小升初之?dāng)?shù)論專題

1、知識要點小學(xué)升初測試中的數(shù)論問題,常常涉及整數(shù)的整除性、帶余除法、 奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與分拆.主要的結(jié)論有：1. 帶余除法：假設(shè)a, b是兩個整數(shù),b>0,那么存在兩個整數(shù)q, r,使得a=bq+r 0< r < b,且q, r是唯一的.特別地,如果r=0 ,那么a=bq.這時,a被b整除,記作b|a,也稱b是a 的約數(shù),a是b的倍數(shù).2. 假設(shè) a|c , b|c ,且 a, b 互質(zhì),貝U ab|c.3. 唯一分解定理：每一個大丁 1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積,即牌,1其中p1<p2<-ypk為質(zhì)數(shù),al, a2,ak為自然數(shù)

2、,并且這種表示是 唯一的.1式稱為n的質(zhì)因數(shù)分解或標(biāo)準(zhǔn)分解.4. 約數(shù)個數(shù)定理：設(shè)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為1,那么它的正約數(shù)個數(shù)為：d n = a1+1 a2+1 ak+1.5. 整數(shù)集的離散性：n與n+1之間不再有其他整數(shù).因此,不等式 x<y與 x < y-1是等價的.下面,我們將按數(shù)論題的內(nèi)容來分類講解.第一節(jié) 整除【專題簡析】：在數(shù)的整除中要熟記數(shù)整除的特點,在用整除的知識來解決相關(guān) 試題的時候要注意首先確定末尾那個數(shù)字,在確定其他的數(shù)字.數(shù)整除的特征數(shù)特點被2整除一個整數(shù)的個位是0,2,4,6,8 中的某一個被3 或者9整除一個整數(shù)的各位數(shù)字之和能被 3 或者9整除被5整除一個整

3、數(shù)的末尾不是5就是0被4或者25整除一個整數(shù)的末兩位能被4或者25整除被8或者125整除一個整數(shù)的末三位能被8或者125整除被11整除一個整數(shù)的奇數(shù)數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)數(shù)位上的數(shù)字之和的差較大數(shù)減較小數(shù)能被 11整除被7或者11或者13整除一個整數(shù)的末二位勺末二位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之 差較大數(shù)減較小數(shù)能【例題精講】例1.老師買了 72本相同價格的書,當(dāng)時沒有記住書的單價,只用鉛筆記下了用 的總錢數(shù),回到學(xué)校后其中有兩個數(shù)字已經(jīng)模糊不活了, 總錢數(shù)成了 口 13.7 元, 你能幫助補上口中數(shù)字嗎練習(xí)1.馬虎的采購員,買了 72只桶,洗衣服時將購貨發(fā)票洗爛了,只能依稀看 到72只桶共口 67.

4、9 元,口內(nèi)的字跡已經(jīng)看不活楚,請幫他算一下一共多少 錢例2.在算式1abcde3 =abcde1中,不同字母代表不同的數(shù),相同的字母代表相 同的數(shù),求abcde這個五位數(shù)是多少練習(xí)2.一個六位數(shù),他的個位數(shù)字是6,將6移動到最前面,所得的數(shù)是原數(shù)的 4倍,求這個六位數(shù).例3.從0,3,5,7,這4個數(shù)中任選3個,組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),在組成的 數(shù)中能同時被2、3、5整除的數(shù)有多少個練習(xí)3.從1、2、3、4、5中任取3個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),在這些三 位數(shù)中能同時被2和9整除的數(shù)有多少個?【綜合練習(xí)】1. 學(xué)校李老師一共買了 28支價格相同的鋼筆,共付人民幣 9口. 2 元, 口處的

5、數(shù)字相同,請問每支鉛筆多少錢2. x1993y是45的倍數(shù),求所有滿足條件的六位數(shù) x1993y.3. 小明在一張紙上寫下了一個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),9口4 5,其中十位數(shù)字和千位數(shù)字都看不活楚了,但這個數(shù)能被75整除,那么滿足上述條件的五位數(shù)中,最大的一個數(shù)是多少4. 在25 79這個數(shù)的口內(nèi)填上一個數(shù)字,使這個數(shù)能被11整除,問應(yīng)填幾5. 五位數(shù)35a2a能被3整除,它的末三個數(shù)字組成的數(shù)a2a能被2整除,求這個五位數(shù)6. 六位數(shù)口 8919口能被33整除,那么這個六位數(shù)是多少7. 一個六位數(shù)23口56口是88的倍數(shù),這個數(shù)除以88商多少8. 有一個整數(shù),用它去除70、110、160等到三

6、個余數(shù)之和是50,求此整數(shù).9.有一個正整數(shù)是一個有2021位的數(shù),且是9的倍數(shù),數(shù)字之和是 A,A的數(shù)字之和是B, B的數(shù)字之和是C,求C是多少?第二節(jié)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的應(yīng)用【專題簡析】根據(jù)質(zhì)數(shù)、合數(shù)的意義,解答與質(zhì)數(shù)合數(shù)有關(guān)的問題,學(xué)習(xí)這局部內(nèi)容,首 先要記住20以內(nèi)、100以內(nèi)的質(zhì)數(shù),有利丁順利解題.【例題精講】例1分別判斷251, 539是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)例2 A是一個質(zhì)數(shù),而且 A+6 , A+8 , A+12, A+14都是質(zhì)數(shù),試求出滿足要 求的最小質(zhì)數(shù)A.例3如圖,四個小三角形頂點處有6個圓圈,如果在這些圓圈中分別填上6個質(zhì) 數(shù),它們的和是20.而且每個小三角形頂點圓圈的數(shù)之和相等,問這

7、 6個質(zhì)數(shù) 的積是多少【根底練習(xí)】1.試判斷507, 619, 667是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)?2. (1)如果兩個質(zhì)數(shù)的和是1999,那么這兩個質(zhì)數(shù)的積是多少?(2)如果三個質(zhì)數(shù)和是130,那么這三個質(zhì)數(shù)的積最大是多少?3 .寫出50以內(nèi)5個連續(xù)自然數(shù),要求每個數(shù)都是合數(shù).4.A是一個質(zhì)數(shù),且A+4 , A+6, A+10都是質(zhì)數(shù),試求出滿足要求的最小質(zhì)數(shù) A5 .把一個一位數(shù)的質(zhì)數(shù) A,寫在另一個兩位質(zhì)數(shù) B的后面,得到一個三位數(shù), 這個三位數(shù)是A的119倍,求A和B.6. 把一個兩位質(zhì)數(shù)寫在另一個兩位質(zhì)數(shù)后面,得到一個四位數(shù),它能被這兩個 質(zhì)數(shù)之和的一半整除,試求出所有這樣的質(zhì)數(shù)對.7. 填出下面

8、加法算式中的6個質(zhì)數(shù)8質(zhì)9+ 質(zhì)6 質(zhì)1質(zhì)質(zhì)質(zhì)【拓展提升】1. (1)寫出5個質(zhì)數(shù),按從大到小的順序排列,每相鄰兩數(shù)差是 12(2)寫出7個連續(xù)自然數(shù),要求每個數(shù)都是合數(shù).2 .判斷數(shù)666666711111促質(zhì)數(shù)還是合數(shù)?3.判斷數(shù)1111-1211111是質(zhì)數(shù)還是合數(shù).1998 個 11998 個 14.判斷200320 2003是質(zhì)數(shù)還是合數(shù).5.a,b,c 都是質(zhì)數(shù),c是一位數(shù),且ax b+ c=1993,那么a+ b+ c的和是多少?6.一個長方體,它的正面和上面面積之和是 299平方厘米,如果它的長、寬、 高都是質(zhì)數(shù),那么這個長方體的體積是多少7. 有標(biāo)號是1 9數(shù)字的9張卡片,甲

9、、乙、丙三人每人拿了 3張卡片,甲的3 張卡片數(shù)的積是48,乙的3張卡片上數(shù)的和是15,丙的3張卡片上數(shù)的積是63, 問甲、乙、丙各拿了哪3張卡片8. 把1 10這10個數(shù)字圍成一個圓圈,使每相鄰兩個數(shù)的和都是質(zhì)數(shù).9. 有一個數(shù),如果它的數(shù)字倒排以后,所得的數(shù)仍是這個數(shù),這個數(shù)稱為回數(shù),如1991就是這樣的年份,回數(shù)具有如下兩個性質(zhì)：1 1991是一個回數(shù)；2 1991是一個兩位質(zhì)數(shù)回數(shù)和一個三位質(zhì)數(shù)回數(shù)的積.在 1000年到2000年之間 的1000年中,除了 1991外,具有性質(zhì)1 2的年份有哪些10 .有四個相同的瓶子里分別裝有不同重量的灑, 每瓶與其他各瓶分別合稱一次, 重量分別是8

10、, 9, 10, 11, 12, 13千克.4只空瓶重量之和及灑的重量之 和均是質(zhì)數(shù),最重的兩瓶內(nèi)共有多少灑第三節(jié) 分解質(zhì)因數(shù)【專題簡析】分解質(zhì)因數(shù)常常運用在實際生活中,在許多競賽題中初看起來很難, 但他都與乘積有關(guān),對丁這類題目我們可以用分解質(zhì)因數(shù)的方法來解答,因此掌握并靈活應(yīng)用分解質(zhì)因數(shù)的的知識能解答許多一般方法不能解答的問題.要注意的是在分解質(zhì)因數(shù)的過程中“ 2是很特別的,他是質(zhì)數(shù)中唯一一個偶數(shù),而且 還經(jīng)常結(jié)合數(shù)的奇偶性來考.注意特例(1001=7X 11X 13)【例題精講】例1.將12個蘋果平均分成假設(shè)干份,共有多少種分法練習(xí)1.有60個同學(xué)分成人數(shù)相等的小組去慰問解放軍叔叔,每組

11、不少丁6人不多丁 15人,那么共有多少種分法例2.五個連續(xù)自然數(shù)的乘積是15120.那么這五個自然數(shù)的和是多少?練習(xí).有4個小孩,恰好一個比一個大一歲,4人的年齡積是3024,問這4個孩 子中最大的有多少歲例3.在下面的算式里,里的數(shù)字各不相同,求這四個數(shù)字的和. XDDD =1995練習(xí)3.下面四張小紙片各蓋上了一個數(shù)字,如果這四個數(shù)字是連續(xù)的偶數(shù),請完整下面的算式.口口 X 口口 =5760例4.一個兩位數(shù)除310余37,這個數(shù)可以是多少練習(xí)4. 237除以一個兩位數(shù),所得的余數(shù)是6,滿足這個條件的兩位數(shù)有哪些例5.質(zhì)數(shù)與合數(shù)兩個質(zhì)數(shù)的和是 39,求這兩個質(zhì)數(shù)的積.練習(xí)5.兩個質(zhì)數(shù)的和是9

12、9,求這兩個數(shù)的積.例6.有4個人他們都屆虎,年齡之積是27664,求這4個人的年齡分別是多少練習(xí)6.有6個人,他們都屆龍,年齡之積是 17597125,那么他們的年齡之和是 多少例7.十個非零且不相等的自然數(shù)的和是 2002,那么這十個非零自然數(shù)的公約數(shù) 最大是多少例8.一個正整數(shù)能分成3個不同質(zhì)數(shù)的積,如果這3個質(zhì)數(shù)的平方和是150,求 這個正整數(shù)練習(xí)8:一個正整數(shù)能分成3個不同質(zhì)數(shù)的積,如果這3個質(zhì)數(shù)的平方和是1710, 求這個正整數(shù)例9.有三個數(shù)字能組成6個不同的三位數(shù),這6個數(shù)的和是2886,求這6個三 位數(shù)中最小的一個是多少練習(xí)9:有3個數(shù)字能組成6個不同的3位數(shù),這6個數(shù)的和是1

13、776,求這6 個三位數(shù)中最小的一個是多少【綜合練習(xí)】1、甲數(shù)比乙數(shù)大9,兩個數(shù)的積是792,求甲乙兩數(shù)分別是多少?2、四個連續(xù)奇數(shù)的積是19305,求這四個奇數(shù)的和3、在下面算式框內(nèi)各填上一個數(shù)字,使算式成立. X Q19954. 5100除以一個三位數(shù),余數(shù)是 95,這個三位數(shù)最大是多少?5. 三個質(zhì)數(shù)的和是80,求這三個質(zhì)數(shù)的積6. 三個質(zhì)數(shù)的平方和是7950,求這三個質(zhì)數(shù)的積7. 兩個數(shù)的和是60,最小公倍數(shù)是273,求此兩數(shù)分別是多少?8. 今有三個質(zhì)數(shù),他們的平方和是 7950,求這三個質(zhì)數(shù)的積9. 有四個數(shù)字能組成6個不同的四位數(shù),這6個數(shù)的和是39996,求這6個三位 數(shù)中最小

14、的一個是多少10. 主人對客人說：“院子里有三個小孩,他們的年齡之積等丁 72,年齡之和恰恰 是我家的樓號,樓號你是知道的,你能求出這些孩子的年齡嗎 客人想了一下 說：“我還不能確定答案！ 他站起來,走到窗前,看了看樓下的孩子,說： “有 兩個很小的孩子,我知道他們的年齡了！ 請問,主人家的樓號是多少三個孩 子的年齡分別是多少第四節(jié)余數(shù)問題【專題簡析】在整數(shù)除法中,當(dāng)不能整除時,就產(chǎn)生余數(shù).a士 b=cd(0<d<b)是帶余除 法的根本形式.如果兩個自然數(shù)a,b同除以自然數(shù)m,所得余數(shù)相同,稱作a與b對丁模m 同余,記作a= b (mod m).如17與32被5除,余數(shù)都是2,即1

15、7= 32 (mod 5).【例題精講】例1被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和是 1100,余數(shù)是9,商是18,求被除數(shù) 和除數(shù).例2寫出除109后余4的全部兩位數(shù)例3有一個不等丁 1的整數(shù),它除967, 1000, 2001得到相同的余數(shù),那么這個 整數(shù)是多少例4在1與3000之間同時被3, 5, 7除都余2的數(shù)有多少個?例5自然數(shù)16510, 14893和14167除以m的余數(shù)相同,求m的最大值.【根底練習(xí)】1 .用一個兩位數(shù)除961,余數(shù)為36,求這個兩位數(shù).2. 719除以一個兩位數(shù),余數(shù)4,問這樣的兩位數(shù)有多少個?3. 兩個數(shù)相除,商為8,余數(shù)為16,被除數(shù)、除數(shù)與商的和是555,除數(shù)是幾?

16、4.求J11、11被13除的余數(shù) 20015. 求 2579X 367+ 3325X 1303-255X 853 除以 11 的余數(shù).6. 自然數(shù)a a1除124, 200, 352后得到相同的余數(shù),這個自然數(shù)最大是幾?7. 在1 1000之間同時被2, 3, 7除都余1的數(shù)有多少個8. 自然數(shù)a除以4余1,自然數(shù)b除以4余2,那么a+b的和除以4余幾【拓展提升】1.用47去除某數(shù)余13,被除數(shù)與商之和為8605,求被除數(shù).2.小紅在計算一道除法題時,把被除數(shù) 211錯寫成121,結(jié)果商少了 10,而余 數(shù)相同,求該除法題中的除數(shù).3. 1363除以一個數(shù),商59,且除數(shù)比余數(shù)大17,求除數(shù)和

17、余數(shù)4.有一個整數(shù)分別去除721, 271, 127,都有余數(shù),三個余數(shù)之和是 44,求這 個數(shù).5. 一個十幾歲的女孩,把母親的年齡寫在自己年齡之前組成一個四位數(shù),在這 個數(shù)上加上母女兩人歲數(shù)之和是 3658,問女孩和母親各多少歲6. 寫出5個大丁零的不同自然數(shù),使其中任意三個自然數(shù)的和能被3整除,這5個自然數(shù)的和最小是多少7. 437X 43兮X 437 40除以23的余數(shù)是多少?1994 4378.把310粒糖果分給五1班的同學(xué),如果每個同學(xué)分得相同數(shù)量的糖果后還 余下37粒且不夠繼續(xù)分,那么全班有多少人9 .求3232 + 6464 + 8888被4除的余數(shù)10. 分數(shù) 旦化成小數(shù)后,

18、小數(shù)點后面第8888位上的數(shù)字是幾?1311.今天是星期天,再過19591999天是星期幾?12.求 1 1512 + 7880+ 3320 除以 11 的余數(shù)13.用棄九法檢驗下面運算是事正確(1) 12567 X 89345=1122798645(2) 3684X 667=2457228N等丁多少?14.計算 1333+ 2X 1333+ 3X 1333+ 1333X 1333被 7 除的余數(shù).15如果一個101位數(shù)皂獎;3近零成,這個數(shù)能被7整除,那么50個3 50個5第五節(jié)數(shù)論常見考題分析【?？碱}型1:奇偶性及應(yīng)用】模擬題1:有一本500頁的書,從中任意撕下20張紙,這20張紙上的所有

19、面碼 之和能否是1999?模擬題2:試找出兩個整數(shù),使大數(shù)與小數(shù)之和加上大數(shù)與小數(shù)之差,再加上1000 等丁 1999.如果找得出來,請寫出這兩個數(shù),如果找不出來,請說明理由.模擬題3:桌子上有11個開口向上的杯子,現(xiàn)在允許每次同時翻動其中的6個,問能否經(jīng)過假設(shè)干次翻動,使得11個杯子的開口全都向下模擬題4:甲,乙,丙三名選手參加長跑比賽.起跑后甲處在第一的位置,在整 個比賽過程中,甲與乙,甲與丙的位置次序共交換13次.比賽結(jié)果甲是第幾名?【?？碱}型2:整數(shù)的整除】模擬題1:自然數(shù)A的各個數(shù)位上的數(shù)碼之和與 3A的各個數(shù)位上的數(shù)碼之 和相等,證實A必能被9整除.模擬題2:兩個四位數(shù)A275和2

20、75B的乘積能被72整除,求A和B.模擬題3: a是一個三位數(shù).它的白位數(shù)字是 4, a+9能被7整除,a-7能被9整除,那么a是多少?模擬題4:要使六位數(shù)15ABC6能被36整除,而且所得的商最小,那么A=2B=C=【?？碱}型3:質(zhì)數(shù)、合數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)】模擬題1: 一個5位數(shù),它的各位數(shù)字和為43,且能被11整除,求所有滿足條 件的5位數(shù)模擬題2 :將4個不同的數(shù)字排在一起,可以組成 24個不同的四位數(shù)(4>C>2X1=24).將這24個四位數(shù)按從小到大的順序排列的話,第二個是 5的倍數(shù)；按從大到小排列的話,第二個是不能被4整除的偶數(shù)；按從小到大排列的 第五個與第二十個的差在30

21、00-4000之間.請求出這24個四位數(shù)中最大的一個.(7543模擬題 3:口=口口口,其中口、.、 分別表示不同的數(shù)字,那么四位數(shù).口 是多少 (7132)模擬題4: A B兩數(shù)都只含有質(zhì)因數(shù)3和2,它們的最大公約數(shù)是 36.A 有12個約數(shù),B有8個約數(shù),那么A+B=.【?？碱}型4:約數(shù)與倍數(shù)】模擬題1:在一根長木棍上,有三種刻度線,第一種刻度線將木棍分成 10等份, 第二種刻度線把木棍分成12等份,第三種刻度線把木棍分成15等份,如果沿每 條刻度線把木棍鋸斷,木棍總共被鋸成多少段模擬題2:3女7X 2DA 4是891的倍數(shù),其中、口、各代表一個不同 的數(shù)字,那么三位數(shù)口代表的是多少模擬題

22、3:甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是90,乙、丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是105,甲、 丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是126,那么甲數(shù)是多少模擬題4:李老師帶著一班學(xué)生去種樹,學(xué)生恰好被平均分成四個小組,總共種樹 667棵,如果師生每人種的棵數(shù)一樣多,那么這個班共有學(xué)生 人.【?？碱}型5:余數(shù)問題】模擬題1:有一個自然數(shù),用它分別去除 63, 90, 130都有余數(shù),3個余數(shù)的和 是25.這3個余數(shù)中最大的一個是多少模擬題2: 一個自然數(shù)在1000和1200之間,且被3除余1,被5除余2,被7 除余3,求符合條件的數(shù).模擬題3: 一個大丁 1的自然數(shù)去除300, 243, 205時,得到相同的余數(shù),那么這 個自然數(shù)是模

23、擬題4: 一個大丁 10的自然數(shù),除以5余3,除以7余1,除以9余8,那么 滿足條件的自然數(shù)最小為多少【常考題型6:位值原理】模擬題1:將一個三位數(shù)的數(shù)字重新排列,在所得到的三位數(shù)中,用最大的減去 最小的,正好等丁原來的三位數(shù),求原來的三位數(shù).模擬題2: 一個三位數(shù),它等丁抹去它的首位數(shù)字之后剩下的兩位數(shù)的 4倍丁 25 之差,求這個數(shù) 模擬題3: a, b, c分別是09中不同的數(shù)碼,用a, b, c共可組成六個三位數(shù) 字,如果其中五個數(shù)字之和是 2234,那么另一個數(shù)字是幾模擬題4:有一個三位數(shù),如果把數(shù)碼6加寫在它的前面,那么可得到一個四位數(shù), 如果把6加寫在它的后面,那么也可以得到一個

24、四位數(shù),且這兩個四位數(shù)之和是 9999,求原來的三位數(shù).【?？碱}型7:完全平方數(shù)】模擬題1: 一個自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù),求此數(shù).模擬題2:求證：四個連續(xù)的整數(shù)的積加上1,等丁一個奇數(shù)的平方模擬題3:求證：11,111,1111,這申數(shù)中沒有完全平方數(shù)模擬題4:甲、乙兩人合養(yǎng)了 n頭羊,而每頭羊的賣價乂恰為n元,全部賣完后, 兩人分錢方法如下：先由甲拿十元,再由乙拿十元,如此輪流,拿到最后,剩下 缺乏十元,輪到乙拿去.為了平均分配,甲應(yīng)該補給乙多少元【綜合練習(xí)】1、小明爺爺釣魚回來,小明問：“爺爺您今天釣了多少魚呀爺爺說：“我今 天甩出魚桿和提起魚桿共100次,可是有17次提

25、起魚桿時沒釣著魚,其余每提 一次就釣了一條魚,你說我今天釣了多少魚呀 2、有12張卡片,其中有二張上面寫著1,二張寫著3,二張寫著5,二張寫著7.1可: 能否從中選出五張,使它們上面的數(shù)字之和為20?為什么3、有些四位數(shù)是7的倍數(shù),且將它從中間劃分成前后兩個兩位數(shù)時,前面的數(shù) 能被3整除,后面的數(shù)能被5整除,那么所有這樣的數(shù)中最小的一個是多少4、三位數(shù)的白位、十位和個位的數(shù)字分別是5, a和b,將它連續(xù)重復(fù)寫99次 成為：5ab5ab二5ab.如果此數(shù)能被91整除,那么這個三位數(shù)5ab是多少?99 個 5 ab5、從左向右編號為1至1991號的1991名同學(xué)排成一行.從左向右1至11報數(shù), 報數(shù)為11的同學(xué)原地不動,其余同學(xué)出