合題.分析：1首先連接 OE,由AM和BN是它的兩條切線,易得/ ADO= / EDO, / DAO= / DEO=90 °,由切線長定理,可得/ AOD= / EOD=1/AOE , / AOD= / ABE ,根據(jù)同位角相等, 兩直線平行,即可證得 OD/BE; 22由1,易證得/ EOD+/ EOC=90°,然后利用勾股定理,即可求得CD的長.解答：1證實：連接OE,AM、DE是.的切線,OA、OE是.的半徑,ADO= / EDO, Z DAO= Z DEO=90 °

41、,分/ AOD= / EOdJ/ AOE,2 . / ABE=-Z AOE ,2/ AOD= / ABE , .OD/BE; 5 分2由1得：/ AOD= Z EOD=-ZAOE ,2同理,有：/ BOC=ZEOC=-ZBOE,2 / AOD+ / EOD+ / BOC+ / EOC=180 °, ./ EOD+ / EOC=90 °, . DOC是直角三角形, 7分CD= 70D2WC2=V36+64 =10cm.9分點評：此題考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、平行線的判定以及勾股定理等知識.此題難度適中,注意掌握輔助 線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.14. 2021哦石如

42、圖,AB是.O的直徑,AM和BN是OO的兩條切線,E是.O上一點,D是AM上一點,連 接DE并延長交 BN于點C,且OD / BE, OF/ BN .(1)求證：DE與.O相切;(2)求證：OF=CD.2且 D MB C N考點：切線的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線.分析：(1)連接OE,由AM與圓O相切,利用切線的性質(zhì)得到OA與AM垂直,即/ OAD=90 °,根據(jù)OD與BE平行,利用兩直線平行得到一對內(nèi)錯角相等,一對同位角相等,再由 OB=OE ,利用等邊對等角得到一 對角相等,等量代換得到一對角相等,再由 OA=OE, OD為公共邊,利用 SAS得出三角形AOD與三角形 E

43、OD全等,利用全等三角形的對應(yīng)角相等得到/OED=90 °,即OE垂直于ED ,即可得證；(2)連接OC,由CD與CB為圓的切線,利用切線的性質(zhì)得到一對直角相等,由 OB=OE, OC為公共邊, 利用HL得出兩直角三角形全等,進而得到/BOC=/EOC,利用等量代換及平角定義得到/COD=90 °,即三角形COD為直角三角形,由 OF與BN平行,AM與BN平行,得到三線平行,由 O為AB的中的,利 用平行線等分線段定理得到 F為CD的中點,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證.解答：證實：(1)連接OE,AM與圓O相切,AM ± OA ,即/ OAD=

44、90 °, OD / BE,/ AOD= / ABE , / EOD= / OEB , OB=OE ,/ ABE= / OEB , ./ AOD= / OEB, ./ AOD= / EOD, 在AOD和AEOD中,'OA二OE' ZA0D=ZE0D,lod=odAODA EOD (SAS), ./ OED=/OAD=90 °, 那么DE為圓O的切線；(2)在 RtA BCO 和 RtAECO 中, OB = OE loc=oc RtABCORtA ECO, ./ BOC=/EOC, . / AOD= / EOD, ./ DOC= Z EOD+ Z EOC=-

45、 X180 =90 °,2 AM、BN為圓O的切線,AM ±AB , BN ±AB ,AM / BN , OF/ BN ,AM / OF/ BN ,又O為AB的中點,F為CD的中點,那么OF=CD.2B C N點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì),以及等腰三角形的性質(zhì),熟練 掌握切線的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.15. (2021?棗莊)如圖,AB是.O的直徑,弦 CDXAB于點E,過點B作.O的切線,交 AC的延長線于點 F,已 知 OA=3 , AE=2 ,(1)求CD的長；(2)求BF的長.考點：切線的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理

46、；相似三角形的判定與性質(zhì).專題：計算題.分析：(1)連接OC,在4OCE中用勾股定理計算求出 CE的長,然后得到 CD的長.(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得 AB XBF ,然后用ACEsAFB,可以求出BF的長. 解答：解：(1)如圖,連接OC, AB是直徑,弦CDXAB ,CE=DE在直角 4OCE 中,OC2=OE2+CE232= (3-2)1+CE2得：CE=2&,CD=4&.(2) BF 切.O 于點 B, ./ ABF=90 °=ZAEC .又CAE= Z FAB (公共角),ACEA AFB. ae_ce =AB BF6 BFBF=6 加.點評：此題考查的是切線的

47、性質(zhì),1利用垂徑定理求出 CD的長.2根據(jù)切線的性質(zhì),得到兩相似三角形,然后利用三角形的性質(zhì)計算求出BF的長.16. 2021次州如圖,C是以AB為直徑的.O上一點,過 O作OELAC于點E,過點A作.的切線交 OE的 延長線于點F,連接CF并延長交BA的延長線于點P.1求證：PC是.的切線.2假設(shè) AF=1 , OA= 2切,求 PC 的長.考點：切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì). 專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：1連接OC,根據(jù)垂徑定理,利用等角代換可證實/ FAC=/FCA,然后根據(jù)切線的性質(zhì)得出/ FAO=90°, 然后即可證實結(jié)論.2先證實PA

48、FsPCO,利用相似三角形的性質(zhì)得出PC與PA的關(guān)系,在RtPCO中,利用勾股定理可得出x的值,繼而也可得出 PC得長.解答：1證實：連接OC, OEXAC ,AE=CE , FA=FC , ./ FAC=Z FCA , OA=OC 圓的半徑相等,/ OAC= / OCA , / OAC+ / FAC= / OCA+ / FCA ,即 / FAO= / FCO , FA與.O相切,且 AB是.O的直徑, FAXAB , ./ FCO=ZFAO=90 °, CO是半徑,PC是.O的切線；2解：.PC是.O的切線, ./ PCO=90 °,又. / FPA=/OPC, /PAF

49、=90°, . PAFA PCO,. PA? . 二PC co CO=OA= 2近,AF=1 , pc=2V2pa,設(shè) PA=x,那么 PC=2«X.在RtAPCO,由勾股定理得：2V2X2+26 J 奸2近、2解得:點評：此題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì),涉及知識點較多,解答此題要求熟練掌握切線的判定定理及性質(zhì),有一定難度.17. 2021?衢州如圖,在RtAABC中,Z 0=90 °, Z ABC的平分線交 AC于點D,點O是AB上一點,.過B、D兩點,且分別交 AB、BC于點E、F.1求證：AC是.的切線；2 AB=10 , BC=6,求.O的半徑r.考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì).分析：1連接OD.欲證AC是O O的切線,只需證實 ACXOD即可；2利用平行線截線段成比例推知 里!也；然后將圖中線段間的和差關(guān)系代入該比例式,通過解方程即可BC AB求得r的值,即.O的半徑r的值.解答：1證實：連接OD.OB=OD ,/ OBD= / ODB 等角對等邊； BD 平分/ ABC ,/ ABD= / DBC ,/ ODB= / DBC 等量代換,OD / BC 內(nèi)錯角相