天津理工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案詳解

1、第7章參數(shù)估計(jì)-點(diǎn)估計(jì)、填空題1、設(shè)總體X服從二項(xiàng)分布B(N,p), 0<P<1, Xi,X2Xn是其一個(gè)樣本,那么矩估X計(jì)量 = X一 N2、設(shè)總體X B(1,p),其中未知參數(shù)0 cp <1 , Xl,X2ll),Xn是X的樣本,",1 n p的矩估計(jì)為_(kāi)一£n i=1X樣本的似然函數(shù)為_(kāi)口 P i (1 - p)3、設(shè)*1,*2,|,*門(mén)是來(lái)自總體X N(N,.2)的樣本,那么有關(guān)于卜及似然函數(shù)L(X1,X2川,Xn；122 n 1-T72(Xi-:2) =_U -e 2id 2 二二、計(jì)算題1、設(shè)總體 X具有分布密度f(wàn)(x；u) =9 +1)x&q

2、uot; 0 cx <1 ,其中口 下1是未知參數(shù),XX2,Xn為一個(gè)樣本,試求參數(shù)U的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)1解：因 E(X) = ox(a 1)xadxJ , a+,a+1 a42 1 a + 1二(a 1)x dx =x |0 =0a 21 a 2一 十1令E(X) =X -?+22X -1?=-為口的矩估計(jì)1 -X因似然函數(shù) 1(不?2,|區(qū);：)=(：1)n (xHIxn)二.nFlnL n .n一二 ln L =n ln( a +1) + 在 ln Xi ,由=+£ ln Xi = 0得,i 11 a a . 1 i 1n&的極大似量估計(jì)量為 = -(1 +

3、)In Xii 12、設(shè)總體X服從指數(shù)分布f (x)=,x'e '二L , Xi,X2,Xn是來(lái)自X的樣本,(1)0,其他求未知參數(shù) 九的矩估計(jì)；(2)求九的極大似然估計(jì).11 -解：(1)由于 E(X) = ,令一=X = 九九n.xi(2)似然函數(shù) L(x1, x2,|,xn)=八 e 1-11九=,故九的矩估計(jì)為?=又nln L = nln /,二：xi 1dlnLn.xi = 0=d -i 4 1故人的極大似然估計(jì)仍為 :.X3、設(shè)總體XN0盧2, X1,X2|,Xn為取自 然估計(jì)；X的一組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,求2仃的極大似n 1解(1)似然函數(shù)L =n ie芯 =(222戶(hù)

4、i 4 . 2n 乂2二、,二 ijl e -于是ln Lnln 2 二- 2n _2,nln 二-x：2.2d ln Ld 二2x2,“ d ln Lo令7=0 ,得仃 的極大似然估計(jì):d；2二 2="n yXi2.4、設(shè)總體X服從泊松分布PRJ, X1,X2,|lt,Xn為取自X的一組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,1求未知參數(shù)人的矩估計(jì)；2求九的極大似然估計(jì)解：1令EX=九=女=J?=X ,此為九的矩估計(jì).(2)似然函數(shù) L(x1,x2,HI,xn)=nJ一士口為！i Ti=1i 1nnxixdlnL ti J=- n = 0=故九的極大似然估計(jì)仍為 X .第七章 參數(shù)估計(jì)-點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)一、

5、填空題1、 設(shè)Xi, X2 , X3是取自總體X的一個(gè)樣本,那么下面三個(gè)均值估計(jì)量1 3111 5Xa 131科= X1 +X2 + X3,02 =X1+X2 +3,U3=X1+X2X3 都是總體510234123412均值的無(wú)偏估計(jì),那么 %最有效.222、設(shè)X1,X2,Xn是取自總體N0,o 的樣本,那么可以作為 仃 的無(wú)偏估計(jì)量是A .1 n1 n1 n1 nA、一 X X B、X X C、一 X X i D、X X n i 1n-1-n1n-1y二、計(jì)算題1 no1、設(shè)X1,X2,Xn為從一總體中抽出的一組樣本,總體均值N,用Z Xi N2n -1 i -1去估計(jì)總體方差 仃2,它是否

6、是 仃2的無(wú)偏估計(jì),應(yīng)如何修改,才能成為無(wú)偏估計(jì).解：因E1n -1n1 n% (Xi - J)2=E(Xi - J)2 i 1n -1 i1, 22Z (Xi -N)不是仃的無(wú)偏估計(jì) n 1 i w1 /.22的無(wú)偏估計(jì)但一工(Xi R)是仃n i 1n -12、設(shè)X1,X2,Xn是來(lái)自總體NH.2的一個(gè)樣本,假設(shè)使C芝Xi書(shū)Xi2為仃2的無(wú) i 1偏估計(jì),求常數(shù) C的值.解:n 1n J2_ 2 _EC :、(Xi 1 -Xi) E(Xi 1 -Xi) i 1i 1n J=C% EX* EXi2-2EXidEXi i 1n _1 J2 二2 .J2 二2 _2/2 i 1,22 1=2(n

7、 - 1)C：- -： = C =2(n-1)第七章參數(shù)估計(jì)-區(qū)間估計(jì)一、選擇題1、設(shè)總體X N(R,.2),仃2未知,設(shè)總體均值 N的置信度1-口的置信區(qū)間長(zhǎng)度l ,那么l與a的關(guān)系為(A ).A、a增大,l減小B、a增大,l增大C、a增大,l不變d、a與l關(guān)系不確定2、22、設(shè)總體X N(N,.),且仃,現(xiàn)在以置信度1 7估計(jì)總體均值N ,以下做法中一定能使估計(jì)更精確的是(C ).A、提升置信度1-口,增加樣本容量B、提升置信度1-a ,減少樣本容量C、降低置信度1 -a ,增加樣本容量D、降低置信度1 -a ,減少樣本容量二、計(jì)算題1、設(shè)總體X N (%0.92),當(dāng)樣本容量n = 9時(shí)

8、,測(cè)得X =5,求未知參數(shù)的置信度為0.95的置信區(qū)間.解：N的置信區(qū)間為(X Za；=,X +Z£；=) n 2 na =0.05 n=9 仃=0.9 X=5Z吧=1.96N的置信區(qū)間為(4.412,5.588).2、設(shè)總體X N(N,.2),仃=%,要使總體均值 N的置信水平為1 一的置信區(qū)間的長(zhǎng)度 不大于L,問(wèn)需要抽取多大容量的樣本.解：N的置信區(qū)間為(1_Z以"漢+Zu?=),2 n 1 . n224Z 二二. 022Z：0、L= n 萬(wàn).nL3、某車(chē)間生產(chǎn)自行車(chē)中所用小鋼球,從長(zhǎng)期生產(chǎn)實(shí)踐中得知鋼球直徑從某批產(chǎn)品里隨機(jī)抽取 6件,測(cè)得它們的直徑(單位：mm)為:1

9、4.6, 15,1, 14,9, 14,8, 15,2, 15.1,置信度 1 口 = 0.95(即 口 = 0.05)(1)假設(shè)仃2 =0,06,求N的置信區(qū)間(3)求方差仃2,均方差6的置信區(qū)間.-2(2)假設(shè)仃未知,求N的置信區(qū)間.2解：(1)仃,那么R的置信區(qū)間為(X -Za2a (JX +Z ) 廠,八乙a廠) )、.n2 n nn -5, - -0,05, Z -1.962代入那么得N的置信區(qū)間(14.75,15.15)2. S S(2).未知,那么N的置信區(qū)間為(X 3,X +ta, n2 - n 2 - n=5,二=0.05查表得t0.05 =2.5706,代入得N的置信區(qū)間為

10、(14.71,15,19)(n -1)S222(n-1)2 一一 、仃的置信區(qū)間2 (n-1)S2 (l (n-1)22(n-1)S2 )：(n-1)20 =0.05, n =5代入得仃2的置信區(qū)間為：(0.0199,0,3069).均方差仃的置信區(qū)間為(,0.0199, J0.3069) =(0.1411,0.2627)4、設(shè)從正態(tài)總體X中采用了 n = 31個(gè)相互獨(dú)立的觀察值,算得樣本均值 X= 58.61及樣2 一 一 2本方差 S =(5.8),求總體X的均值和方差的 90%的置信區(qū)間aa解：1 - 1=0.9- = 0.05,1 - = 0.95,n = 31,s = 5.8, 1.

11、5(30) = 1.697322.s90%的置信區(qū)間為：(X ±3(n-1)下)=(56,84, 60,38)2n2 2Z0.05 (30) = 43.770.0.95 (30) = 18.49, S2 = 33,642-仃的(1-a) %的置信區(qū)間為22(n - 1)s (n -1)s%(n -1) ' 712T(n -130 33.642<G43.7730 33.818.4923.1 一:二 54,62 .-.cr的90%的置信區(qū)間為：(23.1 , 54.6)5、設(shè)某種燈泡的壽命X服從正態(tài)分布N( N , o2 ) , k , ¥未知,現(xiàn)從中任取5個(gè)燈泡

12、進(jìn)行壽命測(cè)試(單位：1000小時(shí)),得：10.5 ,11.0 , 11.2 , 12.5 ,12.8 ,求方差及均方差的90%的置信區(qū)間._1 J21 /_ 2解：x =-v Xj=11,6,S(Xi -x) =0.9955 i 14 i dCLCL1 -二= 0.9- = 0.05,1 - - = 0.95,n -1 = 422224 0,9959.488X2.05(4) =9.488, x0295(4) =0.7114 0,995= 0.419, =5.5980,711:.音故仃的90%的置信區(qū)間為(0.419,5.598)及(. 0.419, .5.598) =(0.647,2.366)6、二正態(tài)總體N(h ,.2) , N( B ,際2)的參數(shù)均未知,依次取容量為n1=10 , n2=11的二獨(dú) _ 9_ 9_ _立樣本,測(cè)得樣本均值分別為 x1 =1,2,x2 =2,8 ,樣本方差分別為S1 =0,34$2 =0,29,(1)求二總體均值差 為一叱的90%的置信區(qū)間.(2)求二總體方差比 90%的置信區(qū)間.解：1-： -0.9,=0.05,n1=9,1-1 =102a2 9 0.34 10 0.29(1)S =7719= 0.3137, t0.05(19) =1