完整版全等三角形專題構(gòu)造全等三角形方法總結(jié)

1、專題：構(gòu)造全等三角形利用三角形的中線來構(gòu)造全等三角形倍長中線法倍長中線法：即把中線延長一倍,來構(gòu)造全等三角形.1、如圖 1,在 ABC, AD中線,BE交 ADT點 F,且 AE= EF.試說明線段AC與BF相等的理由.簡析 由于AD中線,于是可延長 AD到G使DG= AD連結(jié)BG那么在 ACDFD AGBD, AD= GD / ADG= / GDB CD= BD 所以4 AC隹 GBDSAS , 所以 AC= GB / CA屈 / G,而 AE= EF,所以/ CAD= / AFEB又 / AFE = /BFG 所以/ BFG= / G 所以 BF= BG 所以 AC= BF.說明 要說明線

2、段或角相等,通常的思路是說明它們所在的兩個三角形全等,而遇到中線時又通常通過延長中線來構(gòu)造全等三角形.利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形法一：如圖,在 ABC中,AD平分/ BAC.在 AB上截取 AE=AC ,連結(jié) DE.可以利用角平分線所在直線作對稱軸,翻折三角形來構(gòu)造全等三角形.EACD, /AED=/C, /ADE=/ADQ法二：如圖,在 ABC中,AD平分/ BAC.延長 AC至U F ,使 AF=AB ,連結(jié) DF.可以利用角平分線所在直線作對稱軸,翻折三角形來構(gòu)造全等三角形.BD=FD , ZB=ZFt ZADB=ZADFo法三：在 ABC中,AD平分/ BAC.作DM,AB于

3、M , DN ±AC于N.可以利用角平分線所在直線作對稱軸.翻折三角形來構(gòu)造全等三角形DM=DN , AM=AN, NADJVl=NANDnAD=CD ,求證：/法一：證實：在 BC上截取BE,使BE=AB ,連結(jié)DE. BD是/ABC的角平分線./ 1 = /2 角平分線定義在4ABD和4EBD中法二：延長BA到F,使 BD 是/ ABCBF=BC ,連結(jié) DF.的角平分線AB=EB / 1 = /2 已證BD=BD 公共邊 A ABD EBD S.A.S/A = /3 全等三角形的對應(yīng)角相等./ 1 = /2 角平分線定義 在 BFD和 BCD中BF=BC /1=/2 已證BD=

4、BD 公共邊A BFDA BCD S.A.S/F=/C 全等三角形的對應(yīng)角相等AD=DE 全等三角形的對應(yīng)邊相等AD=CD ,AD=DE 已證.DE=DC 等量代換./ 4=/C 等邊對等角 /3+ 24=180°平角定義,/A = / 3 已證Z A+ /C=180° 等量代換DF=DC 全等三角形的對應(yīng)邊相等AD=CD ,DF=DC 已證DF=AD 等量代換4=/ F 等邊對等角 / F=/ C 已證./ 4=/C 等量代換 /3+ Z 4=180° 平角定義Z A+ /C= 180° 等量代換DM=DN 還可以用“角平分線上的點到角的兩邊距離相等來

5、證2、：如圖,在四邊形 ABCD中,BD是Z ABC的角平分線, A+/C=180法三：作 DM,BC于M , DN,BA交BA的延長線于 N. BD是/ABC的角平分線./ 1 = /2 角平分線定義DN ± BA , DM ±BC ：/ N= / DMB=90 垂直的定義在 NBD和 MBD中/N=/DMB 已證/ 1 = /2 已證BD=BD 公共邊 A NBDA MBD A.A.SND=MD 全等三角形的對應(yīng)邊相等DN ± BA , DM ±BC . .NAD 和 MCD 是 RtA在 RtANAD 和 RtMCD 中ND=MD 已證AD=CD

6、RtANAD RtzMCD H.L/ 4=/C 全等三角形的對應(yīng)角相等 /3+ 24=180° 平角定義,/ A = / 3 已證Z A+ /C=180° 等量代換 法四：作 DM,BC于M , DN,BA交BA的延長線于 N. BD是/ABC的角平分線DN ± BA , DMXBC ND=MD 角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等DN ± BA , DM ±BC . .NAD 和 MCD 是 RtA 在 RtANAD 和 RtVICD 中ND=MD 已證AD=CD RtANAD RtzMCD H.L：/4=/CB全等三角形的對應(yīng)角相等 /3+

7、 24=180° 平角定義/ A = / 3 已證Z A+ /C=180° 等量代換利用高可以高線為對稱軸構(gòu)造全等三角形 3、在4ABC中,ADXBC,假設(shè)/ C= 2/B.試比較線段 BD與AC+CD的大小.簡析 由于ADXBC,所以可在 BD上截取DE = DC, 于是可得 ADEA ADC SAS,所以 AE = AC, /AED = /C, 又/ C=2/ B,所以/ AED = 2ZB,而/ AED = / B+ Z BAE,即/B=/BAE,所以 BE = AE = AC,所以 BD = BE+DE =AE+DE = AC+CD . E D C說明 利用三角形高

8、的性質(zhì),在幾何解題時,可以高線為對稱軸構(gòu)造全等三角形求解.利用特殊圖形可通過旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形 4、設(shè)點P為等邊三角形 ABC內(nèi)任一點,試比較線段PA與圖4PB+PC的大/、.簡析 由于 ABC是等邊三角形,所以可以將 ABP繞點A旋 轉(zhuǎn) 60°到 AACP'的位置,連結(jié) PP',貝UACP, ABP SAS,所 以 AP'= AP, CP'= BP, 4APP 是等邊三角形, 即 PP'= PA,在 CPP' 中,由于 PP'v PC+PC,所以 PAvPB+PC.說明 由于圖形旋轉(zhuǎn)的前后,只是位置發(fā)生了變化,而形狀和 大

9、小都沒有改變,所以對于等邊三角形、正方形等特殊的圖形我們 可以利用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造全等三角形來解題.網(wǎng)用利用平行線構(gòu)造全等三角形 5、4ABC中,AB=AC, E是AB上任意一點,延長 AC到F,連接EF交BC于M , 且EM=FM試說明線段 BE與CF相等的理由.簡析 由于BE與CF的位置較散,故可考慮將線段 CF平移到 ED,所以過點 E 作 ED / CF,那么/ EDB = / ACB, / EDM = / FCM , 由于 EM = FM , / EMD = / FMC ,所以 EMD FMC AAS , 所以 ED=CF,又由于 AB = AC,所以/ B=Z ACB,即/ B =

10、Z EDB, 所以EB=ED,所以BE = CF.說明這里通過輔助線將較散的結(jié)論相對集中,使求解的難度 降低.綜合練習(xí)1、如圖, ABC中,AD是/ BAC的角平分線, AB=AC+CD ,求證: 法一：證實：在 AB上截取 AE ,使 AE=AC ,連結(jié) DE. AD是/ BAC的角平分線1=72 角平分線定義:在 AED 和/ ACD 中AE=AC ,/1=/2已證AD=AD 公共邊/ AEDA ACD S.A.S«DC/C = / 3 全等三角形的對應(yīng)角相等 ED=CD 全等三角形的對應(yīng)邊相等又 AB=AC+CD=AE+EB EB=DC=ED 等量代換B=/4 等邊對等角 /3

11、= / B+/4= 2/B 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和C=2Z B 等量代換法二：延長 AC至ij F,使CF=CD ,連結(jié)DF. AD是/ BAC的角平分線1=72 角平分線定義AB=AC+CD , CF=CD AB=AC+CF=AF 等量代換在 ABD和 AFD中C=2Z BAB=AF 已證/1=/2已證 AD=AD 公共邊 ABDA AFD S.A.S/F = /B 全等三角形的對應(yīng)角相等CF=CD B=Z3 等邊對等角 Z ACB= 2/F 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和ACB=2 / B 等量代換2、如圖,直線 MN / PQ,且 AE平分/ BAN、BE平分/ QBA , DC是過E的任意線 段,交 MN于點D,交PQ于點