第二章隨機過程基本概念2.42.52.6

1、隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念第二章第二章2022-1-182第二章隨機過程的基本概念第二章隨機過程的基本概念 2022-1-183),.,.,(11NNXttxxF設(shè)隨機過程設(shè)隨機過程X(t) 的的N維分布函數(shù)為維分布函數(shù)為),.,.,(11MMYttyyFY(t) 的的M維分布函數(shù)為維分布函數(shù)為 )(,.)(,)(,.)(),.,.,.,.,(11111111MMNNMMNNXYytYytYxtXxtXPttyyttxxF定義定義X(t) 和和Y(t) 的的N+M維聯(lián)合概率分布函數(shù)為維聯(lián)合概率分布函數(shù)為 2022-1-184MNMMNNXYMNMMNNXYyyxxttyyttxxFt

2、tyyttxxf1111111111.),.,.,.,.,(),.,.,.,.,(定義定義X(t) 和和Y(t) 的的N+M維聯(lián)合概率密度為維聯(lián)合概率密度為 ),.,.,(),.,.,(),.,.,.,.,(11111111MMYNNXMMNNXYttyyfttxxfttyyttxxf如果如果 則稱則稱X(t) 和和Y(t) 是相互獨立的是相互獨立的2022-1-185),.,.,.,.,(),.,.,.,.,(11111111ctctyyctctxxfttyyttxxfMMNNXYMMNNXY如果如果X(t) 和和Y(t) 的聯(lián)合統(tǒng)計特性不隨時間起的聯(lián)合統(tǒng)計特性不隨時間起點的平移而變化，則稱

3、點的平移而變化，則稱X(t) 和和Y(t) 是嚴格聯(lián)是嚴格聯(lián)合平穩(wěn)的，也稱平穩(wěn)相依。它們的任意合平穩(wěn)的，也稱平穩(wěn)相依。它們的任意N+M維聯(lián)合概率密度與時間起點無關(guān)維聯(lián)合概率密度與時間起點無關(guān)2022-1-186dxdytytxxyftYtXEttRXYXY ),()()(),(212121互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù))()()()(),(221121tmtYtmtXEttKYXXY互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù))()(),(),(212121tmtmttRttKYXXYXY0),(21ttRXYX(t)和和Y(t)相互正交相互正交0),(21ttKXYX(t)和和Y(t)不相關(guān)不相關(guān)2022-1-18721

4、21 ),(),()()(ttRttRmtmmtmXYXYYYXX如果如果則稱則稱X(t)和和Y(t)是廣義聯(lián)合平穩(wěn)的。是廣義聯(lián)合平穩(wěn)的。2022-1-188)()()()(YXXYYXXYKKRR（1）聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)2222|)(|)0()0()(2)0()0(|)(|YXXYYXXYYXXYKRRRRRR（2）2022-1-189)()()()()(YXXYYXZRRRRR（3）若）若X(t)和和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的，則是聯(lián)合平穩(wěn)的，則 Z(t)=X(t)+Y(t) 也是平穩(wěn)的，且也是平穩(wěn)的，且聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程互相

5、關(guān)函數(shù)性質(zhì)YXYXZmmRRR2)()()(如果如果X(t)和和Y(t)不相關(guān)，則不相關(guān)，則)()()(YXZRRR如果如果X(t)和和Y(t)相互正交，則相互正交，則2022-1-1810第二章隨機過程的基本概念第二章隨機過程的基本概念 2022-1-1811dtetsStj)()(dtts )(信號信號s(t)的的頻譜密度頻譜密度（簡稱（簡稱頻譜頻譜）：）：)(S頻譜存在的條件頻譜存在的條件deStstj)(21)(信號信號s(t)用頻譜表示：用頻譜表示：2022-1-18122( )st dt 信號信號s(t)的的能量譜密度能量譜密度（簡稱（簡稱能譜密度能譜密度）：）：2| )(|S表示

6、單位頻帶內(nèi)信號的能量表示單位頻帶內(nèi)信號的能量能譜密度存在的條件能譜密度存在的條件dSdttsE22)(21)(Parseval 定理定理能量型信號能量型信號能量有限的信號能量有限的信號2022-1-1813功率型信號：平均功率有限、能量無限的信號功率型信號：平均功率有限、能量無限的信號21lim( )2TTTPs tdtT 對隨機過程而言，一般不滿足頻譜和能量譜存在對隨機過程而言，一般不滿足頻譜和能量譜存在的條件，所以其頻譜和能譜都不存在。的條件，所以其頻譜和能譜都不存在。對隨機過程引入功率譜的概念對隨機過程引入功率譜的概念2022-1-1814功率譜的定義：功率譜的定義：TtTttxtxT0

7、)()(隨機過程的樣本函數(shù)及其截尾函數(shù)隨機過程的樣本函數(shù)及其截尾函數(shù) 2022-1-1815的傅里葉變換的傅里葉變換)(txTTTtjitjTiTidtetxdtetxX)()()(1( )( )2j tTiTixtXed2211lim( )lim( )22TTiiTiTTTTPx t dtxt dtTT211lim( )22TiTXdT211lim( )22TiTXdT 的平均功率的平均功率)(txi2022-1-18162)(21lim)(TiTiXTG令令dGPii)(21則則的功率譜密度的功率譜密度)(txi的平均功率的平均功率)(txi211lim( )22iTiTPXdT2022-

8、1-18172)(21lim)(TTXXTEGTTtjTdtetXX)()(定義隨機過程的功率譜密度為：定義隨機過程的功率譜密度為：功率譜密度是從頻域描述隨機過程很重要的數(shù)字特征，功率譜密度是從頻域描述隨機過程很重要的數(shù)字特征，隨機過程的功率譜密度表示單位頻帶內(nèi)信號的頻譜分量隨機過程的功率譜密度表示單位頻帶內(nèi)信號的頻譜分量消耗在單位電阻上的平均功率的統(tǒng)計平均值。消耗在單位電阻上的平均功率的統(tǒng)計平均值。能譜密度：信號的能量按頻率分布的情況能譜密度：信號的能量按頻率分布的情況功率譜密度：信號的平均功率按頻率分布的情況功率譜密度：信號的平均功率按頻率分布的情況2022-1-1818功率譜密度與相關(guān)函

9、數(shù)關(guān)系功率譜密度與相關(guān)函數(shù)關(guān)系deRGjXX)()(deGRjXX)(21)(維納維納-辛欽定理辛欽定理條件條件: : 功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)有意義功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)有意義適用于任意隨機過程（定義本身不要求必須是平穩(wěn)過程）適用于任意隨機過程（定義本身不要求必須是平穩(wěn)過程）2022-1-1819性質(zhì)：性質(zhì)：對于實的平穩(wěn)隨機過程，功率譜為實的、非負偶函數(shù)；對于實的平穩(wěn)隨機過程，功率譜為實的、非負偶函數(shù)；21( )lim( ) 02XTTGEXT( )( )jXXGRed ( )cos( )sinXXRdjRd 02( )cosXRd 2022-1-1820性質(zhì)：性質(zhì)：相關(guān)性與功率譜的關(guān)系為：相

10、關(guān)性越弱，功率譜越寬相關(guān)性與功率譜的關(guān)系為：相關(guān)性越弱，功率譜越寬平；相關(guān)性越強，功率譜越陡窄。平；相關(guān)性越強，功率譜越陡窄。1(0)( )2XXRGdP總的平均功率總的平均功率2022-1-18212022-1-1822000)(2)(XXGF物理功率譜（物理譜）定義：物理功率譜（物理譜）定義：00cos)(21)(cos)(4)(dFRdRFXXXX2022-1-1823例例2.182.18：已知譜密度為：已知譜密度為 求相關(guān)函求相關(guān)函數(shù)。數(shù)。9104)(242XG解：解：948/56148/929104)(22242XG由因式分解由因式分解222e由公式：由公式：)59(481)(3ee

11、RX2022-1-1824對于平穩(wěn)隨機序列對于平穩(wěn)隨機序列X(n)，如果其自相關(guān)函數(shù)滿足，如果其自相關(guān)函數(shù)滿足其功率譜密度其功率譜密度()=()()jjmXXXmGGeRm e mXmR|)(|1()()2jmXXRmGed功率有限功率有限21(0)( )()2XXRE XnGd 周期為周期為22022-1-1825Z變換形式：變換形式：mmXXzmRzG)()(jez )()(mRmRXX自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù))()(1zGzGXX自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)z變換的收斂域是一個包含單位變換的收斂域是一個包含單位圓的環(huán)形區(qū)域，即圓的環(huán)形區(qū)域，即aza110 a所以所以2022-1-18

12、26CmXXdzzzGjmR1)(21)(自相關(guān)函數(shù)用功率譜的自相關(guān)函數(shù)用功率譜的z反變換表示反變換表示其中其中C是收斂域內(nèi)包含是收斂域內(nèi)包含z 平面原點逆時針的閉合圍線平面原點逆時針的閉合圍線2022-1-1827平穩(wěn)隨機序列功率譜性質(zhì)平穩(wěn)隨機序列功率譜性質(zhì)（1）實的偶函數(shù)）實的偶函數(shù)*( )( )XXGG ()( )XXGG 自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，所以自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，所以)()(1zGzGXX（2）非負）非負( )0XG 2022-1-1828兩個隨機過程兩個隨機過程X(t)，Y(t)的互功率譜的互功率譜)()(21lim)(TTTXYYXTEGTTtjTdtetXX)()(TTtjTd

13、tetYY)()(其中：其中：若若X(t)及及Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，聯(lián)合平穩(wěn)， 絕對可積，有絕對可積，有)()(XYXYGR)(XYR互功率譜從頻域上描述了兩個隨機過程的互相關(guān)特性?；スβ首V從頻域上描述了兩個隨機過程的互相關(guān)特性。2022-1-1829性質(zhì)：性質(zhì)：)()()(*YXYXXYGGG（1）互功率譜并非是非負的實偶函數(shù)互功率譜并非是非負的實偶函數(shù))(ReXYG)(ReYXG)(ImXYG)(ImYXG與與是是 的奇函數(shù)；的奇函數(shù)；是是 的偶函數(shù)；的偶函數(shù)；與與（2）（3）)()()(2YXXYGGG2022-1-18302)(21lim)(TTXXTEG對平穩(wěn)和非平對平穩(wěn)和非平穩(wěn)都適用穩(wěn)

14、都適用其它定義其它定義: :1 12 2()121212(,)( , )jttXXGRt t edt dt 1)廣義功率譜廣義功率譜缺乏明確的物理意義缺乏明確的物理意義2022-1-18312) 時變功率譜時變功率譜( , )(, )jXXGtRtt ed 如果采用對稱相關(guān)函數(shù)，即如果采用對稱相關(guān)函數(shù)，即( , )(/2)(/2)XRtE X tX t 則上式定義的功率譜稱為韋格納則上式定義的功率譜稱為韋格納-威利威利(Wigner-Ville)譜，這種功率譜是實偶函數(shù)（因為相關(guān)函數(shù)譜，這種功率譜是實偶函數(shù)（因為相關(guān)函數(shù)是是 的偶函數(shù)）。的偶函數(shù)）。2022-1-18323) 對時變譜求時間平

15、均對時變譜求時間平均1( )lim( , )2TXXTTGGtdtT 等價于等價于1( )lim( , )2TXXTTRRt dtT ( )( )jXXGRed 2022-1-1833例例2.21： 噪聲調(diào)制的振蕩信號噪聲調(diào)制的振蕩信號 其中其中N(t)是平穩(wěn)噪聲，求是平穩(wěn)噪聲，求X(t)的功率譜的功率譜0( )( )cosX tN tt0000(, )()( )()cos()( )cos1( )cos(2)cos2XNRttE X tX tE N ttN ttRt 011( )lim(, )( )cos22TXXNTTRRtt dtRT 001( )( )()()4jXXNNGRedGG 2

16、022-1-1834第二章隨機過程的基本概念第二章隨機過程的基本概念 2022-1-1835n加性噪聲獨立于有用信號加性噪聲獨立于有用信號n噪聲來源：人為噪聲、自然噪聲、內(nèi)部噪聲噪聲來源：人為噪聲、自然噪聲、內(nèi)部噪聲n噪聲分類：確知噪聲、隨機噪聲噪聲分類：確知噪聲、隨機噪聲n隨機噪聲分類隨機噪聲分類n單頻噪聲（外臺，窄帶）：并不總是存在單頻噪聲（外臺，窄帶）：并不總是存在n脈沖噪聲（點火、閃電，幅度大、時間短，頻帶脈沖噪聲（點火、閃電，幅度大、時間短，頻帶寬）：安靜期長，對模擬話音影響不大，但對數(shù)字寬）：安靜期長，對模擬話音影響不大，但對數(shù)字通信易造成誤碼，可使用糾錯編碼通信易造成誤碼，可使用

17、糾錯編碼 n起伏噪聲（熱、散彈、宇宙）：普遍存在不可避免，起伏噪聲（熱、散彈、宇宙）：普遍存在不可避免，可認為是一種高斯噪聲，并且在相當寬的頻率范圍可認為是一種高斯噪聲，并且在相當寬的頻率范圍內(nèi)具有平坦的功率譜密度內(nèi)具有平坦的功率譜密度 2022-1-1836平穩(wěn)白噪聲：隨機過程平穩(wěn)白噪聲：隨機過程X(t)均值為均值為0，自相關(guān)函數(shù)為，自相關(guān)函數(shù)為2)(0NGX)(2),(21021ttNttRX平穩(wěn)白噪聲功率譜密度：平穩(wěn)白噪聲功率譜密度：白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù) 2022-1-1837白噪聲相關(guān)系數(shù)：白噪聲相關(guān)系數(shù)：0001)0()()(XXXRRr010

18、0200300400500-3-2-10123x(n)2022-1-1838n帶限白噪聲帶限白噪聲00, |()20,NffPf 其他其他 000( )2Rf N Saf 002kRf時時，只有以頻率只有以頻率 2f0 對帶限白噪聲進對帶限白噪聲進行抽樣時，各樣值才互不相關(guān)行抽樣時，各樣值才互不相關(guān)2022-1-1839如果一個隨機過程如果一個隨機過程X(t)的任意的任意n 維分布都服從正態(tài)分布，維分布都服從正態(tài)分布，則稱該隨機過程為正態(tài)隨機過程。則稱該隨機過程為正態(tài)隨機過程。一維分布一維分布)(2)(exp)(21),(12211111ttmxttxfXN維分布11/2/211( )exp(

19、)()2(2 )xx m Kx mKTXNf 2022-1-1840平穩(wěn)正態(tài)過程平穩(wěn)正態(tài)過程 設(shè)設(shè)X(t)是正態(tài)隨機過程，若有是正態(tài)隨機過程，若有 則則X(t)稱為稱為廣義平穩(wěn)正態(tài)過程廣義平穩(wěn)正態(tài)過程。XXmtm)(2121),(),(ttRttRXX2022-1-1841性質(zhì)：性質(zhì)：1. 對于正態(tài)隨機過程而言，廣義平穩(wěn)與嚴格平穩(wěn)等價；對于正態(tài)隨機過程而言，廣義平穩(wěn)與嚴格平穩(wěn)等價；2. 對于正態(tài)隨機過程而言，不相關(guān)與獨立等價；對于正態(tài)隨機過程而言，不相關(guān)與獨立等價；3. 一般平穩(wěn)正態(tài)噪聲與信號之和為非平穩(wěn)的正態(tài)過程一般平穩(wěn)正態(tài)噪聲與信號之和為非平穩(wěn)的正態(tài)過程。)()()(tStNtX21222( )1( , )exp22XxS tfx t（）4. 若平穩(wěn)正態(tài)過程具有均勻的功率譜密度，則稱此若平穩(wěn)正態(tài)過程具有均勻的功率譜密度，則稱此過程為平穩(wěn)正態(tài)白噪聲。滿足過程為平穩(wěn)正態(tài)白噪聲。滿足 iixninnXtxftttxxxf,),(1212